Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих устройств радио и оптического диапазонов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Академия физической культуры и спорта
А. М. Лерер 
И. В. Донец 
С. М. Цветковская
Фотонные кристаллы 
для волноведущих 
и фокусирующих устройств  
радио и оптического  
диапазонов
Монография
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2022

УДК 537.86:53(075.8)
ББК 22.336+22.3я73
Л49
Печатается по решению Комитета при Ученом совете Южного федерального 
университета по естественнонаучному и математическому направлению 
науки и образования (протокол ¹ 8 от 6 июля 2022 г.)
Рецензенты:
доцент кафедры физики Донского государственного технического университета, 
кандидат физико-математических наук, доцент И. Г. Попова;
заведующий кафедрой радиофизики Южного федерального университета доктор 
физико-математических наук, профессор Г. Ф. Заргано
	
Лерер А. М.
Л49	
	
Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих устройств радио и оптического диапазонов : монография / 
А.  М.  Лерер, И. В. Донец, С. М. Цветковская ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2022. – 150 с.
ISBN 978-5-9275-4350-2
DOI 10.18522/801299966
Монография предназначена для студентов бакалавриата и магистратуры обучающихся по направлению 03.03.02 – физика и 03.03.03 – радиофизика. Основное внимание уделено вопросам распространения и дифракции электромагнитных волн в искусственных средах имеющих упорядоченную структуру – так называемым фотонным кристаллам (ФК). Описаны современные строгие электродинамические методы анализа фотонных 
кристаллов. Исследуются явления полос непрозрачности, зависящих от 
поляризации и направления распространения собственных волн кристалла. Приводятся методики гомогенизации фотонного кристалла в области 
низких частот. Показаны результаты синтеза и строгого анализа фокусирующих устройств выполненных из ФК.
Публикуется в авторской редакции.
© Южный федеральный университет, 2022
© Лерер А. М., Донец И. В., 
Цветковская С. М., 2022
© Оформление. Макет. Издательство Южного 
федерального университета, 2022
УДК 537.86:53(075.8))
ББК 22.336+22.3я73
ISBN 978-5-9275-4350-2

Оглавление
Список сокращений и определения обозначений физических  
величин .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Введение .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Одномерный диэлектрический фотонный кристалл .  .  .  .  .  .  . . . . . . 9
1.1. Основные теоретические положения .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . 10
1.2. Основные результаты  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Объемные интегро-дифференциальные уравнения для задач 
дифракции на диэлектрических телах .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . 18
2.1. Векторный и скалярный потенциал для монохроматического 
электромагнитного поля  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Объемные интегро-дифференциальные уравнения  
при дифракции на диэлектрических телах в однородном 
пространстве  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Функция Грина для неограниченного пространства  .  .  .  . . . . 21
2.4. Функция Грина для периодических структур .  .  .  .  .  .  . . . . . . 25
2.4.1. 2d дифракция. Двухмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1.1. E-поляризация распространяющейся волны .  .  .  . . . . 39
2.4.1.2. H-поляризация распространяющейся волны .  .  .  . . . . 32
2.4.2. 3d дифракция. Трехмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2.1. Диэлектрик в однородной среде. Фотонный кристалл. 
Скалярная трехмерная функция Грина .  .  .  .  .  . . . . . 34
2.4.2.2. Диэлектрик в неоднородной среде. Тензорная  
трехмерная функция Грина для двухслойной среды . 40
3. Интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на металлических телах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Решение интегрального уравнения для задачи распространения 
электромагнитной волны в трехмерной периодической  
структуре .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на цилиндрической линзе из трубочек  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . 63
3.3. Решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны 
на слое идеально проводящих полых цилиндров  .  .  .  .  . . . . . 74
3.4. Экстракция параметров – эффективной диэлектрической 
и магнитной проницаемостей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1. Первый способ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2. Второй способ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Результаты исследований .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1. Результаты исследования собственных волн 3d фотонных 
кристаллов составленных из диэлектрических цилиндров .  . . 81
4.2. Результаты исследования собственных волн и относительных 
проницаемостей 3d фотонных кристаллов, составленных из 
полых металлических цилиндров (трубочек) .  .  .  .  .  .  . . . . . . 94
4.3. Результаты исследования фокусирующих свойств линзы, 
составленной из одинаково ориентированных полых 
металлических цилиндров .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . 117
4.4. Результаты определения относительных диэлектрической и 
магнитной проницаемостей при дифракции на слое фотонного 
кристалла  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Литература  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Cписок сокращений и определения обозначений физических 
величин 
 
E  – вектор электрической напряженности 
 – круговая частота 
 – время 
 – мнимая единица 
 – зависимость от времени физических величин в случае 
монохроматических колебаний 
ω
t
1
i =
−
i t
e
ω

Введение 
Фотонные кристаллы (ФК) можно трактовать как среды, 
повторяющие главную особенность кристаллов – периодичность и как 
следствие – наличие запрещенных зон [1], [2], [3], [4], [5]. Например, 
многослойная среда, имеющая период повторения слоев является 
одномерным фотонным кристаллом [6], [7], [8]. При этом количество 
периодов не должно быть бесконечным – количество периодов должно 
быть достаточным для проявления основных черт бесконечного кристалла 
[9], [10]. Если волна распространяется вдоль слоев, на которых 
расположены периодически полоски или щели то такая планарная линия 
передачи также может рассматриваться как одномерный фотонный 
кристалл, имеющий запрещенную полосу [11], [12]. Кроме планарных 
периодических элементов также технологичными являются металлические 
и диэлектрические цилиндры [13], [14], [15]. Искусственные среды на 
основе фотонных кристаллов могут быть эффективно применены для 
создания цилиндрических и трехмерных фокусирующих устройств [16], 
[17], [18]. В фотонном кристалле возможно существование окон 
непрозрачности, характерных для отдельных собственных мод кристалла 
[19], [20]. Данное обстоятельство можно использовать для создания 
разнообразных устройств, таких, например, как фильтры [21], роутеры 
[22], поляризаторы [23]. Широкое внедрение фотонных кристаллов все еще 
сдерживается поисками наиболее удачных их типов с точки зрения 
технологичности изготовления, повторяемости параметров, уменьшенной 
анизотропии, и недостаточной изученности их свойств ввиду отсутствия 
высокоспециализированного 
быстрого 
и 
удобного 
программного 
обеспечения основанного на новых численно – аналитических методах 
решения интегральных уравнений. 

Одномерные 
и 
двумерные 
фотонные 
кристаллы 
в 
виде 
многослойных периодических и резонансных планарных структур находят 
применение в качестве различных пассивных устройств, таких как 
волноведущие линии передачи, в том числе линии задержки, частотно – 
избирательные поверхности, резонаторы, фильтры, компоненты антенн, 
направленные ответвители [36], [37], [38], [39]. Для конструирования 
вышеперечисленных устройств необходимо знание таких характеристик 
фотонных кристаллов как постоянные распространения, наличие и 
положение запрещенных зон. При решении задач оптимизации быстрота 
расчетов и точность выходят на первый план. Развитие универсального и в 
то же время быстродействующего метода анализа таких устройств, 
который на несколько порядков быстрее существующих пакетов 
электродинамического 
моделирования 
и 
быстрее 
других, 
более 
эффективных методов их анализа [40], [41], [42], [43] создаст условия их 
оптимизации в течении доступного времени. 
Трехмерные фотонные кристаллы, состоящие из малых, по 
сравнению 
с 
длиной 
волны, 
периодических 
металлических 
и 
диэлектрических 
неоднородностей, 
исследуются 
и 
применяются 
длительное время в качестве искусственных диэлектрических сред для 
создания различных устройств радиодиапазона [44], [45], [46], [47], [48]. К 
достоинствам 
таких 
сред 
можно 
отнести 
малую 
плотность 
и 
контролируемость параметров. Но практическое создание таких сред 
сталкивается с разнообразными трудностями технологического характера. 
Фотонные 
кристаллы 
из 
одинаково 
ориентированных 
полых 
металлических цилиндров и/или сплошных диэлектрических цилиндров (к 
ним 
можно 
отнести 
цилиндрические 
отверстия 
в 
диэлектрике) 
притягательны с технологической точки зрения [49], [50]. Важным 
является исследование зависимостей постоянных распространения двух 

собственных 
волн 
от 
изменения 
следующих 
параметров: 
тип 
кристаллической решетки, размер элементарной ячейки, количество 
цилиндров в ячейке и их размеры (высота, диаметр, толщина стенок для 
металлических 
цилиндров). 
Необходимым 
является 
нахождение 
соотношения размеров, когда анизотропия минимальна, а коэффициенты 
замедления двух волн близки, что необходимо для использования таких 
структур в качестве среды для изготовления линз радиодиапазона. Для 
конструирования фокусирующих линз также необходимы однозначные 
процедуры экстракции относительных диэлектрических и магнитных 
проницаемостей. 
На 
данный 
момент 
эти 
вопросы 
остаются 
малоизученными. 
Большой 
объем 
численных 
расчетов 
делает 
необходимым развитие эффективных методов анализа таких сред и 
программного обеспечения, которое превосходит имеющиеся пакеты 
электродинамического моделирования на несколько порядков по скорости 
вычислений. 
Трехмерные фотонные кристаллы часто являются искусственной 
средой для изготовления линз радиодиапазона. У таких линз размеры 
составляют от нескольких десятков до нескольких единиц длин волн [51], 
[52], [53], что в последнее время наблюдается и для линз оптического 
диапазона [54], [55], [56], [57], [58]. Фокусирующие свойства таких малых 
линз могут существенно отличаться от линз больших размеров, причем 
этот вопрос недостаточно изучен. Исследование фокусирующих свойств 
линз малых размеров (цилиндрических и трехмерных) с различными 
профилями поверхности и профилями диэлектрического заполнения 
необходимо при конструировании линзовых антенных систем. Изучение 
полей в ближней зоне, когда облучающий диполь помещен в фокусе линзы 
важно с точки зрения возможности получения плоского однородного 
фронта волны в ближней зоне антенного излучателя. На данный момент 

фокусирующие свойства линз малых размеров разнообразных профилей с 
неоднородным заполнением практически не изучены. Создание плоского 
волнового фронта линзой малых размеров строго не обосновано. 
Существующее программное обеспечение тратит слишком много 
компьютерных ресурсов и вычислительного времени для решения таких 
задач. Развитие новых методов анализа и оптимизации цилиндрических и 
трехмерных линз с разными профилями поверхности и с неоднородным 
диэлектрическим заполнением и разработка программного обеспечения, 
которое на несколько порядков быстрее чем известные пакеты 
электродинамического моделирования позволит создать новые антенные 
системы. 
Одномерные и двумерные нелинейные фотонные кристаллы в виде 
многослойных нелинейных структур и нелинейных дифракционных 
решеток находят свое применение для усиления нелинейного отклика при 
небольших размерах устройства [59], [60], [61], [62], [63]. Особенно 
эффективным становится порождение высших гармоник при достижении 
явлений резонанса [64], [65]. Развитие методов анализа и оптимизации 
небольших по размерам многослойных фотонных кристаллов и 
многослойных дифракционных решеток с полосами из нелинейного 
материала, такого как графен [66] необходимо для эффективного 
порождения высших гармоник оптического диапазона.  
Основные научные результаты по фотонным кристаллам авторы 
данного пособия опубликовали в работах [67-78]. 
 
1. 
Одномерный диэлектрический фотонный кристалл 
 
Диэлектрические фотонные кристаллы (ФК) — структуры, 
характеризующиеся 
периодическим 
изменением 
диэлектрической 

10
проницаемости в пространстве. Их оптические свойства сильно 
отличаются от сплошных сред. Распространение излучения внутри ФК 
благодаря периодичности среды становится похожим на движение 
электрона внутри обычного кристалла под действием периодического 
потенциала. В результате электромагнитные волны в ФК имеют зонный 
спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам 
электронов в обычных кристаллах. В зонной структуре ФК при 
определенных условиях образуются щели, аналогично запрещенным 
электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от свойств 
материала элементов, их размера и периода решетки в спектре ФК могут 
образовываться, как полностью запрещенные по частоте зоны, для 
которых распространение излучения невозможно независимо от его 
поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп-зоны), в 
которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях. 
Интерес к исследованию оптических свойств ФК вызван, как с 
фундаментальной точки зрения, так и для возможных многочисленных 
приложений. На основе ФК создаются и разрабатываются оптические 
фильтры, волноводы, устройства, позволяющие осуществлять управление 
тепловым излучением. 
1.1 Основные теоретические положения 
Рассмотрим 
одномерный 
фотонный 
кристалл, 
который 
представляет собой чередующиеся бесконечные слои диэлектрика с 
разными коэффициентами преломления. Рассмотрим наиболее простой 
случай, когда таких слоя всего 2 с показателями преломления 
1n и 
2n и 
толщинами 
1
2
,
d
d . 
Период 
структуры 
равен 
1
2
d
d
d


 
. 
Волна 
распространяется вдоль оси z перпендикулярной плоскости слоев. 
Структура бесконечная во всех трех направлениях. Распространение 
волны в такой структуре сопровождается отражениями на каждой границе