Математические модели системы «человек-общество»

УДК 519.6
ББК 22.19
М 69

М и х а й л о в
А. П.,
П е т р о в
А. П.
Математические
модели
системы «человек–общество». — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2022. — 456 с. —
ISBN 978-5-9221-1909-2.

В монографии изложены подходы к математическому моделированию и изучены конкретные модели процессов из области демографии, психологии, социологии, политологии. В качестве методологической основы принята сформулированная академиком А.А. Самарским триада «модель–алгоритм–программа»,
описывающая ключевые этапы моделирования. Особое внимание уделяется
построению математических моделей на основании гипотез о поведении как
индивидов, так и социальных групп, с учетом теоретических представлений
и эмпирически полученных закономерностей, установленных в соответствующих отраслях научного знания. Для всех рассматриваемых моделей проведено
исследование аналитическими или численными методами, с содержательной
трактовкой математических результатов.
Книга предназначена научным работникам, преподавателям, аспирантам
и студентам, интересующимся проблемами применения математических методов и моделей к социальным и гуманитарным наукам.

ISBN 978-5-9221-1909-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2022

c⃝ А. П. Михайлов, А. П. Петров, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Г л а в а 1. Некоторые традиционные математические методы социальных наук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Применение нелинейной регрессии в социологических исследованиях
17
1.1.1. Основные понятия регрессионного анализа . .. . . . . . . . . . .
18
1.1.2. Функциональная спецификация нелинейной регрессии . .. . .
22
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
29
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2. Принцип максимального правдоподобия, пробит-анализ и логит–
анализ . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.1. Принцип максимального правдоподобия . .. . . . . . . . . . . . .
30
1.2.2. Пробит-анализ и логит-анализ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
39
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Приложение. Некоторые сведения из курса высшей математики
и математической статистики. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3. Кластеризация. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.1. Входные данные для кластерного анализа . .. . . . . . . . . . . .
43
1.3.2. Иерархическая кластеризация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.3.3. Кластеризация в исследованиях парламентских голосований
48
1.3.4. Кластерный анализ в контексте социологического исследования . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
51
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
52
1.4. Введение в теорию коллективного выбора . .. . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.4.1. Вводные примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.4.2. Формализация проблемы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4.3. Правила большинства и парадокс Кондорсе . .. . . . . . . . . . .
59
1.4.4. Парадокс Кондорсе при бинарной процедуре . .. . . . . . . . . .
61
1.4.5. Правило Борда . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.4.6. Теорема Эрроу . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . .. . . . . . .
69
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Оглавление

1.5. Введение в теорию индексов влияния . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.5.1. Индекс Банцафа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.5.2. Взвешенное голосование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
73
1.5.3. Парадокс перераспределения депутатов между фракциями
75
1.5.4. Учет коалиционных предпочтений и парадокс вражды
. .. . .
77
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
80
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
80
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Г л а в а 2. Демография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.1. Базовые макромодели демографии . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
83
2.1.1. Модель Мальтуса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.1.2. Логистическая модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
90
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.2. Модель Лотки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.2.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
96
2.2.2. Случай мальтузианских населений
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.2.3. Анализ устойчивости мальтузианского режима . .. . . . . . . .
102
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
104
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.3. Модель Лесли . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.3.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.3.2. Уравнение Эйлера–Лотки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
108
2.3.3. Возрастно-половая пирамида и демографические волны
. .. .
111
2.3.4. Учет продолжительного пребывания индивидов в старшей
группе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3.5. Об условиях применимости модели Лесли
. .. . . . . . . . . . .
116
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
121
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
2.4. Учет половой структуры: бипарентальные модели . .. . . . . . . . . . .
124
2.4.1. Модель, не учитывающая брачность
. .. . . . . . . . . . . . . . .
125
2.4.2. Модель, учитывающая брачность
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
140
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
140
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
2.5. Пример
имитационно-математического
моделирования
в
демографии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
141
2.5.1. Общее описание имитационной модели
. .. . . . . . . . . . . . .
142
2.5.2. Моделирование рождаемости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Оглавление
5

2.5.3. Результаты вычислительных экспериментов и построение демографического прогноза для России . .. . . . . . . . . . . . . . . 146
2.5.4. Основные требования к имитационной модели . .. . . . . . . . .
148
Комментарии и библиографические указания . .. . . . . . . . . . . . . .
149
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

Г л а в а 3. Психология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
151
3.1. Методд парных сравнений и описание процесса восприятия . .. . . .
151
3.1.1. Закон сравнительных суждений
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.1.2. Метод парных сравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
155
3.1.3. Моделирование когнитивной системы индивида . .. . . . . . . .
159
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
Комментарии и библиографические примечания . .. . .. . . . . . . . . .
163
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.2. Простейшая модель подражательного поведения . .. . . . . . . . . . . .
165
3.2.1. Нейрологическая схема . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
3.2.2. Уравнения модели на микроуровне
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.2.3. Учет внешних и внутренних стимулов . .. . .. . . . . . . . . . . .
173
3.2.4. Базовая математическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
3.2.5. Стационарные состояния базовой модели . .. . . . . . . . . . . .
176
3.2.6. Численный эксперимент с нестационарной моделью . .. . . . .
179
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
Комментарии и библиографические замечания . .. . . . . . . . . . . . .
182
Литература . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
3.3. Расширенная модель подражательного поведения . .. . . . . . . . . . .
183
3.3.1. Понятие социально-политического потенциала (СПП) . .. . . .
184
3.3.2. Основные предположения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
3.3.3. Построение модели
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
3.3.4. Конкретизация модели . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
3.3.5. Циклический режим эволюции электората . .. . . . . . . . . . .
193
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
196
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
196
3.4. Формирование мнений и установок индивидов, составляющих замкнутую группу . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
3.4.1. Построение и анализ модели формирования мнений . .. . . . .
197
3.4.2. Консенсус для некоторых типов групп индивидов . .. . . . . . .
200
3.4.3. Модель формирования установки действия . .. . . . . . . . . . .
203
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
206
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
206
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
3.5. Социальные взаимодействия в малой группе. .. . . . . . . . . . . . . . .
208
3.5.1. Традиционная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
3.5.2. Анализ традиционной модели и выявление ее проблемных
мест . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Оглавление

3.5.3. Построение и анализ скорректированной модели . .. . . . . . .
213
3.5.4. Учет структуры группы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
217
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
218
3.6. Структурный баланс в малой группе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
3.6.1. ХКХ-подход к структурному балансу . .. . . . . . . . . . . . . . .
219
3.6.2. Д-подход к структурному балансу . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.6.3. Социоматрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Упражнения . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
225
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
3.7. Модель динамики отношений индивидов в малой группе . .. . . . . .
226
3.7.1. Основные предположения модели
. .. . . . . . . . . . . . . .. . . .
227
3.7.2. Анализ симметричных стационарных состояний для группы
из трех индивидов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
235
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
236
3.8. Динамическая модель близости позиций пользователей социальных
сетей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
3.8.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3.8.2. Стационарное состояние согласия в случае двух индивидов
242
3.8.3. Стационарное состояние с несимметричными отношениями
243
3.8.4. Вычислительные эксперименты с моделью
. .. . . . . . . . . . .
245
Упражнения . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
249
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250

Г л а в а 4. Социология . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
251
4.1. Латентно-структурный анализ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
4.1.1. Основные положения модели латентных классов . .. . . . . . .
251
4.1.2. Отнесение отдельных индивидов к конкретных латентным
классам . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.1.3. Пример применения модели латентных классов в социологическом исследовании . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 257
4.1.4. Латентно-структурный анализ в случае непрерывной латентной переменной
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.1.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
262
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
262
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
4.2. Модели марковского типа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
4.2.1. Динамика численности верующих . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
264
4.2.2. Элементы общей теории марковских процессов . .. . .. . . . . .
268
4.2.3. Вертикальная социальная мобильность
. .. . . . . . . . . . . . .
271

Оглавление
7

4.2.4. Модели типа мувер-стейер . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
4.2.5. Расовая динамика . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
281
Литература . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
4.3. Социальная сегрегация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
4.3.1. Качественная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
4.3.2. Конкретизация поведенческой гипотезы и построение математической модели
. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.3.3. Анализ математической модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
4.3.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
299
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
299
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
4.4. Поведение индивидов при изменении количества степеней свободы
300
4.4.1. Введение: содержательная проблема теста гипотетического
монополиста и понятие о степени свободы . .. . . . . . . . . . . . 301
4.4.2. Основные определения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
4.4.3. Оценка товарных границ рынка
. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .
304
4.4.4. Одновременное определение товарных и географических границ рынка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.4.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
313
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
313
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
4.5. Распространение информации в социуме в отсутствие противодействия . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
4.5.1. Базовая модель информационного нападения . .. . .. . . . . . . .
314
4.5.2. Учет дополнительных факторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
4.5.3. Модель информационного нападения, учитывающая три дополнительных фактора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.5.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
325
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
4.6. Информационное противоборство в социуме. .. . . . . . . . . . . . . . .
331
4.6.1. Базовая модель информационного противоборства . .. . . . . .
332
4.6.2. Условие победы при противоборстве произвольного количества партий . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.6.3. Учет дополнительных факторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
4.6.4. Информационное противоборство при дестабилизирующем
воздействии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.6.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
342
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
343
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343

Оглавление

Г л а в а 5. Политология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
5.1. Политическое соперничество . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
5.1.1. Постановка задачи и формулировка модели . .. . . . . . . . . . .
344
5.1.2. Равновесные уровни власти и их устойчивость
. .. . . . . . . .
346
5.1.3. Некоторые вычислительные эксперименты с моделью . .. . . .
351
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
355
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
355
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
5.2. Моделирование этнополитической самоидентификации . .. . . . . . .
356
5.2.1. Политическая
самоидентификация
дагестанского
этноса
в конце 1990-х годов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.2.2. Моделирование динамики взаимодействующих электоратов
361
5.2.3. Динамика взаимодействия электоратов вблизи положения
равновесия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.2.4. Интерпретация результатов моделирования взаимодействующих электоратов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
Комментарии и библиографические примечания . .. .. . . . . . . . . . .
372
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
5.3. Основы моделирования системы «власть–общество» . .. . . . . . . . .
373
5.3.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
5.3.2. Динамика в рамках правовой системы: базовая модель в линейном случае
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 379
5.3.3. Анархическая и тоталитарная ловушки
. .. . . . . . . . . . . . .
382
5.3.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . .. . . . . .
385
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
5.4. Cистема «власть–общество» в случае биполярной реакции общества
386
5.4.1. Биполярная реакция общества
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
5.4.2. Формирование структур с внутренними переходными слоями
388
5.4.3. Стационарные контрастные распределения власти
. .. . . . . .
389
5.4.4. Нестационарные контрастные распределения власти . .. . . . .
391
5.4.5. Конфедеративные распределения власти . .. . . . . . . . . . . . .
393
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
395
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
5.5. Коррупция и другие несовершенства властных иерархий . .. . . . . .
396
5.5.1. Учет коррупции в модели «власть–общество» . .. . . . . . . . .
396
5.5.2. Ущерб от коррупции, стоимость и эффективность ее ограничения
. .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.5.3. Сравнительный анализ стратегий ограничения коррупции . .
402
5.5.4. Учет некомпетентности иерархии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
5.5.5. Клановые отношения в иерархии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . .. . . . . . .
409
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

Оглавление
9

5.6. Динамика гонки вооружений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410
5.6.1. Построение базовой модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
411
5.6.2. Анализ базовой модели с постоянными коэффициентами . .. .
412
5.6.3. Нелинейная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
415
5.6.4. Обобщение на случай большего количества стран . .. . . . . .
420
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
422
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
422
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422
5.7. Моделирование крупномасштабных исторических процессов . .. . . .
423
5.7.1. Введение . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
423
5.7.2. Элементы модели мировой динамики . .. . . . . . . . . . . . . . .
424
5.7.3. Динамика аграрных обществ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425
5.7.4. Моделирование системы древнегреческих полисов . .. . . . . .
430
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
433
Литература . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434
Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
Об авторах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
451

Посвящается научной школе
Андрея Николаевича Тихонова —
Александра Андреевича Самарского —
Сергея Павловича Курдюмова

Введение

Использование и развитие математических методов для изучения
общественно-политических процессов — актуальное направление прогресса современной науки, позволяющее существенно обогатить традиционные методы анализа, прогноза и принятия решений в данной
сфере.
Историю этого направления можно отсчитывать от работы У. Петти [1] (написанной примерно в 1676 г. и опубликованной в 1690 г.),
Н. де Кондорсе [2] (опубликовано в 1785 г.) и Т. Мальтуса [3] (опубликовано анонимно в 1798 г.). Позже Д. И. Менделеев в своей обширной
монографии [4] анализировал функцию, аппроксимирующую возрастную структуру населения, а с наступлением эпохи социологических
опросов математическая статистика превратилась в стандартный инструмент социологов, экономистов и политологов. В целом к концу
первой трети XX века математические методы стали широко применяться в науках о человеке и обществе.
В современную эпоху можно говорить уже не только и не столько
о математических методах (включающих в себя в первую очередь
статистику и задачи оптимизации), сколько о математических моделях
в гуманитарных и социальных науках. Это стало возможным благодаря
не только прогрессу собственно математики и появлению современных
вычислительных средств, но и развитию методологии математического
моделирования [5–10].
Ее сущность состоит в замене исходного объекта его «образом»,
математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью
реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов.
Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа
не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает
возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных
затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями
объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных
методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко
изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Данный подход кратко
выражается триадой «модель–алгоритм–программа». При этом особо
подчеркивается роль математического моделирования как инструмента