Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих устройств радио и оптического диапазонов

Министерство науки и высшего образования российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«ЮЖный ФедераЛЬный университет»

академия физической культуры и спорта

А. М. Лерер 
И. В. Донец 
С. М. цВеткоВСкАя

Фотонные крИСтАЛЛы 

ДЛя ВоЛноВеДущИх 

И ФокуСИрующИх уСтройСтВ  

рАДИо И оптИчеСкого  

ДИАпАзоноВ

Монография

ростов-на-дону – таганрог
издательство Южного федерального университета
2022

удк 537.86:53(075.8)
ббк  22.336+22.3я73
Л49

Печатается по решению Комитета при Ученом совете Южного федерального 
университета по естественнонаучному и математическому направлению 
науки и образования (протокол ¹ 8 от 6 июля 2022 г.)

рецензенты:

доцент кафедры физики донского государственного технического университета, 
кандидат физико-математических наук, доцент И. Г. Попова;

заведующий кафедрой радиофизики Южного федерального университета доктор 
физико-математических наук, профессор Г. Ф. Заргано

 
Лерер А. М.

Л49 
 
Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих устройств радио и оптического диапазонов : монография / 
а. М. Лерер, и. в. донец, с. М. цветковская ; Южный федеральный университет. – ростов-на-дону ; таганрог : издательство 
Южного федерального университета, 2022. – 150 с.

ISBN 978-5-9275-4350-2
DOI 10.18522/801299966
Монография предназначена для студентов бакалавриата и магистратуры обучающихся по направлению 03.03.02 – физика и 03.03.03 – радиофизика. основное внимание уделено вопросам распространения и дифракции электромагнитных волн в искусственных средах имеющих упорядоченную структуру – так называемым фотонным кристаллам (Фк). описаны современные строгие электродинамические методы анализа фотонных 
кристаллов. исследуются явления полос непрозрачности, зависящих от 
поляризации и направления распространения собственных волн кристалла. Приводятся методики гомогенизации фотонного кристалла в области 
низких частот. Показаны результаты синтеза и строгого анализа фокусирующих устройств выполненных из Фк.
Публикуется в авторской редакции.

© Южный федеральный университет, 2022
©  Лерер а. М., донец и. в., 
цветковская с. М., 2022
©  оформление. Макет. издательство Южного 
федерального университета, 2022

удк 537.86:53(075.8))
ббк 22.336+22.3я73
ISBN 978-5-9275-4350-2

огЛАВЛенИе

список сокращений и определения обозначений физических  
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1. одномерный диэлектрический фотонный кристалл . . . . . . . . . . . .9
1.1. основные теоретические положения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. объемные интегро-дифференциальные уравнения для задач 
дифракции на диэлектрических телах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.  векторный и скалярный потенциал для монохроматического 
электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.  объемные интегро-дифференциальные уравнения  
при дифракции на диэлектрических телах в однородном 
пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Функция грина для неограниченного пространства . . . . . . . . 21
2.4. Функция грина для периодических структур . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1.  2d дифракция. двухмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1.1. E-поляризация распространяющейся волны . . . . . . . 39
2.4.1.2. H-поляризация распространяющейся волны . . . . . . . 32
2.4.2.  3d дифракция. трехмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2.1.  диэлектрик в однородной среде. Фотонный кристалл. 
скалярная трехмерная функция грина. . . . . . . . . . . 34
2.4.2.2.  диэлектрик в неоднородной среде. тензорная  
трехмерная функция грина для двухслойной среды. . 40

3. интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на металлических телах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.  решение интегрального уравнения для задачи распространения 
электромагнитной волны в трехмерной периодической  
структуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.  интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на цилиндрической линзе из трубочек . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.  решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны 
на слое идеально проводящих полых цилиндров . . . . . . . . . . 74
3.4.  Экстракция параметров – эффективной диэлектрической 
и магнитной проницаемостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1. Первый способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2. второй способ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. результаты исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.  результаты исследования собственных волн 3d фотонных 
кристаллов составленных из диэлектрических цилиндров . . . 81
4.2.  результаты исследования собственных волн и относительных 
проницаемостей 3d фотонных кристаллов, составленных из 
полых металлических цилиндров (трубочек). . . . . . . . . . . . . 94
4.3.  результаты исследования фокусирующих свойств линзы, 
составленной из одинаково ориентированных полых 
металлических цилиндров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.  результаты определения относительных диэлектрической и 
магнитной проницаемостей при дифракции на слое фотонного 
кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Cписок сокращений и определения обозначений физических 

величин 

 

E  – вектор электрической напряженности 

 – круговая частота 

 – время 

 – мнимая единица 

 – зависимость от времени физических величин в случае 

монохроматических колебаний 

ω

t

1
i =
−

i t
e
ω

Введение 

Фотонные кристаллы (ФК) можно трактовать как среды, 

повторяющие главную особенность кристаллов – периодичность и как 

следствие – наличие запрещенных зон [1], [2], [3], [4], [5]. Например, 

многослойная среда, имеющая период повторения слоев является 

одномерным фотонным кристаллом [6], [7], [8]. При этом количество 

периодов не должно быть бесконечным – количество периодов должно 

быть достаточным для проявления основных черт бесконечного кристалла 

[9], [10]. Если волна распространяется вдоль слоев, на которых 

расположены периодически полоски или щели то такая планарная линия 

передачи также может рассматриваться как одномерный фотонный 

кристалл, имеющий запрещенную полосу [11], [12]. Кроме планарных 

периодических элементов также технологичными являются металлические 

и диэлектрические цилиндры [13], [14], [15]. Искусственные среды на 

основе фотонных кристаллов могут быть эффективно применены для 

создания цилиндрических и трехмерных фокусирующих устройств [16], 

[17], [18]. В фотонном кристалле возможно существование окон 

непрозрачности, характерных для отдельных собственных мод кристалла 

[19], [20]. Данное обстоятельство можно использовать для создания 

разнообразных устройств, таких, например, как фильтры [21], роутеры 

[22], поляризаторы [23]. Широкое внедрение фотонных кристаллов все еще 

сдерживается поисками наиболее удачных их типов с точки зрения 

технологичности изготовления, повторяемости параметров, уменьшенной 

анизотропии, и недостаточной изученности их свойств ввиду отсутствия 

высокоспециализированного 
быстрого 
и 
удобного 
программного 

обеспечения основанного на новых численно – аналитических методах 

решения интегральных уравнений. 

Одномерные 
и 
двумерные 
фотонные 
кристаллы 
в 
виде 

многослойных периодических и резонансных планарных структур находят 

применение в качестве различных пассивных устройств, таких как 

волноведущие линии передачи, в том числе линии задержки, частотно –

избирательные поверхности, резонаторы, фильтры, компоненты антенн, 

направленные ответвители [36], [37], [38], [39]. Для конструирования 

вышеперечисленных устройств необходимо знание таких характеристик

фотонных кристаллов как постоянные распространения, наличие и 

положение запрещенных зон. При решении задач оптимизации быстрота 

расчетов и точность выходят на первый план. Развитие универсального и в 

то же время быстродействующего метода анализа таких устройств, 

который на несколько порядков быстрее существующих пакетов 

электродинамического 
моделирования 
и 
быстрее 
других, 
более 

эффективных методов их анализа [40], [41], [42], [43] создаст условия их 

оптимизации в течении доступного времени. 

Трехмерные фотонные кристаллы, состоящие из малых, по 

сравнению 
с 
длиной 
волны, 
периодических 
металлических 
и 

диэлектрических 
неоднородностей, 
исследуются 
и 
применяются 

длительное время в качестве искусственных диэлектрических сред для 

создания различных устройств радиодиапазона [44], [45], [46], [47], [48]. К 

достоинствам 
таких 
сред 
можно 
отнести 
малую 
плотность 
и 

контролируемость параметров. Но практическое создание таких сред 

сталкивается с разнообразными трудностями технологического характера. 

Фотонные 
кристаллы 
из 
одинаково 
ориентированных 
полых 

металлических цилиндров и/или сплошных диэлектрических цилиндров (к 

ним 
можно 
отнести 
цилиндрические 
отверстия 
в 
диэлектрике)

притягательны с технологической точки зрения [49], [50]. Важным 

является исследование зависимостей постоянных распространения двух 

собственных 
волн 
от 
изменения 
следующих 
параметров: 
тип 

кристаллической решетки, размер элементарной ячейки, количество 

цилиндров в ячейке и их размеры (высота, диаметр, толщина стенок для 

металлических 
цилиндров). 
Необходимым 
является 
нахождение 

соотношения размеров, когда анизотропия минимальна, а коэффициенты 

замедления двух волн близки, что необходимо для использования таких 

структур в качестве среды для изготовления линз радиодиапазона. Для 

конструирования фокусирующих линз также необходимы однозначные 

процедуры экстракции относительных диэлектрических и магнитных 

проницаемостей. 
На 
данный 
момент 
эти 
вопросы 
остаются 

малоизученными. 
Большой 
объем 
численных 
расчетов 
делает 

необходимым развитие эффективных методов анализа таких сред и 

программного обеспечения, которое превосходит имеющиеся пакеты 

электродинамического моделирования на несколько порядков по скорости 

вычислений. 

Трехмерные фотонные кристаллы часто являются искусственной 

средой для изготовления линз радиодиапазона. У таких линз размеры 

составляют от нескольких десятков до нескольких единиц длин волн [51], 

[52], [53], что в последнее время наблюдается и для линз оптического

диапазона [54], [55], [56], [57], [58]. Фокусирующие свойства таких малых 

линз могут существенно отличаться от линз больших размеров, причем 

этот вопрос недостаточно изучен. Исследование фокусирующих свойств 

линз малых размеров (цилиндрических и трехмерных) с различными 

профилями поверхности и профилями диэлектрического заполнения

необходимо при конструировании линзовых антенных систем. Изучение 

полей в ближней зоне, когда облучающий диполь помещен в фокусе линзы 

важно с точки зрения возможности получения плоского однородного 

фронта волны в ближней зоне антенного излучателя. На данный момент 

фокусирующие свойства линз малых размеров разнообразных профилей с 

неоднородным заполнением практически не изучены. Создание плоского 

волнового фронта линзой малых размеров строго не обосновано. 

Существующее программное обеспечение тратит слишком много 

компьютерных ресурсов и вычислительного времени для решения таких 

задач. Развитие новых методов анализа и оптимизации цилиндрических и 

трехмерных линз с разными профилями поверхности и с неоднородным 

диэлектрическим заполнением и разработка программного обеспечения, 

которое на несколько порядков быстрее чем известные пакеты 

электродинамического моделирования позволит создать новые антенные 

системы. 

Одномерные и двумерные нелинейные фотонные кристаллы в виде 

многослойных нелинейных структур и нелинейных дифракционных

решеток находят свое применение для усиления нелинейного отклика при 

небольших размерах устройства [59], [60], [61], [62], [63]. Особенно 

эффективным становится порождение высших гармоник при достижении 

явлений резонанса [64], [65]. Развитие методов анализа и оптимизации 

небольших по размерам многослойных фотонных кристаллов и 

многослойных дифракционных решеток с полосами из нелинейного 

материала, такого как графен [66] необходимо для эффективного 

порождения высших гармоник оптического диапазона.  

Основные научные результаты по фотонным кристаллам авторы 

данного пособия опубликовали в работах [67-78]. 

 

1. 
Одномерный диэлектрический фотонный кристалл 

 

Диэлектрические фотонные кристаллы (ФК) — структуры, 

характеризующиеся 
периодическим 
изменением 
диэлектрической 

10

проницаемости в пространстве. Их оптические свойства сильно 

отличаются от сплошных сред. Распространение излучения внутри ФК 

благодаря периодичности среды становится похожим на движение 

электрона внутри обычного кристалла под действием периодического 

потенциала. В результате электромагнитные волны в ФК имеют зонный 

спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам 

электронов в обычных кристаллах. В зонной структуре ФК при 

определенных условиях образуются щели, аналогично запрещенным 

электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от свойств 

материала элементов, их размера и периода решетки в спектре ФК могут 

образовываться, как полностью запрещенные по частоте зоны, для 

которых распространение излучения невозможно независимо от его 

поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп-зоны), в 

которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях. 

Интерес к исследованию оптических свойств ФК вызван, как с 

фундаментальной точки зрения, так и для возможных многочисленных 

приложений. На основе ФК создаются и разрабатываются оптические 

фильтры, волноводы, устройства, позволяющие осуществлять управление 

тепловым излучением. 

1.1 Основные теоретические положения 

Рассмотрим 
одномерный 
фотонный 
кристалл, 
который 

представляет собой чередующиеся бесконечные слои диэлектрика с 

разными коэффициентами преломления. Рассмотрим наиболее простой 

случай, когда таких слоя всего 2 с показателями преломления 
1n и 
2n и 

толщинами 
1
2
,
d
d . 
Период 
структуры 
равен 
1
2
d
d
d


 
. 
Волна 

распространяется вдоль оси z перпендикулярной плоскости слоев. 

Структура бесконечная во всех трех направлениях. Распространение 

волны в такой структуре сопровождается отражениями на каждой границе