Построение развёрток кривых поверхностей, рассечённых проецирующей плоскостью

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 
_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.Н. МУРАВЬЕВ, А.И. ТАРАСОВА, Н.А. ЧВАНОВА 

 
 
 

 

 
 

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,  

РАССЕЧЁННЫХ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ 

 
 
 
 

 
 

Учебное пособие 

по дисциплине  

«Инженерная компьютерная графика» 

 
 

 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2023 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 
_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.Н. МУРАВЬЕВ, А.И. ТАРАСОВА, Н.А. ЧВАНОВА 

 

 
 
 
 

 

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,  

РАССЕЧЁННЫХ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ 

 

 
 
 
 

 

Учебное пособие 

 

для обучающихся АВТ, ИТТСУ, ИУЦТ 

 
 

 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2023 

УДК 744 
П 63 
 

 
          Муравьев С.Н., А.И. Тарасова, Чванова Н.А. Построение развёрток кривых поверхностей, рассечённых проецирующей плоскостью: 
Учебное пособие по дисциплине «Инженерная компьютерная графика». – М.: РУТ (МИИТ), 2023. –  54 с.: ил. 

 
Настоящее учебное пособие предназначено в помощь обучаю
щимся при решении задач на построение сечения кривых поверхностей проецирующей плоскостью и определение точек пересечения 
кривых поверхностей с прямой. 

Пособие поможет обучающимся самостоятельно выполнить рас
чётно-графическую работу по теме «Кривые поверхности». В примерах, приведённых в пособии, обучающихся знакомят со способами 
решения задач на тему «Пересечение кривых поверхностей» и построения развёрток кривых поверхностей на ортогональном чертеже. 

Издание предназначено для обучающихся АВТ, ИТТСУ, ИУЦТ. 
Ил. 25, табл. 3, библиогр. – 4 назв. 

 
 
РЕЦЕНЗЕНТЫ:  
 
доцент кафедры «Теория вероятностей и прикладная математика» факультета «Кибернетика и информационная безопасность» МТУСИ, 
канд. физ.-мат. наук Скородумова Е.А.;  
 
заведующий 
кафедрой 
«Управление 
и 
защита 
информации» 

РУТ (МИИТ), д-р техн. наук Баранов Л.А. 
 
 
 
                                                                                                                                    

                                                           ©   РУТ (МИИТ), 2023 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

                                                                                   Стр. 

 

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………...    4  

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 
     ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ ………………..  5 

1.1. Основные понятия образования поверхностей вращения .. 5 
1.2. Позиционные задачи. Понятия и определения ………….…  6 

2.  ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ……..  12 

2.1. Построение линии пересечения поверхности 

с плоскостью частного положения ……………………........ 12 

2.2. Плоские сечения простейших геометрических фигур …..  15 

2.2.1. Плоские сечения цилиндрической поверхности ……  15 
2.2.2. Плоские сечения конической поверхности ………….. 16 

3.  ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И  

КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ……………………………  17 
3.1. Способ нормального сечения ……………………………….  17 

3.1.1. Развёртка гранной поверхности ………………………  17 
3.1.2. Развёртка цилиндрической поверхности ……………  19 

3.2. Способ раскатки ………………………………………………  21 

3.2.1. Развёртка гранной поверхности ………………………  21 
3.2.2. Развёртка цилиндрической поверхности …………….  22 

3.3. Способ треугольников (триангуляция) ……………………. 23 

3.3.1. Развёртка гранной поверхности ………………………. 23 
3.3.2. Развёртка боковой поверхности прямого кругового  
          конуса ……………………………………………………..  25 
3.3.3. Развёртка боковой поверхности эллиптического  
          конуса ……………………………………………………..  26 

4. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ……………………………………….  28 
5. ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ 

                  РАБОТЫ ……………………………………………………………. 33 

6.  ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……….…………………………………  35    

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………..……………  53 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено в по
мощь обучающимся для выполнения расчётно-графических работ на 
тему «Пересечение кривых поверхностей с проецирующей плоскостью 
и развёртка поверхности» и «Пересечение кривых поверхностей с 
прямой» дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» (далее – 
Работа). 

Работу выполняют на основе теоретических положений, изло
женных в разделе «Кривые поверхности» курса «Начертательная геометрия». 

Пособие составлено в соответствии с требованиями федераль-

ных государственных образовательных стандартов высшего образования (далее – ФГОС ВО), которые, в соответствии с Федеральным законом об образовании в Российской Федерации от 29.12.2012 № 273–
Ф3, являются обязательными при реализации освоения основных образовательных программ по направлениям подготовки (специальностям), предусматривающих формирование у обучающихся умений и 
навыков владения графическими приёмами решения задач на чертеже, 
в том числе с применением пакетов и средств прикладных графических технологий. 

Дисциплина «Инженерная компьютерная графика» предполагает 

развитие у обучающихся навыков работы с конструкторской документацией с применением систем автоматизированного проектирования. 
Такие системы реализуют информационные технологии при проектировании и ремонте узлов подвижного состава. Эта дисциплина состоит 
из двух структурно и методически согласованных разделов: «Инженерная графика» и «Компьютерная графика». Она является самостоятельной учебной дисциплиной и изучается после освоения обучающимися раздела «Начертательная геометрия».  

 
 
 
 
 
 

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 

ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ 

 

1.1. Основные понятия образования поверхностей вращения 

 

Многие изделия представляют собой конструкции из пересе
кающихся простейших (цилиндр, конус, шар и тор) геометрических 
тел.  

Вращая кривую m (рисунок 1.1, а), лежащую в плоскости α, во
круг прямой i – оси вращения, получаем поверхность вращения Ф. 
Любая точка, например A, производящей линии m, вращаясь вокруг 
оси i, образует окружность – параллель поверхности. Плоскость параллели перпендикулярна оси вращения i. Параллель минимального 
радиуса Rmin – горло поверхности, параллель максимального радиуса 
Rmax – экватор поверхности. 

 


Ðèñóíîê 1.1

ð - ïàðàëëåëü
i
à)

A

m

Ô

Rmin

á)
â)

B

C

A

D

A

C

B

 

 
Множество линий поверхности, заполняющих её так, что через 

каждую точку поверхности проходит одна линия этого множества, называют каркасом поверхности. Если это множество непрерывно, то 
каркас – непрерывный, в других случаях – дискретный, то есть содержащий конечное число линий каркаса. На поверхности вращения