Уравнения математической физики

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
КУРС
ИНФРА-М
2023

УРАВНЕНИЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
ФИЗИКИ

В.В. ЛЕСИН

Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для высшего образования по направлениям подготовки 
«Информатика и вычислительная техника» 
и «Прикладная математика» (квалификация — бакалавр)

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.193я73
 
Л50

Лесин В.В.
Уравнения математической физики : учебное пособие /
В.В. Лесин. — Москва: КУРС: ИНФРА-М, 2023. — 240 с.

ISBN 978-5-906818-61-4 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011340-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103523-8 (ИНФРА-М, online)
Учебное пособие предназначено для первоначального ознакомления 
с уравнениями математической физики и рассчитано на студентов технических специальностей, обучающихся по программам бакалавриата по направлениям подготовки «Прикладная математика» и «Информатика и вычислительная техника». 
Содержит систематическое изложение в доступной форме основ классической теории дифференциальных уравнений математической физики. 
Теоретический материал проиллюстрирован многочисленными примерами.
Может быть полезным также студентам других направлений подготовки, 
инженерам и преподавателям вузов.

УДК 517.3(075.8)
ББК 22.193я73

Р е ц е н з е н т:
кафедра «Высшая математика» РГУПС (зав. кафедрой профессор, 
д-р техн. наук К.С. Ахвердиев)

Л50

©  Лесин В.В., 2016
© КУРС, 2016
ISBN 978-5-906818-61-4 (КУРС)
ISBN 978-5-16-011340-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-103523-8 (ИНФРА-М, online)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве «КУРС»
Подписано в печать 23.03.2018.
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton.
Печать цифровая. Усл. печ. л. 15,0.
Тираж 20 экз. Заказ №
ТК 437900-520539-241116
ООО Издательство «КУРС»
127273, Москва, ул. Олонецкая, д. 17А, офис 104.
Тел.: (495) 203-57-83.
E-mail: kursizdat@gmail.com http://www.kursizdat.ru
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru  http://www.infra-m.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов тех
нических специальностей, обучающихся по направлениям подготовки «Прикладная математика» и «Информатика и вычислительная 
техника» с квалификацией бакалавр. В нем изложены основы классической теории дифференциальных уравнений математической 
физики.

В соответствии с действующими Федеральными государствен
ными стандартами высшего профессионального образования требования к результатам математической подготовки бакалавров и инженеров во многом совпадают, хотя срок обучения бакалавров заметно 
меньше. Поэтому при сокращении количества часов, отводимых 
на аудиторную и самостоятельную работу студентов бакалавриата, 
они должны освоить основное содержание традиционной математической подготовки инженеров. При создании настоящего пособия 
было учтено это и ряд других обстоятельств, в частности современные содержание и уровень математической подготовки выпускников средней школы. Поэтому теоретический материал излагается 
по возможности в доступной форме, без излишней общности и сопровождается разбором многочисленных примеров, а также наглядными иллюстрациями. При этом сохранена достаточная строгость 
и целостность изложения учебного материала. Пособие снабжено 
приложениями, содержащими сведения из некоторых разделов математики (элементы теории скалярных и векторных полей, уравнение и функции Бесселя и др.), необходимые при изложении основного материала.

В тексте используется двойная нумерация формул, рисунков, 

таблиц и теорем: первая часть номера указывает на главу или приложение, а вторая —  на номер внутри этой главы или приложения. Например, (5.3) и (П2.3) —  это номера формул № 3 из главы 5 и приложения 2 соответственно. Начало и конец доказательств утверждений, 
а также решений примеров отмечены знаками  и  соответственно.

Глава 1

ВВЕДЕнИЕ  

В матЕматИчЕСкую фИзИку

1.1. Предмет математической физики

Согласно определению В. С. Владимирова [2], математическая 

физика —  это теория математических моделей физических явлений. 
Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней —  
математическое доказательство. Однако в отличие от чисто математических наук в математической физике исследуются физические 
задачи на математическом уровне, а результаты представляются 
в виде теорем, графиков, таблиц и т. д. и получают физическую интерпретацию.

Первоначально математическая физика сводилась к краевым за
дачам для дифференциальных уравнений. Это направление составляет предмет классической математической физики, которая сохраняет важное место среди разделов прикладной математики и в настоящее время. Классическая математическая физика развивалась 
со времен Ньютона параллельно с развитием физики и математики. 
В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интегральное 
исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные 
законы классической механики и закон всемирного тяготения 
(И. Ньютон). В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн, стержней, маятников, 
а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, 
Д. Бернулли, Ж. Лагранж, К. Гаусс, П. Лаплас). В XIX в. методы математической физики получили новое развитие в связи с задачами 
теплопроводности, диффузии, теории упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессам и т. д.; создаются 
теория потенциала, теория устойчивости движения (Ж. Фурье, 
С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Дж. К. Максвелл, Б. Риман, С. В. Ковалевская, Д. Стокс, 
Г. Р. Кирхгоф, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт, 
Ж. Адамар). В XX в. возникают новые задачи газовой динамики, 
теории переноса частиц и физики плазмы.

В настоящем пособии изложены основы классической математи
ческой физики. Среди многочисленных задач этого раздела математики традиционно особое внимание уделяется следующим дифференциальным уравнениям:

а) волновое уравнение, см. главу 5;
б) нестационарное уравнение теплопроводности (глава 6);
в) уравнения Пуассона и Лапласа, см. главу 7.
Все они являются дифференциальными уравнениями с частными 

производными.

1.2. уравнения в частных производных  

(основные определения)

Многие задачи математической физики приводят к дифференци
альным уравнениям в частных производных, т. е. уравнениям, связывающим независимые переменные, неизвестную функцию этих переменных и ее частные производные. Перечислим основные понятия, 
относящиеся к таким уравнениям.

1. Пусть D —  область в n-мерном пространстве n точек 

x = (
,
,
)
x
x
xn
1
2
 
 ..., 
. Рассмотрим следующее уравнение относительно 

неизвестной функции u
u x
x
xn
( )
(
,
, ...,
)
x =
1
2
 
 
 
, x ∈ D:

 

F
u u
u
u
u
u
u
x
x
x
x x
x x
x x
n
n n
x, ,
,
, ...,
,
,
, ...,
, ...,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1 1
1 2




u
u
u
x
x
x
x x
x
x

k
k

n
n

k

1
1
1
1

1

2
...
...
...
,
, ...,

 раз
 раз
 р

 
 
 

аз



 = 0,
 
(1.1)

где для частных производных 
∂

∂
∂

m

i
i

u

x
x m
1...
 используется обозначение 

ux
x
i
im
1...
, а F( )⋅  —  заданная функция, которая может зависеть только 

от части перечисленных в (1.1) аргументов, но обязательно зависит 
хотя бы от одной частной производной k-го порядка функции u( )
x . 

Поскольку порядок старшей производной в уравнении (1.1) равен k, 
это уравнение называют дифференциальным уравнением в частных 
производных k-го порядка.

В дальнейшем, если число независимых переменных n = 3, мы 

будем обозначать эти переменные буквами x, y и z, а не символами 
x1, x2 и x3.

пример 1.1. Указать порядок k уравнений в частных производных:
а) u
u
u
e
x
y

xy
+
+
+
=
2
0
cos
;

б) u
u
u
u
xyz
xx
yy
zz
+
+
+
=
;

в) (
)
x
y
u
xy u
y u
u
xy
xxy
xy
x

2
2
3
2
2
0
+
+
+
=
.

 а) k = 1; б) k = 2; в) k = 3. 
2. Заданная в области D функция u(x), непрерывная в D вместе 

со всеми своими частными производными, входящими в уравнение 
(1.1), и обращающая его в верное равенство при всех x ∈ D, называется классическим решением (просто решением) этого уравнения. Всякое решение u(x), описанное выше, называется частным решением 
уравнения (1.1). Множество всех частных решений образует общее 
решение этого уравнения.

3. Отметим принципиальное различие общих решений обыкно
венного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных. Как известно, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения k-го порядка представляет собой семейство 
функций, зависящее от k произвольных постоянных. А общее решение 
уравнения в частных производных может зависеть от произвольных 
функций, обладающих необходимой степенью гладкости.

пример 1.2. Записать общее решение обыкновенного дифферен
циального уравнения второго порядка

 
′′
+
=
y
t
y t
( )
( )
w2
0,

описывающее, в частности, малые колебания маятника.

 Общее решение имеет вид

 
y
C
t
C
t
=
+
1
2
cos
sin
w
w ,

т.е. зависит от двух произвольных постоянных C1 и C2. 

пример 1.3. Найти общее решение уравнения в частных произ
водных первого порядка u
x
y
x =
+
.

 С помощью интегрирования уравнения по переменной x на
ходим: u
x
xy
C
=
+
+

2

2
, где C —  произвольная постоянная относи
тельно x. Таким образом, в качестве C можно взять произвольную 
функцию переменной y и представить общее решение уравнения 
в виде

 
u
x
xy
y
=
+
+

2

2
y( ).

Здесь y(y) —  произвольная непрерывная на прямой  функция 

(непрерывность y(y) обеспечивает непрерывность решения u x y
( , )
 , 

см. п. 2). 

пример 1.4. Найти общее решение уравнения в частных произ
водных второго порядка

uxy = 0. 
(1.2)

 Из равенства ∂

∂

∂

∂





 =
x

u x y

y

( , )
 
0 следует, что величина ∂

∂

u x y

y

( , )
 
 

не зависит от x, т. е.

 
∂

∂
=
u x y

y
C y
( , )
( )
 

1
, 
(1.3)

где C y
1( ) —  произвольная непрерывная функция. 

Далее, интегрируя уравнение (1.3) по переменной y, находим:

 
u x y
C y dy
C
x
( , )
( )
( )
 
=
+
∫
1
2
,

где C
x
2( ) —  произвольная непрерывно дифференцируемая функция. 

Введя обозначения Y( )
( )
y
C y dy
= ∫
1
 и F( )
( )
x
C
x
=
2
, окончательно, 

получим:

 
u x y
x
y
( , )
( )
( )
 
=
+
F
Y
, 
(1.4)

где F( )
x  и Y( )
y  —  произвольные непрерывно дифференцируемые 

функции. 

4. Конкретное (частное) решение обыкновенного дифференци
ального уравнения выделяют из общего решения, используя дополнительные условия. Обычно для уравнения n-го порядка в качестве 
дополнительных используют начальные условия, определяющие значения частного решения и его производных до (n - 1)-го порядка для 
начального (минимального) значения аргумента.

пример 1.5. Найти частное решение уравнения колебаний маят
ника (см. пример 1.2), если известно, что маятник отклонили от положения равновесия на A см в положительном направлении оси координат, зафиксировали и в начальный момент t = 0 отпустили.

 В данном примере заданы начальные условия, присоединив ко
торые к уравнению получим задачу Коши:

 
′′
+
=

=
′
=



y
t
y t

y
A y

( )
( )

( )
,
( )
.

w2
0

0
0
0
,

 

Найдя значения произвольных постоянных из начальных условий

y
C
C
A

y
C
C

C
C
( )
cos
sin

( )
sin
cos

0
0
0

0
0
0
0

1
0
1
2

1
2

1
2
=
+
=

′
= +
=



⇔
⋅ +
⋅
=

w
w

A

C
C

C
A

C
⋅
+
⋅
=



⇔
=
=


w
w
1
2

1

2
0
1
0
0,

получаем искомое частное решение: y
A
t
=
cosw . 

Подобно этому, в общем решении уравнения в частных производ
ных, содержащем произвольные функции (например, F( )
x  и Y( )
y  

в (1.4)), из дополнительных условий определяют конкретный вид 
этих функций, тем самым находя частное решение уравнения.

Однако в отличие от обыкновенных дифференциальных уравне
ний для уравнений в частных производных общее решение удается 
найти в редких случаях. Кроме того, для многих таких уравнений 
представление общего решения как явно зависящего от произвольных функций невозможно.

Поэтому для уравнений в частных производных частное решение, 

удовлетворяющее заданным дополнительным условиям, обычно 
ищут непосредственно, минуя общее решение.

1.3. Основные дифференциальные уравнения 

классической математической физики

Многие задачи естественных наук приводят к исследованию и ре
шению дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Например, математическое моделирование волн различной при
роды —  упругих, звуковых, электромагнитных, а также изучение 
других колебательных процессов приводят к волновому уравнению

 
u
c
u
u
u
f x y z t
tt
xx
yy
zz
=
+
+
+
2(
)
( , , , )
 
  , 
(1.5)

где u
u x y z t
=
( , , , )
 
   —  отклонение от положения равновесия точки 

( , , )
x y z
 
 
 среды в момент времени t; функция f x y z t
( , , , )
 
   характеризует 

внешнее воздействие в точке ( , , )
x y z
 
 
 в момент t, а c —  скорость рас
пространения волн данного типа.

Процессы распространения тепла, (а также диффузии) в одно
родных изотропных средах описываются уравнением теплопроводности

 
u
a
u
u
u
f x y z t
t
xx
yy
zz
=
+
+
+
2(
)
( , , , )
 
  , 
(1.6)

где u
u x y z t
=
( , , , )
 
   —  температура (или концентрация диффундиру
ющего вещества) в точке ( , , )
x y z
 
 
 в момент t; функция f x y z t
( , , , )
 
   

характеризует мощность источников или стоков тепла (или диффундирующего вещества); a2 —  коэффициент, зависящий от свойств 
среды.

При исследовании стационарного процесса распространения 

тепла или диффузии (ut = 0) уравнение (1.6) преобразуется в уравнение Пуассона

u
u
u
f x y z
xx
yy
zz
+
+
= ( , , )
 
  
(1.7)

(здесь f x y z t
f x y z t

a

( , , , )
( , , , )
 
  
= 2
).

При отсутствии источников и стоков тепла или вещества 

( f x y z t
( , , , )
 
  
= 0) уравнение (1.7) переходит в уравнение Лапласа

 
u
u
u
xx
yy
zz
+
+
= 0. 
(1.8)

Уравнения (1.7) и (1.8) описывают также потенциал электроста
тического или гравитационного поля: (1.7) —  при наличии в рассматриваемой области электрических зарядов или масс с плотностью 
распределения, пропорциональной величине f x y z t
( , , , )
 
  , а (1.8) —  

в области, свободной от зарядов и масс.

Уравнения (1.5)–(1.8) часто называют основными уравнениями 

(классической) математической физики. Каждое из них, как уже отмечалось в п. 1.2, имеет бесчисленное множество решений. При математическом моделировании конкретного физического явления, 
соответствующего одному из этих уравнений, нужно составить математическую модель так, чтобы из бесконечного множества решений уравнения выделялось то конкретное решение, которое описывает именно данное явление. Для этого к уравнению присоединяют 
дополнительные условия, вытекающие из физического смысла. Они 
называются также краевыми условиями.

Пусть одно из уравнений (1.5)–(1.8) описывает соответствующую 

физическую величину в области D ⊂ 3 с границей G. Для уравнений 
(1.7) и (1.8) краевыми условиями могут быть следующие граничные 
условия:

а) u
x y z
x y z
( , , )
( , , )
∈ =
G
m
 
  —  граничное условие первого рода;

б) ∂

∂
=

∈

u
x y z

x y z
n ( , , )

( , , )

G

n
 
 
 —  граничное условие второго рода;

в) 
∂
∂
+




=

∈

u
u
x y z

x y z
n
a
b

( , , )

( , , )

G

 
  —  граничное условие третьего рода.

Здесь ∂

∂

u
n —  производная функции u по направлению внешней 

нормали n к поверхности G (см. п. П2.2), а m( , , )
x y z
 
 
, n( , , )
x y z
 
 , 

a( , , )
x y z
 
  и b( , , )
x y z
 
  —  заданные функции. Если какая-либо из функ- 

ций m, n и b тождественно равна нулю, то соответствующее граничное условие называется однородным. Граничные условия 1-го, 2-го 
и 3-го рода определяют задачу Дирихле, задачу Неймана или задачу 
Пуанкаре соответственно.

Для уравнений (1.5) и (1.6), рассматриваемых во всем простран
стве 3 при t > 0, краевыми условиями могут быть начальные условия:

 
u x y z
x y z
( , , ,
)
( , , )
 
  
 
 
0 = j
, ( , , )
x y z
 
 
∈ 3

для уравнения теплопроводности (1.6) и

u x y z
x y z
( , , ,
)
( , , )
 
  
 
 
0 = j
, u x y z
x y z
t( , , ,
)
( , , )
 
  
 
 
0 = y
, ( , , )
x y z
 
 
∈ 3 
(1.9)

для волнового уравнения (1.5). Здесь j( , , )
x y z
 
 
 и y( , , )
x y z
 
  —  из
вестные функции. Эти условия определяют задачу Коши для данных 
уравнений.

Если краевая задача для уравнения (1.5) или (1.6) ставится 

не во всем пространстве, а в некоторой области G ⊂ 3, т. е.

 
D
x y z t
x y z
G
t
T
=
∈
<
<
{
} ⊂
( , , , ) | ( , , )
,
 
  
 
 
 0
4
,

то эта задача, помимо начальных условий, содержит также граничные условия, зависящие в общем случае и от времени t.

В большинстве случаев рассматривают классические решения кра
евых задач математической физики.

определение. Функция u(x) называется классическим решением 

краевой задачи математической физики, сформулированной для области D, если она:

а) определена и непрерывна в замкнутой области D;
б) обладает в области D всеми частными производными, входя
щими в уравнение, причем эти производные непрерывны в D;

в) обращает уравнение в верное равенство при всех x ∈ D;
г) удовлетворяет краевым условиям задачи.

Наряду с задачами с тремя пространственными переменными, 

в математической физике рассматриваются также математические 
модели, сводящиеся к краевым задачам для волнового уравнения 
и уравнения теплопроводности с двумя или одной пространственной 
переменной, а также к задачам для уравнений Лапласа и Пуассона 
с двумя пространственными переменными.

Например, одномерное волновое уравнение

 
u
c u
f x t
tt
xx
=
+
2
( , )
  
(1.10)

описывает малые поперечные колебания однородной струны, продольные колебания стержня и другие колебательные процессы.

Одномерное уравнение теплопроводности

 
u
a u
f x t
t
xx
=
+
2
( , )