Численные методы

       Е. О. Тарасенко, А. А. Алиханов, А. В. Гладков




                ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ




               УЧЕБНИК








                              Ставрополь
2022

УДК 519.615 (075.8)
ББК 22.193 я73

Т 19

           Печатается по решению редакционно-издательского совета Северо-Кавказского федерального университета







       Тарасенко Е. О., Алиханов А. А., Гладков А. В.

Т 19 Численные методы : Учебник. - Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2022.-261 с.




   Учебник подготовлен в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования; в нём раскрываются методы численного решения основных задач алгебры и математического анализа на ЭВМ.
   Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению подготовки 02.03.01 Математика и компьютерные науки.



УДК 519.615 (075.8)
ББК 22.193 я73



Авторы:



канд. физ.-мат. наук, доцент Е. О. Тарасенко, канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Алиханов,



ст. преподаватель А. В. Гладков



Рецензенты:
канд. экон, наук, доцент И. В. Азаров (СКФУ), канд. техн, наук, доцент, доцент И. В. Самойленко (ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный аграрный университет»)


                               © ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие..............................................8


Глава 1.
Введение в численные методы.............................10
§1.1 . Введение в численные методы......................10
      1.1.1 Предмет вычислительной математики...........10
      1.1.2. Метод вычислительной математики............10
      1.1.3. Классификация численных методов............13
      1.1.4. Корректность и устойчивость................16
      1.1.5. Технология решения задачи на ЭВМ...........16
      Вопрос  ы для самопроверки........................17
§   1.2. Введение в элементарную теорию погрешностей....18
      1.2.1. Приближенные числа.........................18
      1.2.2. Абсолютная и относительная погрешности.....18
      1.2.3. Правила записи приближённых чисел..........19
      1.2.4. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа.....20
      1.2.5. Округление.................................23
      1.2.6. Погрешность функции........................24
      1.2.7. Погрешности арифметических операций........25
      Практическое задание..............................26

Глава 2.
Аппроксимация функций...................................33
§ 2.1. Интерполирование функций по неравноотстоящим узлам ....33
      2.1.1. Постановка задачи аппроксимации (приближения) функций...........................................33
      2.1.2. Интерполирование функций как метод приближения функций...............................34
      2.1.3. Интерполяционная формула Лагранжа..........37
      2.1.4. Разделённые разности различных порядков....40
      2.1.5. Интерполяционная формула Ньютона...........43
      2.1.6. Погрешность интерполяционных формул........45
      Практи   ческое задание...........................46
§ 2.2. Интерполирование функций по равноотстоящим узлам.49
      2.2.1. Понятие конечных разностей. Первая интерполяционная формула Ньютона...........49

Численные методы

      2.2.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона........53
      2.2.3. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона...................................56
      Практи   ческое задание..........................60
§ 2.3. Минимизация погрешности метода интерполирования.
      Многоч  лены Чебышёва и их свойства..............64
      2.3.1. Постановка задачи минимизации погрешности интерполирования.................................64
      2.3.2. Многочлены Чебышёва и их свойства.........64
      2.3.3. Оценка погрешности интерполирования.......66
      2.3.4. Сходимость интерполяционного процесса.....67
§ 2.4. Интерполирование сплайнами......................69
      2.4.1. Понятие сплайна...........................69
      2.4.2. Построение кубического сплайна............70
      2.4.3. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами............................72
      2.4.4. О многочленах наилучших равномерных приближений......................................73
      Практическое задание..................................79
§ 2.5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов..............................................80
      2.5.1. Постановка задачи.........................81
      2.5.2. Метод наименьших квадратов................83
     2.5.3. Примеры построения функциональных зависимостей по экспериментальным данным..........85
§ 2.6. Метод наименьших квадратов в случае промежутка (Интегральный метод)...................................88
      2.6.1. Интегральный метод аппроксимации функций..88
      2.6.2. Общая задача приближения по методу наименьших квадратов.............................91
      2.6.3. Среднеквадратические приближения при помощи тригонометрических многочленов...................97
      Практическое задание.............................99

Глава 3.
Численное дифференцирование и интегрирование..........105
§ 3.1. Численное дифференцирование....................105
      3.1.1. Постановка задачи численного дифференцирования.105
      3.1.2. Некорректность задачи численного дифференцирования...............................105

-4-

Оглавление

      3.1.3. Формулы численного дифференцирования.......106
      3.1.4. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования......................111
      3.1.5. Улучшение аппроксимации. Метод Рунге-Ромберга.... 113
      Практическое задание..............................115
§ 3.2. Численное интегрирование.........................120
      3.2.1. Постановка задачи численного интегрирования. Основные понятия и определения....................120
      3.2.2. Методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол)..........................121
      3.2.3. Остаточные члены и их оценки. Выбор шага интегрирования....................................127
      3.2.4. Формулы Ньютона-Котеса.....................128
      3.2.5. Примеры вычисления определенных интегралов..129
      3.2.6. Квадратурная формула типа Гаусса...........137
      3.2.7. Вычисление интегралов с особенностями. Интегрирование сильно осциллирующих функций.... 142
      Практическое задание...............................150

Глава 4.
Решение уравнений и систем...............................154
§ 4.1. Методы решения нелинейных скалярных уравнений....154
      4.1.1. Постановка задачи..........................154
      4.1.2. Отделение корней...........................155
      4.1.3. Уточнение корней...........................156
      Практическое задание..............................167
§ 4.2. Прямые методы численного решение систем линейных
      алгебраических уравнений..........................170
      4.2.1. Введение...................................170
      4.2.2. Метод Гаусса...............................171
      4.2.3. Схема Халецкого............................174
      4.2.4. Метод квадратных корней....................177
      4.2.5. Метод прогонки.............................178
      4.2.6. Методы вычисления определителей............180
      4.2.7. Методы вычисления обратной матрицы.........181
§ 4.3. Итерационные методы численного решение систем
      линейных алгебраических уравнений.................185
      4.3.1. Понятие нормированного пространства........185
      4.3.2. Метод простой итерации.....................187

-5-

Численные методы

      4.3.3. Некоторые способы приведения системы к системе.189
      4.3.4. Оценка погрешности метода простой итерации.....190
      4.3.5. Метод Зейделя..................................191
      4.3.6. Метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц................193
      4.3.7. Метод релаксации...............................194
      4.3.8. Метод скорейшего спуска........................195
      4.3.9. Понятие корректности и обусловленности математической задачи...........................196
§ 4.4. Численное решение систем нелинейных уравнений........200
      4.4.1. Метод простой итерации.........................201
      4.4.2. Метод Ньютона..................................204
      Практическое задание..................................208

Глава 5.
Численное решение дифференциальных уравнений................212
§5.1.  Численное решение задачи Коши........................212
      5.1.1. Постановка задачи Коши.........................212
      5.1.2. Метод Эйлера...................................214
      5.1.3. Погрешность метода Эйлера......................215
      5.1.4. Модификация метода Эйлера......................216
§ 5.2. Методы Рунге-Кутты...................................220
      5.2.1. Постановка задачи..............................220
      5.2.2. Построение методов Рунге-Кутты.................220
      5.2.3. Оценка погрешности.............................223
      5.2.4. Методы Рунге-Кутты для решения систем дифференциальных уравнений 1-го порядка.........223
      5.2.5. Решения дифференциальных уравнений высших порядков методом Рунге-Кутты....................224
      5.2.6. Многошаговые методы............................224
      Практическое задание..................................226
§ 5.3. Численное решение краевых задач для ОДУ..............229
      5.3.1. Постановка задачи..............................229
      5.3.2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.........235
      5.3.3. Примеры решения краевых задач..................239
      Практическое задание..................................241

-6-

Оглавление

§ 5.4. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения...............................................244
      Практическое задание..............................249

§ 5.5. Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток....................250
      Практическое задание..............................250

§ 5.6. Приближенное аналитическое решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка...........252
      Практическое задание..............................252

Заключение..............................................254

Список рекомендованной литературы.......................259


-7-

Численные методы

  ПРЕДИСЛОВИЕ


  Учебник по дисциплине «Численные методы» подготовлен в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования.
  Дисциплина «Численные методы» имеет целью формирование профессиональных компетенций (ОПК-1) будущего бакалавра по направлению подготовки 02.03.01 - Математика и компьютерные науки.
  При изучении дисциплины рассматриваются наиболее часто используемые в практике прикладных и научно-технических расчётов методы: теории приближения функций (интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона, интерполирование сплайнами, наилучшие равномерные приближения, метод наименьших квадратов); численное дифференцирование и интегрирование, численное решение уравнений и систем; численное решение дифференциальных уравнений.
  Изучение дисциплины способствует пониманию студентами сущности численного решения задач алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений и оценки точности полученных результатов.
  Изучение дисциплины способствует пониманию студентами основ численного решения уравнений различной природы и оценки точности данных решений. В учебнике приводятся примеры решения задач средствами языка Python.
  Курс относится к блоку дисциплин обязательной части, Б 1.0.15 и логически связан с профилем «Анализ данных и искусственный интеллект» учебного плана направления 02.03.01 -Математика и компьютерные науки.
  В ходе изучения дисциплины формируются навыки использования ЭВМ, работы со многими программными продуктами, создания программ для численного решения различных прикладных задач. Важную роль при этом играют смежные дисциплины предметной подготовки, в первую очередь «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения» и др.

-8-

Предисловие

  Знания и практические навыки, полученные в ходе изучения курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как «Информационные системы поддержки принятия решений», «Функциональный анализ», «Нечеткая логика и ее приложения», «Машинное обучение», «Математические методы представления данных», «Анализ данных на Python», а также при прохождении производственной практики, выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.
  Освоение дисциплины позволит будущему бакалавру полноценно осуществлять свою профессиональную деятельность, в частности, обладать общепрофессианальными компетенциями.
  Общепрофессиональные компетенции (ОПК):
  - готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1).

-9-

Численные методы


Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ



   § 1.1. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


   1.1.1. Предмет вычислительной математики
   Вычислительная математика - это область математики, которая призвана разрабатывать методы доведения до числового результата решений основных задач математического анализа, алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений и пути использования для этой цели современных ЭВМ.

   1.1.2. Метод вычислительной математики
   Многие задачи в вычислительной математике могут быть записаны в виде:
у = Л(х)
где          (R},R^ -заданные пространства) и А(х) - некото-
рый заданный оператор. Задача состоит либо в отыскании у по заданному х, либо в отыскании х по заданному у.
   Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные выше задачи, является замена пространств 7?! и Л₂ и оператора А некоторыми другими пространствами , R± и оператором А, более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену хотя бы одного из 3-х элементов A, Rᵢ,R₁.
   Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи
                  у = А(х), x&Rᵢ,x&R₁, было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи и его, возможно, было бы практически отыскать со сравнительно небольшими трудностями.

- 10-

Глава 1

   Например, пусть необходимо вычислить интеграл ь y = \f(x)dx, а
где /(х) - непрерывная функция, причём неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях.
   В вычислительной математике выбирают такой путь: заменяют функцию /(х) алгебраическим многочленом Р(х), равномерно приближающим функцию /(х) на отрезке [а,Ь] с необходимой степенью точности.
   Вместо интеграла
                            ъ y = \f(x)dx а
находят интеграл
                            ь
У = ]>(Х)4ЬС,
                            а
вычисление которого не составляет труда.
   Здесь мы, не меняя функционала
ь
A(J) = \f(x)dx,
а
заменяем пространство С, которому принадлежит /(х), пространством многочленов и вместо функции /(х) берем многочлен Р(х) из некоторой ее е -окрестности.
   Разъясним некоторые использованные понятия. Вместо евклидовых пространств рассматриваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь самую различную природу. Так, например, вводится понятие метрического пространства R как абстрактного множества, для любых двух элементов х и у которого определено понятие расстояния р(х,у), удовлетворяющее следующим условиям:
   1.  р(х,у) > 0, причем р(х,у) = 0, если х = у;
   2.  р(х,у) = р(у,х)-
   3.  p(x,y)<p(x,z)+p(z,y)
для любых 3-х элементов x,y,z е R (аксиома треугольника).

- 11 -

Численные методы

   Евклидовы пространства с обычным определением расстояния в них удовлетворяют всем этим условиям. Но могут быть и другие метрические пространства. Так, рассмотрим множество всевозможных непрерывных функций, заданных на отрезке [а,Ь]. Для любых таких функций x(f) и y(t) расстояние определим равенством
Xx,y) = inax|x(/)-y(O|.
[о>4]
   Можно проверить, что так определенное расстояние удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния. Таким образом, мы получили функциональное метрическое пространство, которое называют обычно пространством С.
   В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрестности данной точки. Назовем е -окрестностью точки х некоторого метрического пространства R совокупность его точек у, для которых выполняется неравенство
р(х,у)<Е.
   В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на отрезке [а,Ь] функций, лежащих в полосе x(t) + s .


Рис. 1.1.1 - геометрическое представление £ -окрестностью точки

  В вычислительной математике часто приходится заменять одну функцию x(t) другой функцией, более удобной для вычислительных целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую функцию берут в некоторой £-окрестности первой.


- 12-

Глава 1

   1.1.3. Классификация численных методов
   Для решения математических задач используются следующие основные методы: графические, аналитические, численные, вероятностные.
   Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов - решение находится путём геометрических построений. Например, для нахождения корней уравнения
Лх) = 0
строится график функции у = f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс будут искомыми корнями.
   При использовании аналитических методов решения задачи удаётся выразить с помощью формул (например, решение дифференциального уравнения часто удаётся получить в виде функции). При решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений, при помощи известных в математике приемов решения можно получить в виде формул, но это редкий случай (уравнение х - tqx = 0 аналитически не решается).
   Основным инструментом для решения математических задач являются численные методы, которые позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. При этом результаты получаются в виде числовых значений.
   Источники и классификация погрешностей.
   Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.
   Если х - точное решение, ах’ - приближенное решение, то х-х* -погрешность. Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
   1) математическое описание задачи (математическая модель) является неточным. В частности неточно заданы исходные данные описания;
   2) применяемый для решения метод часто не является точным;

- 13-

Численные методы

   3) при вводе данных в ЭВМ, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.
   Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:
   1) неустранимой погрешностью;
   2) погрешностью метода;
   3) вычислительной погрешностью.
   Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:
   1) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
   2) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют погрешностью математической модели.
   Проиллюстрируем эти определения.
   Пусть имеется маятник, начинающий движение в момент t = tₐ. Требуется предсказать угол отклонения ф от вертикали в момент tᵥ
   Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого маятника, берется в виде:
, йг<Р • d<p „                     1 lx
/•-J + gsmp + xz-^ = 0,          (1.1.1)
                    at           at
где I — длина маятника, g — ускорение силы тяжести, ц - коэффициент трения.


Рис. 1.1.2-Математическиймаятник

- 14-

Глава 1

   Как только принимается такое описание задачи, решение задачи уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой источник неустранимой погрешности состоит в погрешности определения             , <p'(f₀).
   Название этой погрешности - «неустранимая» - соответствует ее существу: она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания физической задачи и более точного определения параметров.
   Дифференциальное уравнение (1.1.1) не решается в явном виде; для его решения требуется применить какой-либо численный метод. Вследствие этого и возникает погрешность метода.
   Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях.
   Введем формальные определения.
   Пусть I — точное значение отыскиваемого параметра (в данном случае - реальный угол у отклонения маятника в момент времени ), I — точное значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае -точное значение 9>(^), решения уравнения (1.1.1); Iₕ -решение задачи, полученное при реализации численного метода в предположении отсутствия округлений; Гк — приближенное к решению задачи, получаемое при реальных вычислениях.
   Тогда
   p₃=I -I - неустранимая погрешность;
   р₂ = Тк-Т - погрешность метода; (1.1.2)
   Р₃ = Тк -Iₕ - вычислительная погрешность
   Полная погрешность р=1к-1, равная разности между реально получаемым и точным решениями задачи, удовлетворяет, очевидно, равенству
Р = Р₁ + Р₂ + Р₃.           (1.1.3)
   Во многих случаях по терминам погрешности того или иного вида удобно понимать не разности (1.1.2) между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например, в скалярном случае полагают

- 15-