Введение в математику

В.М. Казиев






Введение в математику













^ИНТУИТ
  / НАЦИОНАЛЬНЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.ИНТУ ИТ

    У НАЦИОНАЛЬНЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Введение в математику
2-е издание, исправленное

Казиев В.М.



Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016


2

УДК 519.7(075.8)+004(075.8)
ББК 18
К14
Введение в математику и информатику / Казиев В.М. - M.: Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”, 2016 (Основы информационных технологий) ISBN 978-5-94774-678-5
Курс предназначен для всех представителей “не физико-математических” областей, интересующихся основами высшей математики с целью познать эти основы и использовать их в своей работе или учебе.
Данный курс является вводным курсом в высшую математику. Достаточно строго и формально (на уровне приводимых определений и понятий), но в то же время содержательно и на примерах, рассматриваются основы высшей математики для «не математических» специальностей. Изложение сопровождается большим количеством специально подобранных примеров, поясняющих суть исследуемых понятий и фактов.
(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2007-2016
(c) Казиев В.М., 2007-2016

3

Предисловие

Математике в подготовке “нематематиков” принадлежит особая роль, равно как и математике в той или иной предметной области. Математика - базовая междисциплинарная наука, объединяющая своими методами, алгоритмами, моделями остальные науки. Кроме того, благодаря новым информационным технологиям усиливается роль математического моделирования и алгоритмического мышления. Данный учебник подготовлен на основе курсов лекций и практических занятий по математике, проведенных (1996-2005) для студентов Кабардино-Балкарского госуниверситета (специальности “История”, “Социальная работа”, “Филология”, “Юриспруденция”, “Экономика”, “Медицина”).

По выражению Л.Д. Кудрявцева, “нельзя научить приложениям математики, не научив основам самой математики”. Кажущаяся на первый взгляд излишней математическая строгость изложения материала в данной книге необходима для университетского образования. Такая необходимая “жесткость” сильно облегчается, “смягчается для понимания” большим набором специально подобранных содержательных примеров, которые помогают понять суть рассматриваемых понятий и фактов.

Цель курса: формирование начального уровня математической культуры специалиста-нематематика, достаточного для использования математики в профессиональной сфере будущего специалиста и для самообразования в области математики и математических методов.

Примеры, вопросы для самостоятельной работы в каждой лекции способствуют также эффективной организации обучения студента.


4

                Краткая история и предмет математики




Рассматриваются история развития и краткое изложение предмета математики, основные два ее направления (теоретическая и прикладная), а также междисциплинарная, мировоззренческая, воспитательная, культурная и эстетическая роли математики в обществе и познании.

Краткая история и предмет математики

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т.п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Истоки математики как науки и языка знаний восходят к Древнему Египту и Древнему Вавилону. Существует и другая версия историков науки, относящих появление математики (как теоретической дисциплины) к более позднему, греческому периоду ее развития - периоду начала использования доказательств геометрических теорем.

Математика в Греции развивалась достаточно быстро, логически, структурно и оформилась как особая наука с особым методом дедуктивного (от общего к частному) доказательства. Появление математики как систематической науки оказало, в свою очередь, громадное развивающее влияние на другие области знания.

Математика стала не просто лишь полезным практическим аппаратом, но и основным инструментом выявления внутренней сущности явлений и процессов, построения различных теоретических выводов, формальных оснований наук.

Это не могло не привести в древности к мистификации математики, что нашло отражение в философском учении знаменитого Пифагора и школы его последователей. Основной тезис пифагореизма - “все есть число”, то есть всюду есть и могут быть обнаружены количественные связи, а всякая закономерность может быть выражена и объяснима математическими соотношениями.

Наряду с пифагорейской философией, существовала и атомистическая философия (философская школа Демокрита). В атомистическом подходе математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атому - первооснове. Физическое начало логически предшествует математическому и определяет свойства последнего. Математическое, в свою очередь, развивает физическое, естественнонаучное, позволяет открывать и исследовать новые связи и отношения в окружающем мире.

В эпоху Средневековья математика развивалась, в основном, в русле пифагореизма. Несмотря на многие заблуждения и неточности, эта эпоха дала миру многих


5

замечательных математиков и ряд важных теорем и положений математики, заложила элементарные теоретические основы всего естествознания.

В XIV-XV вв. в Европе начался творческий процесс развития математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии, длившийся около двух столетий. Математика стала рассматриваться не как абсолютное, первичное знание, а как знание эмпирическое, вторичное, зависящее от внешних реалий. В это время развивались основные идеи дифференциального и интегрального исчисления, сформировались основные понятия высшей математики - бесконечно малое приращение, последовательность, предел, производная, дифференциал и др. (Заметим, что мы нигде далее не будем употреблять словосочетание “высшая математика”, считая математику единой для тех, кто ее изучает, различая лишь этапы изучения математики - школьный или вузовский).

Необходимость вычисления площадей сложных фигур, ограниченных произвольными кривыми, развивала методы дифференциального и интегрального исчисления, расширяла перечень решаемых задач и повышала сложность решаемых задач, сформировала логически стройную и достаточно полную систему математических понятий.

В XVI-XVII вв. появились новые математические теории, такие, как, например, теория вероятностей, комбинаторика, которые затем в XVIII веке стали эффективно использоваться в различных областях науки и практики. В математике с XVII в. широко начинает применяться метод доказательства общих положений и выводов на основе частных положений и выводов, называемый методом математической индукции. Некоторые историки математики считают правильным отсчитывать историю математики именно с этого периода.

Развивалась и геометрия, которая выходила в своих исследованиях за узкие пределы практических нужд (измерения длины, площади, объема и т.д.).

Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского (опираясь, в основном, на логическое мышление, на логические системы и логические выводы из них) показала, что расширение предмета математики важно не только для внутреннего развития самой математики и пересмотра устойчивых математических представлений, но и для выяснения роли математики как языка знаний. Неевклидовы геометрии продемонстрировали, что геометрия Евклида - не единственный способ восприятия чувственных образов в мире. Истинность геометрии Лобачевского находит косвенные подтверждения в астрономии, физике. Известный геометр Ф.Клейн доказал, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида.

Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся формальный язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально-логического описания действительности, - то есть сформировался формальный, научный язык всех отраслей знания, в первую очередь, естественнонаучных. Этот язык успешно используется в настоящее время и в других, “не естественнонаучных” областях.


6

Язык математики - это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания).

Математическое описание фактов, законов природы, общества и познания позволяет нам по-новому взглянуть на их взаимосвязи, обнаружить новые связи. Зачастую эти связи невозможно обнаружить без математики, на опыте, в реальном мире.

“Математики - своего рода французы: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто иное” (И.В.Гете).

Современная теоретическая (” чистая “) математика это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Понятие структуры мы пока будем определять (нестрого) как некоторую заданную совокупность связанных между собой элементов, в которой имеется некоторый порядок, некоторая стройность и взаимосвязь составных частей. Более полное и строгое понятие структуры изложено в нашем курсе “Введение в анализ, синтез и моделирование систем” ( ссылка: http://www.intuit.ru).

“Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование” (А.Пуанкаре).

Современная прикладная (” не чистая “) математика - это наука, занимающаяся поиском, математическим описанием и исследованием различной природы инвариантов и их приложений.

Таким образом, это две ветви одной и той же науки, и одна из них не может развиваться без другой. Отнесение одной и той же задачи к чистой или к прикладной математике зависит, в основном, от цели и доступных ресурсов ее исследования.

Предмет науки обычно понимают как совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею.

Строго говоря, математика непосредственно не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история и др. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их.

Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах, а эти знания затем используют все другие науки.

Служение наукам не является единственной функцией математики, ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции.

Специфика математического метода изучения действительности определяет и особенность критерия истины в математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь только на практике, как во многих других науках.

 Простой факт отсутствия общих точек у двух параллельных прямых


7

 нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на этих прямых. Более сложный пример - так называемая функция Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для иррациональных чисел - 0. Нельзя построить график этой простой по определению функции.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность и эффективность математического аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как критерий адекватности теории не всегда применима.

 В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции космических систем, которые нельзя проверить на практике, но можно описать проверенными математическими моделями других теорий - скажем, ядерной физики.

Деление математики на теоретическую и прикладную хотя и традиционно, тем не менее, как отмечено выше, - часто лишь условное. Математика, наряду с созданием новых теоретических методов решения практических задач, изучает и оттачивает применяемый ею самой инструментарий, развивает математические теории и методы, ищет более широкие и естественные сферы ее применимости, эволюционирует сама для нужд эволюции других наук, которые, в свою очередь, эволюционируют, используя математику.

Те достижения математики, которые еще не нашли приложения, развивают внутреннюю сущность и структуру математики и могут обрести в дальнейшем самые неожиданные применения, вплоть до революционных для развития науки и техники.

 Древнегреческими математиками была создана теория конических сечений, которая была использована лишь через 2000 лет, когда Кеплер создавал теорию движения небесных тел. Эта теория, в свою очередь, затем помогла Ньютону создать классическую механику.

Математика реализует не только мировоззренческие, но и воспитательные, культурные и эстетические функции.

Мировоззренческая роль математики состоит, в частности, в том, что она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, особенно тех, что не лежат на поверхности, выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы.

Дифференциальные уравнения эволюционных систем различной природы и различного происхождения - часто одни и те же, что демонстрирует общность законов природы, общества, познания.

“Не зная математики, нельзя знать ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще хуже,


8

люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает ее ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки” (Ф.Бэкон).

Воспитательная роль математики состоит, в частности, в том, что ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи и др. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания.

“Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса. Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка. Математика полезна тем, что она трудна” (А.Д.Александров).

Культурная роль математики состоит, в частности, в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).

Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний.

“Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше” (Д.Юнг).

Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).

“Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей <...>. Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики” (Г.Х.Харди).

Математизация сфер общества - характерная черта нашей эпохи. Математизации подвержены не только естественнонаучные области, но и социально-гуманитарные: история, филология, социология и др. Благодаря математизации развивается язык наук, следовательно, и сами науки. Математика также обогащается новыми идеями и приложениями вследствие этого.


9

Математика широко используется как в традиционных, естественнонаучных областях (физика, биология, экономика и др.), так и в гуманитарных - истории, лингвистике, психологии, социологии и др. Она образует специальные ветви (математическая физика, математическая биология, математическая экономика и др.) или методы (математические методы лингвистики, социологии и др.).

Математизация - существенный фактор прокладывания и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность явлений, но и в их качественную сущность.

“Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой” (Леонардо да Винчи).

История математики складывается не из простой суммы математических знаний, а из цепочки преемственности достижений, нередко - преемственности ошибок, которые не смогли нарушить развитие и целостность математической мысли.

Эта история связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

“Высшее назначение математики <...> состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает” (Н. Винер).


10