Числовые ряды

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций 

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(СибГУТИ)

Д. В. Воронин 

Числовые ряды

Учебное пособие

Новосибирск

2021

УДК 512.64+514.742.2+514.12

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: канд. техн. наук., доц. И.В. Нечта,

канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Б. Сибиряков

Воронин Д.В. Числовые ряды: Учебное пособие / Д. В. Воронин ; 

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ; 
каф. высшей математики. – Новосибирск, 2021. – 50 с.

В пособии излагается классический раздел математического анализа –

числовые ряды.
Предназначено для использования в учебном процессе 

преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с 
требованиями государственных образовательных стандартов по направлению 
подготовки бакалавров факультета ИВТ СибГУТИ 01.03.02 «Прикладная 
математика и информатика».

Работа подготовлена на кафедре высшей математики СибГУТИ.

© Воронин Д.В., 2021
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2021

Содержание

Предисловие
4

§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, 
сложение рядов

1.1. Определения
5

1.2. Критерий Коши сходимости ряда
7

1.3. Свойства сходящихся рядов
7

1.4. Примеры числовых рядов
10

1.5. Задачи для самостоятельной работы
15

§ 2. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости и расходимости 
положительных числовых рядов

2.1. Необходимое и достаточное условие сходимости 
положительного ряда 
16

2.2. Признаки сравнения
17

2.3. Достаточные признаки Даламбера и Коши
21

2.4. Достаточные признаки Раабе, Куммера, Бертрана, Гаусса
24

2.5. Интегральный признак Коши-Маклорена, 
”телескопический" признак Коши и признак Ермакова
27

2.6. Примеры применения признаков сходимости
30

2.7. Задачи для самостоятельной работы
35

§ 3. Знакопеременные числовые ряды

3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов
36

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
41

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов
42

3.4. Примеры
45

3.5. Задачи для самостоятельной работы
48

Литература
49

Предисловие

В пособии излагается классический раздел математического анализа –

числовые ряды. Оно написано на основе лекционной и практической работы 
автора со студентами СибГУТИ, НГТУ и НГУ. Пособие состоит из трех 
разделов: 
понятие 
числового 
ряда, 
положительные 
числовые 
ряды, 

знакопеременные числовые ряды. Каждый раздел дополнен образцами решения 
задач по предварительно изложенному теоретическому материалу. Основные 
теоремы обычного вузовского курса теории числовых рядов в пособии 
доказаны. Некоторые дополнительные теоремы приведены без доказательств, с 
которыми, 
однако, 
можно 
ознакомиться 
с 
помощью 
монографий 

Г.М. Фихтенгольца [2] или Н.М. Абасова, А.С. Запреева [3]. Данное пособие 
является исправленным и дополненным изданием предыдущего пособия 
Д.В. Воронина [4]. В этом издании данного пособия исправлены некоторые 
неточности, а также добавлен практический материал. 

Учебное 
пособие 
представляется 
полезным 
для 
студентов 
и 

преподавателей при изучении курса математического анализа, решении 
типовых заданий и содержит ряд разделов, расширяющих обычный курс теории 
числовых рядов для инженерных специальностей вузов.

§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на 

число, сложение рядов

1.1.    Определения
Будем обозначать через N множество натуральных чисел:



...
3,2,1

N

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел, 

расположенных в определенном порядке. Каждое число в этой сумме 
называется членом ряда.

Символическая запись:













1

2
1
...
...

n

n
n
a
a
a
a
.
(1.1)

Формула для числа an, с помощью которой можно получить любой член 

ряда в зависимости от его номера, называется формулой общего члена ряда или 
n-го члена ряда. Само множество {an} образует последовательность, каждый 
член которой является функцией целочисленного аргумента an = f(n).

Пример 1. 

Здесь

Замечание 1. Нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с 

единицы, а с нуля или с некоторого натурального числа, большего единицы.

Определение 2. Рассмотрим последовательность конечных сумм членов 

ряда (1.1):


.
,...;
...
,...,
,
2
1
2
1
2
1
1
N
n
a
a
a
S
a
a
S
a
S
n
n








(1.2)

Члены последовательности  (1.2)  называются  частичными суммами ряда

(1.1), соответственно, число 






n

k

k
n
a
S

1

– n-ой частичной суммой ряда (1.1).

Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если существует конечный 

предел последовательности частичных сумм (1.2):











n

k

k
n
n
n
S
a
S

1

lim
lim
.
(1.3)

ряд
кий
гармоничес
n
n
n












1

1
...
1
...
3
1

2
1
1

,.....
100

1
,
5
1
,1
1

100
5
1





a
a
a
n
an