Задачник по высшей математике

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ

серия основана в 1 996 г. \\1

В.С. ШИПАЧЕВ




                ЗАДАЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ





        УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


10-е издание, стереотипное


Допущено
                              Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений



znanium.com
электронно-библиотечная система
Москва
ИНФРА-М
2024

УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
      Ш63






   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Рецензенты:
   кафедра высшей математики Московского государственного автомобильно-дорожного института;
   В.В. Федоров, д-р физ.-мат. наук (Московский государственный авиационный технологический университет)

      Шипачев В.С.
Ш63 Задачник по высшей математике : учебное пособие / В.С. Шипачев. — 10-е изд., стереотип. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 304 с. — (Высшее образование).

          ISBN 978-5-16-010071-5 (print)
          ISBN 978-5-16-101831-6 (online)

        Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для вузов. Содержит задачи и примеры по следующим важнейшим разделам: теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, высшая алгебра, ряды и дифференциальные уравнения.
        Приведены основные теоретические сведения, решения типовых примеров и задач, задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами, решениями и указаниями.
        Для студентов высших учебных заведений.



ISBN 978-5-16-010071-5 (print)
ISBN 978-5-16-101831-6 (online)


УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
© Шипачев В.С., 2015

Подписано в печать 13.11.2023.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Newton. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 19,0. ППТ50. Заказ № 00000 Цена свободная.
ТК 472450-2124772-250714

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр.1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

    Предисловие

   Настоящее учебное пособие написано автором на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий по высшей математике на нематематических факультетах в Московском государственном университете.
   «Задачник» специально приспособлен к курсу высшей математики, читаемому студентам нематематических специальностей вузов.
   В начале каждой темы кратко излагаются основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения последующих задач. Формулировки определений и теорем даются по книге автора «Высшая математика», являющейся учебником по высшей математике для студентов нематематических специальностей вузов. Приводятся решения типовых задач, даются задачи и упражнения для самостоятельной работы.
   При подборе задач были использованы различные сборники задач по высшей математике, в частности широко известные задачники «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Б. П. Демидовича и «Сборник задач по высшей математике» В. П. Минорского.
   «Задачник» может быть использован как под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения материала, так как большинство задач имеют ответы, а некоторые из них — решения и указания.
   Поскольку в «Задачнике» имеется большое количество подробно решенных типовых примеров и задач, поясняющих теоретический материал и способствующих более глубокому пониманию, он может быть использован в высших технических учебных заведениях, техникумах, средней школе, а также в гимназиях, лицеях и колледжах.
   Учебник «Высшая математика» и «Задачник» образуют единый учебно-методический комплекс. Автор считает, что эти книги существенно помогут студентам в изучении основ высшей математики и будут полезны для преподавателей.


Автор

    Глава 1

   ВЕЩЕСТВЕННЫЕ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ) ЧИСЛА

   § 1. Основные понятия

   1. Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Множество вещественных чисел разбивается на два множества: рациональных и иррациональных чисел. Рациональным называется число, которое можно представить в виде p/q, где р и q — целые числа, причем ^#0. Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным.
   Любое вещественное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби а, аь а₂, а₃ ... ап ..., где а — любое целое число, а а₂, а₃, ..., а„, ... — числа, принимающие целые значения от 0 до 9(0^ал^9).
   Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его можно представить в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа 3/4 и 1/3 представляются соответственно следующими десятичными дробями: 0,75 и 0,333 ...; иррациональные числа у/2 и л представляются соответственно непериодическими бесконечными десятичными дробями: 1,41421356... и 3,14159... .
   1.   Определить, какие из данных бесконечных десятичных дробей рациональные числа, какие — иррациональные: 5,424242...; 0,32375375...; 1,313013001...; 7,1308367... .
   2.   Доказать, что число
0,1010010001 ... 1000 ... 01 ... иррационально. п нулей
   3.   Привести пример, показывающий, что сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
   4.   Привести пример, показывающий, что разность двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
   5.   Доказать, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа а#0 и иррационального числа р есть число иррациональное.

4

   6.   Доказать, что yjl — иррациональное число.
   7.   Доказать, что у/b не является рациональным числом.
   2. Некоторые числовые множества. Пусть X — некоторое множество вещественных чисел. Тогда запись хеХ означает, что число х принадлежит X, а запись хфХ означает, что число х не принадлежит X.
   Если хь ..., хп— некоторые числа, то запись Х={хх, ..., хп} означает, что множество X состоит из чисел хь ... ,х„. Аналогичный смысл имеет запись Х={хь х₂, х₃, ...}.
   Пусть X и Y—два множества. Запись XaY означает, что X есть подмножество множества У.
   Пусть Р(х)—какое-то свойство числа х. Тогда запись {x|PfxJ} обозначает множество всех таких чисел, которые обладают свойством Р (х).
   Пусть а и Ь — два числа, причем а<Ь. Будем использовать следующие обозначения и терминологию:
   (х| д^х<М=[я, /?] — отрезок (сегмент);
   {х|а<х<Ь} = (а, Ь), {х\а<х} = (а, +оо), {х|х</>} = (—оо, Ь), {х| — оо <х<+оо} = (—оо, +оо) — интервалы;
   {х\а<х^Ь}=(а, 6], {х|а^х<Л}=[а, />), {х|а^х} = [а, +оо), {х|х^/>} = (—оо, Ь] — полуинтервалы.
   Все эти множества называются промежутками. Промежутки [а, Z?], (а, 6], [а, Ь) и (а, Ь) называются конечными; а и Ь — их концами. Остальные промежутки называются бесконечными.
   Вещественные числа изображаются точками на координатной прямой*, поэтому множество всех вещественных (—оо, 4-оо) называют числовой прямой, а сами числа — точками.
   Пусть а — произвольная точка числовой прямой и б (греческая буква «эпсилон») — положительное число. Тогда интервал (а — с, а 4-е) называется t-окрестностью точки а.
   8.   Чем отличается интервал (а, Ь) от отрезка [а, 6] ?
   9.   Из отрезка [а, £] удален интервал (а, Ь). Что осталось?
   10.   Из отрезка [1, 8] удален интервал (3, 5). Какие промежутки остались?
   11.   Из интервала (—10, 5) удален отрезок [—5, 3]. Какие промежутки остались?

   § 2. Грани числовых множеств

   Пусть X — непустое множество вещественных чисел.
   Определение. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует число с такое, что для любого хеХ выполняется неравенство х^с (х^с).

    *Напомним, что координатной прямой называется прямая, на которой выбраны точка, являющаяся началом отсчета, масштабный отрезок и положительное направление.

5

   Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X.
   Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.
   Примеры. 1. Любой конечный промежуток ограничен. 2. Интервал (а, 4- оо) есть множество, ограниченное снизу, но не ограниченное сверху. 3. Интервал (— оо, +оо) есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.
   Наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих множество X сверху (снизу), называется точной верхней (нижней) гранью множества X и обозначается символом sup У (inf А}*.
   Свойство точной верхней (нижней) грани. Как бы мало ни было число £>0, существует число хеХ такое, что x>supX—c (x<infX+ с).
   Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
   Если множество X не ограничено сверху (снизу), то пишут sup X = 4- оо (inf = — оо). „          rv                      „ (, 1          )
   Пример. Доказать, что множество X =< 1,   ..., ... > ограни                                       (23 п J чено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.
   Решение. При любом натуральном п выполняются неравенства 0<-<1, поэтому данное множество X ограничено. Таким п образом, число 1 — верхняя грань, а число 0 — его нижняя грань.
   Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества X, т. е. что supy=l. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо показать, что для любого е>0 существует 1 , натуральное число п такое, что выполняется неравенство - > 1 — е. п
Этим числом п является п = 1, так как 1 > 1 — е — верное неравенство для любого £>0, что и требовалось доказать.
   Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью множества X. Для этого надо проверить, что для любого £>0 существует натуральное число п такое, что выполняется неравен-¹ л              ¹                                  1
ство -<04-£ или  -<£. Решая неравенство, получаем  п>~. Взяв
     п           п                                  Е
                                 ¹ какое-нибудь натуральное число п>-, получим требуемое нераве                                 £
нство, а это, согласно свойству точной нижней грани, и означает, что число 0 является точной нижней гранью множества У, т. е. infy=O.

    *Supremum (лат.) — наивысшее, infinum (лат.) — наинизшее.

6

   Отметим, что данному множеству X точная грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань О не принадлежит и в этом множестве нет наименьшего числа.
   . _ „                      _ _ (12 3 л )
   12. Доказать, что множество У=              ... > ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества (п — натуральное число).
   13.    Приведите примеры числовых множеств X, у которых: а) вирУеУ; б) зирУ^У; в) infXeX; г) infy^y. Имеет ли множество X в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число?
   14.    Приведите пример числового множества X, когда inf X = sup X.
   15.    Приведите пример числового множества X, когда inf ХеХ, a sup ХфХ.
   16.    Можно ли утверждать, что для неограниченного числового множества X сверху (снизу) найдется бесконечное множество чисел, больших (меньших), чем любое наперед заданное число М>0?
   17.    Доказать, что множество Х={... — 3, —2, —1, 0, 1, 2, 3...} всех целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху, т. е. supy= 4-оо и inf —оо.
   18.    Доказать, что множество У={1, 2, 3, ...} натуральных чисел не ограничено сверху, т. е. sup Х= 4- оо.
   19.    Доказать, что, каковы бы ни были числа а и Ь, 0<а<Ь, существует такое целое число и>0, что ап>Ь.
   20.    Пусть X и Y — два непустых числовых множества. Доказать, что если Ус У, то: a) sup У^вирУ; б) inf Y^infX.
   21.    Пусть У и У — два непустых числовых множества. Доказать, что:
a) sup{z|z=x4-j; хеХ, yeY} = supy4-sup У;
б) inf {z|z=x-|-j; хеУ, jyey} = infУ-l-inf У.
   22.    Пусть У и У — два непустых числовых множества. Доказать, что если каждое хеУ меньше любого yeY и для любого £>0 существуют хеУ и yeY такие, что у — х<е, то sup У= inf У.

   § 3. Абсолютная величина вещественного числа

   Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х, если х>0, или число —х, если х<0.
   Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|. Таким образом,
, , (х,  если х>0,
х = <            Л
( — X, если х<0.
   Например, | + 5| = 5; |-5|=-(-5) = 5; |0| = 0.

7

   Основные свойства абсолютных величин: 1°. |х|>0. 2°. |х| = |-х|, 3°. — |х|^х<|х|, 4°. Неравенство |х|е(е>0) означает, что — е^х^е, 5°. Неравенство |х|>а(а>0) означает, что либо х>а, либо х< —а.
   6°. x±j|<|x| + M- 7°. |x±j|>|x| —[у|. 8°. |X-J|=|X| |у|.
   9°. -=^(У#О). у М
   Пример 1. Найти решения уравнений: 1) |х|=х+2; 2) |х| = =х—2; 3) х + 2|х| = 3.
   Решение. 1) При х>0 имеем х=х+2, откуда 0 = 2 — неверное равенство; следовательно, решений нет. При х<0 получаем — х = х+2, откуда х = — 1 — решение уравнения.
   2)     При х>0 имеем х=х—2, откуда 0= —2 — неверное равенство; следовательно, решений нет. При х<0 получаем — х=х—2, откуда х=1>0, что противоречит сделанному предположению х<0. Таким образом, уравнение не имеет решений.
   3)     При х>0 имеем х+2х=3, откуда Xi = l. При х<0 получаем х—2х=3, откуда х₂= — 3. Следовательно, xₜ = l и х₂= — 3 —

решения уравнения.
   Пример 2. Решить уравнение |х —5| = х—5.
   Решение. По определению, |х| = х при х^О. Следовательно, данное уравнение представится в виде х— 5>0, откуда х>5.
   Пример 3. Решить неравенство |2х—1|>2х—1.
   Решение. Так как |х|>х только при х<0, то неравенство
Л ¹
справедливо для тех х, при которых 2х — 1 <0, откуда х<-.
   Пример 4. Решить неравенство |х—3|>2.
   Решение. В силу свойства 5° будем иметь х — 3>2 или х—3< — 2, откуда получаем ответ: либо х>5, либо х< 1.
   Пример 5. Доказать неравенство ||х| — [у||<|х—j|.
   Решение. В силу свойств 2° и 7° имеем
и |x-j| = |-fx-^| = ly-x|>|y|-|x|.  (1)
Умножая второе неравенство на —1, получаем
-|x-y|^|x|-|j|.                   (2)

Объединяя (1) и (2), найдем — |х—|х| — [у|<|х—у|, откуда в силу свойства 4° ||х| —[у||^|х—у|.

Решить уравнения и неравенства:                                      
23. х|= --- х.                      24. х|>х.                        
25. х-2|<3.                  26. х-1|>2.                             
27. х|=х+1.                  28. х|<х+1.                             
29.                              30. |х2 ---5х + 6|= ---(х2 ---5х+6).
х + 1  х+1                                                           

8

31. |х2 ---5х + 6|>х2 --- 5х+6.          X--- 1 X---1                   
                                   32.          as ---------------      
                                         х+1    X +1                    
33. |х+4| = |х-4|.                 34.   х---   t| + |l-2x|=2|x|.       
35. ||3-2х| --- 1| = 2|х|.         36.   sin х| ---sinx=2.               
37. х2 ---2|х| ---3 = 0.           38.   W-     •2|< 1.                 
39. ||2 ---Зх|---1|>2.             40.   (х2 + 2х+5) + (х---5)| = |х2 +  
                                         + 2х+5| + |х-5|.                
41. |(х*-4)-(х2+2)| =              42. | |х2-   Зх|>|х | ---|3х|.       
= |х4---4| ---|х2 + 2|.                                                 
43. |х-3| + |х + 3|>8.             44.   х+3|-|х+1|<2.                   
45. ||х---1|+2| = 1.               46.   |х+1| + 2|=2.                   
47. |xl-2|x+l| + 3|x+2| = 0.       48.   х---1  1|-|х| + |2х+3|>2х+4.   
49. |х --- Зх---3|>|х2 + 7х---13|. 50.   X2-    2х---3|<3х---3.         
51. х2-|Зх + 2|+х>0.               52. . х2 + 2|х + 3| ---10^0.          

Глава 2

   ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

   § 1. Числовые последовательности

   1. Определение числовой последовательности.
   Определение 1. Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, 3, ... п, ... поставлено в соответствие вещественное число х„, то множество вещественных чисел


хь х₂, х₃, ... , хп, ...


называется числовой последовательностью или просто последовательностью.
   Числа хь х₂, х₃, ... , хп, ... называются элементами (членами) последовательности, символ хп — общим элементом (членом) последовательности, а п — номером элемента. Кратко последовательность обозначают символом {хл}.




   Последовательности {х„+уп}, {хп—уп

7лт^0 называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей: {хл} и {ул}.

   Пример 1. Дана формула общего элемента последовательности хя=~~—. Написать пять первых элементов последователь-л+1

ности.
   Решение. Полагая последовательно л=1, 2, 3, 4, 5 в общем элементе хл, получаем Xj = l/2, х₂ = 2/3, х₃ = 3/4, х₄=4/5, х₅ = 5/6.


9

   1.     Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, заданных их общими элементами: 1) хп=——; 2) хл = 2л + 1
   л + ²         П             л-1 л+1       яп(лл/2)
⁼⁻7Т7; ³⁾ *"=—Гг ⁴) х"=(- 0    —; 5) Х„=—.
  л³ + 1     ₂"+1                 п²           л

   2.     Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего элемента последовательностей:
      ¹  ¹ 1, . ¹ . 1 1
' ¹; З²’ 5²’ 7²’ }  Г2’ Г2*3; 1-2-3 4’

3) 1; 2-; 2-; 3-; 3-;4) 2; 10; 26; 82; 242; 730; ... ;
      4  9   16   25
5) -1; 1; -1; 1; -1; ... .

   3. Написать пять первых элементов и формулу общего элемента каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными соотношениями:
1) Х! = 1, хл₊1 = хя!; 2) Xi = l, хл₊1 = хл + 3; 3) Xj = l, хя₊, = (л+1)хя;
4) х₁₌2, хл₊₁=хл 3; 5) х₁ ₌ 1, хл=х₁4-х₂-+-...4-х„_₁.


   4.    Последовательность {хл} задается двумя первыми элементами Xi=0, х₂ = 1 и рекуррентным соотношением хя₊₂ = хя₊₁ —хл для любого 1. Найти х% и х₈₈₅.
   2.   Ограниченные и неограниченные последовательности.
   Определение 2. Последовательность {хл} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (т) такое, что любой элемент х„ этой последовательности удовлетворяет неравенству хп^М (хп^т).
   Определение 3. Последовательность {хл} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа т и М такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам т^хп^М.
   Определение 4. Последовательность {хл} называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент хп этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |хл| > А.
   Пр     имеры. 1. Последовательность 1, 2, 3, ... , л, ... ограничена снизу (т= 1 ), но не ограничена сверху.
   2.    Последовательность —1, —2, —3, ..., —п, ... ограничена сверху (A/= — 1), но не ограничена снизу.
      „                  1 ¹ ¹     ¹
   3.   Последовательность 1,   ..., -, ... ограничена, так как
2 3     п
0<хл<1 (тл = 0, Л/=1).

10