Теория вероятностей. Практикум

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

ПРАКТИКУМ

Т.Г. АПАЛЬКОВА
В.И. ГЛЕБОВ
С.А. ЗАДАДАЕВ
С.Я. КРИВОЛАПОВ
К.Г. ЛЕВЧЕНКО

Москва
ИНФРА-М
2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73
 
А76

Р е ц е н з е н т ы:
Н.В. Белотелов, кандидат физико-математических наук, доцент, 
старший научный сотрудник Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской академии наук;
О.Е. Пыркина, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

ISBN 978-5-16-017962-9 (print)
ISBN 978-5-16-110966-3 (online)

© Апалькова Т.Г., Глебов В.И., 
Зададаев С.А., Криволапов С.Я., 
Левченко К.Г., 2023

Апалькова Т.Г.
А76  
Теория вероятностей. Практикум : учебное пособие / Т.Г. Апалькова, В.И. Глебов, С.А. Зададаев, С.Я. Криволапов, К.Г. Левченко. — 
Москва : ИНФРА-М, 2024. — 385 с. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/1900120.
ISBN 978-5-16-017962-9 (print)
ISBN 978-5-16-110966-3 (online)
В учебном пособии приведены решения примеров по основным разделам теории вероятностей с использованием Microsoft Excel и языка R.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностям.

УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171я73

Авторский коллектив 

Финансового университета при Правительстве 

Российской Федерации

Т.Г. Апалькова — кандидат экономических наук, доцент, доцент 

Департамента математики.

В.И. Глебов — кандидат физико-математических наук, доцент, 

доцент Департамента математики.

С.А. Зададаев — кандидат физико-математических наук, до
цент, руководитель Департамента математики.

С.Я. Криволапов — кандидат физико-математических наук, до
цент, доцент Департамента математики.

К.Г. Левченко — кандидат физико-математических наук, до
цент Департамента математики.

Основные обозначения

( )
A
P
 — вероятность события A.

(
)
|
A B
P
 — условная вероятность события A при условии со
бытия B.

( )
X
F
x  — функция распределения случайной величины X.

( )
X
f
x  — плотность распределения случайной величины X.

(
)
X
E
 — математическое ожидание случайной величины X.

2
(
),
X
X
s
Var
 — дисперсия случайной величины X.

X
s  — стандартное (среднее квадратическое) отклонение слу
чайной величины X.

(
)
k X
ν
 — начальный момент k-го порядка случайной величины X.

(
)
k X
µ
 — центральный момент k-го порядка случайной величины X.

X
A  — коэффициент асимметрии случайной величины X.

X
E  — коэффициент эксцесса случайной величины X.

med
x
 — медиана случайной величины X.

mod
x
 — мода случайной величины X.

xa — квантиль уровня a случайной величины X.

1
x
a
-a
ω
=
 — 100a%-ная точка случайной величины X.

~Bin( ;
)
X
n p  — случайная величина, распределенная по биноми
альному закону с параметрами n и p.

~G1( ),
~Geom( )
X
p
X
p  — случайная величина, распределенная 

по геометрическому закону с параметром p (номер первого успеха).

~G0( )
X
p  — случайная величина, распределенная по варианту 

геометрического распределения (количество неудач перед первым 
успехом).

~ NB( ;
)
X
r p  — случайная величина, распределенная по отрица
тельному биномиальному закону с параметрами r и p.

~Pois( )
X
l  — случайная величина, распределенная по закону 

Пуассона с параметром l.

~HGeom( , , )
X
m n k  — случайная величина, распределенная 

по гипергеометрическому распределению с параметрами m (число 
элемен тов типа I в общей совокупности), n (число элемен тов 
типа II), k (объем выборки).

~
( ; )
X
a s

 — случайная величина, распределена по нормаль
ному закону с параметрами a и s.

za — квантиль уровня a стандартной нормально распределенной 

случайной величины X.

~
( , )
X
a s

 — случайная величина, распределенная по логнор
мальному закону с параметрами a и s.

~Unif( ; )
X
a b  — случайная величина, равномерно распределена 

на отрезке [ ; ]
a b .

~Exp( ; )
X
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 

по экспоненциальному закону с параметром l.

~
n
X
T  — случайная величина, распределенная по закону Стью
дента с числом степеней свободы n.

;n
ta  — квантиль уровня a случайной величины, распределена 

по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.

2
~
n
X
χ  — случайная величина, распределена по закону хи-ква
драт с числом степеней свободы n.

2;n
a
χ
 — квантиль уровня a случайной величины, распределенной 

по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n.

;
~
n k
X
F
 — случайная величина, распределенная по закону Фи
шера с числом степеней свободы n и k.

; ;n k
fa
 — квантиль уровня a случайной величины, распределенной 

по закону Фишера с числом степеней свободы n и k.

0
~C(
, )
X
x
g  — случайная величина, распределена по закону 

Коши с параметрами 
0
x  и g.

~ ( ; )
X
a
Γ
q  — случайная величина, имеющая гамма-распреде
ление с параметрами a и q. Плотность 

1
/
( / )
( )
( )

a
x
x
f x
e
a


q
q
=
Γ
q
, где 

0,0,0.
a
x
>
q >
≥

( )
x
Γ
 — гамма-функция, 
1

0

( )
a
t
x
t
e dt
∞
Γ
= ∫
.

0
~
(
;
)
X
P x
a  — случайная величина, распределенная по закону 

Парето с параметрами 
0
x  и a.

cov(
,
)
X Y  — ковариация случайных величин X и Y.

xy
r  — коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
x — выборочное среднее.

2
2

1

1
(
)
1

n

i

i

s
X
X
n
=
=
- ∑
 — исправленная выборочная дисперсия.

2
s
s
=
 — исправленное выборочное стандартное отклонение.

Предисловие

Учебное пособие содержит разбор примеров и решения задач 

по основным разделам теории вероятностей. При решении примеров и задач активно используются средства языка R. Для большого количества примеров приведены как аналитические решения, 
так и точные решения на языке R или приближенные решения с использованием метода статистических испытаний (метода МонтеКарло).

Приводятся теоретические сведения, а также средства Microsoft 

Excel и языка R, необходимые для решения задач.

В первых четырех главах дан справочный материал о математи
ческих средствах языка R, используемых в дальнейшем изложении; 
рассмотрено понятие о методе Монте-Карло и его реализации в R; 
изучены применяемые в теории вероятностей операции над случайными событиями и формулы комбинаторики.

В главах 5–21 рассматриваются задачи основных разделов 

теории вероятностей: классическое и аксиоматическое определение 
вероятности, формулы полной вероятности и Байеса, схема испытаний Бернулли, способы описания и основные типы дискретных 
и непрерывных случайных величин, числовые характеристики случайных величин.

В главах 21 и 22 разбираются приемы решения задач с активным 

применением языка R — средствами статистического моделирования и непосредственного составления программ.

В главе 23 формулируются задачи повышенной сложности 

различных разделов теории вероятностей (геометрическая вероятность, полиномиальная схема, производящие функции, критические точки, композиция законов распределения, смеси распределений, случайные векторы, условное математическое ожидание 
и др.). Для многих задач этого раздела приводятся полные решения.

Учебное пособие соответствует требованиям ФГОС ВО 

к профессио нальным образовательным программам по специальности 38.03.01 «Экономика» и предназначено для студентов экономических специальностей.

В результате изучения материалов учебного пособия студент 

будет:

знать

 
• основные понятия теории вероятностей и математической ста
тистики;

• методы точечного и интервального оценивания параметров слу
чайных величин и способы проверки статистических гипотез 
о параметрах и законах случайных величин;
уметь

 
• выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования 

соответствующих случайных признаков;

 
• моделировать с помощью метода статистических испытаний 

случайные признаки, описывающие статистические системы;
владеть навыками

 
• использования компьютерных технологий при реализации мате
матических методов и моделей;

 
• вычислительной работы в Excel и RStudio.

Глава 1.  

ВВЕДЕНИЕ В СРЕДСТВА ЯЗЫКА R

Установка. Для установки R нужно по ссылке https://cran.r
proect.org скачать загрузчик R.

Для установки RStudio нужно по ссылке https://www.rstudio.

com/products/rstudio/downloads/ скачать загрузчик RStudio.

Оператором комментария является символ решетки #. Строчные 

и прописные буквы различаются.

Для вывода на экран набрать имя переменной или использовать 

функцию печать print().

Для вывода справки о функции с именем F набрать ?F
Загрузка библиотек. Библиотеки, отсутствующие в базовой 

версии языка, необходимо установить один раз для каждого 
компьютера. Например, требуется библиотека «Matrix». Команда 
для установки — install.packages ("Matrix”). При выполнении этой 
команды из интернета на компьютер загрузятся необходимые 
файлы. В дальнейшем всякий раз, когда нужно использовать этот 
пакет, необходимо в начале сессии нового проекта запускать команду активации: library(Matrix).

Если для расчетов требуется только одна и только разово 

функция из библиотеки, то можно обойтись сложным вызовом, 
указав сначала имя пакета, затем поставить два раза двоеточие, 
а далее — требуемую функцию с нужными аргументами. Например: 
x <- combinat::permn(a).

Этот вид вызова становится единственно возможным, если 

имя требуемой функции из пакета совпадает с именем какой-то 
функции из уже установленной библиотеки.

Арифметические операции
Присваивание: x <- 10 (предпочтительно) или x = 10 (не реко
мендуется).

Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень: 

+, -, *, \, ^. Целочисленное деление: целая часть — %/%; остаток от деления — %%.

Типы данных
Логические (logical): TRUE — истина, FALSE — ложь.
Проверка на равенство: ==.

Пример 1.1
a == 4
FALSE

Целочисленные (integer).
Вещественные числа (numeric).
Комплексные числа (complex).
Текстовые (character).
Списки (list).
Проверить тип.

Пример 1.2
x <- 1:7
is.integer(x)
TRUE

Векторы. Могут содержать данные только одного типа.
Способы задания векторов
1. Функция c().

Пример 1.3
c(1,3,7)
c
1,3,7

2. Совокупность последовательных целых чисел.

Пример 1.4
1:10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5:0
5 4 3 2 1 0

3. Функция seq(from, to, by).

Пример 1.5
seq(2, 14, 3)
2 5 8 11 14

4. Совокупность одинаковых чисел.
rep(x, times)

Пример 1.6
rep(0,5)
0 0 0 0 0

Индексирование и фильтрация

Пример 1.7
a <- 11:20
a[3]
13
a[6:8]
16 17 18
a(c(2,4,6))
12 14 16
Все, кроме первых пяти:
a[-c(1:5)]
16 17 18 19 20
С помощью условного оператора:
a[a > 18]
19 20
a[a > 10 & a < 15]   # & — логическое "И".
11 12 13 14
a[a == 12 | a == 20]  # | — логическое "ИЛИ".
12 20

Индексы элемен тов вектора:
a <- c(20,10,40,30,50) 
order(a) # в порядке возрастания значений
[1] 2 1 4 3 5
order(a,decreasing = TRUE) # в порядке убывания
[1] 5 3 4 1 2
which(a==12 | a==20) # для которых выполнено условие
1
Можно применить для фильтрации другого массива, связанного 

с массивом a (например, для фильтрации матрицы)

Атрибуты вектора
Тип данных — функция mode()
Длина вектора — функция length()

Пример 1.8
a <- c(1,4,8)
mode(a)
"numeric"
length(a)
3

Действия над векторами. Арифметические операции выполня
ются почленно:

a <- c(1,2,3,0)
b <- c(5,0,-1,0)
a+b