Математические вопросы динамики многокомпонентных систем

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций 
Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего образования 
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций 
и информатики»
(СибГУТИ)

Прокудин Дмитрий Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ

МОНОГРАФИЯ

Новосибирск
2021

УДК 517.9

Утверждено редакционно–издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: д.т.н. М.Г. Курносов, д.ф.–м.н А.Е. Мамонтов

Прокудин Д. А. Математические вопросы динамики многокомпонентных 
систем: монография / Д. А. Прокудин ; Сибирский государственный 
университет телекоммуникаций и информатики. — Новосибирск, 
2021. — 232 с.

Монография посвящена математическому обоснованию моделей динамики 
вязких сжимаемых многокомпонентных сред, описываемых нелинейными 
системами дифференциальных уравнений с частными производными
составного типа. Исследуются вопросы разрешимости краевых задач для
указанных систем уравнений.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и специалистов, интересующихся 
моделями динамики вязких сжимаемых многокомпонентных 
сред и теорией нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными.

c⃝ Прокудин Д. А., 2021
c⃝ Сибирский государственный

университет телекоммуникаций  
и информатики, 2021

Оглавление

Введение
5

1. Вспомогательные сведения из функционального анализа и
теории дифференциальных уравнений
8
1.1. Наиболее употребительные формулы векторного и тензорного 
анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1.1.
Формулы векторного анализа . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1.2.
Формулы тензорного анализа . . . . . . . . . . . . . .
13

1.2. Вспомогательные сведения из функционального анализа и
теории дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . .
17

1.2.1.
Некоторые вопросы функционального анализа . . . .
17

1.2.2.
Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . .
29

1.2.3.
Свойства решений дифференциальных уравнений . .
61

2. Глобальная разрешимость стационарной краевой задачи
для многомерных уравнений политропного движения вязких 
сжимаемых многокомпонентных сред
74
2.1. Формулировки задачи и теоремы о разрешимости . . . . . .
74

2.2. Конструкция приближенных решений . . . . . . . . . . . . .
83

2.3. Предельный переход по ε → +0
. . . . . . . . . . . . . . . .
91

2.4. Предельный переход по δ → +0
. . . . . . . . . . . . . . . .
99

3. Существование решений многомерных стационарных уравнений 
теплопроводных течений вязких сжимаемых многокомпонентных 
сред
110
3.1. Постановка краевой задачи и формулировка теоремы о глобальной 
разрешимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

3.2. Формулировка и доказательство разрешимости приближенной 
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114

3.2.1.
Формулировка приближенной задачи
. . . . . . . . .
114

3.2.2.
Доказательство разрешимости приближенной задачи
116

3

3.3. Оценки решений приближенной задачи . . . . . . . . . . . .
125

3.4. Предельный переход и доказательство теоремы о глобальной
разрешимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130

4. Глобальная разрешимость начально-краевой задачи для
многомерных уравнений баротропного движения вязких
сжимаемых многокомпонентных сред
139
4.1. Постановка задачи и основной результат
. . . . . . . . . . .
139

4.2. Априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145

4.3. Конструкция приближенных решений . . . . . . . . . . . . .
149

4.4. Предельный переход по m → +∞ в приближенных уравнениях 
неразрывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155

4.5. Предельный переход по m → +∞ в приближенных уравнениях 
импульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160

4.6. Предельный переход по ε → +0, кроме слагаемых с давлением165
4.7. Завершение предельного перехода по ε → +0 . . . . . . . . .
170

4.8. Предельный переход по δ → +0, кроме слагаемых с давлением178
4.9. Завершение предельного перехода по δ → +0 . . . . . . . . .
185

5. Однозначная глобальная разрешимость начально-краевой
задачи для одномерных уравнений политропных течений
вязких сжимаемых многокомпонентных сред
194
5.1. Постановка задачи, формулировка результата
. . . . . . . .
194

5.2. Построение приближенных решений . . . . . . . . . . . . . .
196

5.3. Равномерные оценки галеркинских приближений . . . . . . .
206

5.4. Сходимость приближенных решений . . . . . . . . . . . . . .
210

5.5. Глобальные априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . .
212

5.6. Единственность сильного решения . . . . . . . . . . . . . . .
220

Список литературы
223

4

Введение

В монографии исследуется математические вопросы разрешимости систем 
дифференциальных уравнений, моделирующих динамику многокомпонентных 
вязких сжимаемых сред. Описание движения многокомпонентных 
сред является интересной и сравнительно мало исследованной задачей
как физики / механики, так и математики. Не существует общепринятого
подхода к моделированию таких движений, равно как и развитой математической 
теории о существовании, единственности и свойствах решений
начально-краевых задач, возникающих при этом моделировании.
Упомянутые модели динамики многокомпонентных вязких сжимаемых 
сред представляют собой некоторые обобщения известной системы
уравнений Навье-Стокса, описывающей движения однокомпонентных вязких 
сжимаемых сред и включают в себя уравнения неразрывности, импульсов 
и энергии. Особенностью данных уравнений помимо их нелинейности
является наличие в законах сохранения импульсов и энергии старших производных 
от скоростей всех компонентов в силу сложного вида тензоров
вязких напряжений. Это приводит к тому, что результаты, известные для
однокомпонентных моделей, не переносятся автоматически на рассматриваемые 
в монографии модели динамики многокомпонентных вязких сжимаемых 
сред. Данная специфика многокомпонентных течений может быть
описана с помощью понятия матриц вязкостей. В отличие от однокомпо-
нентного случая, в котором вязкости являются скалярами, в многокомпонентном 
случае они образуют матрицы, элементы которых отвечают за вязкое 
трение. За вязкое трение внутри каждой компоненты отвечают диагональные 
элементы, а за трение между компонентами — недиагональные. В
монографии рассматривается более сложный случай недиагональных матриц 
вязкостей.
Работы о корректности многомерных моделей многокомпонентных
вязких сжимаемых сред появились после определенного прогресса, достигнутого 
для уравнений Навье-Стокса. Первые результаты о глобальной разрешимости 
краевых задач для многомерных уравнений динамики одно-
компонентных вязких сжимаемых жидкостей были получены в работах

5

П.Л. Лионса [68]-[72]. В них было доказано существование решений основных 
краевых и начально-краевых задач для уравнений динамики од-
нокомпонентных баротропных вязких сжимаемых жидкостей при достаточно 
больших показателях адиабаты. В дальнейшем, методика П. Л. Ли-
онса была значительно усовершенствована Э. Файрайзелом [52]–[55]. Он
доказал существование глобальных решений для всех значений адиабаты
больших 3/2. Для стационарной задачи аналогичные результаты были получены 
А. Новотным и И. Cтрашкрабой [83]. Затем, в работе П. И. Плотникова 
и Я. Соколовски было доказано существование решений стационарной
задачи для всех значений показателя адиабаты больших 4/3 [84]. В работе
В. Вайганта и П. И. Плотникова было установлено существование решений 
краевой задачи с условием прилипания на границе для всех значений
адиабаты больших единицы [85]. Что касается начально-краевых задач для
уравнений Навье-Стокса динамики однокомпонентных вязких сжимаемых
теплопроводных жидкостей, то достаточно полная теория слабых решений
построена в монографиях Э. Файрайзела [56] и Э. Файрайзела, А. Новот-
ного [57]. В стационарном теплопроводном случае результаты о разрешимости 
получены П. Мухой и М. Покорным [79], [80]. В качестве первых
результатов о корректности многомерных моделей динамики многокомпонентных 
вязких сжимаемых сред можно указать результаты, полученные
в работах [58]–[60].
Монография состоит из пяти глав.
Материал первой главы носит вспомогательный характер, содержит
обзор необходимых понятий и результатов из функционального анализа и
теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Вторая глава посвящается исследованию глобальной разрешимости
краевой задачи, моделирующей стационарное политропное движение вязких 
сжимаемых многокомпонентных сред в ограниченной области трехмер-
ного евклидова пространства. Матрицы вязкостей предполагаются недиагональными. 
Основным результатом второй главы является глобальная
теорема существования слабых решений этой задачи. Решение задачи строится 
как предел семейства сильных решений регуляризованной краевой задачи. 
Построение сильных решений регуляризованной задачи демонстрирует 
применение метода априорных оценок и теоремы о неподвижной точке
нелинейного оператора. Предельный переход осуществляется с использованием 
результатов теории компенсированной компактности и метода монотонности.

В третьей главе исследуется краевая задача для системы уравнений,
описывающей стационарное пространственное движение вязких сжимае-

6

мых многокомпонентных сред с учетом теплопроводности. Доказывается
теорема существования слабых решений данной задачи без упрощающих
предположений о структуре матриц вязкостей, кроме стандартных физических 
требований положительной определенности.
В четвертой главе рассматривается начально-краевая задача, моделирующая 
нестационарное баротропное движение вязких сжимаемых многокомпонентных 
сред в ограниченной трехмерной области. Не делается никаких 
упрощающих предположений о структуре матриц вязкостей, кроме
стандартных физических требований положительной определенности. Доказывается 
существование слабых решений данной задачи.
В пятой главе проводится анализ разрешимости начально–краевой задачи, 
описывающей одномерные политропные течения многокомпонентных
вязких сжимаемых сред с недиагональной матрицей вязкостей. Доказывается 
существование и единственность сильного решения этой задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта «Современные
методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных
систем и полярной механики» (2020-23) (гос. задание FZMW-2020-0008 от
24.01.2020), одобренного в рамках конкурсного отбора научных проектов,
выполняемых научными коллективами исследовательских центров и/или
научных лабораторий образовательных организаций высшего образования.

7

1. Вспомогательные сведения из
функционального анализа и теории
дифференциальных уравнений

В данной главе даются наиболее употребительные формулы векторного 
и тензорного анализа и приводятся необходимые вспомогательные сведения 
из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

1.1.
Наиболее употребительные формулы векторного
и тензорного анализа

Методы векторного и тензорного анализа играют важную роль в механике 
сплошной среды. Объясняется это тем, что используемая в этих
методах математическая символика полностью отражает и обобщает действительные 
связи между физическими величинами. В данном разделе будут 
приведены наиболее употребительные в монографии формулы векторного 
и тензорного анализа в прямоугольных декартовых координатах (см,
например, [4], [18], [24], [43]).

1.1.1.
Формулы векторного анализа

В монографии введены следующие общепринятые обозначения.
Скаляры даны латинскими или греческими буквами, строчными, иногда 
заглавными, например, a, b, U, V, α, β.
Векторы даны теми же буквами, что и скаляры, но выделены жирным
шрифтом, например, a, b, U, V , α, β. Модуль вектора обозначается
|a|. Единичный вектор (орт) u, направленный вдоль a, записывается как
a =| a | u.
Оси прямоугольной декартовой системы координат: Ox, Oy, Oz или
Ox1, Ox2, Ox3. Проекции вектора a на оси координат обозначаются
ax, ay, az или a1, a2, a3.

8

Знаки математических операций сложения и вычитания обычные.
Знак скалярного произведения векторов — точка между сомножителями,
например, a · b. Знак векторного произведения — наклонный крест, например, 
a × b .
Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр обладают 
следующими свойствами:

a + b = b + a,
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c,
λ(a + b) = λa + λb.
(1.1.1)

Скалярное произведение двух векторов a·b =
a
·
b
·cos
a, b
имеет
свойства:

a · b = b · a,
a · (b + c) = a · b + a · c,
λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb),
a · b = 0 при|a| ̸= 0, |b| ̸= 0, только если a ⊥ b,
a · a = |a|2,
(a ± b)2 = |a|2 ± 2(a · b) + |b|2.

(1.1.2)

Векторное произведение двух векторов a × b равно по величине площади 
параллелограмма

|a × b| = |a| · |b| · sin
a, b
,
(1.1.3)

построенного на векторах-сомножителях, и обладает следующими свойствами:

a × b = −b × a,
a × (b + c) = a × b + a × c,
λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb),
a × b = 0 при |a| ̸= |b| ̸= 0.

(1.1.4)

Смешанное скалярно-векторное произведение трех векторов равно ±
объему параллелепипеда

a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b),
(1.1.5)

построенного на векторах-сомножителях, и обладает свойством

a · (b × c) = 0 при |a| ̸= |b| ̸= |c| ̸= 0.
(1.1.6)

Двойное векторное произведение трех векторов

a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c,
(a × b) × c = (a · c)b − (b · c)a.
(1.1.7)

9

В системе координат (x, y, z) или (x1, x2, x3) скалярное или векторное
поля физических величин задаются функциями

λ = λ(x, y, z) = λ(x1, x2, x3),
ax = ax(x, y, z), ay = ay(x, y, z), az = az(x, y, z)
или ap = ap(x1, x2, x3), где p = 1, 2, 3.
(1.1.8)

Если индекс в одночленном выражении повторяется два раза, то
может подразумеваться суммирование по этому индексу от 1 до 3, а
знак суммы опускается. Формулы перехода от одной системы координат
(xp ; p = 1, 2, 3) к другой (x′
q ; q = 1, 2, 3) имеют вид

xp =
3q=1
αpqx′
q = αpqx′
q, x′
q =
3p=1
αqpxp = αqpxp,

αpq = cos
xp, x′q
,
3s=1
αpsαqs = αpsαqs =
0 при q ̸= p,
1 при q = p,
α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33

= det(αpq) = ±1.

(1.1.9)

Верхний знак в величине определителя det(αpq) соответствует сонаправ-
ленным системам координат, нижний — противоположному случаю.
Если при переходе от одной системы координат к любой другой функция 
λ сохраняет свое значение, т.е.

λ(x, y, z) = λ(x′, y′, z′),
(1.1.10)

то она определяет физический, или истинный, скаляр.
Проекции физического вектора при переходе от одной системы координат 
к другой изменяются по тем же формулам (1.1.9), что и сами координаты.


ap = αpqa′
q, a′
q = αqpap.
(1.1.11)

Единичные векторы, орты, осей координат обозначаются следующим
образом: ось Ox, Ox1 — орт i, e1, ось Oy, Ox2 — орт j, e2, ось Oz, Ox3 —
орт k, e3. Основные соотношения между ортами осей координат:

ep · eq = cos
xp, xq
=
0 при q ̸= p,
1 при q = p,
ep × eq = er
(1.1.12)

10

(порядок расположения индексов p, q, r соответствует круговой перестановке 
1 → 2 → 3 → 1 → ...). Разложение вектора по ортам осей координат:

a = apep, |a|2 = apap =
3p=1
a2
p,

ap = a · ep = |a| · cos
a, ep
.
(1.1.13)

Аналитическая форма некоторых простейших операций над векторами:

(
a ± b ± c ± ...)p = ap ± bp ± cp ± ... (p = 1, 2, 3),

(λa)p = λap, a · b = axbx + ayby + azbz,
(1.1.14)

(a × b)x = aybz − azby, (a × b)y = azbx − axbz, (a × b)z = axby − aybx,

a × b =

e1 e2 e3
a1 a2 a3
b1
b2
b3

, a · (b × c) =

a1 a2 a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3

.

Производная
вектор-функции
a(s)
по
скалярному
аргументу
s

обозначается
da
ds , производные от скалярной ϕ и векторной функ-

ции a по направлению l —
dϕ
dl , da

dl . Для пространственных производных 
используются общепринятые обозначения: градиент скалярно-

го поля функции ϕ — ∇ϕ =
∂ϕ

∂x, ∂ϕ

∂y , ∂ϕ

∂z

, дивергенция (расходи-

мость) скалярного поля ϕ — divϕ
=
∂ϕ
∂x + ∂ϕ

∂y + ∂ϕ

∂z , дивергенция

векторного поля a — diva
=
∂ax
∂x + ∂ay

∂y + ∂az

∂z , вихрь (ротор) —

rot a =
∂az

∂y − ∂ay

∂z , ∂ax

∂z − ∂az

∂x , ∂ay

∂x − ∂ax

∂y

. Элемент дуги кривой обозна-

чен dl, поверхности — dσ, объема — dx. Символы интегрирования по кривой

C —
C

(...)dl, по поверхности ∂Ω —
∂Ω

(...)dσ, по объему Ω —
Ω

(...)dx.

Производная вектор-функции a по скалярному аргументу s, при условии 
существования указанного ниже предела, равна

da
ds =
lim
△s−→0
a(s + △s) − a(s)

△s
=
lim
△s−→0
△a
△s .
(1.1.15)

11

Правила дифференцирования:
da
dt = da

ds
ds
dt = da

ds f ′(t), s = f(t),

d
ds(a ± b ± ...) = da

ds ± db

ds ± ...,

d
ds(ϕa) = dϕ

ds a + ϕda

ds ,

d
ds(a · b) = da

ds · b + a · db

ds, d

ds(a × b) = da

ds × b + a × db

ds.

(1.1.16)

Производные по заданному направлению l с ортом l выражаются следующим 
образом:
d
dl = l · ∇, dϕ

dl = l · ∇ϕ, da

dl = (l · ∇)a.
(1.1.17)

Некоторые часто встречающиеся интегральные соотношения:
∂Ω

nϕdσ =
Ω

∇ϕ dx,
∂Ω

an dσ =
∂Ω

n · a dσ =
Ω

diva dx,

∂Ω

n × a dσ =
Ω

rota dx,
(1.1.18)

где объем Ω ограничен поверхностью ∂Ω с единичной внешней нормалью
n.
Наиболее употребительные дифференциальные формулы векторного
анализа:
div(ϕa) = ϕ diva + a · ∇ϕ,

rot(ϕa) = ϕ rot a + ∇ϕ × a,

div(a × b) = b · rot a − a · rot b,

rot(a × b) = (b · ∇) a − (a · ∇) b + a div b − b div a,

∇(a · b) = (a · ∇) b + (b · ∇) a + a × rot b + b × rot a,

(a · ∇) a = ∇
|a|2

2

+ rot a × a,

div∇ϕ = △ϕ = ∂2ϕ

∂x2 + ∂2ϕ

∂y2 + ∂2ϕ

∂z2 , rot∇ϕ ≡ 0, div rot a ≡ 0,

∇ div a = rot rot a + △a, △a = ∂2a

∂x2 + ∂a

∂y2 + ∂2a

∂z2 ,

(△a)x = △ax, (△a)y = △ay, (△a)z = △az.

(1.1.19)

12