Введение в теорию целых функций

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - МАГИСТРАТУРА серия основана в 1 996 г.



Т.А. ЛЕОНТЬЕВА





ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ


Учебное пособие





Допущено
               УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 (Прикладная математика и информатика) и 010300 (Фундаментальная информатика и информационные технологии)


Э л ектро н н о
znanium.com

Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту 3-го поколения


Москва ИНФРА-М 2013

УДК 517(075.8)
ББК 22.161.5я73
      Л47

           Рецензенты:
           В.С. Панферов — доцент кафедры общей математики МГУ им. М.В. Ломоносова;
           В.В. Власов — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа МГУ им. М.В. Ломоносова



    Леонтьева Т.А.                                                    
Л47 Введение в теорию целых функций: Учеб. пособие. --- М.:           
    ИНФРА-М, 2013. --- 95 с. --- (Высшее образование: Магистра-       
    тура).                                                            
    ISBN 978-5-16-006242-6                                            
    Излагаются классические результаты, относящиеся к целым функ-     
    циям конечного порядка, вводится класс целых функций экспонен-    
    циального типа. Рассматривается разложение целых функций в бес-   
    конечное произведение, их построение по заданной последователь-   
    ности нулей, а также применение целых функций к решению           
    дифференциальных уравнений и к вопросам полноты функций в         
    некоторых классах аналитических функций.                          
    Представлено большое количество задач и примеров для лучшего      
    усвоения и понимания тем. Изложение материала рассчитано на зна-  
    ние обязательного курса теории функций комплексного переменного.  
    Предназначено для студентов старших курсов математических фа-     
    культетов университетов, будет полезно также аспирантам и препода    вателям университетов и технических вузов.                        
                                                       ББК 22.161.5я73

ISBN 978-5-16-006242-6

© Леонтьева Т.А., 2013

                ПРЕДИСЛОВИЕ





   Данное пособие написано на основе чтения автором в течение многих лет специального курса по целым функциям для студентов 4-го и 5-го курсов факультета ВМК МГУ. Издание представлено в виде 17 лекций, почти каждая из них подкреплена или примерами, или набором задач. Пособие содержит более ста задач. Изложение материала рассчитано на знание обязательного курса теории функций комплексного переменного в объеме, рассмотренном автором, например, в учебнике «Лекции по теории функций комплексного переменного» (М.: Научный мир, 2004).
   В настоящем издании приведены классические результаты, относящиеся к целым функциям конечного порядка. Рассматриваются вопросы, связанные с разложением целых функций в бесконечное произведение, построение целых функций по заданной последовательности нулей. Доказываются теоремы Адамара и Бореля. Вводятся класс целых функций экспоненциального типа, ассоциированная функция по Борелю, сопряженная диаграмма и индикатриса роста. Также доказываются теоремы Полиа. Исследуются свойства интеграла Лапласа и связанное с ним операционное исчисление. Излагаются вопросы, связанные с применением целых функций к решению дифференциальных уравнений, вводится интерполяционный ряд Ньютона. Подробно рассматривается полнота функций в некоторых классах аналитических функций (теоремы Мюнтца, Маркушевича, Гельфонда). В конце лекций рассматриваются ряды Дирихле с вещественными и комплексными показателями. Приводится пример ряда Дирихле с комплексными показателеми, для которого не выполняется теорема единственности.
   Вводится понятие биортогональной системы функций к системе {ez nz}. В последней лекции рассматривается биортогональная система в классическом случае.
   Пособие рассчитано на студентов старших курсов математических факультетов университетов. Так как теория целых функций имеет большое применение в различных разделах высшей математики и физики, то темы, рассматриваемые в данном пособии, будут интересны и полезны также аспирантам и преподавателям как университетов, так и технических вузов. В конце лекций приводится список рекомендуемой литературы для лучшего усвоения курса.

3

                Лекция 1
                ПОРЯДОК И ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ





    Функция комплексного переменного f(z) называется целой, если она аналитична на всей комплексной плоскости С. Обозначение: f(z) е A(С).
    По теореме Тейлора такая функция разлагается в ряд:
^
f (z) = Х akZk, Izl <~k=1
    Радиус сходимости R =    1,— = ^ (lim nian = 0).
lim n\an\     nⁿ ^“
n ^^
    Введем обозначение: M(r) = max|f (z). Для коэффициентов ak
Izl=r
в разложении функции f(z) в ряд Тейлора справедливо неравенство Коши:
|ak| < Mk), k = 0,1,2,..., r > 0.

    Из теоремы Лиувилля следует, что если M(r) < Arq, r > 0, A не зависит от r, то функция f(z) — многочлен степени n < [q] (целая часть q), при этом если q = 0, то f(z) = const. Тем самым, если целая функция не многочлен, то M(r) растет быстрее любой степени r, r ^ ^.


      Определение. Функция f(z) — целая функция конечного порядка, если
3ц: M(r) < exp(rц), Vr > R₀.
   Назовем порядком p функции f (z) точную нижнюю грань ц:
p = inf ц.


   Из определения порядка следует, что Ve > 0
M(r) < exp(r p⁺e), V r > R (e),

3{rk}, rk ^ ^: M(rk) > exp(rkP e).
Таким образом,
            ln ln M(r)                      ln ln M(r)
---:                   < p + e;           :-> p - e, r = rk. lnr----------------------------lnr

4

Итак, порядок функции

т;— Inln M (r) p = lim        .
r ^", In r
   Если ни при каком ц неравенство M(r) < exp(rц) не выполняется, то говорят, что функция f(z) имеет бесконечный порядок (р = те).
   Например, функция f(z) = ez имеет порядок p = 1, а функция f(z) = exp( ez) — порядок p = те.


Определение. Пусть функция f(z) имеет порядок p, 0 < p < те. Функция f zz) имеет конечный тип при порядке р, если 3a > 0: M(r) < exp(arp), r > r0.
Точная нижняя грань a называется типом о функции f(z): inf a = о.


   Из определения типа следует, что Ve > 0:

M(r) < ехр[(о + e)rp], r > r0(e);
M(r) > exp[(o - e)rp], r = rk ^ те.
Таким образом,

lnM(r) rp

< о + e;

lnM(r)
— > о - e, r = rk ^ те rp

Итак, тип функции
In M (r) о = lim---—.
r ^~ r p
   Если ни при каком a не выполняется неравенство M(r) < exp(arp), то говорят, что функция f(z) имеет при порядке p бесконечный тип: о = те. Если о = 0, то говорят, что функция f(z) имеет минимальный тип, а если 0 < о < те, — нормальный тип.


Примеры
   1. Функция f(z) — многочлен, т.е.
f(z) = a0 + a 1 z + ... + anzⁿ, an * 0, n 6 N.
Многочлен имеет порядок p = 0.
   2.    Функция f(z) = eP⁽z⁾, где P(z) — многочлен, P(z) = a₀ + a₁z + ... + + anzⁿ, an * 0.
   Покажем, что порядок p = n, тип о = |aₙ|. В частности, для функции f(z) = ez порядок p = 1, тип о = 1.

5

  Так как | f(z)| = eReP(z), то для Ve > 0 и r > R(e) справедливы оценки:
ReP(z) < |P(z)| < rn[|an| + ... + |a₀|] < rn(|an| + e).
Тем самым
| f(z)| < exp[r ⁿ(|aₙ| + e)].
                                               a I I -i
  С другой стороны, пусть arg(an) = а и z = \z\e n, тогда
  ReP(z) = |aₙ|rⁿ + Re[aₙ₋₁zⁿ⁻¹ + ... + a₀] > rⁿ(|aₙ| - e), Vr > R₁(e),
или
                                                а
| f(z)| > exp[ rn (| an | - e)], arg z = - -.
Итак, p = n, g = | an |.
   3.     Пусть функцияf(z) имеет порядок p, 0 < p < ^ и P(z) — многочлен, тогда функция f₁(z) = f(z)P(z) имеет тот же порядок p.
   Пусть функция f(z) имеет порядок p, 0 < p < +^ и тип g, 0 < g < ^, тогда функция f₁(z) = f(z)P(z) имеет тот же порядок p и тип g.

   Рассмотрим теперь связь между ростом M(r) целой функции f(z) и скоростью убывания ее тейлоровских коэффициентов.


  Лемма 1.1. Пусть M(r) < exp( arц), r > r0. Тогда

                                     f a ц e '
n\an\ <1------- , n > n0
                                     V n J

  Д о к аз ат ел ьс т в о. Из неравенства Коши для тейлоровских коэффициентов будем иметь
             . . M (r) eaaц
an < ~n < — = ф⁽r), r > r0.
rr

Найдем минимум функции ф(r), для этого рассмотрим ln ф(r) =

                                   ф‘( r) .. ц-1 n
= arц - n ln r. Производная ln ф( r) есть -= ц arи —. Минимум
                                   ф( r)       r

функции ф( r) в точке r 1: ф‘( r 1) = 0, т.е. r1

1    ц n > —     при n > n₀, r 1 > r0.
aHj          ⁰¹⁰

Поэтому

an I

< ф(r1) =

enⁿ ц
n   nH п
f n '
V a H J

n/ц a ц e' nJ

n> n₀.

Лемма доказана. ■

6

   Справедлива также следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть nja^ <

      1/ ц а ц e'
n J

, n > n0, тогда

M(r) < exp[(a + e)rц], r > r0(e), e > 0.
    Д о каз ат ел ьс т в о. Из условия леммы 1.2 следует, что функция f(z) — целая и


n

n> n₀.


   Пусть N = N(r) — наименьшее целое, удовлетворяющее условию
1 ц
[ а ц e '  1
I NT J r < 2.
Найдем оценку для N(r):
N> ацe(2r)ц;  ацe(2r)ц < N(r) < ацe(2r)ц + 1.
При r > r₁ данное N(r) > n₀, поэтому при r > r₁ и n > N(r)

тс      тс
Wrn < 2n,  X КК <X2n = 1.
2   n= N      n=1 2
   Пусть m(r) — наибольший из членов |а0|, |а 1 r|, ..., |агп|, ..., т.е. так называемый максимальный член ряда. Имеем
           тс      N—1        тс
   M(r) < X\ап\г” = X \ап\г” + X \nn\n < N(r)m(r) + 1, r > rᵥ n=0              n=0     n=N
   Пусть m(r) = |а>|rs при некотором s. Если только функция f(z) не многочлен (а в этом случае лемма 1.2 очевидна), то при r ^ +тс следует, что s ^ +тс. Пусть s > n0 при r > r2, тогда при r > r2

s

< max
n eN

   1 ц а ц e ^ nJ

< max ф(t), t>1

r

1 ц 1 t r

    ж            (ац e \
где функция ф( t) = 1-^— I


При t ^ тс функция ф(t) ^ 0,

ф(1) = (ацe)¹/цr. Найдем точки, где ф‘(t) = 0. Рассмотрим lnф(t) = tln[(ацe)¹/цr] — - lnt. Производная ф‘( t)                                      1 ln t 1
(In ф( t)) =      = ln[( ац e )1ц r ] — — .
ф( t)                   ц ц

7

   Тогда ф‘( t) = 0 в точке t0 = a ц ru и ф( t0) = ear\ т.е. max ф( t) = eaa \ ⁰                               ⁰           t >1
поэтому

m(r) < eaau,

r>r₃= max(r₁, r₂).

Имеем

   M(r) < [aцe(2r)u + 1]earЦ + 1 < exp[(a + e)ru], e > 0, r > r₀(e). Лемма доказана. ■


ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОРЯДКА И ТИПА ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ КОЭФФИЦИЕНТЫ

                                        ж
   Теорема 1.1. Пусть f(z) — целая и f (z) = ^ aₙzⁿ, |z| < ж. Тогда по                                        n=0
рядок

77— n In n p = lim


n ^ж

ln —


(1.1)

a

Если порядок p, 0 < p < +ж, то тип g вычисляется по формуле (g e p)vp = lim n¹ p n/ani.
n ^ж
   Д оказательство. Пусть функция f(z) имеет порядок p < ж. Из определения порядка следует, что
M(r) < exp(r p⁺e), r > r₀(e).
   Из леммы 1.1 следует неравенство
1
f (p + e) e V+e n\an\ <|—-----     , ⁿ > ⁿ0,
                        k n )

поэтому

ln

aₙ

  nlnn
>     -cn,
  p+e

c=      ln(p+e)e, n>n₀

или

ln

1

nln n

aₙ

>, p+2e

nlnn

In — aₙ

<p+2e,

n> n₁.

8

Тем самым

77— n In n lim

n ^тс

In —

< p.

Пусть теперь

aₙ

= q.

aₙ

Если e > 0, то при n > n0 имеем

nlnn

In — aₙ

<q +e или

1

В силу леммы 1.2 справедливо неравенство

M(r) < e⁽a⁺e⁾rU

1

u = q + e, a =
e (q + e)

Следовательно, p < q. Окончательно получаем p = q.
   Пусть теперь p = тс, покажем, что и q = тс. Если бы q < тс, то по доказанному выше p < q, но это невозможно. Таким образом, для любого p, 0 < p < тс формула (1.1) доказана.
   Рассмотрим случай, когда функция f(z) имеет конечный порядок p и конечный тип о (0 < p < тс, g < тс).
   Из определения порядка и типа функции вытекает неравенство

             M(r) < exp[(G + e)rp], r > r0(e), e > 0.
По лемме 1.1 имеем оценку

nj\an\

<

1      1  "iV p
⁽g ⁺ e⁾ ep
     n _

n> n₀.

Отсюда
                      lim n¹ p n/jani < (gep)¹ p. n ^тс
Обозначим т = lim n¹ pnj\an , тогда
т + e n r aue ?u            (T + e)p     „
    n\an\ < i/p =1----I , U = p, a =----------, e> 0, n > n0
           n¹ p  < n J                   p e
В силу леммы 1.2 имеем оценку на M(r):
M(r) < exp[(a + e)r p], r > r₀(e),

9

поэтому

.     (т + £)р      . тр           1 р
о < a =  ----— или о < —, Т > (оер)¹ р.
                     р е           р е
Окончательно т = (о е р)¹/р.
   При о = тс формула также верна, так как, если при о = тс, т < тс, то из полученной выше оценки пришли бы к противоречию, т.е. если о = тс, то и Т = тс. ■


   Убедимся, что, каково бы ни было р, 0 < р < тс, существуют целые функции f(z), порядок которых равен р.

Примеры

                        I1 I nр  I 1
   1.0 < р < тс,   an = 1-1 |о =—
                        V nJ    V       е р
                     (1 I n£ n
   2.  р = 0,  an =1 n J    ,   £n > 0,  £n ^ 0.

                            n
                       I ¹ I lnnn
   3.  р = +тс,    an = I —     , n > 1.
                       V n J



   Покажем, что для любого р, 0 < р < тс и любого о, 0 < о < тс существуют функции, имеющие порядок р и тип о.

Примеры

n/ р
                       I о е р|
   1.0 < о < тс,  an = I
                       ч n J
                    I 1 I nр
   ². о 0,    an   I           .
                    V n ln n J
                           n р
In n I
       .
nJ

3. о = тс,        an =

тс

   Задача. Показать, что f (z) = порядка р = 1, тип о = тс.

тс
П|1 + z J е nJ

n=1

есть целая функция

,- zln

10