Обратный поток световой энергии в фокусе

УДК 535.42
ББК 22.243.4
О 23

К о т л я р В. В., С т а ф е е в С. С., Н а л и м о в А. Г. Обратный поток
световой энергии в фокусе. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 216 с. —
ISBN 978-5-9221-1932-0.

Еще в 424 г. до н.э. в пьесе древнегреческого поэта Аристофана «Облака»
упоминается о том, что с помощью фокусировки солнечного света можно
добывать огонь. С тех пор и до наших дней исследование поведения света
в фокусе вызывает интерес у оптиков. В фокусе сходится свет из разных областей пространства, который обладает разной амплитудой, фазой и состоянием
поляризации. Чтобы адекватно описывать свет в фокусе, следует использовать
все шесть проекций векторов напряженности электрического и магнитного
полей. В 1959 г. Б. Ричардсом и Э. Вольфом была создана аналитическая
теория строгого описания света вблизи острого фокуса, которая применяется
до сих пор. Проверить ее правильность сегодня можно с помощью разностного решения системы уравнений Максвелла в рамках одного из многих
коммерческих программных продуктов. Численный метод решения уравнений
Максвелла (FDTD-метод) был разработан А. Тафловом и М.И. Бродвином
в 1975 г. Один из интересных оптических эффектов, который имеет место
в остром фокусе световых полей, — эффект обратного потока энергии, о котором впервые упоминает в 1920 г. В.С. Игнатовский. В данной книге эффект
обратного потока энергии в фокусе лазерного света изучается теоретически на
основе формализма Ричардса–Вольфа, численно на основе разностного решения уравнений Максвелла и экспериментально. Выясняется природа данного
эффекта и условия, при которых он возникает.
Книга предназначена широкому кругу научных работников, инженеров,
работающих в области оптики, фотоники, лазерной физики, оптоинформационных технологий, оптического приборостроения. Также может быть полезной
бакалаврам и магистрам по специальностям «Прикладные математика и физика», «Прикладная математика и информатика», «Оптика» и аспирантам,
специализирующимся в этих областях.

Институт систем обработки изображений РАН —
филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН;
Самарский национальный исследовательский университет
имени академика С.П. Королева

ISBN 978-5-9221-1932-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ В. В. Котляр, С. С. Стафеев,
А. Г. Налимов, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 1. Обратный поток для вихревых пучков и для пучков с цилиндрической поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря с круговой поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .
8
1.1.1. Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2. Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического вихря . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.3. Обратный поток энергии вблизи оптической оси в плоскости
фокуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.4. Поперечные составляющие вектора Пойнтинга в плоскости
фокуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.5. Моделирование FDTD-методом дифракции оптического вихря на зонной пластинке Френеля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.2. Обратный поток энергии в фокусе цилиндрического векторного
пучка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
16
1.2.1. Теоретическое обоснование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.2. Моделирование по формулам Ричардса–Вольфа . .. . . . . . . .
21
1.2.3. Моделирование с помощью FDTD-метода . .. . . . . . . . . . . .
24

1.3. Острая фокусировка света с поляризационной и фазовой сингулярностью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.1. Световое поле с комбинированной сингулярностью в фокусе
апланатической системы . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.2. Частные случаи из общей формулы . .. . . . . . . . . . . .. . . . .
30
1.3.3. Моделирование острой фокусировки оптического вихря с радиальной и азимутальной поляризацией высокого порядка . .
33

Г л а в а 2. Механизм формирования обратного потока энергии. . . .
39

2.1. Обратный поток при интерференции четырех плоских волн . .. . . .
39
2.1.1. Интерференция четырех плоских волн с линейной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1.2. Формирование обратного потока на оптической оси в фокусе
светового поля с поляризационной сингулярностью . . . . . . .
43

Оглавление

2.2. Орбитальный поток энергии и поток спина . .. . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.1. Поток спина и орбитальный поток энергии в декартовых
координатах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2.2. Проекции
вектора
напряженности
электрического
поля
в остром фокусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.2.3. Поток спина и орбитальный поток энергии в фокусе
. .. . . .
49
2.2.4. Моделирование по формулам Ричардса–Вольфа . .. . . . . . . .
49

2.3. Тороидальные потоки поляризации вблизи фокуса. .. . . . . . . . . . .
53
2.3.1. Формулы Ричардса–Вольфа для случая узкой кольцевой
апертуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.2. Результаты моделирования фокусировки поляризационного
вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Г л а в а 3. Экспериментальное
исследование
обратного
потока
энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .
64

3.1. Металинза для формирования обратного потока . .. . . . . . . . . . . .
64
3.1.1. Расчет рельефа поверхности спиральных металинз . .. . . . . .
66
3.1.2. Моделирование работы спиральной металинзы с m = 1
. .. .
71
3.1.3. Расчет проекции вектора Умова–Пойнтинга в фокусе спиральной металинзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.1.4. Поток энергии в фокусе для спиральной металинзы с m = 2
77

3.2. Измерение обратного потока в фокусе металинзы . .. . . . . . . . . . .
79
3.2.1. Изготовление металинзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
80
3.2.2. Моделирование методом конечных разностей во временной
области (FDTD-метод) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2.3. Измерение поперечной интенсивности в фокусе металинзы
84

3.3. Измерение обратного потока энергии с помощью микрообъектива
90
3.3.1. Эксперимент по обнаружению обратного потока в фокусе
оптического вихря с круговой поляризацией
. .. . . . . . . . . .
91
3.3.2. Эксперимент по обнаружению обратного потока в фокусе
поляризационного вихря второго порядка . .. . . . . . . . . . . .
96
3.3.3. Силы, действующие на наночастицу в обратном потоке
энергии . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

Г л а в а 4. Обратный поток в ближней зоне и вблизи поверхности
раздела сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

4.1. Обратный поток энергии в ближней зоне. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
102
4.1.1. Интенсивность и продольная проекция вектора Пойнтинга
104
4.1.2. Обратный поток энергии в начальной плоскости . .. . . . . . .
107
4.1.3. Поперечные проекции вектора Пойнтинга . .. . . . . . . . . . . .
108
4.1.4. Моделирование
. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

Оглавление
5

4.2. Оптический эффект «углового трактора» . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.2.1. Угловой трактор в параксиальном случае . .. . . . . . . . . . . .
114
4.2.2. Угловой
трактор
в
фокусе непараксиального
оптического
вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.3. Эксперимент по вращению микросфер полистирола в пучке
Бесселя с круговой поляризацией
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3. Обратный поток вблизи выходной поверхности градиентной линзы
121
4.3.1. Градиентная секансная линза . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
122
4.3.2. Результаты моделирования фокусировки света градиентной
секансной линзой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.3. Градиентная секансная линза с металлизацией
. .. . . . . . . .
125
4.3.4. Градиентная секансная линза с отверстием . .. . . . . . . . . . .
125

4.4. Сила, действующая на частицу вблизи обратного потока . .. . . . . .
126
4.4.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
4.4.2. Падающее поле — левая круговая поляризация и фазовый
вихрь m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.3. Падающее поле — круговая поляризация без фазового вихря
131
4.4.4. Влияние размера частицы на величину проекцию силы . .. . .
132

Г л а в а 5. Спин-орбитальная конверсия в фокусе . . . . . . . . . . . . .
134

5.1. Обратный поток в фокусе для вихревого поля с линейной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
5.1.1. Теоретическое основание . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
135
5.1.2. Поток энергии в фокусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.1.3. Спин-орбитальная связь в фокусе . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .
138
5.1.4. Моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

5.2. Инверсия продольной составляющей спинового углового момента
142
5.2.1. Спиновой угловой момент в фокусе гауссова пучка с круговой
поляризацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.2. Спиновой угловой момент в фокусе оптического вихря с топологическим зарядом 2 и круговой поляризацией
. .. . . . . . 147
5.2.3. Моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

5.3. Круговая поляризация в фокусе при освещении светом с линейной
поляризацией . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
5.3.1. Поток энергии и спиновой угловой момент в фокусе . .. . . . .
154
5.3.2. Моделирование
. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

5.4. Орбитально-спиновая конверсия, «фотонный вертолет» и полная
магнетизация . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
5.4.1. Спин-орбитальная конверсия в фокусе . .. . . . . . . . . . . . . .
162
5.4.2. Орбитально-спиновая конверсия в фокусе и лента Мебиуса
168
5.4.3. Фотонные колеса или фотонный вертолет . .. . . . . . . . . . . .
172
5.4.4. Только продольная компонента спина в фокусе (полная магнетизация) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 173

Оглавление

Г л а в а 6. Поток энергии в фокусе пучка с дробной и гибридной
цилиндрической поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

6.1. Обратный поток в фокусе пучка с цилиндрической поляризацией
дробного порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
6.1.1. Фокусировка цилиндрических векторных пучков с порядком
от нуля до единицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.1.2. Фокусировка цилиндрических векторных пучков с порядком
больше единицы . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2. Поперечный поток энергии в остром фокусе света с циркулярноазимутальной поляризацией высокого порядка . .. . . . . . . . . . . . .
184
6.2.1. Интенсивность света с гибридной поляризацией в фокусе . .
185
6.2.2. Поток энергии в фокусе для света с гибридной поляризацией
188
6.2.3. Спиновый угловой момент в фокусе поля с гибридной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.4. Результаты моделирования фокусировки света с гибридной
поляризацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Заключение . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196

Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

Введение

В 1874 году Н. А. Умов ввел понятие о плотности потока энергии
любой физической природы. А в 1884 году Д. Г. Пойнтинг ввел понятие
о плотности потока электромагнитной энергии. Поэтому иногда говорят
о векторе потока электромагнитной энергии как о векторе Умова–
Пойнтинга, а иногда только о векторе Пойнтинга. Вектор Пойнтинга P
равен количеству электромагнитной энергии, протекающей за одну секунду через единичную площадку, нормаль к которой перпендикулярна
к направлениям векторов напряженности электрического E и магнитного H полей. Поэтому тройка векторов (E, H, P) в каждой точке
пространства должна образовывать правую тройку векторов. Для квазимонохроматического света среднее значение за период колебаний
вектора P определяется в системе СГС как:
P = c

8πRe (E∗ × H) ,
(1)

где c — скорость света в вакууме, Re — значок действительной части
комплексного числа, ∗ — знак комплексного сопряжения. Вектор Пойнтинга P входит в интегральный закон сохранения энергии для электромагнитного поля под интегралом по замкнутой поверхности. В этом его
физический смысл. Но также вектор Пойнтинга входит и в дифференциальный закон сохранения энергии (теорема Пойнтинга):
∂W
∂t = −∇ · P − JE,
(2)

где W — плотность электромагнитной энергии, t — переменная времени, J — плотность тока свободных зарядов. Так как вектор Пойнтинга
входит в дифференциальный закон сохранения энергии (2) в виде
дивергенции, то это порождает неоднозначность в его определении.
Действительно, добавление к вектору P ротора от любой непрерывной
функции не приводит к изменению выражения для закона сохранения
энергии, так как div rot = 0. Но на практике никаких противоречий
эксперимента с определением (1) не возникает. За исключением эффекта обратного потока энергии. Первое упоминание об обратном потоке
световой энергии было сделано в 1920 году В. С. Игнатовским. Этот
эффект заключается в том, что при свободном распространении света
вдоль некоторого направления, в пространстве могут быть области,
в которых вектор Пойнтинга направлен в обратном направлении. Есть
ли в этом физический смысл, или это недостаток определения (1)?
Недавно эффект обратного потока энергии был обнаружен в остром
фокусе вихревых пучков. Данная книга посвящена детальному изучению эффекта обратного потока энергии в фокусе лазерного света.

Г л а в а 1

ОБРАТНЫЙ ПОТОК ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ПУЧКОВ

И ДЛЯ ПУЧКОВ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
с круговой поляризацией

Начиная с работы [1] стало известно об обратном потоке энергии при распространении светового поля в свободном пространстве.
В местах обратного потока продольная компонента вектора Пойнтинга принимает отрицательные значения. Этому явлению в оптике
посвящено относительно не много работ [1–10]. В [1] показали, что
при фокусировке плоской волны с линейной поляризацией с помощью
апланатической системы в плоскости фокуса в области первого темного кольца интенсивности имеется область, в которой поток световой
энергии направлен в обратную сторону по отношению к направлению
распространения падающей плоской волны. В [2] теоретически было
показано наличие отрицательного значения продольной составляющей
вектора Пойнтинга на оптической оси у линейной комбинации двух
пучков Бесселя m-го порядка с ТЕ и ТМ поляризациями. В [3] рассмотрена практически реализуемая ситуация (фокусировка с помощью
апланатической системы) и теоретически и численно показано, что
при фокусировке моды Лагерра–Гаусса порядка (0, m) = (0, 2) и левой
круговой поляризацией (σ = −1) на оптической оси в фокусе у продольной проекции вектора Пойнтинга имеются отрицательные значения. В [4] рассмотрена суперпозиция двух произвольных световых
полей, у которых разные проекции волнового вектора на продольную
ось. Показано, что у таких световых полей имеют место локальные
области, в которых продольная компонента силы, действующей на
микрочастицу, направлена против волнового вектора светового пучка.
В [5] численно показано наличие обратного потока на оптической оси
в фокусе вихревой металинзы. В [6] численно показано наличие обратного распространения энергии в векторном пучке Бесселя с дробным
топологическим зарядом. Такой световой пучок, фактически, является
линейной комбинацией счетного числа обычных мод Бесселя. В [7]
теоретически получены выражения для плотности вектора Пойнтинга
для векторных Х-пучков и получены необходимые условия для появления обратного потока энергии. В [8] численно показано наличие
обратного течения энергии в непараксиальном ускоряющемся 2D пучке
Эйри. В [9] теоретически с помощью локального волнового векто

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
9

ра рассматриваются условия, которые нужно наложить на световое
поле, чтобы оно локально проявляло обратное распространение (или
имел место обратный поток энергии). В [10] численно показано, что
в вихревом поле с неоднородной поляризацией, сформированном спиральной металинзой, вблизи оптической оси имеет место обратный
поток световой энергии. Кроме того, известны теоретические работы
по изучению свойств вектора Пойнтинга и вектора орбитального углового момента в произвольных и вихревых скалярных и векторных
световых полях [11–14]. В [11] исследуются параксиальные вихревые
пучки с несколькими фазовыми сингулярностями в поперечном сечении пучка. В [12] найдены спиральные траектории потока энергии для
пучков Бесселя и Лагерра–Гаусса, а в [13] исследуется «оптический
ток» (optical current) в вихревых пучках.
В данном разделе для произвольного оптического вихря с целым
топологическим зарядом m и круговой поляризацией получены явные
выражения для всех проекций векторов напряженности электрического
и магнитного полей вблизи фокуса, а также выражения для интенсивности (плотности энергии) и потока энергии (проекции вектора
Пойнтинга) в плоскости фокуса в апланатической оптической системе. Из полученных выражений следует, что вблизи оптической оси
в плоскости фокуса оптического вихря c m > 2 и левой круговой
поляризацией обратный поток энергии на самой оптической оси равен
нулю и растет по модулю как степень 2(m − 2) радиальной координаты.
Также из полученных формул следует, что вблизи плоскости фокуса
обратный поток энергии вращается вокруг оптической оси.

1.1.1. Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического вихря. Рассмотрим с помощью формул Ричардса–Вольфа [1]
интенсивность и поток энергии (проекции вектора Пойнтинга) в плоскости острого фокуса произвольного оптического вихря с круговой поляризацией, сфокусированного апланатической системой. Выражения
для трех проекций вектора напряженности электрического поля оптического вихря в области фокуса были получены в [14]. Ниже мы приведем также три проекции вектора напряженности магнитного поля,
выражение для интенсивности и для трех проекций вектора Пойнтинга.
Для напряженности электрического поля с круговой поляризацией
E = Exex + iσEyey, где ex, ey — единичные векторы вдоль декартовых
координат, будем считать, что при σ = 1 — правая поляризация, а при
σ = −1 — левая поляризация, следуя [14]. Для оптического вихря
с топологическим зарядом m и произвольной функцией аподизации
зрачка (действительная функция Am(θ))

Am(θ, ϕ) = Am(θ) exp(imϕ),
(1.1)

где (θ, ϕ) — углы, задающие точку на сходящемся сферическом волновом фронте, запишем проекции электрического вектора E вблизи фокуса

Гл. 1. Обратный поток для вихревых пучков

в апланатической системе в цилиндрических координатах (r, ϕ, z), следуя [14]:

Ex(r, ϕ, z) = −im+1eimϕI0,m + γ+I2,m+2e2iϕ + γ−I2,m−2e−2iϕ,

Ey(r, ϕ, z) = imeimϕσI0,m − γ+I2,m+2e2iϕ + γ−I2,m−2e−2iϕ,

Ez(r, ϕ, z) = −2imeimϕγ+I1,m+1eiϕ − γ−I1,m−1e−iϕ,

(1.2)

где

I0,m = B

a0

sin θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 + cos θ)Jm(x) dθ,

I1,m±1 = B

a0

sin2 θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θJm±1(x) dθ,

I2,m±2 = B

a0

sin θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 − cos θ)Jm±2(x) dθ,

(1.3)

где B = kf/2, α = arcsin(NA), x = kr sin θ, γ± = (1 ± σ)/2, Jν(x) —
функция Бесселя, k — волновое число света, f — фокусное расстояние
апланатической системы с числовой апертурой NA.
На основе (1.2) можно записать выражение для интенсивности
в плоскости фокуса (z = 0) произвольного оптического вихря (1.1):

Im(r, ϕ, z = 0) =

= 2
I2
0,m + γ+
I2
2,m+2 + 2I2
1,m+1
+ γ−
I2
2,m−2 + 2I2
1,m−1
.
(1.4)

Из (1.4) видно, что распределение интенсивности в плоскости фокуса имеет осевую симметрию, так как не зависит от азимутального
угла ϕ. И так как у интегралов Ip,q, входящих в (1.3) и (1.4) второй индекс показывает порядок функции Бесселя, то из (1.4) можно
заключить, что на оптической оси (r = 0) интенсивность будет равна
нулю при любом m > 2. При m = 1, 2 на оптической оси интенсивность
оптического вихря с левой круговой поляризацией (σ = −1) будет
отлична от нуля. Но в обоих случаях (m = 1, 2) световой поток не
будет распространяться вдоль положительного направления оптической
оси: при m = 1 поток энергии на оси будет нулевой, а при m = 2 —
обратный.

1.1.2. Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического вихря. Чтобы доказать наличие обратного потока в фокусе оптического вихря с произвольным целым топологическим заря