Экономико-математическое моделирование в управлении бизнесом

ЭКОНОМИКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 

В УПРАВЛЕНИИ БИЗНЕСОМ

Е.В. БЕРЕЖНАЯ
В.И. БЕРЕЖНОЙ
О.В. БЕРЕЖНАЯ

Рекомендовано федеральным государственным

бюджетным образовательным учреждением

высшего профессионального образования

«Государственный университет управления»

в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений, обучающихся

по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент»

(квалификация (степень) «бакалавр»)

Регистрационный номер рецензии 168 от 30 апреля 2013 г. (ФГАУ ФИРО)

Москва 
ИНФРА-М 

2024

УЧЕБНИК

УДК 330.45:519.86(075.8)
ББК 65.050я73
 
Б48

Бережная Е.В.

Б48 
 
Экономико-математическое моделирование в управлении биз
несом : учебник / Е.В. Бережная, В.И. Бережной, О.В. Бережная. — 
Москва : ИНФРА-М, 2024. — 456 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/2033424.

ISBN 978-5-16-018607-8 (print)
ISBN 978-5-16-111564-0 (online)

В учебнике систематически освещаются методы и модели, которые 

широко используются для экономико-математического моделирования 
в управлении бизнесом. Разбирается большое количество примеров и задач. Содержатся примеры, реализованные в среде MS Excel. Приводятся 
контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения, задания 
по вариантам для самостоятельной работы.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов бакалавриата и магистратуры, обучающихся по направ
лениям подготовки 38.03.02 и 38.04.02 «Менеджмент», а также преподавателей, аспирантов, студентов других экономических направлений подготовки (специальностей), менеджеров и специалистов в области принятия 
управленческих решений.

УДК 330.45:519.86(075.8)

ББК 65.050я73

ISBN 978-5-16-018607-8 (print)
ISBN 978-5-16-111564-0 (online)

© Бережная Е.В., Бережной В.И., 

Бережная О.В., 2023

А в т о р ы:

Бережная Е.В., доктор экономических наук, профессор, профессор 

 кафедры менеджмента Северо-Кавказского федерального университета;

Бережной В.И., доктор экономических наук, профессор, руководитель 

Центра науки и инновационного развития Ставропольского института 
кооперации (филиала) Белгородского университета кооперации, экономики и права;

Бережная О.В., доктор экономических наук, доцент, профессор ка
федры менеджмента Северо-Кавказского федерального университета

Р е ц е н з е н т ы:

Сероштан М.В., доктор экономических наук, профессор, профессор 

кафедры стратегического управления Белгородского государственного 
технологического университета имени В.Г. Шухова;

Будрина Е.В., доктор экономических наук, профессор, профессор фа
культета технологического менеджмента и инноваций Национального 
исследовательского университета ИТМО

Предисловие

Экономико-математическое моделирование (ЭММ) в управлении 
бизнесом можно рассматривать как применение математических 
методов в анализе, прогнозировании и оптимизации производственных, транспортно-логистических, торгово-распределительных, 
маркетинговых, финансовых и других управленческих и экономических процессов.
Успех в современном бизнесе в значительной мере зависит от оперативности и качества принимаемых управленческих решений. 
Именно математические методы позволяют разрабатывать эффективные инструменты поддержки принятия управленческих решений, обеспечивать точность, скорость и надежность экономических 
расчетов, одновременно снижая их трудоемкость.
Современному менеджеру необходимо хорошее понимание разнообразных экономико-математических методов и моделей, лежащих в основе принятия управленческих решений, умение практически применять этот мощный инструментарий для моделирования реальных экономических ситуаций. Менеджер должен владеть 
навыками использования экономико-математических методов для 
решения задач в различных отраслях экономики, иметь представление о возможностях и направлении применения экономико-математических моделей в управлении бизнесом. Это позволит повысить 
объективность принимаемых управленческих решений.
Однако лишь незначительная часть менеджеров имеет соответствующую подготовку в указанной области. Таким образом, у магистров, аспирантов и менеджеров-профессионалов существует потребность в развитии навыков применения экономико-математических 
и статистических методов и моделей для принятия управленческих 
решений.
Цель написания данного учебника — формирование у студентов 
комплекса теоретических знаний в области экономико-математического моделирования, а также практических навыков, необходимых 
для использования экономико-математических моделей, обеспечивающих решение широкого круга задач в области бизнес-аналитики 
и управления бизнесом.
В результате изучения материалов учебника студент будет: 
знать теоретико-методологические аспекты экономико-математического моделирования, современные математические методы, 
применяемые в анализе, прогнозировании и оптимизации различных управленческих и экономических процессов; интернет-решения 
для экономико-математического моделирования;

уметь осуществлять сбор, обработку и анализ данных, необходимых для решения поставленных управленческих задач на основе 
вероятностно-статистического моделирования и построения оптимизационных моделей в управлении бизнесом, с использованием 
современного инструментария и интеллектуальных информационно-аналитических систем;
владеть навыками применения информационных технологий 
и программных средств, включая управление крупными массивами 
данных и их интеллектуальный анализ для реализации вероятностностатистического моделирования и разработки оптимизационных моделей в управлении бизнесом (используя инструментарий корреляционно-регрессионного анализа, трендовых моделей прогнозирования, статистического моделирования, кластерного и факторного 
анализа; теории игр; теории массового обслуживания; линейного 
программирования и др.).
Издание предназначено для студентов магистратуры экономических направлений, а также может быть полезно аспирантам, руководителям и специалистам в области экономики и управления 
бизнес-процессами.
В книге систематически излагаются методы и модели, которые 
широко используются для экономико-математического моделирования в различных областях экономики, в финансовой сфере в силу 
разработанности математического аппарата и возможности практической реализации.
Учебник состоит из 13 глав, начинающихся с основ и плавно переходящих к более сложным приемам, применяющимся в ходе разработки моделей для поддержки принятия управленческих решений. 
Наряду со сведениями теоретического характера в учебнике разбирается большое количество примеров и задач, цель которых — уяснение основных понятий, методов, моделей управления бизнесом. 
В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельной работы. Задачи подобраны и составлены с особой тщательностью и могут служить для проверки степени усвоения читателем изученного 
материала. Примеры и задачи предусматривают небольшой объем 
вычислений и могут быть использованы на практических занятиях 
при изучении курсов по моделированию.
Для экономико-математического моделирования часто используют популярный и достаточно хорошо всем знакомый инструмент 
MS Excel. Вычислительные процедуры, реализованные в среде Excel, 
обеспечивают необходимое быстродействие. Модели, разрабатываемые на базе этого инструмента, просты в освоении для более или 
менее квалифицированных пользователей MS Office. Использование 
других программных средств может оказаться невозможным в силу 
ресурсных ограничений (это могут быть финансовые трудности 

в приобретении специального программного обеспечения, компьютеры непоходящей комплектации, низкая квалификация пользователей). В связи с этим в учебнике содержатся примеры, реализованные 
в среде Excel, а также задания по вариантам для самостоятельной 
работы.
Стиль изложения удобен для читателей, желающих познакомиться с методами, которые сейчас используются, но не совсем уверенных в своих навыках количественного анализа. В то же время 
разнообразие тем делает книгу хорошей отправной точкой для тех, 
кто уже знаком с математическими методами, но чувствует необходимость расширить свои познания в применении современных методов и моделей, используемых в ходе обоснования и выбора управленческих решений. Дополнительные теоретические сведения для 
более глубокого изучения того или иного параграфа можно получить 
из книг, приведенных в списке литературы.
Учебник написан на основе многолетнего опыта преподавания 
экономико-математического моделирования в высших учебных 
заведениях, а также на основе решения ряда практических задач, 
которые встречались авторам в научно-исследовательской работе.
Авторы выражают благодарность уважаемым рецензентам и признательны им за ценные замечания, которые улучшили изложение 
материала.

ГлАвА 1  
основы вероятностных методов 
АнАлизА и моделировАния 
экономических систем

1.1.  
элементАрные Понятия о случАйных событиях

Под событием понимается всякий факт, который может произойти в данных условиях.
Теория вероятностей рассматривает события в тесной связи 
с теми условиями, в которых они наступают. Совокупность условий, 
в которых рассматривается данное событие, называют комплексом 
условий, а реализацию этого комплекса условий на практике — 
испытанием. В зависимости от связи между событиями и соответствующими комплексами условий различают достоверные, невозможные и случайные события.
Достоверным называется такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий. Достоверное 
событие будем обозначать через U.
Невозможным событием называется событие, которое никогда не 
наступает при реализации данного комплекса условий. Невозможное 
событие будем обозначать символом ∅.
Случайным событием называется событие, которое может либо 
наступить при реализации данного комплекса условий, либо не наступить. Достоверное и невозможное события могут рассматриваться 
как крайние частные случаи случайных событий. Случайные события будем обозначать A, B, C, ...
Согласно теоретико-множественному подходу к рассмотрению 
понятия случайного события вводится понятие элементарного события.
Элементарное событие — это один из нескольких возможных, но 
несовместных исходов того или иного опыта (испытания). Совокупность или множество их составляют пространство элементарных 
событий.
В общем случае пространство элементарных событий может 
быть любой природы, как конечным, так и бесконечным, как дискретным, так и непрерывным. Пространство элементарных событий является синонимом достоверного события, так как один из его 
элементов непременно наступит. Кроме того, существует понятие 
«пустое множество» — это множество, не содержащее элементар

ных событий. Очевидно, что пустое множество является синонимом невозможного события. При изучении случайных событий в 
ходе разработки математических моделей экономических систем 
используется, как правило, не одно, а группа событий, между которыми существуют определенные соотношения, позволяющие 
выражать одни события через другие.
Рассмотрим эти соотношения.
1. Событие A содержится в событии B (A ⊂ B). Если при каждом 
испытании, при котором происходит событие A, непременно происходит и событие B, то говорят, что событие A содержится в событии B 
или принадлежит событию B.
2. Тождественные события (A = B).  Если событие A содержится в 
событии B, а событие B содержится в событии A, то говорят, что события A и B тождественны или равносильны.
3. Произведение событий. Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий. Другими словами, множество C содержит элементы, принадлежащие множествам A и B. Произведение событий 
записывается в виде:

 
C = A × B   или   C = A ∩ B;   A = A × A, 
(1.1)

где ∩ — знак пересечения.
4. Несовместные события. События A и B называются несовместными, если их совместное появление при испытании невозможно. 
Условие несовместности записывается в виде:

 
 A × B = ∅. 
(1.2)

5. Сумма событий (объединение событий). Суммой событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих 
событий. Множество содержит элементы, принадлежащие хотя бы 
одному из множеств.

 
C = A + B   или   C = A ∪ B;   A = A + A, 
(1.3)

где ∪ — знак объединения.
6. Полная группа событий. События A и B составляют полную 
группу событий, если при реализации заданного комплекса условий 
непременно появится хотя бы одно из этих событий. Сумма всех 
таких событий есть событие достоверное:

 
C = A + B = U. 
(1.4)

7. Противоположное событие. Два события A и A– (читается 
«не A») называются противоположными, если они составляют полную группу несовместных событий, т.е. удовлетворяют условию:

 
A + A– = U;   A × A– = Æ. 
(1.5)

Всякому событию при данном комплексе условий соответствует 
определенная степень возможности. Более возможные события при 
многократных испытаниях в среднем наступают чаще, а менее возможные реже.

Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний.

Частота события A равна:

 
*
( )
( )
,
m A
P
A
n
=
 
(1.6)

где n — общее число проведенных испытаний;
 
m(A) — число испытаний, в которых наступило событие A.
Частота достоверного события U равна единице:

*(U)
1.
n
P
n
=
=

Частота невозможного события равна нулю:

0
*(
)
0.
P
n
∅ =
=

Частота случайного события A находится в интервале [0; 1]:

0 ≤ P*(A) ≤ 1.

Следует отметить, что частота случайного события обладает устойчивостью; это формулируется и доказывается в теореме Бернулли, относящейся к закону больших чисел.
Свойство устойчивости частоты случайного события отражает 
связь между комплексом условий и возможностью наступления событий при данном комплексе.

Количественной мерой степени возможности появления события для заданного комплекса условий является вероятность события. 

Чем более возможно случайное событие, тем больше его вероятность. Наоборот, чем менее возможно событие, тем меньше его вероятность.
Вероятность и частота события тесно связаны друг с другом. Зная 
частоту, вычисленную при достаточно большом числе испытаний, 
есть все основания считать ее близкой к соответствующей вероятности и полагать

 
*
( )
( )
( )
.
m A
P A
P
A
n
≅
=
 
(1.7)

Такой способ определения вероятности события называется статистическим.

свойствА вероятностей событий
1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

P(∅) = 0.

2. Для любого события A вероятность противоположного события A– равна:

 
P(A–) = 1 – P(A). 
(1.8)

3. Если событие A влечет за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то

 
( )
( ).
P A
P B
≤
 
(1.9)

4. Вероятность события заключена между нулем и единицей, т.е.

 
0
( )
1.
P A
≤
≤
 
(1.10)

5. Вероятность двух событий и равна сумме вероятностей этих 
событий без вероятности их произведения:

 
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB). 
(1.11)

Вероятность события определяется при условии реализации некоторой совокупности условий. Если никаких ограничений, кроме 
упомянутых условий, при вычислении вероятности P(A) не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Однако в ряде 
случаев приходится находить вероятности событий при условии, что 
произошло некоторое событие B, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и обозначаются 
P(A/B).
Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не изменяется от того, наступает событие B или нет. 
В противоположном случае событие A называется зависимым от 
события B. Следовательно, если события A и B независимые, то 
P(A/B) = P(A).
Вероятность произведения двух событий равна произведению 
вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

 
(
)
( )
(
)
( )
(
).
P A B
P A
P B A
P B
P A B
⋅
=
⋅
=
⋅
 
(1.12)

Вероятность произведения независимых событий равна:

 
(
)
( )
( )
⋅
=
⋅
.
P A B
P A
P B  
(1.13)

Вероятность произведения случайных событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, 

вычисленных при условии, что все предшествующие события произошли.
Правило сложения вероятностей двух событий записывается следующим образом:

 
(
)
( )
( )
(
).
P A
B
P A
P B
P AB
+
=
+
−
 
(1.14)

Читается это правило так: вероятность наступления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий без 
вероятности их совместного наступления.
Если события несовместны, то правило сложения вероятностей 
принимает вид:

 
(
)
( )
( ).
P A
B
P A
P B
+
=
+
 
(1.15)

Если несовместные события составляют полную группу, т.е.

1
2
...
U
n
A
A
A
+
+
+
=
   и   
,   
,
i
j
A
A
i
j
⋅
= ∅
≠

 
то   
(
)
1
1
1.

n
n

i
i
i
i
P
A
P A

=
=


 =
=




∑
∑
 
(1.16)

Случайные события могут быть представлены через случайные 
величины. Понятие случайной величины расширяет область применения вероятностных методов в решении практических задач, позволяет исследовать более сложные случайные явления. 

Случайной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может 
принять то или иное значение, причем, до испытания неизвестно, 
какое именно.

Если повторять испытания, то результатом каждого будет какоелибо одно значение случайной величины из множества возможных.
Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Множество значений дискретной случайной величины конечно 
или счетно, например:
 
• количество отказов автомобилей автопредприятия в течение рабочей смены;
 
• число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение одного часа получать заработную плату, и т.д.
Множество значений непрерывной случайной величины представляют собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо 
интервалу числовой оси, например:
 
• расход топлива на километр пробега;
 
• время безотказной работы автомобиля и т.д.