Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-й класс : углублённый уровень

Учебник для общеобразовательных организаций
Покупка
Новинка
ФПУ
Артикул: 815860.02.99
Учебник предназначен для классов с углублённым уровнем изучения математики, в которых на изучение алгебры и начал математического анализа отведено не менее 4 часов в неделю. Основное внимание уделяется изучению методов решения задач. Впервые введены новые типы и классы задач по всем разделам курса. Выделен материал, пригодный для изучения в рамках элективных курсов.
Пратусевич, М. Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-й класс : углублённый уровень : учебник / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. - 8-е изд., стер. - Москва : Просвещение, 2023. - 432 с. - ISBN 978-5-09-110453-0. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/2124975 (дата обращения: 17.04.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
УДК 373.167.1:512+512(075.3) 
ББК 22.14я721.6 
 
П70

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 945 от 19.11.2016 г.), 
педагогической (заключение РАО № 716 от 21.11.2016 г.)  
и общественной (заключение РКС № 429-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.

Условные обозначения:
b — начало обоснования, доказательства или вывода
a — окончание обоснования, доказательства или вывода

* — задача повышенной трудности

 — обратите внимание

 
— необязательный материал

Группа А — задачи и упражнения на непосредственное применение понятий 
и теорем, аналогичные разобранным в тексте
Группа В — задачи и упражнения, требующие привлечения знания 
пройденного материала, но не требующие неизвестных идей для решения

Группа С — задачи, требующие для своего решения новых, не разобранных 
в тексте идей, методов, приёмов

 
Пратусевич, Максим Яковлевич.
П70  
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 
Алгебра и начала математического анализа : 10-й класс : 
углублённый уровень : учебник / М. Я. Пра тусевич, К. М. Столбов, 
А. Н. Головин. — 8-е изд., стер. — Москва : Просве щение, 2023. — 
430, [2] с. : ил.
 
 
ISBN 978-5-09-110453-0.
Учебник предназначен для классов с углублённым уровнем изучения математики, 
в которых на изучение алгебры и начал математического анализа отведено 
не менее 4 часов в неделю.
Основное внимание уделяется изучению методов решения задач. Впервые введены 
новые типы и классы задач по всем разделам курса. Выделен материал, 
пригодный для изучения в рамках элективных курсов.

УДК 373.167.1:512+512(075.3) 
ББК 22.14я721.6

ISBN 978-5-09-110453-0 
© АО «Издательство «Просвещение», 2014, 2019 
 
© Художественное оформление. 
 
 
АО «Издательство «Просвещение», 2019 
 
 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
Особенностью данной главы является отсутствие строгих определений, 
а также большое количество обращений к здравому смыслу 
и жизненному опыту. Это неудивительно, ибо речь идёт о понятиях 
и отношениях, лежащих в самых основах математики. Для строгого 
описания и введения соответствующих понятий требуется уровень, 
далеко выходящий за рамки школьного.

!
§ 1. Высказывания и предикаты

1. Понятие высказывания

Высказыванием будем называть повествовательное предложение, 
про которое имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Предыдущее предложение является описанием того, что такое высказывание, 
а не определением.
Примеры высказываний: «2 + 2 = 8» — ложное высказывание, 
«Волга впадает в Каспийское море» — истинное высказывание, «Всякое 
натуральное число, заканчивающееся чётной цифрой, чётно» — 
истинное высказывание.
Истинность или ложность высказывания называют его истинностным 
значением. Если высказывание истинно, то ему приписывают 
истинностное значение «T» (от английского слова true — истина), 
если ложно — «F» (от английского false — ложь).
А вот примеры предложений, не являющихся высказываниями: 
«Да здравствует труд!», «Да здравствует солнце, да скроется тьма!», 
«Иди сюда!», «Кто звонил?», «Ученик 10 класса».
Более сложными примерами предложений, не являющихся высказываниями, 
будут следующие: «Он пошёл в кино», «Четырёхугольник 
является параллелограммом», «Мы подрались».
Особенностью этих предложений, очень похожих на высказывания, 
является неопределённость подлежащего: кто такой «он», который 
пошёл в кино? Какой четырёхугольник является параллелограммом? 
Кто эти «мы», которые подрались? В зависимости от ответов на 
эти вопросы предложения могут оказаться истинными или ложными. 
Изначально же эти предложения не имеют истинностного значения.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
Глава 1. Введение

2. Понятие предиката

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Предложение с переменными, которое при замене переменных произвольными 
значениями становится высказыванием, называется 
предикатом.

Пример 1. «x2 + y2 = 1» — предикат. Так, при подстановке x = 1, 
y = 0 предложение «x2 + y2 = 1» становится истинным высказыванием, 

а при подстановке x = 1
2, y = 1
2 — ложным высказыванием.

«Некто пошёл в кино» — также предикат, в котором обозначением 
переменной служит слово «некто».
«x2 ≥ 0» — предикат. Это предложение становится истинным высказыванием 
при подстановке любого вещественного значения х.
«Для всех вещественных х выполнено x2 ≥ 0» не является предикатом. 
a

Таким образом, наличие переменной в предложении необязательно 
делает это предложение предикатом. Нужно всегда смотреть на то, 
какие предложения получаются при подстановке конкретных значений 
переменной, а именно — будут ли они высказываниями.
В предикат можно подставлять вместо переменных не все значения, 
а лишь взятые из какого-либо множества. Множество всех таких 
значений называется областью определения предиката.
Например, областью определения предиката «Некто пошёл в кино» 
может служить совокупность учеников какого-либо класса или жителей 
какого-либо города. Но будет бессмысленным пытаться подставлять 
в этот предикат вместо переменной, например, число 2.
Обычно область определения предиката задают заранее. Например, 
область определения предиката x2 + y2 = 1 — множество упорядоченных 
пар чисел. Если рассматривать этот предикат на множестве натуральных 
чисел, то предикат не будет принимать значение «истина», 
если на множестве целых чисел, то предикат будет истинным высказыванием 
при подстановке пар (0; 1), (0; −1), (1; 0), (−1; 0), на множестве 
рациональных чисел предикат станет истинным, например, при 

подстановке x = 3
5, y = 4
5, на множестве вещественных чисел предикат 

будет истинным для пар чисел, являющихся координатами точек 
окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Таким образом, набор значений переменных, при которых предикат 
становится истинным, существенно зависит от области его определения.

Предикат, который при всех значениях переменных из области 
определения принимает значение «истина», называют тождественным 
предикатом (или тождественно истинным).

Глава 1. Введение

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
§ 1. Высказывания и предикаты
 

Важно подчеркнуть: тождественный предикат не является истинным 
высказыванием (поскольку не является высказыванием) точно 
так же, как функция, равная константе 1, не является числом 1. 
Это объекты разной природы, подчиняющиеся разным законам!

Например: любое алгебраическое тождество является тождественно 
истинным предикатом. Формула
a2 − b2 = (a − b) (a + b)
— предикат от двух переменных, истинный для всех вещественных 
значений а и b.

3. Операции над высказываниями и предикатами
(логические связки)

Из нескольких данных высказываний можно получать новые 
путём употребления различных логических связок, т. е. операций 
над высказываниями. Важно подчеркнуть, что в ходе всего изложения 
нас практически нигде не будет интересовать суть высказываний, 
а будет существенным лишь, истинны высказывания или ложны. 
Поэтому мы можем обозначать высказывания строчными латинскими 
буквами и рассматривать результат применения логических операций 
в зависимости только от истинностного значения исходных высказываний.


Таким образом, возникает своеобразное «исчисление высказываний», 
являющееся частным случаем так называемой булевой 
 алгебры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Отрицанием высказывания a называется новое высказывание «не a», 
имеющее истинностное значение, противоположное значению исходного 
высказывания.

Таким образом, если исходное высказывание было истинным, то 
его отрицание будет ложным. Если же исходное высказывание было 
ложным, то его отрицание будет истинным.
Обозначение: ¬a — отрицание высказывания а (читается «не а»). 
Иногда отрицание высказывания а обозначают a или ∼a.
Логические операции удобно задавать таблицей истинности, которая 
ставит в соответствие истинностным значениям 
исходных высказываний результат логической операции. 
Справа приведена таблица истинности для операции 
отрицания.
Ещё раз подчеркнём, что в рамках формальной логики 
нас интересует не смысл высказываний, а лишь их 
истинностные значения и операции над ними.

a
¬a

F
T

T
F

§ 1. Высказывания и предикаты

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
Глава 1. Введение

 
Джордж Буль (1815—1864) — английский математик, основоположник 
математической логики. Самостоятельно изучил высшую математику, работая 
учителем в пригороде Лондона. Работу Буля, представленную для присвоения 
звания профессора колледжа, едва не отклонили от публикации, 
а через 2 года эта работа была удостоена Королевской золотой медали. 
Основной труд Буля — «Исследование законов мышления» — издан в 1854 г.
 
Интересно, что одна из пяти дочерей Буля Этель Лилиан (Войнич) — 
известная писательница, автор романа «Овод».

Важно уметь распознавать высказывания в предложениях обыденного 
языка.

Пример 2. Рассмотрим высказывание «Я ходил сегодня в кино». 
Можно построить как отрицания данного высказывания следующие 
высказывания: а — «Не я ходил сегодня в кино», b — «Я не 
ходил сегодня в кино», c — «Я ходил в кино не сегодня», d — 
«Я ходил сегодня не в кино».
Все эти высказывания вполне допустимы с точки зрения русского 
языка. Однако логическое отрицание всегда ставится перед 
сказуемым.
Если высказывание имеет вид «а есть b», то его отрицание имеет 
вид «а не есть b».
Таким образом, логическим отрицанием высказывания «Я ходил 
сегодня в кино» будет высказывание b — «Я не ходил сегодня 
в кино». Этот пример показывает, насколько внимательно нужно 
относиться к попыткам математической формализации обыденного 
 языка.
Обычно из контекста или интонации ясно, что именно утверждается 
во фразе. Например, если в исходной фразе с «нажимом» 
произнести слово «сегодня», то ясно, что утверждается, что поход 
в кино был сегодня, а не вчера и не позавчера. При этом сам 
факт похода в кино под сомнение не ставится. В этом случае логичным 
будет за отрицание данного высказывания принять высказывание 
с. a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание, истинное, 
если истинны оба исходных высказывания, и ложное в противном 
случае.

Обозначение конъюнкции: a ∧ b или a & b (читается: «а и b»).
На с. 7 приведена таблица истинности для конъюнкции двух высказываний.


З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
§ 1. Высказывания и предикаты
 

Следует отметить, что в обыденной речи 
союз «и» употребляется часто в смысле 
конъюнкции. Например, если было обещано 
пойти в кино и съесть мороженое, а мороженого 
не было, то мы сочтём себя обманутыми.


Пример 3. 
При 
подстановке 
вместо 
a некоторого высказывания предикат 
a ∧ (2 ⋅ 2 ≥ 3) становится истинным высказыванием. 
Определим истинность подставляемого 
высказывания а.
b 
Имеет место конъюнкция двух высказываний. Конъюнкция истинна 
в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания. 
Значит, высказывание а истинно. 
 
Если бы вместо 2 ⋅ 2 ≥ 3 стояло ложное высказывание, то условие 
задачи стало бы некорректным. a

Конъюнкция часто записывается в ином виде, вместо формулы 

(x > 1) ∧ (x < 2) можно записать x
x
>
<

⎧
⎨
⎩

1
2
,
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дизъюнкцией двух высказываний называется высказывание, истинное, 
если истинно хотя бы одно исходное высказывание, и ложное, 
если оба исходных высказывания ложны.

Обозначение дизъюнкции: a ∨ b (читается «
а или b»).
Таблица истинности для дизъюнкции 
двух высказываний а и b приведена справа.
В обыденной речи союз «или», кроме 
смысла дизъюнкции (например, во фразе: 
«Мы встретимся в семь или в восемь часов»), 
может иметь смысл так называемой строгой 
дизъюнкции, которая, в отличие от обычной, 
ложна, если оба высказывания истинны (например: «
Выбирай — или кот, или я»).
Строгая дизъюнкция выражается также союзом «либо».

Пример 4. Известно, что высказывание a ∨ (2 ⋅ 2 ≥ 3) истинно. 
Определим истинность высказывания а.
b 
Имеет место дизъюнкция высказываний, одно из которых истинно. 
Тогда результат дизъюнкции — истинное высказывание независимо 
от истинности высказывания а. Значит, истинностное значение 
высказывания а может быть любым. a

a
b
a ∧ b

F
F
F

F
T
F

T
F
F

T
T
T

a
b
a ∨ b

F
F
F

F
T
T

T
F
T

T
T
T

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
Глава 1. Введение

Пример 5. Пусть имеются следующие высказывания: а — «Компьютерная 
игра „Кряка“ дорогая», b — «Я куплю компьютерную игру 
„Кряка“», с — «Я смогу заработать деньги летом». Запишем в символической 
форме такие высказывания:
а) Я не смогу заработать денег летом и не куплю компьютерную 
игру «Кряка».
б) Я не смогу заработать денег летом и компьютерная игра «Кряка» 
дорогая, или я куплю компьютерную игру «Кряка».
в) Компьютерная игра «Кряка» дорогая, и я её не куплю, или 
компьютерная игра «Кряка» недорогая, и я её куплю.

b 
а) В данном высказывании мы видим отрицание высказывания с, 
отрицание высказывания b (не должно смущать отсутствие после союза «
и» местоимения «я», оно уже было в этой фразе), которые соединены 
союзом «и». Поэтому в символическом виде высказывание записывается 
так: (¬c) ∧ (¬b). 
 
б) Аналогично предыдущему: ((¬c) ∧ a) ∨ b. Здесь следует обратить 
внимание на знак препинания в исходной фразе, показывающий, что 
союз «или» соединяет всё предыдущее высказывание, как единое целое, 
с последующим. 
 
в) Приведём ответ: (a ∧ (¬b)) ∨ ((¬a) ∧ b). Расстановка скобок, т. е. 
порядок совершения операций, диктуется смыслом фразы и расстановкой 
знаков препинания. a

Дизъюнкция часто записывается в ином виде: вместо формулы 

(x < 2) ∨ (x > 3) можно записать x
x
<
>

⎡

⎣⎢
2
3
,
.

Пусть некто сообщил одному ученику: «Если ты закончишь четверть 
без троек, я куплю тебе часы». В каком случае некто солгал? 
Если четверть закончена без троек и часы куплены, этот некто сказал 
правду. Если четверть закончена с тройками, а часы куплены всё равно, 
можно считать, что некто очень щедр, но, наверное, нельзя сказать, 
что он солгал. Если четверть закончена с тройками и часы не 
куплены, то все справедливо, и опять-таки некто сказал правду. А вот 
если четверть закончена без троек, а часы не куплены, у ученика есть 
повод обижаться и говорить, что он обманут.
Таким образом, высказывание вида «если а, то b» можно счесть 
ложным тогда и только тогда, когда а — истинное, а b — ложное высказывание.


ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Импликацией двух высказываний а и b называется высказывание, 
ложное в случае, когда а истинно, а b ложно, и истинное в остальных 
случаях.

Обозначение импликации: a → b (читается: «Если а, то b»).

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
§ 1. Высказывания и предикаты
 

Справа приведена таблица истинности 
для импликации высказываний а и b.
В отличие от предыдущих операций, 
значение импликации зависит от порядка 
высказываний. Истинностные значения 
a → b и b → a при истинном b и ложном a 
различны (первая импликация истинна, 
а вторая — ложна).
В импликации a → b высказывание 
а называется посылкой, а высказывание 
b — заключением импликации.
Если посылка ложна, то импликация 
истинна вне зависимости от истинностного значения заключения. Это 
выражается поговоркой «Из лжи следует всё что угодно».
Имеется шутливое стихотворение на ту же тему:

Если мы поднимем дом
И положим на носилки,
Мы его перенесём
В силу ложности посылки.

В обыденном языке можно усмотреть причинно-следственный характер 
истинности импликации (а — причина, b — следствие). Однако 
в формальной логике высказывания а и b могут быть никак не свя заны 
между собой. Например «Если 2 + 2 = 4, то Волга впадает в Каспийское 
море» — истинное высказывание, несмотря на то, что посылка и заключение 
никак не связаны между собой.

Пример 6. (Клятва как импликация.) Рассмотрим достаточно 
стандартный риторический приём. Если мы хотим убедить собеседника 
в том, что говорим правду, можем сказать фразу вида: «Да провалиться 
мне на этом месте, если я вру!», предлагая счесть это восклицание 
истинным высказыванием.
 Это высказывание с сохранением смыслового значения можно переписать 
так: «Если я вру, то провалюсь на этом месте». Итак, имеется 
импликация: я вру → я провалюсь на этом месте. Собеседник видит, 
что никто никуда не провалился, т. е. заключение импликации 
ложно. Если вся импликация истинна, то посылка ложна (см. таблицу 
истинности для импликации). Значит, я говорю правду.
Таков подсознательный механизм действия этого риторического 
приёма. a

Ясно, что перечисленные логические операции могут быть применены 
не только к высказываниям, но и к предикатам. Например, если 
дан предикат p (x), зависящий от переменной х, его отрицанием служит 
предикат ¬p (x), ставящий в соответствие каждому значению x 
истинностное значение отрицания высказывания р (х).

a
b
a → b

F
F
T

F
T
T

T
F
F

T
T
T

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.
Глава 1. Введение

Аналогично, например, если имеются два предиката, заданные 
на одной и той же области определения, их конъюнкцией будет 
 служить предикат, ставящий в соответствие каждому значению переменной (
либо набору значений переменных) истинностное значение 
конъюнкции высказываний, получающихся при подстановке этих переменных 
в исходные предикаты.

Обратим внимание на то, что вопрос выяснения того, истинны 
или ложны исходные высказывания, лежит за пределами изучения 
логики. Логика показывает, как из одних высказываний составлять 
другие и каким будет их истинностное значение, если известно 
истинностное значение исходных высказываний. 
 
Однако, представление об основных операциях над высказываниями 
помогает лучше уяснить, о чём идёт речь, разобраться, истинность 
каких высказываний уже известна, а каких — требует доказательства.


Пример 7. Выясним, 
при 
каких 
вещественных 
х 
предикат 
(x2 − 5x + 6 = 0) → (x2 − 4 = 0) становится ложным высказыванием.
b 
Имеем импликацию двух предикатов. Импликация ложна тогда 
и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Посылка 
(т. е. предикат x2 − 5x + 6 = 0) истинна при x = 2 или x = 3. Заключение 
(т. е. предикат x2 − 4 = 0) истинно при x = 2 или x = −2. Таким образом, 
импликация будет ложной лишь при x = 3. a

Пример 8. Представим сложное высказывание «Если летом мы 
поедем в Париж и у нас будет достаточно денег, то мы посетим Версаль 
или Лувр» в виде результата логических операций над простыми высказываниями, 
обозначив каждое простое высказывание буквой.
b 
Прежде всего вычленим импликацию, на которую указывает сложный 
союз «если..., то...». Имеем два высказывания: «Мы поедем 
в Париж, и у нас будет достаточно денег» — посылка импликации, 
и «Мы посетим Версаль или Лувр» — заключение импликации. В каждом 
из полученных высказываний имеющийся союз указывает на возможность 
дальнейшего расщепления на высказывания. Имеем: 
 
а: «Мы поедем в Париж», 
 
b: «У нас будет достаточно денег», 
 
c: «Мы посетим Версаль», 
 
d: «Мы посетим Лувр». 
 
Исходное высказывание становится таким: (a ∧ b) → (c ∨ d). a
При анализе сложных высказываний обыденного языка с точки 
зрения их состава следует иметь в виду, что союзы, соединяющие простые 
высказывания, могут быть разнообразными. Так, вместо союза 
«и» может употребляться «а также» либо просто «а» (например: «Петя 
пошёл в кино, а Вася — в театр»), а вместо «если..., то...» — слово 
«следовательно» и т. д. Более того, соответствующие союзы могут вообще 
отсутствовать!

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.