Вычислительный практикум

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

А. А. Алиханов, А. В. Гладков, Н. Н. Кучеров 

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ 
ПРАКТИКУМ 

Лабораторный практикум 

Направление подготовки 01.03.02 Прикладная математика 
и информатика 
Направленность (профиль) подготовки: «Математическое 
моделирование и вычислительная математика» 
Квалификация выпускника – бакалавр 

Ставрополь 
2022 

УДК 519.6 (075.8)
ББК 22.18 я73

А 50

Печатается по решению

редакционно-издательского совета
Северо-Кавказского федерального

университета

Алиханов А.А., Гладков А.В., Кучеров Н.Н. 
А 50 Вычислительный практикум: лабораторный практикум. –

 Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2022. – 109 с. 

Пособие представляет лабораторный практикум, подготовленный 
в соответствии с Федеральным государственным образовательным 
стандартом высшего образования. В нём раскрываются методы численного решения основных задач решения дифференциальных уравнений; рассматриваются задачи устойчивости найденных решений; разбираются задачи, связанные с моделированием экономических процессов аппаратом дифференциальных уравнений 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика (Бакалавр).  

УДК 519.6 (075.8) 
ББК  22.18 я73 

Авторы: 
канд. физ.-мат. наук, директор регионального научно-образовательного 
математического центра «Северо-Кавказский центр математических  
исследований», доцент кафедры ВМК А. А. Алиханов, 
ст. преподаватель кафедры ВМК А. В. Гладков, 
канд. технических наук, доцент кафедры МААГ Н. Н. Кучеров 

Рецензенты: 
Канд. физ.-мат. наук, доцент, и.о. декана факультета математики и 
компьютерных наук имени профессора Н. И. Червякова Т.А. Гробова 
(Северо-Кавказский федеральный университет), 
Канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры ИС А.М. Трошков  
(Ставропольский государственный аграрный университет)  

© Издательство Северо-Кавказского 
федерального университета, 2022 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Учебное пособие (лабораторный практикум) по дисциплине 

«Вычислительный практикум» подготовлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования. 

Дисциплина «Вычислительный практикум» имеет целью фор
мирование профессиональных компетенций (ПК-1, ПК-6, ПК-9) будущего бакалавра по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная 
математика и информатика. 

При изучении дисциплины рассматриваются наиболее часто 

используемые в практике прикладных экономических и научнотехнических расчётов методы: численное решение дифференциальных уравнений. 

Изучение дисциплины способствует пониманию студентами 

сущности численного решения экономических задач средствами 
дифференциальных уравнений и оценки точности  и устойчивости 
полученных результатов. 

Изучение дисциплины способствует пониманию студентами 

основ численного решения уравнений различной природы и оценки 
точности данных решений. В учебнике приводятся примеры решения задач средствами математического пакета Maple. 

Курс относится к блоку дисциплин профиля «Математическое 

моделирование и вычислительная математика» учебного плана 
направления 01.03.02 – Прикладная математика и информатика. 

В ходе изучения дисциплины формируются навыки использо
вания ЭВМ, работы со многими программными продуктами, создания программ для численного решения различных прикладных задач. Важную роль при этом играют смежные дисциплины предметной подготовки, в первую очередь «Математический анализ», 
«Дифференциальные уравнения» и др. 

Знания и практические навыки, полученные в ходе изучения 

курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как «Исследование операций и системный анализ», «Уравнения в частных 
производных», «Вариационное исчисление и интегральные уравнения», «Преддипломная практика», а также при прохождении производственной практики, выполнения выпускных квалификационных 
работ. 

Освоение дисциплины позволит будущему бакалавру полно
ценно осуществлять свою профессиональную деятельность, в частности, обладать профессиональными компетенциями. 

Профессиональные компетенции (ПК): 
– Способность к демонстрации общенаучных базовых знаний 

математических и естественных наук, фундаментальной информатики и информационных технологий; способность применять в профессиональной деятельности современные языки программирования и методы параллельной обработки данных, операционные системы электронные библиотеки и пакеты программ, сетевые технологии (ПК-1). 

– Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать экспе
риментальные данные, необходимые для проектной и производственно-технологической деятельности; способность к разработке новых алгоритмических, методических и технологических решений в 
конкретной сфере профессиональной деятельности (ПК-6). 

– Способность применять в профессиональной деятельности 

современные языки программирования и методы параллельной обработки данных, операционные системы, электронные библиотеки 
и пакеты программ, сетевые технологии (ПК-9). 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 

Компьютерное моделирование  
и вычислительный эксперимент  

в исследовании макроэкономической модели Харрорда 

 

Цель работы: Ознакомиться с линейной и нелинейной моде
лями Харрорда, провести на основе вычислительного эксперимента 
анализ решений и устойчивости моделей средствами математического пакета Maple. 

 

Теоретическая часть 

 
Примером простейшей математической модели служит макро
экономическая модель Р. Харрода. Она включает в себя следующие 
экономические показатели: 

( )
Y t  – национальный доход в год t ; 

( )
C t  – объем потребления в год t ; 

( )
K t  – производственные фонды в год t ; 

( )
S t  – объем накоплений в год t ; 

( )
V t  – капитальные вложения в год t . 
Между показателями существуют функциональные связи: 
1) условие баланса доходов и расходов:  ( )
( )
( )
Y t
C t
S t


; 

2) источники «проживания» капитала: ( )
( )
S t
V t

; 

3) национальный 
доход 
делится 
пропорционально: 

( )
( )
S t
aY t

, где a - коэффициент пропорциональности; 

4) капитальные вложения в год t  принимаются равными при
росту производственных фондов: 
( )
( )
dK t
V t
dt

; 

5) национальный доход определяется отдачей производствен
ных фондов: 
1
( )
( )
Y t
K t
b

, где b – нормативный коэффициент фон
доотдачи. 

Все уравнения связаны между собой, т.е. можно однозначно 

определить взаимосвязь всех перечисленных показателей: 

( )
1
( )
1
1
( )
( )
( )
dY t
dK t
a
V t
S t
Y t
dt
b
dt
b
b
b




. 

Обозначая в последнем выражении 
a
b
 
 приходим к уравне
нию вида: 

 
( )
( )
dY t
Y t
dt


,                                       (1.1) 

которое является ОДУ 1-го порядка. Введем в (1.1) функцию времени вместо ( )
Y t  – ( )
y t , и, будем считать, что 


0,
t
t T

. В итоге (1.1) 

примет вид: 

( )
( )
dy t
y t
dt


.                                       (1.2) 

Из теории дифференциальных уравнений известно, что (2) 

имеет единственное решение при условии, что задано начальное 
условие 
0
(
0)
Y t
Y


.  

Найдем решение (1.2) в математическом пакете Maple с помо
щью следующих команд (для этого войдите в систему Maple, наберите и выполните нижеследующие команды). 

 

> restart: 
> # Задается ОДУ (2) и получается результат: 
> diff(y(t),t)=alpha*y(t);  

 

> # Решается уравнение (2) при начальном условии y(0)=1: 
> dsolve({diff(y(t),t) = alpha*y(t),y(0)=1}); 

 

Темпы (скорость роста национального дохода зависят от пара
метра   . Модель (1.1) обычно используют для прогноза времени 
выхода экономики с уровня 
0Y   на уровень ( )
Y T . Исследуем ре
шение 
( )
t
y t
e

 в зависимости от значений 
0.1
 
, 
0.25
 
, 

0.5
 
, построим соответствующие графики, т.е. определим за ка
кое время экономическая система, а именно, национальный доход 
поднимется с уровня (0)
1
Y
  до уровня ( )
2 (0)
2
Y T
Y


. 

 

> plot([exp(0.1*t),exp(0.25*t),exp(0.5*t),2],t=1..10,1..2, 
>   labels=["t","y(t)"],color=[black,black,black,black],     


d
d
t ( )
y t
 ( )
y t


( )
y t
e

(
)
 t

>    linestyle=[2,3,4,1], 
>      legend=["y(t)=exp(0.1*t)","y(t)=exp(0.25*t)", 
>        "y(t)=exp(0.5*t)","T(t)=2*y0"],thickness=3);   

 

 

Рисунок 1.1. Графики функции ( )
t
y t
e

 при 
0.1
 
, 
0.25
 
, 

0.5
 
 и (0)
1
Y
  и ( )
2 (0)
2
Y T
Y


. 

 
Краткое пояснение к команде plot() – двумерная графическая 

команда. В общем случае имеет формат plot(f, h, v, опции), где f – 
функция, график которой необходимо построить; h и v представляют соответственно, диапазон изменения независимой переменной по горизонтальной оси графика и диапазон изменения значения 
функции вдоль вертикальной оси графика. Используемые в команде 
опции: labels предназначена для обозначения осей; color – 
для задания цвета кривых (в данном случае черного); linestyle – 
определяет тип линии, меняется от 1 до 4; legend – задается содержание легенды; thickness – определяет степень толщины линии графика, меняется от 0 до 3. 

Анализируя графики рисунка 1.1, делаем вывод о том, что с ро
стом 
a b
 
 выход системы на уровень 
( )
2 (0)
2
Y T
Y


 требует 

больше времени, но сам процесс происходит в более «мягком» режиме. 

Модель Харрорда (1.1) являлась линейной. Далее рассмотрим 

нелинейный вариант этой же модели, который является более содержательным, поскольку позволяет учитывать зависимости коэффициентов модели от экономических показателей. Вводится слабая 
зависимость параметра   от ( )
Y t : 

0
( )
(1
)
Y
Y






,                                (1.3) 

где  0
1


 . 

Подставляя (1.3) в (1.1) и обозначая ( )
( )
Y t
y t

, получаем не
линейную модель: 

2

0

( )
( ( )
( ))
( )

dy t
y t
y t
d t





.                          (1.4) 

Проведем аналогичные исследования модели (1.4). Наберите и 

выполните нижеследующие команды. 

 
> dsolve({diff(y(t),t) = alpha0*(y(t)- 

–beta*(y(t)^2)),y(0)=0.5}); 

 

> alpha0:=0.5; 

 

> beta:=0.1; 

 

> y1(t):=-1/(-beta-2*exp(-alpha0*t)+exp 

(-alpha0*t)*beta); 

 

> beta:=0.25; 

 

> y2(t):=-1/(-beta-2*exp(-alpha0*t)+exp 

(-alpha0*t)*beta); 

 

> beta:=0.5; 

 


( )
y t

1

 


2 e

(
)
 t
e

(
)
 t 

 := 

0.5

 := 

0.1

 := 
( )
y1 t

1



0.1
1.9 e

(
)
0.5 t

 := 

0.25

 := 
( )
y2 t

1



0.25
1.75 e

(
)
0.5 t

 := 

0.5

> y3(t):=-1/(-beta-2*exp(-alpha0*t)+exp 

(-alpha0*t)*beta); 

 

> plot([y1(t),y2(t),y3(t),2],t=1..20,1..2, 
>     labels=["t","y(t)"],color= 
                  [black,black,black,black],     
>      linestyle=[2,3,4,1],legend=           
               ["y1(t,alpha0=0.5,beta=0.1)", 
>        "y2(t,alpha0=0.5,beta=0.25)", 
                "y3(t,alpha0=0.5,beta=0.5)",  
>          "T(t)=2*y0"],thickness=3); 
 

 

Рисунок 1.2. Графики функций y(t):=-1/(-beta-2*exp(-alpha0*t)+ 
+exp(-alpha0*t)*beta) при различных значениях параметра  . 

 
Анализ графиков рисунка 1.2 показывает, что выход процесса 

(рост национального дохода) на уровень ( )
2
Y T 
  происходит по 

более «мягкой» схеме, хотя и чуть медленнее. 

 := 
( )
y3 t

1



0.5
1.5 e

(
)
0.5 t

Сравним между собой модели (1.2) и (1.4), т.е. решения, соот
ветствующие им. При этом отметим, что при 
0
   модель (1.4) пре
образуется к модели (1.2). Выполняем следующие команды. 

 
> beta:=0.0; 
> y4(t):=-1/(-beta-2*exp(-alpha0*t)+exp(-alpha0*t) 

*beta); 

 

> plot([y3(t),y4(t),2],t=0.5..20,1..2, 
>     labels=["t","y(t)"],color=[black,black,black],     
>      linestyle=[2,3,1],legend=["y1(t, 
                               alpha0=0.5,beta=0.5)", 
>       "y4(t,alpha0=0.5,beta=0.0)",  
>        "T(t)=2*y0"],thickness=3); 
 

 

Рисунок 1.3. Графики функций, соответствующие решениям 

 уравнений (1.2) и (1.4). 

 := 
( )
y4 t
1
2

1

e

(
)
0.5 t