Аппроксимация кусочно-линейных и обобщенных функций
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Алюков Сергей Викторович
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 149
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
Дополнительное профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-019295-6
ISBN-онлайн: 978-5-16-111986-0
DOI:
10.12737/2104876
Артикул: 814506.01.01
Доступ онлайн
от 224 ₽
В корзину
Монография посвящена кусочно-линейным и обобщенным функциям. Они широко применяются в самых различных областях исследований: в теории передачи и преобразования сигналов, квантовой теории поля, теории управления, задачах нелинейной динамики, строительной механике, теории полупроводников, экономических приложениях, медицине, описании импульсных воздействий и во многих других. При создании математических моделей в ряде случаев требуется провести аппроксимацию этих функций с помощью аналитических выражений, но в не форме линейных комбинаций, как в известных методах, а в виде вложений, композиций, с применением рекурсивных последовательностей.
Рассмотренные методы лишены недостатков рядов Фурье и имеют преимущества по сравнению с другими методами аппроксимации. Разработанные методы аппроксимации помогают понять смысл и содержание обобщенных функций и их производных, способствуют осознанному применению этих функций в задачах математического моделирования. Эти методы могут найти применение в самом широком диапазоне прикладных исследований, от медицины до квантовой электроники. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством практических примеров из самых различных прикладных областей. Приводятся основы разработанной макроэкономической теории с импульсными, шоковыми, скачкообразными характеристиками и другими видами быстроменяющихся процессов.
Для математиков, студентов и преподавателей, специалистов, работающих в прикладных областях исследований.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.03: Механика и математическое моделирование
- 01.04.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
- Аспирантура
- 01.06.01: Математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
С.В. АЛЮКОВ АППРОКСИМАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ МОНОГРАФИЯ Москва ИНФРА-М 2024
УДК 517.982.4(075.4) ББК 22.162.24 А59 Р е ц е н з е н т: Ушаков А.Л., кандидат физико-математических наук, доцент, сотрудник кафедры математического и компьютерного моделирования Южно-Уральского государственого университета (национального исследовательского университета) Алюков С.В. А59 Аппроксимация кусочно-линейных и обобщенных функций : монография / С.В. Алюков. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 149 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/2104876. ISBN 978-5-16-019295-6 (print) ISBN 978-5-16-111986-0 (online) Монография посвящена кусочно-линейным и обобщенным функциям. Они широко применяются в самых различных областях исследований: в теории передачи и преобразования сигналов, квантовой теории поля, теории управления, задачах нелинейной динамики, строительной механике, теории полупроводников, экономических приложениях, медицине, описании импульсных воздействий и во многих других. При создании математических моделей в ряде случаев требуется провести аппроксимацию этих функций с помощью аналитических выражений, но не в форме линейных комбинаций, как в известных методах, а в виде вложений, композиций, с применением рекурсивных последовательностей. Рассмотренные методы лишены недостатков рядов Фурье и имеют преимущества по сравнению с другими методами аппроксимации. Разработанные методы аппроксимации помогают понять смысл и содержание обобщенных функций и их производных, способствуют осознанному применению этих функций в задачах математического моделирования. Эти методы могут найти применение в самом широком диапазоне прикладных исследований, от медицины до квантовой электроники. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством практических примеров из самых различных прикладных областей. Приводятся основы разработанной макроэкономической теории с импульсными, шоковыми, скачкообразными характеристиками и другими видами быстроменяющихся процессов. Для математиков, студентов и преподавателей, специалистов, работающих в прикладных областях исследований. УДК 517.982.4(075.4) ББК 22.162.24 ISBN 978-5-16-019295-6 (print) ISBN 978-5-16-111986-0 (online) © Алюков С.В., 2023
ОГЛАВЛЕНИЕ Введение .........................................................................................................................5 Глава 1. Основные положения и методы теории аппроксимации ...................8 1.1. Основная идея аппроксимации исходной функции. Базовые понятия ............8 1.2. Принцип сжимающих отображений ..................................................................13 1.3. Теоремы Вейерштрасса о сходимости последовательности аппроксимирующих функций .............................................................................15 1.4. Аппроксимация алгебраическими многочленами ............................................18 1.5. Аппроксимация кусочно-линейных функций рядами Фурье .........................21 1.6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов ..............................................25 1.7. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия .......................................29 1.8. Интерполяция Эрмита .........................................................................................31 1.9. Функции Лебега и константа Лебега в полиномиальной интерполяции ......32 Глава 2. Новые методы аппроксимации кусочно-линейных и обобщенных функций ............................................................................................35 2.1. Недостатки аппроксимации кусочно-линейных функций рядами Фурье .....35 2.2. Описание новых методов аппроксимации кусочно-линейных функций и их сходимость ....................................................................................................43 2.3. Погрешность аппроксимации .............................................................................47 2.4. Обобщенные функции и их аппроксимация последовательностью рекурсивных функций ...................................................52 2.5. Аппроксимация производных обобщенных функций. Сравнение методов аппроксимации ...................................................................56 2.6. Аппроксимация функций в скачкообразных процессах при резком изменении состояния объекта исследования ................................60 2.6.1. Оператор перехода .....................................................................................61 2.6.2. Парусность ..................................................................................................63 2.6.3. Вольт-амперные характеристики туннельных диодов ...........................65 2.6.4. Прямоугольный импульс и его искажение ..............................................66 2.6.5. «Идеальный» прямоугольный импульс ...................................................67 2.6.6. Прямоугольный импульс с выбросами ....................................................68 2.6.7. Прямоугольный импульс после интегрирующей цепочки ....................69 2.6.8. Прямоугольный импульс после дифференцирующей цепочки ............69 Глава 3. Практическое применение и примеры использования разработанных методов аппроксимации ..............................................................71 3.1. Примеры аппроксимации ступенчатых и импульсных функций ...................71 3.2. Примеры аппроксимации кусочно-линейных функций общего .....................76 3.3. Применение новых методов аппроксимации в задачах строительной механики ................................................................................................................80 3.4. Применение новых приближенных методов для моделирования диффузионных процессов в полупроводниковых материалах .......................84 3
3.5. Примеры практического применения методов аппроксимации в различных областях исследований .................................................................88 Глава 4. Численная проверка предложенных методов аппроксимации .......97 4.1. Численная проверка на примере динамики инерционных бесступенчатых передач...................................................................................................................97 4.2. Численный сравнительный анализ методов аппроксимации ступенчатых функций на примере динамики механизма свободного хода .......................103 4.3. Численная проверка предложенных методов аппроксимации ступенчатых функций на примере нелинейной характеристики адаптивной подвески автомобиля ..........................................................................................................108 Глава 5. Основы новой макроэкономической теории с импульсными и скачкообразными характеристиками ..............................................................111 5.1. Основные виды импульсных и скачкообразных характеристик ..................112 5.2. Система макроэкономических показателей ....................................................118 5.3. Подходы к методам прогнозирования макроэкономических событий ........119 5.3.1. Система контрольных правил .................................................................119 5.3.2. Прогнозирование по отдельным макроэкономическим показателям ...............................................................................................120 5.3.3. Прогнозирование по совокупности макроэкономических показателей ................................................................................................123 Выводы по главе ........................................................................................................127 Заключение ...............................................................................................................129 Приложения ..............................................................................................................131 Приложение 1. Аппроксимация функции Хевисайда, 5 – функции и ее производных ............................................................................131 Приложение 2. Пример компьютерной программы для построения зубчатого профиля с помощью предложенной аппроксимирующей процедуры ........................................................................................133 Приложение 3. Пример компьютерной программы для численной проверки предложенных методов аппроксимации ступенчатых функций на основе динамики инерционной бесступенчатой передачи ...134 Приложение 4. Пример компьютерной программы для численной проверки методов аппроксимации на основе динамики инерционной бесступенчатой передачи без механизмов свободного хода .....137 Приложение 5. Пример компьютерной программы для численного сравнения методов аппроксимации ступенчатых функций на основе динамики релейного механизма свободного хода ......................139 Приложение 6. Численная проверка методов аппроксимации на примере исследования характеристики жесткости подвески автомобиля .......................................................................................141 Библиографический список ...................................................................................142 4
Введение Во многих областях математики и ее приложений часто возникает задача замены сложных или неудобных в том или ином смысле функций более простыми, но близкими к исходным. Такая задача называется приближением функций или их аппроксимацией. В монографии рассматриваются основные полоɠения теории и практики аппроксимационных технологий, включая новые методы аппроксимации кусочно-линейных и обобщенных функций, разработанные автором с соавторами [1-13]. Эти методы являются универсальными и находят широкое применение для решения самых разнообразных задач, связанных с математическим моделированием систем, процессов и явлений, описываемых с помощью таких функций. Разработанные методы не имеют недостатков, присущих классическим методам, например, методам аппроксимации с помощью рядов Фурье. Кусочно-линейные и обобщенные функции широко применяются в различных областях научных исследований. Традиционными областями их применения являются технические и математические дисциплины, например, теория автоматического управления, электротехника, радиотехника, теория информации и передачи сигналов и изображений, уравнения математической физики, теория колебаний, дифференциальные уравнения и многие другие [1420]. С помощью таких функций, например, описывают динамику механических систем с нелинейными упругостями, упруго-диссипативные характеристики подвесок транспортных средств, системы с нагрузками типа «сухое трение», импульсные преобразования при передаче и приеме сигналов, распределенные нагрузки и многие другие процессы. Широкое применение кусочно-линейных функций объясняется простотой их структуры, особенно по участкам. На каждом участке эти функции представляют собой прямые линии и их отрезки, что позволяет во многих случаях получать решения, пользуясь методами теории линейных систем. Вместе с тем, часто возникают проблемы при построении решений на всей области определения кусочно-линейной функций, увязки решений по участкам с необходимостью применения специальных математических методов. Системы с кусочноϱ
линейными характеристиками и функциями относят к существенно-нелинейным структурам, подчеркивая сложность получения решений для таких структур. Несмотря на простоту кусочно-линейных функций по участкам, построение решений в задачах с кусочно-линейными функциями на всей области определения требует применения специальных математических методов, например, метода припасовывания [21] с необходимостью согласования решений по участкам и поверхностям переключений. Так при построении периодических решений необходимо следить за выполнением условий перехода системы с участка на участок, фиксируя значения переменных в конце предыдущего участка и принимая эти значения за начальные условия для следующего участка. Необходимость согласования значений переменных по участкам, а также в начале и конце цикла приводит к громоздкой системе трансцендентных уравнений. Поэтому применение метода припасовывания часто требует преодоления значительных математических трудностей, причем, даже если периодическое решение и удается найти в аналитической форме, оно, как правило, получается в виде сложных выражений. Кроме того, производные кусочно-линейных функций не являются непрерывными, что в ряде случаев также затрудняет проведение исследований. Для упрощения расчетов часто прибегают к аппроксимации кусочно-линейных функций. Существующие методы аппроксимации имеют свои недостатки. Предложенные в монографии новые методы аппроксимации позволяют во многом избежать отмеченных трудностей и недостатков существующих методов. Обобщенные функции были введены в связи с задачами физики и математики, появившимися в двадцатом столетии и потребовавшими нового осознания понятия функции [22]. К таким задачам относятся задачи по определению плотности точечной массы, интенсивности точечного заряда и точечного диполя, задачи квантовой теории и многие другие. В настоящее время обобщенные функции широко применяются в самых разнообразных областях исследований. Например, обобщенные функции и их производные представляют собой очень удобный математический аппарат для разработки систем управлений. Использование импульсных управлений значительно повышает возможности ϲ
управления различными системами. Примером обобщенной функции может служить į-функция или функция Дирака. Обобщенные сингулярные функции значительно отличаются отобычных функций. Во многих практических приложениях эти необычные функции используют в качестве чисто абстрактных математических построений, полностью оторванных от их физического понимания. Такой подход представляется не верным. Для лучшего понимания обобщенных функций и осознанного решения на их основе практических задач можно воспользоваться аппроксимациями этих функций. Некоторые из таких возможных аппроксимаций предлагаются в данной монографии. Материалы второй, третьей и четвертой глав монографии в большей части являются новыми, не публиковавшимися ранее в других печатных изданиях. Математическое описание рассмотренных в монографии методов характеризуется достаточной строгостью доказательств свойств и теорем. Вместе с тем, отметим, что математическое содержание монографии не претендует на полноту изложения курса аппроксимации функций. Из известной теории аппроксимации приводятся лишь базовые сведения, необходимые для понимания сущности новых методов, рассмотренных в монографии. Содержание новых методов иллюстрируется рядом практических примеров. Приведенные примеры взяты из самых разных областей: строительной механики, медицины, квантовой теории, теории сигналов, машиностроения, экономики и других. Разнообразие рассмотренных примеров подчеркивают достаточно широкие возможности практического применения разработанных методов аппроксимации. Поэтому монография, несомненно, будет интересной не только для математиков, но и для специалистов и ученых, работающих в различных прикладных областях исследований. ϳ
Глава 1. Основные положения и методы теории аппроксимации В этой главе приводятся базовые понятия теории аппроксимации, рассматриваются канонические методы аппроксимации непрерывных и разрывных функций [23-26]. Рассмотренные методы иллюстрируются примерами, отмечаются положительные и отрицательные стороны этих методов. 1.1. Основная идея аппроксимации исходной функции. Базовые понятия Пусть ܯ ņ некоторое точечное множество в ݊-мерном пространстве и пусть силу каких-либо соображений, о которых мы будемговорить ниже, мы хотим ݂ሺܣሻǡ ܣא ܯ ņ некоторая функция, заданная на этом множестве. Функцию ݂ሺܣሻ в заменить другой, так называемой аппроксимирующей функцией ߮ሺܣǡ ܤଵǡܤଶǡ ǥǡ ܤሻ, также заданной на множестве ܯ, где ܤଵǡܤଶǡ ǥǡ ܤ ņ параметры. Нужно определить параметры так, чтобы отклонение функции ߮൫ܣǡ ܤଵǡܤଶǡ ǥǡ ܤ൯ Понятно, что смысл такой замены будет лишь тогда, когда исходная функция от исходной функции ݂ሺܣሻ было наименьшим по некоторым критериям. нас в чем-то не устраивает, и поэтому мы хотим перейти к близкой к исходной, как можно более близкой функции, но лишенной недостатков исходной функции. Например, в отличие от исходной функции ݂ሺܣሻ аппроксимирующая функция дифференцируемой, аналитической, допускать использование каких-либо ߮൫ܣǡ ܤଵǡܤଶǡ ǥǡ ܤ൯ может иметь более простую структуру, являться непрерывной, математических методов и так далее. Аппроксимирующая функция должна принадлежать к определенному типу функций, которому свойственны данные преимущества по сравнению с исходной функцией и свойства функций этого типа хорошо изучены в математике. Например, в качестве аппроксимирующей функции может выступать алгебраический многочлен, дробно-рациональная функция, тригонометрическая сумма, сплайн-функция и так далее. При построении аппроксимирующей функции возникает вопрос: что понимать под отклонением или, другими словами, под близостью функций, определить погрешность аппроксимации. Для решения этого вопроса в функциональном анализе вводятся понятия метрики и метрического пространства, ϴ
Определение. Множество ܻ называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов ݂ ଵ и ݂ ଶ поставлено в соответствие вещественное число ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻͲ, для которого выполняются следующие аксиомы: 1. Аксиома тождества: ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌͲ тогда и только тогда, когда ݂ ଵൌ݂ ଶ. 2. Аксиома симметрии: ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌߩሺ݂ ଶǡ ݂ ଵሻ. 3. Аксиома треугольника: ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻߩሺ݂ ଶǡ ݂ ଷሻߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଷሻ, для ݂ ଷא ܻ. Это число ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻ называется метрикой множества ܻили расстоянием В рамках данной монографии мы рассматриваем в основном вопросы между элементами ݂ ଵ и ݂ ଶ. аппроксимации таких математических объектов, как функции. При этом элементами (точками) рассматриваемых множеств являются функции. Поэтому точки множеств и пространств мы часто будем обозначать буквенным символом Рассмотрим примеры метрик и метрических пространств, важных с точки ݂, как это сделано в приведенном определении метрического пространства. зрения аппроксимации функций. 1. Пусть ܻņ множество всех непрерывных функций на отрезке ሾܽǡ ܾሿ. В качестве метрики мы можем взять максимум модуля разности ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌ ௫אሾǡሿȁ݂ ଵሺݔሻെ݂ ଶሺݔሻȁ. переменной всегда можно привести к отрезку [0,1]. Поэтому множество всех Не теряя общности рассуждений, отрезок ሾܽǡ ܾሿс помощью введения новой непрерывных функций, заданных на замкнутом промежуткес так введенной метрикой называется пространством всех непрерывных функций и обозначаетсяܥሾͲǡͳሿ. отрезке [0,1]. В качестве метрики в этом случае мы можем взять супремум модуля 2. Пусть ܻ ņ множество всех вещественных ограниченных функций на разности ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌ ௫אሾǡଵሿ ȁ݂ ଵሺݔሻെ݂ ଶሺݔሻȁ. Множество всех вещественных ограниченных функций с так введенной метрикой называется пространством ܯሾͲǡͳሿ. Понятно, что ܥሾͲǡͳሿؿܯሾͲǡͳሿ. [0,1]. Две функции, отличающиеся лишь на множестве меры ноль (совпадающие 3. Пусть ܻ ņ множество всех измеримых функций, определенных на отрезке ϵ
почти всюду), мы будем считать тождественными. Множество меры ноль означает, что функции отличаются лишь в конечном или счетном числе точек. В качестве метрики мы можем принять равенство ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌ Сходимость в этом пространстве есть сходимость по мере, то есть ȁ భሺ௫ሻି మሺ௫ሻȁ ଵାȁ భሺ௫ሻି మሺ௫ሻȁ ݀ݔǤ ଵ Такое пространство называется пространством ܵሾͲǡͳሿ. последовательность элементов݂ ՜ ݂ǡ ˈ˔ˎˋߩሺ݂ ǡ ݂ሻ ՜λ ሱ ۛ ۛ ሮͲ. 4. Пусть ܻ ņ множество всех функций с интегрируемой -й степенью на отрезке [0,1]. Напомним, что функция ݂ሺݔሻ называется функцией с интегрируемой в смысле Лебега. Так же как и в предыдущем случае, две функции, отличающиеся -й степенью на отрезке ሾܽǡ ܾሿ, если ȁ݂ሺݔሻȁ݀ݔ൏λǤ Интеграл рассматривается лишь на множестве меры ноль, мы будем считать тождественными. В качестве метрики в этом случае мы можемвзять интеграл ଵ ൗ . ߩሺ݂ ଵǡ ݂ ଶሻൌቀ ȁ݂ ଵሺݔሻെ݂ ଶሺݔሻȁ݀ݔ ቁ так называемое функциональное гильбертово пространство. Такое пространство называется пространством ܮሾͲǡͳሿ. При ൌʹ получим В дальнейшем описании нам потребуются такие понятия, как норма и линейное нормированное пространство. этом множестве определены операции сложения элементов и умножения Определение. Множество ܧназывается линейным пространством, если в элемента на число, причем для любых элементов ݂ ଵǡ ݂ ଶǡ ݂ ଷא ܧи для любых чисел ߙǡ ߚ выполняются условия: 1. ݂ ଵ݂ ଶൌ݂ ଶ݂ ଵ; 2. ሺ݂ ଵ݂ ଶሻ݂ ଷൌ݂ ଵሺ݂ ଶ݂ ଷሻ); 3. ݂ ଵͲ ൌ݂ ଵ; 4. ݂ ଵሺെ݂ ଵሻൌͲ; 5. ߙሺ݂ ଵ݂ ଶሻൌߙ݂ ଵߙ݂ ଶ; 6. (ߙߚ)݂ ଵൌߙ݂ ଵߚ݂ ଶ; 7. ߙሺߚ݂ ଵሻൌሺߙߚሻ݂ ଵ; 8. ͳ ή ݂ ଵൌ݂ ଵ. ϭϬ
Доступ онлайн
от 224 ₽
В корзину