Числовые ряды

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций 
Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  
высшего образования 
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» 
(СибГУТИ) 
 
 
 
 
 
 
Д. В. Воронин  
 
 
Числовые ряды 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Новосибирск 
2021 

 
  
УДК 512.64+514.742.2+514.12 
 
 
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ 
 
 
Рецензенты: канд. техн. наук., доц. И.В. Нечта, 
канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Б. Сибиряков 
 
 
Воронин Д.В. Числовые ряды: Учебное пособие / Д. В. Воронин ; 
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ; 
каф. высшей математики. – Новосибирск, 2021. – 50 с. 
 
 
В пособии излагается классический раздел математического анализа – 
числовые ряды. Предназначено для использования в учебном процессе 
преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с 
требованиями государственных образовательных стандартов по направлению 
подготовки бакалавров факультета ИВТ СибГУТИ 01.03.02 «Прикладная 
математика и информатика». 
Работа подготовлена на кафедре высшей математики СибГУТИ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Воронин Д.В., 2021 
© Сибирский государственный университет 
телекоммуникаций и информатики, 2021 
 
 

 
Содержание 
 
Предисловие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, 
сложение рядов 
1.1. Определения  
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1.2. Критерий Коши сходимости ряда 
 
 
 
 
 
7 
1.3. Свойства сходящихся рядов 
 
 
 
 
 
 
7 
1.4. Примеры числовых рядов 
 
 
 
 
 
 
10 
1.5. Задачи для самостоятельной работы  
 
 
 
 
15 
§ 2. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости и расходимости 
положительных числовых рядов 
2.1. Необходимое и достаточное условие сходимости  
положительного ряда   
 
 
 
 
 
 
 
16 
2.2. Признаки сравнения 
 
 
 
 
 
 
 
17 
2.3. Достаточные признаки Даламбера и Коши  
 
 
 
21 
2.4. Достаточные признаки Раабе, Куммера, Бертрана, Гаусса 
 
24 
2.5. Интегральный признак Коши-Маклорена,  
”телескопический" признак Коши и признак Ермакова 
 
 
27 
2.6. Примеры применения признаков сходимости 
 
 
 
30 
2.7. Задачи для самостоятельной работы  
 
 
 
 
35 
§ 3. Знакопеременные числовые ряды 
3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов 
 
 
 
36 
3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница 
 
 
 
41 
3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов  
42 
3.4. Примеры 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
3.5. Задачи для самостоятельной работы  
 
 
 
 
48 
 
Литература  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 

 
Предисловие 
 
В пособии излагается классический раздел математического анализа – 
числовые ряды. Оно написано на основе лекционной и практической работы 
автора со студентами СибГУТИ, НГТУ и НГУ. Пособие состоит из трех 
разделов: 
понятие 
числового 
ряда, 
положительные 
числовые 
ряды, 
знакопеременные числовые ряды. Каждый раздел дополнен образцами решения 
задач по предварительно изложенному теоретическому материалу. Основные 
теоремы обычного вузовского курса теории числовых рядов в пособии 
доказаны. Некоторые дополнительные теоремы приведены без доказательств, с 
которыми, 
однако, 
можно 
ознакомиться 
с 
помощью 
монографий 
Г.М. Фихтенгольца [2] или Н.М. Абасова, А.С. Запреева [3]. Данное пособие 
является исправленным и дополненным изданием предыдущего пособия 
Д.В. Воронина [4]. В этом издании данного пособия исправлены некоторые 
неточности, а также добавлен практический материал.  
Учебное 
пособие 
представляется 
полезным 
для 
студентов 
и 
преподавателей при изучении курса математического анализа, решении 
типовых заданий и содержит ряд разделов, расширяющих обычный курс теории 
числовых рядов для инженерных специальностей вузов. 
 
 

 
§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на 
число, сложение рядов 
 
1.1.    Определения 
Будем обозначать через N множество натуральных чисел: 


...
3,2,1

N
 
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел, 
расположенных в определенном порядке. Каждое число в этой сумме 
называется членом ряда. 
Символическая запись: 








1
2
1
...
...
n
n
n
a
a
a
a
.  
 
 
 
(1.1) 
Формула для числа an, с помощью которой можно получить любой член 
ряда в зависимости от его номера, называется формулой общего члена ряда или 
n-го члена ряда. Само множество {an} образует последовательность, каждый 
член которой является функцией целочисленного аргумента an = f(n). 
Пример 1.  
 
 
 
 
Здесь 
 
 
 
Замечание 1. Нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с 
единицы, а с нуля или с некоторого натурального числа, большего единицы. 
Определение 2. Рассмотрим последовательность конечных сумм членов 
ряда (1.1): 

.
,...;
...
,...,
,
2
1
2
1
2
1
1
N
n
a
a
a
S
a
a
S
a
S
n
n








         (1.2) 
Члены последовательности  (1.2)  называются  частичными суммами ряда 
(1.1), соответственно, число 



n
k
k
n
a
S
1
 – n-ой частичной суммой ряда (1.1). 
Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если существует конечный 
предел последовательности частичных сумм (1.2): 








n
k
k
n
n
n
S
a
S
1
lim
lim
. 
 
 
 
(1.3) 
ряд
кий
гармоничес
n
n
n









1
1
...
1
...
3
1
2
1
1
,.....
100
1
,
5
1
,1
1
100
5
1





a
a
a
an