Числовые ряды
Числовые ряды: Ключевые концепции и методы анализа
В данном учебном пособии рассматривается классический раздел математического анализа – теория числовых рядов. Материал предназначен для студентов и преподавателей, изучающих математику, и соответствует требованиям образовательных стандартов для бакалавров по направлению "Прикладная математика и информатика". Пособие охватывает основные понятия, теоремы и методы, необходимые для понимания и анализа числовых рядов, а также содержит примеры решения задач и разделы, расширяющие стандартный курс.
Основные понятия и сходимость рядов
В первом разделе вводятся базовые определения, связанные с числовыми рядами. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел, расположенных в определенном порядке. Рассматриваются понятия члена ряда, частичной суммы, сходимости и расходимости. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. В противном случае ряд расходится. Обсуждаются свойства сходящихся рядов, такие как возможность умножения ряда на число и сложения рядов. Приводится критерий Коши сходимости ряда, который является необходимым и достаточным условием сходимости.
Положительные числовые ряды и признаки сходимости
Второй раздел посвящен положительным числовым рядам, то есть рядам, все члены которых неотрицательны. Рассматриваются различные признаки сходимости и расходимости, позволяющие определить поведение ряда. Ключевым является признак сравнения, который позволяет сравнивать исследуемый ряд с эталонными рядами, сходимость или расходимость которых известна. Обсуждаются признаки сравнения в различных формах, а также достаточные признаки Даламбера и Коши, основанные на анализе отношения или корня из членов ряда. Приводятся признаки Раабе, Куммера, Бертрана и Гаусса, которые являются более мощными инструментами для исследования сходимости, особенно в случаях, когда признаки Даламбера и Коши не дают результата. Отдельное внимание уделяется интегральному признаку Коши-Маклорена, который устанавливает связь между сходимостью ряда и сходимостью соответствующего несобственного интеграла. Также рассматриваются "телескопический" признак Коши и признак Ермакова.
Знакопеременные ряды и абсолютная сходимость
Третий раздел посвящен знакопеременным числовым рядам, то есть рядам, члены которых могут иметь произвольный знак. Вводится понятие абсолютной и условной сходимости. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Если ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то ряд называется условно сходящимся. Рассматривается теорема о том, что абсолютно сходящийся ряд всегда сходится. Обсуждается знакочередующийся ряд и признак Лейбница, который является достаточным условием сходимости для знакочередующихся рядов. Приводятся обобщенные признаки Абеля и Дирихле, которые позволяют исследовать сходимость рядов, состоящих из произведения двух последовательностей. Рассматриваются свойства рядов, связанные с сочетательным и переместительным свойствами.
Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ) Д. В. Воронин Числовые ряды Учебное пособие Новосибирск 2021
УДК 512.64+514.742.2+514.12 Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ Рецензенты: канд. техн. наук., доц. И.В. Нечта, канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Б. Сибиряков Воронин Д.В. Числовые ряды: Учебное пособие / Д. В. Воронин ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ; каф. высшей математики. – Новосибирск, 2021. – 50 с. В пособии излагается классический раздел математического анализа – числовые ряды. Предназначено для использования в учебном процессе преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов по направлению подготовки бакалавров факультета ИВТ СибГУТИ 01.03.02 «Прикладная математика и информатика». Работа подготовлена на кафедре высшей математики СибГУТИ. © Воронин Д.В., 2021 © Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2021
Содержание Предисловие 4 § 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, сложение рядов 1.1. Определения 5 1.2. Критерий Коши сходимости ряда 7 1.3. Свойства сходящихся рядов 7 1.4. Примеры числовых рядов 10 1.5. Задачи для самостоятельной работы 15 § 2. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости и расходимости положительных числовых рядов 2.1. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда 16 2.2. Признаки сравнения 17 2.3. Достаточные признаки Даламбера и Коши 21 2.4. Достаточные признаки Раабе, Куммера, Бертрана, Гаусса 24 2.5. Интегральный признак Коши-Маклорена, ”телескопический" признак Коши и признак Ермакова 27 2.6. Примеры применения признаков сходимости 30 2.7. Задачи для самостоятельной работы 35 § 3. Знакопеременные числовые ряды 3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов 36 3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница 41 3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов 42 3.4. Примеры 45 3.5. Задачи для самостоятельной работы 48 Литература 49
Предисловие В пособии излагается классический раздел математического анализа – числовые ряды. Оно написано на основе лекционной и практической работы автора со студентами СибГУТИ, НГТУ и НГУ. Пособие состоит из трех разделов: понятие числового ряда, положительные числовые ряды, знакопеременные числовые ряды. Каждый раздел дополнен образцами решения задач по предварительно изложенному теоретическому материалу. Основные теоремы обычного вузовского курса теории числовых рядов в пособии доказаны. Некоторые дополнительные теоремы приведены без доказательств, с которыми, однако, можно ознакомиться с помощью монографий Г.М. Фихтенгольца [2] или Н.М. Абасова, А.С. Запреева [3]. Данное пособие является исправленным и дополненным изданием предыдущего пособия Д.В. Воронина [4]. В этом издании данного пособия исправлены некоторые неточности, а также добавлен практический материал. Учебное пособие представляется полезным для студентов и преподавателей при изучении курса математического анализа, решении типовых заданий и содержит ряд разделов, расширяющих обычный курс теории числовых рядов для инженерных специальностей вузов.
§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на
число, сложение рядов
1.1. Определения
Будем обозначать через N множество натуральных чисел:
...
3,2,1
N
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел,
расположенных в определенном порядке. Каждое число в этой сумме
называется членом ряда.
Символическая запись:
1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
.
(1.1)
Формула для числа an, с помощью которой можно получить любой член
ряда в зависимости от его номера, называется формулой общего члена ряда или
n-го члена ряда. Само множество {an} образует последовательность, каждый
член которой является функцией целочисленного аргумента an = f(n).
Пример 1.
Здесь
Замечание 1. Нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с
единицы, а с нуля или с некоторого натурального числа, большего единицы.
Определение 2. Рассмотрим последовательность конечных сумм членов
ряда (1.1):
.
,...;
...
,...,
,
2
1
2
1
2
1
1
N
n
a
a
a
S
a
a
S
a
S
n
n
(1.2)
Члены последовательности (1.2) называются частичными суммами ряда
(1.1), соответственно, число
n
k
k
n
a
S
1
– n-ой частичной суммой ряда (1.1).
Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если существует конечный
предел последовательности частичных сумм (1.2):
n
k
k
n
n
n
S
a
S
1
lim
lim
.
(1.3)
ряд
кий
гармоничес
n
n
n
1
1
...
1
...
3
1
2
1
1
,.....
100
1
,
5
1
,1
1
100
5
1
a
a
a
n
an
Похожие