Математический анализ. Задачи и упражнения. В 3 частях. Часть 2

В ТРЕХ ЧАСТЯХ
ЧАСТЬ 2
Минск
        «Вышэйшая школа» 
2023

УДК 517(075.8)
ББК 22.161ÿ73
34
M
А в т о р ы ч а с т и: С. А. Бондарев, Ю. В. Васильев, В. Г. Кротов,
Т. С. Мардвилко, А. Д. Стриленко
Р е ц е н з е н т ы: кафедра фундаментальной и прикладной математики Гродненского государственного университета имени Янки Купалы (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук Е.А. Ровба);
доктор физико-математических наук, профессор А.П. Старовойтов
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей
книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
ISBN 978-985-06-3533-4 (÷. 2)
ISBN 978-985-06-3484-9
© Оформление. УП ¾Издательство
Вышэйшая школа¿, 2023

Предисловие
В основу данного сборника легли практические занятия по дисциплине ¾Математический анализ¿, которые авторы пособия проводят для студентов механико-математического факультета Белорусского государственного университета. Авторы также включили
в сборник необходимые теоретические сведения, которые представляют выдержки из курса лекций по ¾Математическому анализу¿
одного из авторов [9].
Предлагаемая читателю ч. 2 пособия состоит из пяти глав.
Каждая глава объединяет несколько разделов, которые приблизительно соответствуют одному практическому занятию.
В каждой главе пособия вы найдете подробно разобранные примеры решения типовых задач, задания для аудиторной и самостоятельной работы, краткие теоретические сведения по математическому анализу, необходимые для решения задач, а также задания
повышенной сложности.
Авторы благодарят профессоров Е.А. Ровбу и А.П. Старовойтова, а также доцента кафедры фундаментальной и прикладной
математики В.Р. Мисюка за внимательное рецензирование данного
пособия.
Будем благодарны всем, кто укажет на возможные неточности
в тексте и внесет предложения по его улучшению.
Пожелания, предложения и замечания просим направлять по
электронному адресу: mardvilko@gmail.com

Глава 1
Интеграл Римана
1.1. Понятие интеграла Римана
Пусть задан отрезок [a, b] ⊂R, причем a < b.
Разбиением отрезка называется любой упорядоченный набор различных точек из этого отрезка, включающий его концы:
Π := {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}.
(1.1)
Рангом разбиения называется число
λ = λΠ := max
1⩽k⩽n (xk −xk−1) ,
характеризующее степень измельчения отрезка при его разбиении.
Разбиение Π отрезка [a, b] дает его представление в виде объединения
[a, b] =
[xk−1, xk] .
k=1
n
[
Отрезки [xk−1, xk], k = 1, . . . , n, будем называть частичными. Ранг разбиения характеризует степень измельчения отрезка точками разбиения.
Если задано разбиение Π отрезка [a, b] и на каждом частичном отрезке зафиксирована точка
ξk ∈[xk−1, xk] ,
k = 1, . . . , n,
то обозначим ξ = (ξ1, . . . , ξn) и пару (Π, ξ) назовем разбиением с отмеченными точками.

1.1. Понятие интеграла Римана
5
Если задана функция f : [a, b] →R и разбиение (Π, ξ) отрезка [a, b] с
отмеченными точками, то сумма
s = s (Π, ξ) = sf (Π, ξ) :=
f (ξk) (xk −xk−1)
(1.2)
k=1
n
X
называется интегральной суммой Римана функции f, соответствующей разбиению (Π, ξ) с отмеченными точками.
Пусть функция f задана на отрезке [a, b]. Число I называется пределом интегральных сумм, если
∀ε > 0
∃δ > 0
∀(Π, ξ)
λΠ < δ =
⇒|sf(Π, ξ) −I| < ε.
(1.3)
Краткая запись этого следующая: I = lim
λ→0 s. Число I называется определенным интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначается
I =
f(x) dx =
f dx.
(1.4)
b
w
b
w
a
a
В случае существования интеграла будем говорить также, что функция f интегрируема (по Риману) на [a, b]. Класс всех интегрируемых
на [a, b] функций обозначим R[a, b].
В обозначении определенного интеграла (1.4) a называется нижним
пределом интегрирования , b  верхним пределом интегрирования, f  подынтегральной функцией, f(x) dx  подынтегральным
выражением.
Отметим, что если функция не является ограниченной на [a, b], то
при фиксированном разбиении интегральная сумма может быть сделана
сколь угодно большой за счет выбора одной из отмеченных точек. Поэтому в таком случае предел интегральных сумм не существует и неограниченные функции не входят в класс R[a, b].
Другими словами, ограниченность функции f на [a, b] является необходимым условием интегрируемости.
Пусть функция f : [a, b] →R ограничена на [a, b], Π  произвольное
разбиение отрезка [a, b]. Величины
s(Π, ξ)
(1.5)
s∗(Π) := inf
ξ s(Π, ξ),
s∗(Π) := sup
ξ

Глава 1. Интеграл Римана
называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для
f, отвечающими заданному разбиению Π.
При заданном разбиении Π суммы Дарбу показывают возможную
степень разброса интегральных сумм, получаемую за счет свободы в выборе отмеченных точек ξk.
Решение типовых задач
1. Для интеграла
sin x dx
π
w
0
найти верхние и нижние суммы Дарбу, соответствующие разбиению
отрезка [0, π]:
1) на 3 равные части;
2) на 6 равных частей.
Решение. 1) Разобьем отрезок [0, π] на 3 равные части:
0 < π
3 < 2π
3 < π.
Обозначим mk и Mk (k = 1, 2, 3) соответственно наименьшее и наибольшее значение функции y = sin x на k−м частичном отрезке.
Зная промежутки монотонности функций y = sin x, найдем:
√
3
0, π
:
m1 = sin 0 = 0,
M1 = sin π
3
3 =
2 ;
h
i
√
3
:
m2 = sin π
3 , 2π
3
3 =
2 ,
M2 = sin π
2 = 1;
π

√
3
:
m3 = sin π = 0,
M3 = sin 2π
3 , π
3 =
2 .
2π

Итак, нижняя сумма Дарбу
√
√
3
3
0 +
= π
s3 =
mk∆xk = π
3
2 + 0
6
≈0, 907,
 
!
k=1
3
X

1.1. Понятие интеграла Римана
7
верхняя сумма Дарбу
√
3 + 1
3
3
= π
S3 =
Mk∆xk = π
3
2 + 1 +
2
3
≈2, 86.
 √
!
k=1
√


3
X
2) Разобьем отрезок [0, π] на 6 равных частей:
0 < π
6 < π
3 < π
2 < 2π
3 < 5π
6 < π.
Найдем наименьшее и наибольшее значение функции на каждом
частичном отрезке:
0, π
:
m1 = sin 0 = 0,
M1 = sin π
6
6 = 1
2;
h
i
√
3
:
m2 = sin π
6 , π
3
6 = 1
2,
M2 = sin π
3 =
2 ;
hπ
i
√
3
:
m3 = sin π
3 , π
2
3 =
2 ,
M3 = sin π
2 = 1;
hπ
i
√
3
:
m4 = sin 2π
2 , 2π
3
3 =
2 ,
M4 = sin π
2 = 1;
π

√
3
:
m5 = sin 5π
3 , 5π
6
6 = 1
2,
M5 = sin 2π
3 =
2 ;
2π

:
m6 = sin π = 0,
M6 = sin 5π
6 , π
6 = 1
2.
5π

Итак, нижняя сумма Дарбу
√
1 +
3
s6 =
mk∆xk = π
6
≈1, 43,
k=1


6
X
верхняя сумма Дарбу
√
3 +
3
S6 =
Mk∆xk = π
6
≈2, 48.
k=1


3
X

Глава 1. Интеграл Римана
Отметим, что
s3 < s6 <
w π
0 sin x dx < S6 < S3.
2. Вычислить по определению следующие интегралы:
dx
1)
x dx;
2)
1
w
2
w
b
w
x ;
3)
dx
x2 ,
b > a > 0.
a
0
1
Решение. Заметим, что все три подынтегральные функции
непрерывны на отрезках интегрирования, следовательно, интегрируемы. Интеграл Римана не зависит от способа разбиения отрезка
интегрирования на части и выбора отмеченных точек на каждом
частичном отрезке.
1) По определению
x dx = lim
ξk∆xk,
1
w
λ→0
0
k=1
n
X
где λ = max
1⩽k⩽n{∆xk},
0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1,
∆xk = xk−xk−1,
k = 1, 2, . . . , n.
Разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей точками:
xk = k
n,
k = 1, 2, . . . , n.
Ранг разбиения
λ = max
1⩽k⩽n{∆xk} = 1
n →0,
n →∞.
Выберем ξk = k
n  правые концы частичных отрезков.
Составим интегральную сумму:
k = 1
σn =
n = 1
n2
2n .
2
· n = 1 + n
n2 · 1 + n
k=1
k=1
k
n · 1
n
X
n
X

1.1. Понятие интеграла Римана
9
По определению
1 + n
x dx = lim
1
w
2n
= 1
2.
n→∞
λ→0 σn = lim
0
2) Разобьем отрезок [0, 1] на n частей точками, образующими
геометрическую прогрессию:
x0 = 1,
x1 = q,
x2 = q2,
. . . ,
xn = qn = 2.
n
√
Следовательно, q =
2, а длина частичного отрезка
k−1
n
2
.
∆xk = qk −qk−1 = qk−1(q −1) = 2
1
n −1


Ранг разбиения
n−1
n
2
λ = max
1
n −1
→0,
n →∞.
1⩽k⩽n{∆xk} = 2


В качестве ξk возьмем середины частичных отрезков:
ξk = xk + xk−1
2
= qk + qk−1
2
.
Составим интегральную сумму:
1
2
σn =
· ∆xk =
ξk
qk−1(q + 1)qk−1(q −1) =
k=1
k=1
n
X
n
X
n
√
= 2nq −1
2 −1
n
√
q + 1 = 2n
2 + 1.
По определению интеграла Римана
n
√
dx
2 −1
2
w
n
√
x = lim
1
2n 1
n ln 2 = ln 2.
2 + 1 = 2 lim
n→∞n
n→∞
λ→0 σn = 2 lim
1

Глава 1. Интеграл Римана
3) Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a, b]:
a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
В качестве точек ξk возьмем
ξk = √xkxk−1,
k = 1, . . . , n.
Составим интегральную сумму:
1
=
Sn =
∆xk =
xk −xk−1
ξ2
k
k=1
k=1
xkxk−1
n
X
n
X
=
= 1
= 1
b.
−1
−1
x0
xn
xk
k=1
xk−1

1

a −1
n
X
По определению интеграла Римана
b
w
dx
x2 = lim
b.
a
λ→0 σn = 1
a −1
3. Найти пределы:
1) lim
;
n + 1 +
1
n + 2 + . . . +
1
n + n
n→∞

1

2) lim
.
(n + 1)2 +
n
(n + 2)2 + . . . +
n
(2n)2
n→∞

n

Решение. 1) Заметим, что выражение
1
+
1
+ . . . +
1


n + 1 +
1
n + 2 + . . . +
1
n + n = 1
n
1 + 1
1 + 2
1 + n
n
n
n


1


является интегральной суммой для функции f(x) = 1
x на отрезке
[1, 2], разбитом на n равных частей, с точками ξk (k = 1, . . . , n) 
правыми концами частичных отрезков.