Теория функций комплексного переменного

УДК 517.53/.55(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
Т33

А в т о р ы: В. Г. Кротов, Е. А. Ровба, А. П. Старовойтов, Е. А. Сетько, К. А. Смотрицкий

Р е ц е н з е н т ы: кафедра математики и методики преподавания математики физикоматематического факультета учреждения образования «Белорусский государственный 
педагогический университет имени Максима Танка» (доцент кафедры кандидат физикоматематических наук Н. В. Гриб; заведующий кафедрой доцент И. Н. Гуло); заведующий 
отделом нелинейного и стохастического анализа Института математики Национальной 
академии наук Беларуси, член корреспондент Национальной академии наук Беларуси 
доктор физико-математических наук, профессор В. В. Гороховик

Теория функций комплексного переменного : учебное пособие / В. Г. Кротов [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 2019. – 
431 с. : ил.
ISBN 978-985-06-3071-1.

В соответствии с действующими программами изложен материал по дисциплинам «Теория функций комплексного переменного» и «Дополнительные главы 
теории функций», изучаемым на математических специальностях учреждений 
высшего образования Республики Беларусь.
Содержится теоретический материал, излагаемый в лекциях, а также четырехуровневый набор заданий для практических и лабораторных занятий (задания для 
аудиторной работы, базовые индивидуальные задания, задания для самостоятельной работы и задания творческого характера).
Для студентов и преподавателей. Также может быть использовано магистрантами, аспирантами и научными работниками, интересующимися комплексным анализом и его приложениями.

УДК 517.53/.55(075.8) 
ББК 22.161.5я73 

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой 
ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3071-1 
©  Оформление. УП «Издательство 
“Вышэйшая школа”», 2019

Т33

Оглавление

Часть I.
Теория

Глава 1. Введение в комплексный анализ . . . . . . . . . .
16

1.1. Множество комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.1. Операции с комплексными числами . . . . . . . . . .
16
1.1.2. Поле комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3. Алгебраическая форма записи . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.4. Тригонометрическая форма записи
. . . . . . . . . .
19

1.2. Расширенная комплексная плоскость . . . . . . . . . .
21
1.2.1. Топология комплексной плоскости . . . . . . . . . . .
21
1.2.2. Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.3. Связность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.4. Стереографическая проекция . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.5. Сферическая метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

1.3. Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3.1. Функции комплексного переменного . . . . . . . . . .
27
1.3.2. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.3. Равномерная непрерывность
. . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.4. Теорема Арцела – Асколи . . . . . . . . . . . . . . . .
30

1.4. Кривые и области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.1. Кривые и контуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.2. Области
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.4.3. Многосвязные области . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

Глава 2. Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

2.1. Комплексное дифференцирование . . . . . . . . . . . .
39
2.1.1. Производная и дифференцируемость
. . . . . . . . .
39
2.1.2. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
40

Оглавление

2.1.3. Условия Коши – Римана . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

2.2. Аналитические функции и конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.1. Геометрический смысл аргумента производной
. . .
42
2.2.2. Геометрический смысл модуля производной
. . . . .
43
2.2.3. Понятие аналитической функции
. . . . . . . . . . .
44

2.3. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.1. Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.2. Групповое свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3.3. Круговое свойство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3.4. Свойство симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.5. Свойство трех точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3.6. Примеры дробно-линейных отображений . . . . . . .
52
2.3.7. Функция Жуковского
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

2.4. Элементарные аналитические функции
. . . . . . . .
57
2.4.1. Экспоненциальная функция . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4.2. Тригонометрические и гиперболические функции . .
58
2.4.3. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.4.4. Степенная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.5. Обратные функции к тригонометрическим и гиперболическим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши . . . .
65

3.1. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.1.1. Комплексные криволинейные интегралы . . . . . . .
65
3.1.2. Свойства криволинейных интегралов
. . . . . . . . .
67

3.2. Интегральная теорема Коши
. . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.1. Интегральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.2. Обобщение интегральной теоремы Коши . . . . . . .
72
3.2.3. Случай многосвязной области
. . . . . . . . . . . . .
75
3.2.4. Первообразная аналитической функции . . . . . . . .
76

3.3. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3.1. Интегральная формула
. . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3.2. Формула среднего значения и принцип максимума
.
81
3.3.3. Формула Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.3.4. Интеграл типа Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3.5. Теорема Мореры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3.6. Сопряженные гармонические функции
. . . . . . . .
89

Оглавление
5

Глава 4. Последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . .
91

4.1. Ряды Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.1.1. Основные понятия теории рядов . . . . . . . . . . . .
91
4.1.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.1.3. Радиус сходимости и формула Коши — Адамара
. .
94
4.1.4. Разложение в степенной ряд
. . . . . . . . . . . . . .
97
4.1.5. Эквивалентные описания аналитичности . . . . . . .
98

4.2. Теоремы единственности
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2.1. Локальная форма единственности . . . . . . . . . . .
99
4.2.2. Теорема единственности Вейерштрасса . . . . . . . .
100

4.3. Последовательности аналитических функций
. . . .
100
4.3.1. Сходимость внутри области . . . . . . . . . . . . . . .
100
4.3.2. Принцип счетной компактности
. . . . . . . . . . . .
101
4.3.3. Теорема Витали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4.3.4. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104

Глава 5. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

5.1. Разложение в ряд Лорана
. . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.1. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.2. Формулы для коэффициентов разложения . . . . . .
107
5.1.3. Неравенства Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

5.2. Классификация изолированных особых точек . . . .
110
5.2.1. Правильные точки функции
. . . . . . . . . . . . . .
110
5.2.2. Полюсы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
5.2.3. Существенно особые точки
. . . . . . . . . . . . . . .
114
5.2.4. Случай бесконечно удаленной точки . . . . . . . . . .
115
5.2.5. Теорема Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
5.2.6. Целые и мероморфные функции . . . . . . . . . . . .
117

Глава 6. Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

6.1. Вычеты и основная теорема о вычетах . . . . . . . . .
119
6.1.1. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
6.1.2. Формулы для вычисления вычетов . . . . . . . . . . .
120
6.1.3. Теорема Коши о вычетах
. . . . . . . . . . . . . . . .
122
6.1.4. Вычет в бесконечно удаленной точке
. . . . . . . . .
123
6.1.5. Теорема о полной сумме вычетов . . . . . . . . . . . .
124

Оглавление

6.2. Теорема о логарифмическом вычете и ее приложения 125
6.2.1. Логарифмический вычет
. . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.2.2. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.2.3. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
6.2.4. Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . .
131

Глава 7. Дополнительные главы комплексного анализа 133

7.1. Аналитическое продолжение
. . . . . . . . . . . . . . .
133
7.1.1. Элемент аналитической функции и его продолжение
133
7.1.2. Принцип симметрии Римана – Шварца . . . . . . . .
138

7.2. Однолистные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
7.2.1. Теорема о числе прообразов . . . . . . . . . . . . . . .
141
7.2.2. Критерий локальной однолистности . . . . . . . . . .
142
7.2.3. Особые точки однолистных функций
. . . . . . . . .
145
7.2.4. Последовательности однолистных функций
. . . . .
146

7.3. Конформное отображение областей . . . . . . . . . . .
146
7.3.1. Автоморфизмы основных областей . . . . . . . . . . .
146
7.3.2. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

7.4. Конформные отображения многоугольников . . . . .
152
7.4.1. Эллиптические интегралы первого рода . . . . . . . .
152
7.4.2. Эллиптический синус
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
7.4.3. Формула Кристоффеля – Шварца . . . . . . . . . . .
157

Часть II.
Практика

Глава 1. Комплексные числа
и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160

1.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
160

1.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
166

1.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
169

1.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
171

Глава 2. Элементарные трансцендентные функции . . .
173

2.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
173

2.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
178

2.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
180

2.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
181

Оглавление
7

Глава 3. Дифференцируемость функции комплексного
переменного
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183

3.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
183

3.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
190

3.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
194

3.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
196

Глава 4. Геометрический смысл модуля и аргумента
производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

4.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
199

4.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
202

4.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
204

4.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
205

Глава 5. Линейная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207

5.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
207

5.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
212

5.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
218

5.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
220

Глава 6. Дробно-линейная функция
. . . . . . . . . . . . . .
221

6.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
221

6.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
225

6.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
229

6.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
232

Глава 7. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

7.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
235

7.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
238

7.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
240

7.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
241

Оглавление

Глава 8. Интегральные теорема
и формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244

8.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
244

8.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
253

8.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
260

8.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
267

Глава 9. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

9.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
269

9.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
273

9.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
278

9.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
281

Глава 10.Ряды Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283

10.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
283

10.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
286

10.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
289

10.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
291

Глава 11.Нули аналитической функции. Теорема единственности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294

11.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
294

11.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
297

11.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
299

11.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
301

Глава 12.Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303

12.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
303

12.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
309

12.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
314

12.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
317

Оглавление
9

Глава 13.Изолированные особые точки аналитической
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319

13.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
319

13.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
322

13.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
325

13.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
327

Глава 14.Вычисление вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

14.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
331

14.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
336

14.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
338

14.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
342

Глава 15.Вычисление интегралов
с помощью вычетов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

15.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
344

15.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
350

15.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
355

15.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
358

Глава 16.Вычисление
собственных
и
несобственных
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
360

16.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
360

16.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
363

16.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
366

16.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
367

Глава 17.Применение теории вычетов для вычисления
преобразований Фурье
и Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

17.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
369

17.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
372

17.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
374

17.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
376

Оглавление

Глава 18.Логарифмический вычет, принцип аргумента
378

18.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
378

18.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
381

18.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
384

18.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
388

Глава 19.Отображение
с
помощью
элементарных
функций. Интеграл Кристоффеля – Шварца . .
390

19.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
390

19.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
395

19.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
400

19.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
401

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403

Рекомендуемая литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430