Гидродинамика и тепломассообмен пленочных течений в полях массовых сил и их приложения

ГИДРОДИНАМИКА 

И ТЕПЛОМАССООБМЕН 
ПЛЕНОЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ 
В ПОЛЯХ МАССОВЫХ СИЛ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ì.È. ØÈËßÅÂ
À.Â. ÒÎËÑÒÛÕ

МОНОГРАФИЯ

Москва 
ИНФРА-М 

202

Шиляев М.И.

Гидродинамика и тепломассообмен пленочных течений в по
лях массовых сил и их приложения : монография / М.И. Шиляев, 
А.В. Толстых. — Москва : ИНФРА-М, 2024. – 198 с. — (Научная 
мысль). — DOI 10.12737/603.

ISBN 978-5-16-009291-1 (print)
ISBN 978-5-16-100155-4 (online)

Проведено обобщение результатов теоретических исследований гид
родинамики и тепломассообмена пленок жидкости с переменной и постоянной вязкостью в полях массовых сил. Представлены результаты 
изучения гидродинамики и теплообмена пленочных течений расплавов 
в приложении к технологическим процессам производства минерального 
волокна. Построено равномернопригодное асимптотическое разложение 
для профиля свободной поверхности пленки расплава, формирующейся 
на вращающемся диске. 

Монография предназначена для специалистов, занимающихся при
менением пленочных течений в различных технологических процессах, 
и для научных работников и аспирантов, ведущих их изучение.

УДК 532.5:536.2(075.4)

ББК 22.253:31.31

Ш58

УДК 532.5:536.2(075.4)
ББК 22.253:31.31
 
Ш58

© Шиляев М.И., Толстых А.В., 2014

ISBN 978-5-16-009291-1 (print)
ISBN 978-5-16-100155-4 (online)

Р е ц е н з е н т ы:
С.В. Алексеенко — чл.-кор. РАН, директор Института теплофизики СО РАН;
А.Р. Богомолов — д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой теплоэнергетики 
ИЭ КузГТУ

ВВЕДЕНИЕ 
 

В настоящей монографии проведено обобщение результатов теорети
ческих исследований гидродинамики и теплообмена пленок жидкости с 
переменной и постоянной вязкостью в полях массовых сил, выполненных 
под руководством проф. М.И. Шиляева в период с 1994 по 2006 год. 
Наиболее подробно рассмотрены закрученные пленочные течения в приложениях к плазменным технологиям производства минерального волокна, развиваемым на кафедре прикладной механики ТГАСУ под руководством проф. Г.Г. Волокитина. Кроме того, в монографии представлены 
данные, касающиеся закономерностей совместного тепло- и массопереноса в неизотермических стекающих пленках жидкостей, в том числе и с 
вязкостью, экспоненциально зависящей от температуры. 

Большинство фундаментальных экспериментальных и теоретиче
ских исследований, позволяющих сделать заключение, что построена 
достаточно полная теория пленочных течений, относится к пленкам, 
формирующимся и движущимся под действием сил тяжести, иногда с 
учетом двухфазного взаимодействия свободной поверхности жидкости с 
набегающим газовым потоком. В сопоставлении с работами по течению 
жидких пленок на неподвижных поверхностях различной формы объем 
информации о пленочных течениях на вращающихся поверхностях значительно меньший, что особенно заметно для жидкостей с быстро меняющейся вязкостью. 

Тонкие пленки жидкостей представляют интерес в связи с переносом 

тепла и массы через их свободную поверхность. Центробежные силы, 
определяющие интенсивность процессов переноса в пленке на вращающихся поверхностях, могут быть значительно большими, чем силы тяжести, и варьирование их величины в определенных пределах не вызывает 
существенных технологических затруднений. Поэтому необходимые параметры пленочного течения могут быть более быстро сформированы в 
поле центробежных сил в технологических устройствах относительно 
небольшого размера, кроме того, изменение угловой скорости вращения, 
при условии знания основных закономерностей процесса, дает возможность управления толщиной пленки и интенсивностью ее теплообмена с 
окружающей средой. Все вышесказанное делает привлекательной пленку, 
движущуюся под действием центробежных сил для применения в широком спектре технологических процессов.  

В 1-й главе монографии предлагается классификация пленочных те
чений и краткий обзор литературы, иллюстрирующий состояние на 
настоящий момент как теоретических, так и экспериментальных исследований закрученных жидких пленок и пленок с переменной вязкостью. 

Во 2-й главе проведен анализ теплообмена с фазовыми превращения
ми в тонких стекающих неизотермических пленках  жидкости на начальном термическом участке и выполнено сравнение полученных резуль- 
татов с известными аналитическими решениями. Получена явная зависимость для толщины пленки на начальном участке ее стекания из щелевого 
распределителя. Предлагается метод расчета адиабатического пленочного 
абсорбера, основанный на результатах анализа экспериментальных  
данных. 

Далее в 3-й и 4-й главе монографии поставлены и решены задачи о 

движении вязкой несжимаемой жидкости по внутренней поверхности 

 

вращающегося цилиндра и на вращающемся диске. Рассмотрены некоторые частные случаи, проведено сопоставление теории с экспериментом. 
Прояснены вопросы физики течения в этих случаях. Установлено, что на 
начальном участке течения пленки жидкости с постоянной вязкостью по 
поверхности вращающегося диска при преобладающем влиянии сил 
инерции и сил вязкого трения возможно возникновение немонотонного 
профиля свободной поверхности. 

В 5-й главе поставлена сопряженная задача ламинарного течения газа 

с пленкой жидкости на стенке в контактном элементе, представляющем 
собой цилиндрический канал (трубу) со шнеком, и получено приближенное аналитическое решение. Рассмотрен процесс массообмена в пленке 
жидкости. Построены и решены дифференциальные уравнения для толщины диффузионного пограничного слоя и концентрации абсорбируемого вещества на стенке устройства. Получены выражения, описывающие 
зависимости для коэффициента массопередачи от коэффициента диффузии и проведено их сравнение с аналогичными уравнениями, известными 
в теории гравитационных пленочных абсорберов. 

В 6-й главе представлены результаты изучения гидродинамики и теп
лообмена пленочных течений расплавов в приложении к технологическим процессам производства минерального волокна. Решена задача о 
гидродинамике и теплообмене стекающей пленки расплава, образующейся при плавлении брикета из стеклообразующего сырья низкотемпературной плазмой в технологии производства минерального волокна. Проведенное исследование представляет интерес для теории стекающих пленок жидкости переменной вязкости и позволяет реализовать на практике 
необходимую по технологии стационарность гидродинамических и теплообменных процессов. Выяснены основные закономерности закрученных пленочных течений жидкостей с переменной вязкостью, зависящей 
от температуры, внутри вращающегося цилиндра и на поверхности вращающегося диска. Построено равномерно пригодное асимптотическое 
разложение для профиля свободной поверхности пленки жидкости (расплава), формирующейся на вращающемся диске, справедливое на любом 
расстоянии от центра вращения диска. Найдены критические параметры 
образования гарнисажного слоя и определено его влияние на движение 
пленки расплава. Проведен анализ устойчивости пленочного течения 
жидкости с переменной вязкостью к длинноволновым возмущениям малой амплитуды, исходя из полученных результатов сделаны рекомендации по выбору технологических условий, способствующих эффективному формированию минеральных волокон. 

В связи с потребностью на начальном этапе технологического процес
са производства минерального волокна приготовления порошков нужного 
гранулометрического состава, подлежащих плавлению и вытяжке в различных дисковых, валковых и другого типа реакторах, в монографию 
включена 7-я глава. Представленные в ней результаты могут служить 
основой для выбора и расчета вариантов классификаторов, соответствующих потребностям конкретных технологий. 

Авторы надеются, что систематизированные результаты и методы ис
следований, изложенные в монографии, будут полезны как для специалистов, занимающихся применением пленочных течений в различных технологических процессах, так и для научных работников и аспирантов, 
ведущих их изучение в разнообразных усложненных физических условиях. 

1. СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ  
И ТЕПЛОМАССОБМЕНА В ПЛЕНКАХ ЖИДКОСТИ 

 

1.1. Классификация пленочных течений 

вязкой несжимаемой жидкости 

 

Течение тонкого слоя жидкости, имеющего свободную границу, под 

действием массовых и (или) поверхностных сил называется пленочным. 
Такие течения выделены в отдельный класс в силу следующих особенностей, отмеченных в монографии [1]. 

1. Действие вязких сил в пленках всегда существенно, так как их тол
щина значительно меньше характерных размеров обычно реализуемых в 
природе и технике жидкостных потоков. 

2. Наличие свободной поверхности при малой толщине пленки обу
словливает сильное влияние на течение поверхностных возмущений. 

Жидкие пленки представляют собой физический объект, давно при
влекающий внимание ученых. Необходимость же их исследования определяется не только чисто научным интересом, но и потребностями практики. Различные технологические процессы в энергетике, химической, 
пищевой и других отраслях промышленности связаны с процессами 
нагрева, охлаждения, конденсации, испарения, абсорбции, десорбции и 
так далее, которые целесообразно проводить при пленочных течениях 
жидкости, что, во-первых, обеспечивает высокую интенсивность тепло- и 
массообмена, вследствие чего снижаются энергетические затраты, и вовторых, позволяет организовать эффективное управление этими процессами. 

Разнообразие областей применения жидких пленок достаточно полно 

проиллюстрировано в работе [1]. Теплообменники, конденсаторы, абсорберы, испарители, паровые котлы – вот далеко не полный перечень промышленных аппаратов, в которых достигается интенсивное взаимодействие между тонкой пленкой жидкости и потоком газа или твердой стенкой канала. 

Современное состояние теории пленочных течений вязкой не
сжимаемой жидкости нагляднее всего можно осветить на основе схемы, 
приведенной в [2]. Эта схема (рис. 1.1) представляет собой попытку построения классификации таких течений. Сделаем некоторые замечания.  
В классификацию не включены случаи, являющиеся очень редкими как в 
печати, так и при практической реализации, например, поведение пленки 
на нестационарно растягиваемой поверхности [3]. 

Несмотря на то что совместно рассматриваемое течение пленки жид
кости и газа является наиболее простой разновидностью двухфазного 
течения и допускает строгую постановку, его теоретическое исследование 
представляет определенные математические трудности, которые обусловлены необходимостью решения нелинейных уравнений Навье–
Стокса, энергии и диффузии, причем форма свободной поверхности, на 
которой ставятся граничные условия, не известна заранее и должна быть 
определена. 

Рис. 1.1. Классификация пленочных течений 

Наиболее изученными из пленочных течений являются так называемые стекающие (или гравитационные) пленки – самые характерные представители раздела 1.1. Успех теоретического исследования стекающих 
пленок обеспечивается, как правило, при существенном упрощении задачи, основанном на приемлемости приближения пограничного слоя. Это 
позволяет эффективно применять интегральный метод, которым получены основные результаты в данном направлении. Не останавливаясь подробно на достижениях в теоретическом и экспериментальном изучении 
стекающих пленок, отметим только ряд ставших классическими моно-
графий [1, 4–8] и обзорную работу [9], дающие исчерпывающее представление об исследованиях в этой области пленочных течений. 
Перейдем к более подробному описанию результатов исследований 
пленочных течений, соотносящихся с основными разделами классификации рис. 1.1. 

1.2. Пленочные течения в поле центробежных сил, 

направленных вдоль слоя жидкости 

 

Характерным представителем раздела 1.2 (рис. 1.1.) являются пленки 

на вращающемся диске (назовем их, по аналогии с предыдущими, центробежными). Необходимость выделения таких течений в отдельную область обусловлено следующими принципиальными физическими особенностями. Первая относится к более существенному по сравнению со стекающими пленками влиянию газового потока. Причина этого заключается в том, что пленка на поверхности вращающегося диска действует на 
газ как шероховатая стенка. Поэтому движение газа, как правило, турбулентно и, следовательно, воздействие его на течение жидкости значительно [10, 11]. Во-вторых, в отличие от стекающих пленок, в которых 
вдоль по течению возмущения растут и приводят к турбулизации потока, 
в пленках на вращающемся диске имеет место и обратный процесс – затухание возмущений на определенном расстоянии. Действительно, движущая центробежная сила увеличивается в направлении течения пленки. 
Под ее действием при удалении от оси вращения поток ускоряется и толщина пленки уменьшается. Влияние вязких сил становится все более существенным и гасит возмущения. Следовательно, центробежное пленочное течение характеризуется двумя критическими параметрами, отвечающими один – за переход ламинарного течения в турбулентное, другой – 
за ламинаризацию возмущенного потока [12, 13]. 

В отличие от гравитационных, центробежные пленочные течения изу
чены недостаточно хорошо. Среди сравнительно немногочисленных публикаций преобладают экспериментальные работы и численные исследования. Это означает, что на данном этапе идет накопление материала. 

 

1.2.1. Ламинарное течение пленок жидкости 

на вращающемся диске 

 

В [14] впервые приводятся результаты расчетов ламинарного погра
ничного слоя на вращающемся диске разностным методом в случае равномерных начальных профилей компонент скорости. Получено аналитическое условие устойчивости ламинарного течения в пограничном слое, 
определены критерии перехода ламинарного течения в турбулентное. 
Авторы [12] рассматривали течение двух несмешивающихся жидкостей 
на вращающемся диске. Получены аналитические зависимости для определения толщины движущихся слоев и распределения скоростей в них. 
Проведена экспериментальная проверка полученных зависимостей и 
установлена удовлетворительная согласованность теории и эксперимента 
в области малых расходов жидкостей. 

В [15, 16] получены асимптотические решения для относительно тон
ких пленок, образующихся на вращающихся дисках. Наиболее полные и 
обоснованные результаты по асимптотике для течений тонких пленок 
приведены в работах [16, 17]. Авторы [16, 17] показали, что на достаточном удалении от источника жидкости в качестве решения вдали от входа 

можно принять первый член асимптотического разложения по параметру 

1/4
2

*
2

4π νω
9
r
r
Q



= 





 решения уравнений Навье–Стокса. И при малых значе
ниях числа Россби Ro
/ (ω )
u
r
=
(u – радиальная компонента скорости в 

пленке) главные члены разложений для радиальной скорости и толщины 
пленки δ имеют вид 

2
2
2
ω δ
1
,
ν
δ
2 δ

r
z
z
u





=
−











                                (1.1) 

1/3

2
2

3
ν
δ
,
2π ω

Q

r



= 




 

где r и z – радиальная и вертикальная координаты, ω – угловая скорость 
вращения диска, ν – кинематическая вязкость жидкости, Q – объемный 
расход жидкости. Также были получены члены более высокого порядка 
бесконечного ряда, где распределение скорости поперек пленки приводится в виде полиномов от безразмерной толщины пленки.  

В [18] найдено решение специального вида, ограниченное областью 

применения центробежных насадок, получены зависимости для толщины 
пленки. 

Авторы [19] провели численный расчет стационарного осесиммет
ричного течения пленки вязкой жидкости по поверхности вращающегося 
диска. В [19] приведены примеры расчетов зависимостей толщины пленки, средней радиальной скорости от радиуса при различных профилях 
начальных компонент скорости. Выявлено немонотонное поведение толщины пленок в зависимости от начальных профилей скорости и значений 
гидродинамических параметров. Установлено, что на достаточном удалении от центра вращения диска результаты численных расчетов толщины 
пленки согласуются с асимптотической формулой (1.1). 

Решение двухмерного уравнения движения для ламинарной пленки на 

поверхности вращающегося диска [20] дает следующую зависимость для 
определения относительной окружной скорости пленки: 

8/3

φδ

п

ω
1,8
,
ω

r
w
r

r
l

−
−


=






 

(
)

0,25
2
2

п
/ (4πρ νω)
,
l
G
=
 

где 
φδ
w  – окружная скорость жидкости на поверхности пленки, G – 

весовой 
расход 
жидкости, 
ρ 
– 
плотность 
жидкости. 
При 

φδ
(ω
) / (ω )
0,05
r
w
r
−
≤
 можно пренебречь отставанием пленки жидкости. 

Экспериментально установлено, что отставание окружной скорости 
φδ
w  

на поверхности пленки от ωr существует на входном участке при rвх < 3lп. За 
пределами входного участка 
φδ
ωr
w
−
 асимптотически приближается к 0. 

В [21] получено численное решение для средних по толщине скоростей при движении ламинарной пленки на поверхности быстровращающегося диска. Найдены зависимости для определения радиальной скорости движения пленки. Получены уравнения для расчета угловой скорости 

вращения пленки жидкости. Установлено, что при 
0δ
0,5
′ ≤
 (
0
0
ω
δ
δ
,
ν
′ =
 

где δ0 – начальная толщина пленки) угловая скорость вращения пленки 
жидкости равна скорости вращения самого диска. 

Влияние на движение пленки сдвигового напряжения воздуха и шероховатости диска является предметом изучения публикаций [22, 23], где 
уравнение, описывающее течение жидкости, решается разностными методами. Выяснено, что учет трения на границе газ – жидкость приводит к 
ускорению процесса утончения пленки. 
Продуктивными среди численных исследований следует признать расчеты, основанные на предположении об автомодельности профиля скорости. В публикациях [24, 25] такой подход позволил получить близкие к 
экспериментальным данным результаты для толщины пленки. 
К этому же классу пленочных течений относятся и случаи, рассмотренные в упрощенных постановках в работах [26–29]. В первой из них в 
предположении малости инерционных членов изучается растекание струи 
жидкости на пластине, вектор угловой скорости вращения которой лежит 
в ее собственной плоскости. 
В [27–29] с помощью интегрального метода проводится анализ гидродинамики центробежного аппарата с вращающимся спиральным каналом 
и тепломассообменных процессов, в нем происходящих. Воздействие 
газовой среды учитывается заданием постоянного касательного напряжения на границе газ – жидкость. 
Наиболее интересные экспериментальные результаты были получены 
авторами работ [16, 30]. В [16] проводится сравнение экспериментальных 
данных по толщине пленки с главным членом асимптотического разложения (1.1). Выяснено, что группирование параметров, предложенных 
асимптотической теорией, хорошо коррелирует с результатами измерений в независимых переменных, определяющихся свойствами жидкости 
и потока. Двухмерное асимптотическое решение дает хорошее приближение для определения толщины пленки. Экспериментально измеренные 
толщины пленки лежат ниже асимптотических, что объясняется значительным влиянием трения о воздух на границе раздела фаз при малых 
толщинах пленки. В [30] измерена средняя толщина жидкой пленки со 
свободной поверхностью (вода) на неподвижном и вращающемся горизонтальном диске. Измерения проводились при умеренных частотах вращения (в диапазоне 0–300 1/мин) и значительных расходах жидкости. 
Толщина пленки на вращающемся диске зависит от влияния инерционных сил и силы трения вблизи оси диска и от влияния центробежных сил 
вблизи края диска, что обусловливает наличие максимума на начальном 
участке течения и последующее монотонное уменьшение толщины пленки. 

Проведенный выше анализ литературы позволяет сделать вывод о 

том, что пленочное течение на вращающемся диске с учетом влияния 
начального участка исследовалось ранее преимущественно экспериментально и с помощью численных расчетов, в связи с чем еще не построены универсальные аналитические зависимости, позволяющие оценивать 
параметры пленки жидкости с произвольными свойствами, формирующейся вблизи оси вращения диска. В то же время использование полученных результатов значительно облегчает дальнейшее исследование 
центробежных пленочных течений. Выявлено хорошее согласование 
асимптотических решений для толщины пленки с экспериментальными 
данными, т.е. применение асимптотических методов к исследованию 
течений тонких пленок на вращающемся диске дает хорошие качественные и количественные оценки параметров данного класса течений. 
Установлено также, что при малой начальной толщине пленки и достаточной вязкости жидкости отставание окружной скорости пленки от 
скорости вращения диска невелико и правомерно использование твердотельного приближения. 

 

1.2.2. Волновые режимы пленочных течений 

на вращающемся диске 

 

В современных тепломассообменных аппаратах широко распростра
нены пленочные течения жидкости под действием центробежных сил, 
сопровождающиеся волнами на поверхности раздела фаз. Интенсивность 
тепломассообмена в пленке жидкости, движущейся по вращающейся поверхности, связана с волновыми характеристиками потока. 

Основная часть информации о волновых пленочных течениях получе
на в результате экспериментальных исследований. Измерения максимальной толщины жидкой пленки на вращающемся диске впервые проведены авторами [31]. Максимальная толщина измерялась в вершинах 
образующихся на пленке волн. Визуальные наблюдения выявили образование ручьев, волн в окружном направлении и спиральных волн. Из экспериментальных исследований отечественных авторов наиболее значимые данные и их обобщения приведены в работах [32–36]. В [32, 33] описаны эксперименты по изучению волновых течений пленок жидкости в 
поле центробежных сил, движущихся по вращающемуся диску. В качестве жидкости используется вода при постоянной температуре. Жидкость 
подавалась строго по центру диска, перпендикулярно его плоскости. Для 
достоверности картины течения измерения проводились на таких расстояниях от центра вращения, которые исключали влияние входного участка 

(
)

0,25
2
2

вх
3
/ (4π νω)
.
r
Q
=
 Во всем диапазоне изменения параметров волны 

появляются уже при ReG ≥ 1,5 (ReG = 2G/(πμr), где μ – динамическая вязкость жидкости), причем процесс волнообразования не отличается от 
волновых течений под действием силы тяжести. Интенсивность волнообразования растет с увеличением расхода жидкости и с увеличением частоты вращения. Относительная интенсивность колебаний (
)
ср
δ / δ
∆
 на