Вычислительные модели

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ 

МОДЕЛИ

А.П. ГЛОВАЦКАЯ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по математическим и естественно-научным направлениям подготовки 

(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 8 от 22.06.2020)

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.19я73
 
Г54

А в т о р:

Гловацкая А.П., доцент, доцент кафедры «Информатика» Москов
ского технического университета связи и информатики

Р е ц е н з е н т ы:

В.П. Карулин, доктор технических наук, профессор Государствен
ного научно-методического центра (г. Москва);

Ю.Н. Артамонов, кандидат технических наук, доцент кафедры 

«Информационные технологии в управлении» Университета «Дубна»

ISBN 978-5-16-019781-4 (print)
ISBN 978-5-16-107476-3 (online)
© Гловацкая А.П., 2021

Гловацкая А.П.

Г54 
 
Вычислительные модели : учебное пособие / А.П. Гловац
кая. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 395 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/1013723.

ISBN 978-5-16-019781-4 (print)
ISBN 978-5-16-107476-3 (online)
В учебном пособии рассмотрены основы классических численных ме
тодов вычислительной математики, используемых для решения линейных 
и нелинейных уравнений и систем; интерполяции и аппроксимации функций; численного интегрирования и дифференцирования; решения обыкновенных дифференциальных уравнений методами одномерной и многомерной оптимизации.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов высших учебных заведений, обуча
ющихся по дисциплине «Численные методы».

УДК 519.6(075.8)

ББК 22.19я73

Введение

Математика как наука появилась достаточно давно, она возникла в связи с необходимостью решения практических задач измерений на местности, счета и т.п. Вследствие этого математика 
всегда была численной математикой, ее целью являлось получение 
решения задачи в виде числа. Первые вычислительные средства — 
пальцы, камешки и другие подручные предметы.
С формированием начал механики, астрономии, навигации 
и других наук изменились и математические задачи, и средства 
их решения. В это время были разработаны алгоритмы численных 
методов, которые до сих пор занимают почетное место в арсенале 
вычислительной математики. В XVII в. Исаак Ньютон полностью 
описал закономерности движения планет вокруг Солнца, также 
он решал задачи геодезии, проводил расчеты механических конструкций. Задачи сводились к обыкновенным дифференциальным 
уравнениям либо к алгебраическим системам с большим числом 
неизвестных. Вычисления проводились с использованием логарифмической линейки, таблиц элементарных функций, арифмометров.
Крупнейшие ученые Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Эрмит 
и Чебышев стали родоначальниками численных методов. Классическим примером применения численных методов являются труды 
Леверье (Франция) и Адамса (Англия) по расчету траектории планеты Нептун, для которых Леверье понадобилось полгода.
Вычислительная математика как самостоятельная математическая дисциплина сформировалась в начале XX в. Толчком 
к развитию прикладной математики послужили военные задачи, 
требующие высокой скорости решения. Появились электронные 
вычислительные машины. Современное развитие науки и техники 
тесно связано с использованием ЭВМ, которые позволяют строить 
математические модели сложных устройств и процессов, резко сокращая время и стоимость инженерных разработок.
Математическая модель — это описание средствами математики 
соотношения между количественными характеристиками объекта 
моделирования.
В основе вычислительной математики лежит решение задач математического моделирования с применением численных методов.
По Ляпунову, математическое моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, 
при котором непосредственно изучается не сам интересующий 

нас объект, а некая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определенных отношениях и дающая при ее исследовании в конечном счете информацию о самом моделируемом 
объекте.
Математическую задачу не всегда можно решить аналитически, 
а в тех случаях, когда это все-таки возможно, методы решения 
громоздки и трудоемки. Применение приближенных численных 
методов во многих случаях предпочтительно даже тогда, когда известен точный метод решения, так как достаточная точность и небольшие затраты времени при использовании ЭВМ обеспечивают 
получение результатов.
Главная задача вычислительной математики — фактическое нахождение решения с требуемой точностью, тогда как классическая 
математика решает в основном задачи существования и свойств решения.
Пособие предназначено для формирования у студентов навыков 
применения численных методов при решении конкретных задач. 
С этой целью изложение материала построено по единой схеме, 
включающей постановку задачи, описание алгоритма решения, детально разобранные типовые примеры, демонстрирующие работу 
изучаемого алгоритма. В конце каждой главы приведены контрольные вопросы и предложены задания для самостоятельного решения.
В результате изучения данного курса студенты должны научиться анализировать преимущества и недостатки аналитического 
и численного подходов к решению задач, выбирать оптимальную 
стратегию решения конкретной задачи, уметь оценивать точность 
результата, полученного численным методом.
Цель дисциплины: изучение методов построения численных алгоритмов и исследование численных методов решения математических задач, моделирующих различные физические процессы.
Задачи дисциплины:
 
• ознакомление с основными численными методами;
 
• получение практических навыков в решении прикладных задач;
 
• ознакомление с особенностями и областями применения численных методов решения математических задач по тематике 
проводимых научно-исследовательских проектов;
 
• проектирование и разработка моделей, алгоритмов и программных решений.

В результате освоения дисциплины студенты должны быть способны:
 
• понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат, фундаментальные концепции и системные методологии, международные 
и профессио нальные стандарты в области информационных технологий;
 
• использовать современные инструментальные и вычислительные средства (в соответствии с профилем подготовки);
 
• профессио нально владеть базовыми математическими знаниями 
и информационными технологиями;
 
• эффективно применять их для решения научно-технических 
и прикладных задач, связанных с развитием и использованием 
информационных технологий;
 
• использовать на практике базовые математические дисциплины, 
включая вычислительные методы.
Изучив данное пособие, студенты будут:
знать
 
• основные понятия и методы математической логики, математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, 
теории автоматов и формальных языков, теории дифференциальных и разностных уравнений, теории вероятностей и математической статистики, исследований операций;
уметь
 
• применять математические методы при решении типовых 
профессио нальных задач;
 
• использовать языки и системы программирования, а также пакеты математических программ для решения профессио нальных 
задач;
 
• применять на практике базовые математические дисциплины, 
включая вычислительные методы;
 
• использовать современные инструментальные и вычислительные средства;
владеть
 
• методами построения математических моделей при решении 
профессио нальных задач;
 
• навыками решения практических задач;
 
• базовыми математическими знаниями и информационными технологиями.
Автор благодарит за поддержку и помощь в работе Т.Т. Гловацкого и Г.Т. Никитину.

Глава 1. 
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

На практике наряду с точными числами часто используют приближенные числа. В большинстве случаев точное число указать 
невозможно. В некоторых случаях замена точного числа на приближенное осуществляется сознательно, например, для упрощения 
вычислений.

1.1. ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА. ПОГРЕШНОСТЬ

Приближенным числом решения a называется число, незначительно отличающееся от точного числа A и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного числа от его точного 
значения характеризуется погрешностью.
Существуют четыре источника погрешности результата.
1. Погрешность математической модели — погрешность, возникающая в результате приближенного описания реального явления, связанная с трудностью или невозможностью решить задачу в точной математической постановке. Задачу описывают с помощью математической модели так, чтобы применить известный 
и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому. Изменение первоначальной математической формулировки 
задачи приводит к появлению погрешности результата.
2. Погрешность метода — основана на дискретном характере 
любого численного алгоритма. Это значит, что вместо точного 
решения исходной задачи метод находит решение другой задачи, 
близкое в каком-то смысле к искомому. Погрешность метода — 
основная характеристика любого численного алгоритма. Погрешность метода должна быть в 2—5 раз меньше неустранимой погрешности.
3. Погрешность исходных данных, принятых для расчета. Это 
погрешности начальных данных, связанные с приближенным выражением величин, входящих в условие задачи, таких как физические и математические константы, а также величин, полученных 
в результате измерений с ограниченной точностью. Отметим, что 
из практических соображений желательно, чтобы все исходные 
данные задачи имели одинаковую точность или начальную погрешность. Это неустранимая погрешность, но ее необходимо оценить 
для выбора алгоритма расчета и точности вычислений.

4. Погрешность округления обусловлена необходимостью выполнения арифметических операций над числами, усеченными 
до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники. В процессе вычислений погрешности исходных 
и промежуточных данных трансформируются в погрешность результата.
Эти погрешности в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Первый тип погрешности служит ориентиром 
точности, с которой следует рассчитывать математическую модель. 
Нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется 
неопределимостью исходных данных, т.е. погрешность метода подчиняют погрешности задачи. Так как при выводе оценок погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что 
все операции с числами выполняются точно, погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. она должна подчиняться погрешности метода. 
Влияние погрешностей округлений не следует упускать из вида 
ни на стадии отбора и алгоритмизации численных методов, ни при 
выборе вычислительных и программных средств, ни при выполнении отдельных действий и вычислении значений функций.
Существенным свойством вычислительного процесса выступает 
его устойчивость: малые погрешности исходных данных должны 
приводить к малым погрешностям результатов. Отсутствие 
устойчивости может привести к тому, что незначительные погрешности в исходных данных вызовут большую погрешность результата и даже приведут к неверному результату.

1.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Значащая цифра приближенного числа в десятичной записи — 
это любая его цифра, в том числе нуль, если он стоит между отличными от нуля цифрами или после них как представитель сохраняемых разрядов числа. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит 1/2 единицы разряда, 
соответствующего этой цифре.
Рассмотрим процесс округления чисел, записанных в десятичной системе. Оно проводится по правилу первой отбрасываемой 
цифры:
 
• если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые 
десятичные знаки сохраняются без изменения;
 
• если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя 
оставляемая цифра увеличивается на единицу;

• если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, 
то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
 
• если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие 
цифры, идущие за ней, нули, то последняя оставляемая цифра 
увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если четная.
Правило округления обеспечивает увеличение абсолютной погрешности не более, чем на половину последнего сохраняемого разряда.
При округлении целого числа отброшенные знаки не следует заменять нулями, надо применять умножение на соответствующие 
степени 10. Например: если число 
= 132 834
а
 надо округлить 
до пяти десятичных знаков после запятой, то имеем 
5
1,3 10 .
а =
⋅
Основная задача теории погрешности — оценить получаемую 
погрешность и предложить методы ее уменьшения. Общая погрешность является суммой всех видов погрешностей.
Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов. Погрешность конечного результата решения всей 
задачи является продуктом сложного взаимодействия всех видов 
погрешностей.
Погрешность является мерой точности приближенных чисел. 
Если A — точное значение числа и a — его приближенное значение, 
то абсолютная погрешность числа определяется следующим 
образом:

 
A
A
a
Δ
=
−
, 
(1.1)

где 
A
Δ  — оценка абсолютной ошибки измерения.
Однако точное значение числа A обычно неизвестно, а следовательно, неизвестна абсолютная погрешность 
A
Δ . Поэтому ставится 
задача определения оценки погрешности — предельной абсолютной 
погрешности приближенного числа: A
a
a
−
≤ Δ .
Оценкой погрешности d называют положительную величину 
.
d
d
≥
Среди всех возможных оценок есть наименьшая. Такая оценка 
называется предельной погрешностью. В некоторых случаях предельная погрешность равна абсолютной, но может быть и больше 
нее. Как правило, при вычислениях делают оценки погрешности, 
не зная самой погрешности. Поэтому используют абсолютную погрешность. Предельная абсолютная погрешность 
a
Δ  — верхняя граница погрешности 
A
Δ ; она связана с точным значением двойным 
неравенством 
a
a
a
A
a
− Δ
≤
≤
+ Δ . Часто записывают 
a
a ± Δ .

Если число является результатом измерений, то величина предельной абсолютной погрешности не дает представления о качестве 
измерений. Например, если речь идет о размере детали станка, 
для которой a — линейный размер и 
м
0,01
a
Δ
=
, то измерения 
будут очень грубыми, а если о размере морского судна, то, наоборот, 
очень точными.
Предельная относительная погрешность числа

 
a
a
A
Δ
δ
=
. 
(1.2)

Учитывая, что точное значение A неизвестно, 
a
A
Δ
<<
 или A
a
≈
, 
обычно под предельной относительной погрешностью понимают 

a
a
a
Δ
δ
=
.

Если известна абсолютная погрешность или какая-то ее оценка, 
то можно утверждать, что точное значение принадлежит отрезку 
[
]
( );
( ) ,
A
d A
A
d A
−
+
 который принято называть интервалом неопределенности. Точное значение находится где-то в этом отрезке.
Существует также косвенная оценка погрешности: при итерационных вычислениях результатом является последовательность, 
которая сходится к искомому значению.
Для оценки погрешности между пределом последовательности 
и очередным элементом пользуются следующими выражениями: 

1
lim
,
.
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
+
→∞
=
−
≤
−

1.3. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

В основе процессов округления лежит идея минимальности разности числа и его округленного значения.
При решении задач часто требуется вычислить результат с определенной точностью. При этом следует иметь в виду, что точность 
зависит от количества значащих цифр и количества верных значащих цифр результата.
Значащими цифрами приближенного десятичного числа a называются все цифры, отличные от нуля, и нули, если они содержатся 
между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда.
Например, в числе 12,05 четыре значащих цифры. В числе 
0,00201 три значащих цифры (2, 0 и 1). В числе 84 500 может быть: 
три значащих цифры, если оно задано с точностью до сотен; четыре 

значащих, если с точностью до десятков; пять значащих цифр, если 
с точностью до единиц.
Чтобы избежать такой неопределенности, принято записывать 
целые числа в форме произведения, оставляя только значащие 
нули. Так, в приведенном выше примере число с различным количеством значащих цифр может быть записано так: 845 · 102, 8450 × 
× 101, 84 500.
Приближенное десятичное число, представленное в виде

 
1
1
1
2
10
10
...
10
...
m
m
m n
n
a
−
− +
= α ⋅
+ α ⋅
+
+ α ⋅
+
 
(1.3)

содержит n верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, 
считая слева, т.е. если

 
1
0,5 10m n
a
− +
Δ
≤
⋅
. 
(1.4)

Если это неравенство не выполняется, то цифру 
n
α  считают сомнительной.
Пример 1.1. Точное число A = 104,273 заменено приближенным 
числом 
104,3
a =
. При этом приближенное число a содержит четыре 
верных значащих цифры в указанном смысле, так как 

1
0,027
0,5 10
a
A
a
−
Δ
=
−
=
<
⋅
, а следовательно, цифра 3 верная.
Решение.
Если точное число A заменено на a = 104,2, то 
a
A
a
Δ
=
−
=

= 0,073 > 0,5 · 10–1, следовательно, цифра 2 сомнительная. Если неравенство (1.4) не выполняется, но выполняется неравенство 
1
1 10m n
a
− +
Δ
≤
⋅
, то приближенное число a содержит n верных значащих цифр в широком смысле.
Пример 1.2. Пусть приближенное значение a = 927,478, а его 
предельная абсолютная погрешность 
a
Δ  = 0,06.
В этом случае первые четыре цифры (9, 2, 7 и 4) являются верными в широком смысле.
В ходе вычислений часто приходится округлять как приближенные, так и точные числа. При округлении приближенного числа 1a  
получают новое приближенное число 
2a , абсолютная погрешность 
которого складывается из абсолютной погрешности числа 
1a  и погрешности округления: 
окр
1
1
a
a
Δ
= Δ
+ Δ
.
Пример 1.3. Округлить сомнительные цифры числа 

1
27,644
0,013,
a =
±
 оставив верные знаки в узком смысле.