Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Решение задач строительной механики с использованием табличных процессоров

Покупка
Новинка
Основная коллекция
Артикул: 823975.01.99
Доступ онлайн
600 ₽
В корзину
В учебном пособии изложены основные алгоритмы метода конечных элементов, подробно разобраны все этапы построения конечно-элементных моделей на примерах решения учебных задач строительной механики. Алгоритмы МКЭ реализованы с применением широко распространенного табличного процессора MS Excel. В пособие также включены задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие содержит материалы для проведения занятий по дисциплинам «Моделирование механических систем» и «Компьютерное моделирование». Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки (специальностям) 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль «Системы автоматизированного проектирования», 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», профиль «Информационные технологии в строительстве», 23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей», а также может быть использовано при курсовом и дипломном проектировании.
Нестеров, И. В. Решение задач строительной механики с использованием табличных процессоров : учебное пособие / И. В. Нестеров, Е. С. Бадьина, Э. Р. Резникова. - Москва : РУТ (МИИТ), 2021. - 77 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.ru/catalog/product/2135328 (дата обращения: 20.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство транспорта Российской Федерации 

 

Федеральное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта» 

___________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра 

«Системы автоматизированного проектирования» 

 

И.В.Нестеров, Е.С.Бадьина, Э.Р.Резникова 

 
 
 
 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ  

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  

ТАБЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОРОВ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 

 
 
 
 

Москва – 2021 
 
Министерство транспорта Российской Федерации 

 

Федеральное автономное образовательное учреждение 

высшего образования 

«Российский университет транспорта» 

___________________________________________________ 

 

Институт пути, строительства и сооружений 

 

Кафедра 

«Системы автоматизированного проектирования» 

 

И.В.Нестеров, Е.С.Бадьина, Э.Р.Резникова 

 
 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ  

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  

ТАБЛИЧНЫХ ПРОЦЕССОРОВ 

 

Учебное пособие  

для студентов по направлениям подготовки:  

09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 

профиль «Системы автоматизированного проектирования» 

(бакалавриат),  

09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», 

«Информационные технологии в строительстве» 

(магистратура),  

23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и 

транспортных тоннелей» (специалитет) 

 
 

Москва – 2021 
 
УДК 624.04  
Н 56 

 

Нестеров И.В., Бадьина Е.С., Резникова Э.Р. Решение задач 

строительной механики с использованием табличных процессоров: 
Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ). – 77 с. 

 
В учебном пособии изложены основные алгоритмы метода 

конечных элементов, подробно разобраны все этапы построения 
конечно-элементных моделей на примерах решения учебных задач 
строительной механики. Алгоритмы МКЭ реализованы с применением 
широко распространенного табличного процессора MS Excel. В 
пособие также включены задачи для самостоятельного решения. 
Учебное пособие содержит материалы для проведения занятий по 
дисциплинам 
«Моделирование 
механических 
систем» 
и 

«Компьютерное моделирование». 

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся 

по направлениям подготовки (специальностям) 09.03.01 «Информатика 
и вычислительная техника», профиль «Системы автоматизированного 
проектирования», 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника», 
профиль «Информационные технологии в строительстве», 23.05.06 
«Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей», а 
также может быть использовано при курсовом и дипломном 
проектировании.  

 

Рецензенты: 

 

директор Института пути, строительства и сооружений,  
д. т. н., профессор Т.В. Шепитько 
РУТ (МИИТ) 

 

советник при ректорате,  
заведующий кафедрой информатики и  
прикладной математики Национального  
исследовательского Московского государственного  
строительного университета,  
д. т. н., профессор В.Н. Сидоров 
НИУ МГСУ 

© РУТ (МИИТ), 2021  
 
 
СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ  ............................................................................. 7 

1 ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ МАТРИЦ ЖЁСТКОСТИ 
СТЕРЖНЕЙ ДЛЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО 
АНАЛИЗА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ................................. 9 

1.1 Податливость, жесткость, матрица податливости, 

матрица жесткости, матрица реакций в локальной 
системе координат ......................................................... 9 

2 ТЕХНОЛОГИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ 
МАТРИЦЫ ЖЁСТКОСТИ ДЛЯ ПРОЧНОСТНОГО 
АНАЛИЗА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ............................... 19 

2.1 Перевод локальной матрицы в глобальную. 

Построение матрицы реакций для стержня .............. 19 

2.2 Построение матрицы реакций для всей стержневой 

системы (переход от локальной нумерации к 
глобальной) .................................................................. 21 

2.3 Построение матрицы жесткости стержневой 

системы. Составление и решение системы уравнений 
МКЭ .............................................................................. 22 

3 ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ МЕТОДА 
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ПРОЧНОСТНОГО 
АНАЛИЗА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В ТАБЛИЧНОМ 
ПРОЦЕССОРЕ EXCEL......................................................... 27 

3.1 Сравнение численной реализации МКЭ и метода 

перемещений ................................................................ 27 

3.2 Создание конечно-элементной модели плоской 

фермы в MS Excel ........................................................ 29 

3.3 Создание конечно-элементной модели изгибаемой 

балки под действием сосредоточенной силы в MS 
Excel .............................................................................. 45 
3.4 Создание конечно-элементной модели изгибаемой 

балки, загруженной равномерно-распределённой 
нагрузкой, в MS Excel ................................................. 57 

3.5 Создание конечно-элементной модели плоской рамы 

в MS Excel .................................................................... 64 

ЛИТЕРАТУРА ....................................................................... 70 

ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................... 71 

 

  
 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

Метод конечных элементов – это численный метод 

решения 
дифференциальных 
уравнений 
в 
частных 

производных. 

Матрица жёсткости – матрица коэффициентов 

системы 
линейных 
уравнений, 
сформированная 
для 

численного анализа механических систем по методу 
конечных элементов. 

Матрица податливости – матрица коэффициентов 

системы 
линейных 
уравнений, 
сформированная 
для 

численного анализа механических систем по методу сил. 

Поэлементный 
подход 
– 
это 
представление 

сложной 
конструктивной 
формы 
системой 

взаимосвязанных элементов. 

ОБОЗНАЧЕНИЯ 

r  - вектор реакций 

P


 -  вектор внешних нагрузок 

Z


- вектор перемещений 

R – глобальная матрица жёсткости 

r – локальная матрица жесткости стержня 

и
нн
r  - узловой блок матрицы жёсткости стержня 

П – потенциальная энергия механической системы 

EJi – жёсткость i-го стержня на изгиб 

EF – жёсткость на растяжение-сжатие 

Δl – удлинение стержня  
Δн – угловая деформация в начале стержня 

Δк – угловая деформация в конце стержня 

 – угол поворота сечения 

dx
dv  – угол наклона касательной к оси балки после 

деформации 

 
 
ВВЕДЕНИЕ 

В настоящее время в связи с интенсивным развитием 

вычислительной 
техники 
широкое 
распространение 

получили численные методы решения задач строительной 
механики. Наиболее популярным и универсальным среди 
этих методов является метод конечных элементов (МКЭ) [1, 
2]. Математический аппарат этого метода хорошо развит и 
апробирован на известных аналитических решениях 
строительной механики. Удобная численная реализация 
МКЭ позволяет на его алгоритмической базе создавать 
программные комплексы для решения широкого круга 
задач строительной механики. На рынке программного 
обеспечения достаточно много программ, реализующих 
МКЭ для прочностного анализа инженерных сооружений. 
Среди 
них 
хорошо 
зарекомендовали 
себя 
такие 

универсальные системы прочностного анализа, как ЛИРА, 
МОНОМАХ, SCAD, NASTRAN, ANSYS и др. Эти 
программы 
оснащены 
удобным 
пользовательским 

интерфейсом, обширной библиотекой конечных элементов 
и 
дополнительными 
возможностями 
для 
решения 

прикладных инженерных задач. К сожалению, широкая 
доступность и простота использования этого программного 
обеспечения вызывает у неопытного пользователя иллюзию 
полного доверия к результатам конечно-элементного 
расчёта, а поверхностное знание математических основ 
МКЭ 
может 
привести 
к 
грубым 
ошибкам 
при 

формировании 
расчётной 
схемы 
конструкции 
и 

интерпретации результатов расчёта. Поэтому в курсе 
строительной механики для инженеров строительных 
специальностей 
предусмотрен 
раздел, 
посвящённый 

изучению теории и практики МКЭ.  

Целью этого учебного пособия является ознакомление 

студентов 
с 
математическими 
моделями 
МКЭ 
и 

алгоритмами его численной реализации на компьютерах. 
Особенностью данного курса является то, что студенты 
знакомятся с МКЭ не на уровне пользователей готовых 
программ, а сами становятся разработчиками несложного 
программного комплекса, реализующего МКЭ для решения 
простых задач строительной механики. В ходе решения 
учебных 
задач 
студенты 
полностью 
проходят 
все 

вычислительные 
этапы 
МКЭ, 
что 
позволит 
им 

впоследствии стать квалифицированными пользователями 
промышленных систем прочностного анализа. 

В качестве программной среды для решения задач 

строительной механики по МКЭ используется табличный 
процессор Microsoft Excel, хорошо знакомый студентам из 
курса информатики первого года обучения.  

 
 
1 ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ МАТРИЦ 

ЖЁСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙ ДЛЯ  

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА 

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 

1.1 Податливость, жесткость, матрица податливости, 

матрица жесткости, матрица реакций в локальной 
системе координат 

Плоской стержневой системой будем называть 

систему, 
лежащую 
в 
одной 
плоскости, 
и 
будем 

предполагать, что нагрузка и опорные закрепления 
расположены в той же плоскости. В качестве опорных 
закреплений может быть жесткая заделка, шарнирно 
неподвижная и шарнирно подвижная опоры. Стержни 
будем считать прямолинейными, в случае если стержневая 
система имеет стержни криволинейного очертания, их 
можно заменить вписанной ломаной. Узлы стержневой 
системы могут быть либо жесткими, либо шарнирными. 
Наряду с этим, возможен случай, когда к жесткому узлу 
прикрепляется стержень или группа стержней шарнирно.  

Введем понятие податливости (рис. 1.1 а) и жесткости 

(рис. 1.1 б). Под податливостью δ будем понимать величину 
прогиба при действии единичной силы, под жесткостью r – 
величину силы, соответствующей единичному прогибу: 

;p
y


                                                 (1.1) 

,y
r
p


                                                  (1.2) 

здесь y – прогиб, p – сила. 
 

 
 
а)  
 
 
 
 
б) 

 

Рисунок 1.1 – Податливость (а) и жёсткость (б) 

 

Решим уравнение (1.1) относительно р: 

y
p

1

                                                (1.3) 

Сравнивая выражения (1.2) и (1.3), видим, что 

жесткость является величиной, обратной к податливости. 
Прогиб − элемент геометрического пространства, а сила – 
элемент силового пространства. Выражение (1.3) связывает 
элемент 
геометрического пространства с элементом 

силового пространства. 

Поясним понятие матрицы податливости и жесткости. 

Выше было приведено понятие податливости и понятие 
жесткости. 
Введем 
понятие 
матрицы 
податливости 

(соответствует прямой задаче – даны силы, требуется 
определить 
перемещения) 
и 
матрицы 
жесткости 

(соответствует обратной задаче – дано перемещение, 
требуется найти силу). На рисунке 1.2 изображены 
консольные балки с силой и моментом на конце: 

 

Рисунок 1.2  

 
Матрица податливости: 










22
21

12
11







, 

здесь 

;
2
1
2
1
1
;
3
3
2

2
1
1
2

12

3

11
EJ
l
l
l
EJ
EJ
l
l
l
l
EJ










 

EJ
l
l
l
EJ




1
1

22

. 

Тогда 





















l
l

l
l

EJ

2

2
3
1

2

2
3


. 

Матрица жесткости имеет вид: 

























l
EJ

l
EJ

l
EJ

l
EJ

r
4
6

6
12

2

2
3
1

                  (1.4) 

Основным понятием метода конечных элементов 

является матрица реакций элемента. В случае стержневой 
системы элементом является стержень. Для того, чтобы 
ввести понятие матрицы реакций, необходимо задать 
степени свободы стержня. Под степенями свободы стержня 
понимаются параметры, которые определяют положение 
всех точек стержня. В качестве степеней свободы 
принимаются перемещения и углы поворота концов 
стержня: uн, vн, φн, uк, vк, φк (рис. 1.3). 

 

Рисунок 1.3 
Доступ онлайн
600 ₽
В корзину