Математическая статистика. Практикум

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА. 

ПРАКТИКУМ

Т.Г. АПАЛЬКОВА
В.И. ГЛЕБОВ
С.А. ЗАДАДАЕВ
С.Я. КРИВОЛАПОВ
К.Г. ЛЕВЧЕНКО

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 519.22(075.8)
ББК 22.172я73
 
А76

Р е ц е н з е н т ы:

Н.В. Белотелов, кандидат физико-математических наук, доцент, 

старший научный сотрудник Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской Академии Наук;

О.В. Шашков, кандидат физико-математических наук, доцент, до
цент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации

ISBN 978-5-16-017913-1 (print)
ISBN 978-5-16-110927-4 (online)

©  Апалькова Т.Г., Глебов В.И., 

Зададаев С.А., Кривола пов С.Я., 
Левченко К.Г., 2023

Апалькова Т.Г.

А76  
Математическая статистика. Практикум : учебное пособие / 

Т.Г. Апалькова, В.И. Глебов, С.А. Зададаев [и др.]. — Москва : 
ИНФРА-М, 2024. — 254 с. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/1896790.

ISBN 978-5-16-017913-1 (print)
ISBN 978-5-16-110927-4 (online)
В учебном пособии приведены условия задач и решения примеров 

по основным разделам математической статистики с использованием 
Microsoft Excel и языка R.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономи
ческим специальностям.

УДК 519.22(075.8)

ББК 22.172я73

Авторский коллектив

Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации

Апалькова Тамара Геннадьевна — кандидат экономических 
наук, доцент, доцент департамента математики.
Глебов Владимир Ильич — кандидат физико-математических 
наук, доцент, доцент департамента математики.
Зададаев Сергей Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент, руководитель департамента математики.
Криволапов Сергей Яковлевич — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент департамента математики.
Левченко Кирилл Геннадиевич — кандидат физико-математических наук, доцент департамента математики.

Основные обозначения

( )
A
P
 — вероятность события A.
(
)
|
A B
P
 — условная вероятность события A при условии события B.
( )
X
F
x  — функция распределения случайной величины X.
( )
X
f
x  — плотность распределения случайной величины X.
(
)
X
E
 — математическое ожидание случайной величины X.
2
(
),
X
X
σ
Var
 — дисперсия случайной величины X.

X
σ  — стандартное (среднее квадратическое) отклонение случайной величины X.
(
)
k X
ν
 — начальный момент k-го порядка случайной величины X.
(
)
k X
μ
 — центральный момент k-го порядка случайной величины X.

X
A  — коэффициент асимметрии случайной величины X.

X
E  — коэффициент эксцесса случайной величины X.

med
x
 — медиана случайной величины X.

mod
x
 — мода случайной величины X.
xα — квантиль уровня α случайной величины X.

1
x
α
−α
ω
=
 — 100 %
α
-ная точка случайной величины X.
Bin( ; )
n p  — случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n и p.
Pois( )
λ  — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром λ.
Geom( )
p  — случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p.
( ; )
a σ
— случайная величина, распределенная по нормальному 
закону с параметрами a и σ.
zα — квантиль уровня α стандартной нормально распределенной 
случайной величины X.
( , )
a σ
— случайная величина, распределенная по логнормальному закону с параметрами a и σ.
Unif( ; )
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 
на отрезке [ ; ]
a b .
Exp( )
λ  — случайная величина, равномерно распределенная 
по экспоненциальному закону с параметром λ.

n
T  — случайная величина, распределенная по закону Стьюдента 
с числом степеней свободы n.

;n
tα  — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.

2n
χ  — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат 
с числом степеней свободы n.
2;n
α
χ
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n.

;n k
F
 — случайная величина, распределенная по закону Фишера 
с числом степеней свободы n и k.

; ;n k
fα
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Фишера с числом степеней свободы n и k.
cov(
,
)
X Y  — ковариация случайных величин X и Y.

xy
r  — коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

( )i
x
 — элемен ты вариационного ряда.

x — выборочное среднее.

(
)
2
2

1
ˆ
1 n

i
X
i
x
x
n =

σ
=
−
∑
 — выборочная дисперсия, смещенная оценка 

дисперсии генеральной совокупности.

2
ˆ
ˆ
X
X
σ
= + σ
 — выборочное стандартное отклонение.

(
)
2
2

1

1
1

n

i
i
s
x
x
n
=
=
−
− ∑
 — исправленная (уточненная) выборочная 

дисперсия, несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.

2
s
s
= +
 — исправленное выборочное стандартное отклонение.

Предисловие

Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения 
по основным разделам математической статистики. Каждый раздел 
снабжен примерами решения задач и содержит большое количество 
задач для самостоятельного решения. Для задач приведены ответы 
(если не предполагается случайного ответа).
Цель предлагаемого пособия — помочь студентам, изучающим 
математическую статистику, приобрести навыки применения ее результатов к решению различных прикладных вопросов.
Подбор материала является традиционным для курса математической статистики, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, и включает предварительную обработку 
и визуализацию данных, точечное и интервальное оценивание параметров, проверку гипотез, элемен ты дисперсионного анализа.
В главе 1 приводится справочный материал о математических 
средствах языка R, используемых в дальнейшем изложении. 
В главе 2 рассмотрены методы первичной обработки статистических данных, средства визуализации данных в R и Excel.
В главе 3 рассмотрены выборочные характеристики случайных 
величин, методы получения описательной статистики средствами R 
и Excel. В главе 4 рассматриваются средства оценивания функции 
распределения и плотности распределения.
Глава 5 посвящена точечному оцениванию основных параметров 
случайных величин. Подробно рассмотрены свойства получаемых 
оценок. В главе 6 рассматриваются два основных метода получения 
точечных оценок: метод момен тов и метод максимального правдоподобия.
Глава 7 посвящена интервальному оцениванию. Рассмотрены 
методы получения интервальных оценок математического ожидания, дисперсии и вероятности события, в том числе с использованием соответствующих функций языка R.
В главе 8 рассматриваются методы проверки гипотез. Изучены 
критерии, касающиеся математического ожидания, дисперсии и вероятности события: критерии согласия (хи-квадрат, Колмогорова, 
критерии нормальности); критерии однородности (хи-квадрат 
и Колмогорова — Смирнова) и независимости; непараметрические 
критерии Уилкоксона и Манна — Уитни.
Глава 9 посвящена введению в дисперсионный анализ. Рассмотрены методы однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа и их реализации в Excel и R.

Пособие соответствует требованиям ФГОС ВПО к профессиональным образовательным программам по специальности 38.03.01 
«Экономика». Предназначено для студентов экономических специальностей.
В результате изучения материалов учебного пособия студент 
будет:
знать
 
• основные понятия теории вероятностей и математической статистики;
 
• методы точечного и интервального оценивания параметров случайных величин;
 
• способы проверки статистических гипотез о параметрах и законах случайных величин;
уметь
 
• выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования 
соответствующих случайных признаков;
 
• моделировать с помощью метода статистических испытаний 
случайные признаки, описывающие статистические системы;
 
• использовать компьютерные технологии при реализации математических методов и моделей;
владеть навыками
 
• вычислительной работы в Excel и RStudio.

Глава 1. 

ВВЕДЕНИЕ В СРЕДСТВА ЯЗЫКА R

Установка. Для установки R по ссылке https://cran.r-proect.org 
скачайте загрузчик R. Для установки RStudio по ссылке https://
www.rstudio.com/products/rstudio/downloads/ скачайте загрузчик 
RStudio.
Оператором комментария является символ решетки #. Строчные 
и прописные буквы различаются.
Для вывода на экран нужно набрать имя переменной или использовать функцию печать print().
Для вывода справки о функции с именем F — набрать ?F.
Загрузка библиотек. Библиотеки, отсутствующие в базовой 
версии языка, необходимо установить один раз для каждого 
компьютера. Например, требуется библиотека Matrix. Команда 
для установки — install.packages("Matrix"). В дальнейшем всякий 
раз, когда нужно использовать этот пакет, необходимо в начале 
сессии запускать команду активации: library(Matrix).
Арифметические операции. Присваивание: x < –10 или x = 10. 
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень: 
+, −, *, /, ^. Целочисленное деление: целая часть — %/%; остаток 
от деления — %%.
Типы данных. Логические (logical): TRUE — истина; FALSE — 
ложь.
Проверка на равенство: ==.

Пример 1.1
a <- 5
a == 4
FALSE
Целочисленные (integer).
Вещественные числа (numeric).
Комплексные числа (complex).
Текстовые (character).
Списки (list).
Проверить тип.

Пример 1.2
x <- 1:7
is.integer(x)
TRUE

Векторы. Могут содержать данные только одного типа.
Способы задания векторов
1. Функция c().

Пример 1.3
c(1,3,7)
print(c)
1,3,7

2. Совокупность последовательных целых чисел.

Пример 1.4
1:10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5:0
5 4 3 2 1 0

3. Функция seq(from, to, by).

Пример 1.5
seq(2, 14, 3)
2 5 8 11 14

4. Совокупность одинаковых чисел: rep(x, times).

Пример 1.6
rep(0,5)
0 0 0 0 0

Индексирование

Пример 1.7
a <- 11:20
print(a[3])
13
print(a[6:8])
16 17 18
print(a(c(2,4,6)))
12 14 16
Все, кроме первых пяти:
print(a[−c(1:5)])
16 17 18 19 20

С помощью условного оператора:
print(a[a > 18])
19 20
print(a[a > 10 & a < 15])   # & — "".
11 12 13 14
print(a[a == 12 | a == 20])  # | — "".
12 20 

Атрибуты вектора
Тип данных — функция mode().
Длина вектора — функция length().

Пример 1.8
a <- c(1,4,8)
mode(a)
"numeric"
length(a)
3

Действия над векторами. Арифметические операции выполняются почленно:
a <- c(1,2,3)
b <- c(5,0,-1)
print(a+b)
6 2 2
print(a*b)
5 0 -3
print(2^b)
32.0 1.0 0.5
Скалярное произведение векторов:
crossprod(a,b)
2
Сортировка — функция sort()

Пример 1.9
a <- c(7,3,5,9,6,3,4)
b <- sort(a)
print(b)
3 3 4 5 6 7 9
c <- sort(a, decreasing=TRUE) # 
  
 
 
 
# print(c)
9 7 6 5 4 3 3