Тензорная алгебра и тензорный анализ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО
Е. Н. Вильчевская
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2019

УДК 539.3(075.8)
B46
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор,
директор Института проблем машиноведения Российской академии наук
А. К. Беляев
Член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,
заведующий кафедрой ¾Теоретическая механика¿ Санкт-Петербургского
политехнического университета Петра Великого
А. М. Кривцов
Вильчевская Е. Н. Тензорная алгебра и тезорный анализ : учеб. пособие /
Е. Н. Вильчевская.  СПб. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019.  124 c.
Соответствует государственному образовательному стандарту и содержанию
направления подготовки бакалавров, обучающихся по специальности 01.03.03 ¾Механика и математическое моделирование¿. Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и техническим специальностям.
В учебном пособии на языке прямого (бескоординатного) тензорного исчисления, наиболее соответствующего потребностям современной механики, рассмотрены
основы тензорной алгебры, теории тензорных функций и тензорного анализа. Представлена теория симметрии тензоров и тензорных функций. Приведены основные
определения и теоремы тензорной алгебры и тензорного анализа, а также ряд полезных формул и тождеств, широко применяемых во многих курсах при изучении
механических специальностей.
Табл. 1. Ил. 10. Библиогр.: 29 назв.
Печатается по решению
Совета по издательской деятельности Ученого совета
Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
c
⃝Вильчевская Е. Н., 2019
ISBN 978-5-7422-6705-8
c
⃝Санкт-Петербургский политехнический
doi:10.18720/SPBPU/2/id19-193
университет Петра Великого, 2019

Ministry of science and higher education of the Russian Federation
PETER THE GREAT
ST. PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY
E. N.Vilchevskaya
TENSOR ALGEBRA
AND TENSOR ANALYSIS
Textbook
Saint-Petersburg
2019

Peer reviewed by:
Professor Dr.Sc. Mult., d.h.c., director of the Institute for Problems in Mechanical
Engineering, Russian Academy of Sciences
А. К. Belyaev
Corr. member of the Russian Academy of Sciences, D.Sci. in Mathematics and Physics,
Head of Department ¾Theoretical and Applied Mechanics¿ of the Peter the Great Saint
Petersburg Polytechnic University
А. М. Krivtsov
Vilchevskaya Е. N. Tensor algebra and tensor analysis : textbook / Е. N. Vilchevskaya.  Saint Petersburg: POLYTECH-PRESS, 2019. 124 p.
The textbook corresponds to the state educational standard and the content of the
bachelor's program ¾Mechanics and mathematical modeling¿. It is intended for students
of higher educational institutions studying in physics and mathematics and technical
specialties.
The focus of the textbook lies mainly on acquiring an understanding of the principles
and ideas of the direct (component-free) tensor language, which is widely used now-days
in mechanics. The concepts and techniques of tensor algebra, theory of tensor functions
and tensor analysis are introduced. The symmetries of tensors and tensor functions are
considered. The basic denitions and theorems of tensor algebra and tensor analysis are
given, as well as a number of useful formulas and identities widely used in many mechanical
courses.
Figures 10. References 29.
Printed by the Publishing Council of the Peter the Great St. Petersburg
polytechnic university Academic Council
c
⃝Vilchevskaya Е. N., 2019
ISBN 978-5-7422-6705-8
c
⃝Peter the Great St. Petersburg
doi:10.18720/SPBPU/2/id19-193
polytechnic university, 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. Тензорная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Векторы и тензоры в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1. Система отсчета и система координат. Полярные и аксиальные объекты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2. Скаляры или тензоры нулевого ранга. . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3. Векторное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.4. Тензорное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.5. Векторный и тензорный базисы. Координаты тензора . . . . . .
17
1.2. Действия над тензорами второго ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2.1. Симметричный и антисимметричный тензоры . . . . . . . . . .
21
1.2.2. Умножение тензоров
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2.3. Единичный тензор и тензор ЛевиЧивиты
. . . . . . . . . . . .
26
1.2.4. След тензора второго ранга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.2.5. Векторный инвариант. Сопутствующий вектор . . . . . . . . .
29
1.2.6. Линейные отображения.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.7. Определитель тензора.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.8. Обратный тензор. Теорема КэйлиГамильтона.
. . . . . . . . .
34
1.2.9. Норма тензора второго ранга. Тензорные ряды. . . . . . . . . . .
36
1.3. Ортогональное отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.1. Тензор поворота
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.2. Проекторы и тензоры отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4. Разложения тензоров второго ранга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.4.1. Спектральное разложение тензорa
. . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.4.2. Разложение тензора на шаровую часть и девиатор
. . . . . . .
51
1.4.3. Полярное разложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.5. Тензоры высших рангов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.5.1. Основные действия с тензорами.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.5.2. Симметрия тензоров. Изотропные тензоры.
. . . . . . . . . . .
59
5

1.5.3. Тензоры четвертого ранга. Специальные тензорные базисы. . . .
64
2. Функции тензорного аргумента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.1. Тензорные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2. Изотропные функции. Инварианты системы тензоров. . . . . . . . . .
68
2.3. Операции дифференцирования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.3.1. Дифференцирование тензора по скалярному аргументу . . . . . .
72
2.3.2. Дифференцирование скалярно-значной функции
. . . . . . . . . .
74
2.3.3. Дифференцирование тензорных функций по тензорному аргументу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3. Тензорные поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.1. Криволинейные ортогональные координаты . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.2. Набла-оператор Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.3. Дифференциальные операции над произведением. . . . . . . . . . . .
90
3.4. Двухкратное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.5. Ортогональные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.5.1. Цилиндрическая система координат . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.5.2. Сферическая система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.6. Интегральные формулы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.1. Преобразование объемного интеграла в поверхностный.
. . . . . 100
3.6.2. Теорема Стокса.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Неортогональная система координат.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1. Основной и взаимный базисы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.1. Преобразование базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.2. Фундаментальная матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2. Векторное произведение. Определитель тензора. . . . . . . . . . . . . 109
4.3. Ковариантное дифференцирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1. Набла-оператор в неортогональном базисе. . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.2. Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля.
. . . . 111
4.3.3. Преобразование символов Кристоффеля.
. . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.4. Ковариантное дифференцирование тензора второго ранга. . . . . 117
4.3.5. Дифференциальные операции в криволинейных координатах.
. . 118
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6

ВВЕДЕНИЕ
Историческими предшественниками тензоров были векторы, матрицы и системы с индексами, использовавшиеся в алгебре, геометрии,
теории поверхностей, механике и других областях науки. Операции над
системами с индексами были весьма громоздки и требовали развития нового математического аппарата. К середине XIX в. Дж. У. Гибс создал
векторную алгебру с операциями сложения, скалярного и векторного
умножения и векторный анализ  теорию дифференциального исчисления векторных полей. Вскоре Дж. Риччи обобщил векторное исчисление
на системы с произвольным числом индексов. К середине ХХ века тензорное исчисление развилось в эффективный математический аппарат,
широко используемый в различных областях науки: в механике, дифференциальной геометрии, электродинамике, теории относительности и
многих других. Более подробное описание истории развития тензорного
исчисления можно найти, например, в [3,4].
В настоящее время существует два основных подхода к изложению
теории тензоров: координатный и прямой. При координатном подходе
под тензором понимается матрица, компоненты которой преобразуются
при переходе от одного координатного базиса к другому по определенным формулам (см. например [3, 10, 19]). При прямом подходе тензор
рассматривается как элемент линейного пространства, полученного специальным перемножением векторных пространств. В этом случае никакие координатные системы не привлекаются к рассмотрению, а сами
тензоры не зависят от выбора системы координат.
От прямой записи тензора легко перейти к его координатному представлению, введя в пространство тензоров базис. Таким образом, с чисто
математической точки зрения оба подхода эквивалентны. Тем не менее
именно язык прямого тензорного исчисления наиболее адекватно отражает сущность основных понятий и представлений механики сплошных
сред и поэтому хорошо приспособлен к задачам теории упругости, дина7

мики твердого тела, гидродинамики, теории пластичности и пр.
Теории тензоров посвящено большое число фундаментальных монографий и учебников (см. [1, 3, 9, 18, 21]). Не ставя перед собой задачи
представления подробного обзора литературы, упомянем только работы [7, 18, 20], знакомящие начинающих с основами тензорного исчисления; книгу [13], описывающую применение тензорных методов в аналитической и дифференциальной геометрии, а также в динамике твердого
тела, гидродинамике и теории электромагнитного поля; книги [25,26], в
которых подробно описывается применение тензорного анализа в теории
упругости и теории пластин и оболочек. Отдельного упоминания заслуживают приложения в книгах [11,12], где на языке прямого тензорного
исчисления приводятся основные определения и формулы тензорной алгебры и тензорного анализа, необходимые при изучении теории упругости; книга [4], включающая в себя изложение векторного и тензорного
исчисления с приложениями к описанию движения тел, теории симметрии тензоров, тензорных функций, введение аксиальных объектов и многое другое; а также [16], где в доступной форме, простым и понятным
языком излагаются основы тензорной алгебры и тензорного анализа, демонстрируются простота и компактность уравнений механики, получаемых с использованием прямого тензорного исчисления и обсуждается
инвариантность тензорных соотношений.
Данное пособие базируется в первую очередь на материалах, представленных в [4, 7, 11, 12, 16]. В пособии рассмотрены основные положения тензорной алгебры, теории тензорных функций, тензорного анализа,
представлена теория симметрии тензоров и тензорных функций. Большая часть материала, приведенного в пособии, излагается с точки зрения
прямого тензорного исчисления, позволяющего избежать координатной
записи при выводе и анализе основных уравнений механики сплошных
сред, поскольку многоиндексная координатная запись зачастую делает
формулы более громоздкими и затрудняет понимание рассматриваемых
8

явлений. Тем не менее иногда координатная форма записи бывает более
удобна для проведения промежуточных выкладок при доказательстве
тензорных соотношений. Тогда целесообразно использовать простейшую
декартову систему координат, возвращаясь к инвариантной форме записи после получения конечного результата. Координаты также вводятся
на конечной стадии постановки задачи, при этом выбор системы координат определяется особенностями конкретной задачи.
В большинстве классических работ по механике сплошных сред используют вмороженные в тело ¾материальные¿ координаты, позволяющие естественным образом связать изменение внутренней геометрии тела
с его деформацией (см. [14, 22, 23]). Эти координаты порождают неортогональный базис, что, в свою очередь, влечет за собой необходимость
введения взаимного базиса, ковариантных и контрвариантых компонент,
символов Кристоффеля и т. п. Основные понятия и операции тензорной
алгебры и тензорного анализа в неортогональном базисе будут рассмотрены в последнем разделе данного пособия.
Автор благодарит К. П. Фролову за помощь в подготовке пособия.
1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
1.1. Векторы и тензоры в трехмерном пространстве
1.1.1. Система отсчета и система координат. Полярные
и аксиальные объекты
В соответствии с идеологией прямого тензорного исчисления понятие вектора и тензора любого ранга лишено всякого смысла вне системы
отсчета. Система отсчета является в большей степени философским понятием, существование которого невозможно доказать, а можно только
постулировать. Задание системы отсчета означает в частности построение модели абсолютного пространства, все точки которого параметризованы путем введения в данной системе отсчета трех независимых на9

правлений и масштаба длины. Классическая механика постулирует существование бесконечного числа равноправных систем отсчета, причем
все физические законы должны быть инвариантны, т. е. неизменны относительно перехода от одной системы отсчета к другой. Кроме того,
положение любой точки в данной системе отсчета можно задать тройкой чисел. Способ, посредством которого каждой точке системы отсчета
ставится во взаимно однозначное соответствие тройка чисел, называется
выбором системы координат. В выбранной системе отсчета можно ввести множество различных систем координат, каждая из которых является равноправной. Необходимо отчетливо осознавать различие между
системой отсчета и системой координат. В частности, многие физические
величины (скорость, ускорение, кинетическая энергия и др.) зависят от
выбора системы отсчета, но ни одна физическая величина не зависит
от выбора системы координат в данной системе отсчета.
В выбранной системе отсчета необходимо ввести дополнительное соглашение о том, какие повороты считать положительными, т. е. выбрать
ориентацию пространства. Система отсчета называется правоориентированной, если положительным считается поворот против хода часовой
стрелки, и левоориентированной, если положительным считается поворот по часовой стрелке.
Все физические объекты делятся на два типа по отношению к выбору ориентации в системе отсчета. Объекты, не зависящие от ориентации системы отсчета, называются полярными; объекты, которые умножаются на −1 при замене ориентации системы отсчета на противоположную, называются аксиальными. Например, температура, перемещения и
трансляционная скорость являются полярными объектами. Аксиальные
объекты обычно связаны с ориентацией тел в пространстве. Типичными примерами аксиальных объектов являются вектор поворота, угловые
скорость и ускорение.
10