Лекции по аналитической геометрии

Рекомендовано Методическим советом 
Уральского федерального университета 
в качестве учебного пособия для студентов вузов, 
обучающихся по направлениям подготовки 
01.03.01 – Математика (бакалавр), 
01.04.03 – Механика и математическое моделирование,  
02.03.01 – Математика и компьютерные науки

С.В. Сизый

ЛЕКЦИИ
по
АНАЛИТИЧЕСКОЙ 
ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.12
ББК 22.151.54
С 34

С и з ы й
С. В.
Лекции
по
аналитической
геометрии.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 256 с. — ISBN 978-5-9221-1925-2.

Настоящее учебное пособие представляет собой переработанный конспект
лекций по курсу «Аналитическая геометрия» для студентов Департамента
математики, механики и компьютерных наук Уральского федерального университета. В пособии представлены три обязательных к изучению в первом
семестре первого курса раздела аналитической геометрии: алгебра векторов,
прямые и плоскости, квадрики. После каждой лекции приводится набор задач
для практических занятий.
Учебное пособие предназначено студентам математических специальностей
высших учебных заведений для первоначального, но весьма обстоятельного
знакомства с аналитической геометрией.

Рекомендовано Методическим советом Уральского федерального университета в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.01 — Математика (бакалавр),
01.04.03 — Механика и математическое моделирование, 02.03.01 — Математика и компьютерные науки.

Р е ц е н з е н т ы:
директор Института математики и механики им. Н.Н. Красовского
УрО РАН д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН
Николай Юрьевич Лукоянов;

заведующий сектором нелинейной вихревой гидродинамики
Института машиноведения УрО РАН д.ф.-м.н.
Евгений Юрьевич Просвиряков

ISBN 978-5-9221-1925-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ С. В. Сизый, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие для преподавателей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие для студентов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Г л а в а 1.
Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Вступление. Знакомство друг с другом . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
14
Лекция № 1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1. Геометрические векторы. Аксиоматическое определение вектора,
линейное пространство . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Лекция № 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
35
2. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в данном
базисе. Аффинная система координат . .. . . . . . . . . . . . . . .
35
Лекция № 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3. Деление отрезка в данном отношении . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4. Скалярное произведение векторов. Ломка мировоззренческих
стереотипов, навязанных в школе . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .
49
Лекция № 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5. Преобразование координат при замене репера . .. . . . . . . . . . . .
61
Лекция № 5 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
6. Векторное и смешанное произведения векторов в трехмерном
пространстве. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Лекция № 6 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
7. Доказательство дистрибутивности векторного произведения относительно сложения векторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8. Вычисление векторного и смешанного произведений векторов
через координаты сомножителей в ортонормированном базисе
82

Г л а в а 2.
Прямые и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
88
Лекция № 7 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9. Семь типов уравнений прямой на плоскости в аффинной системе
координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
10. Теорема о геометрическом образе линейного уравнения Ax +
+ By + C = 0 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Лекция № 8 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
11. Уравнение прямой в виде скалярного произведения. Угол между
прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
12. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Нормальное
уравнение прямой . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
13. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол от одной
прямой до другой. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107

Оглавление

Лекция № 9 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
14. Плоскость в трехмерном пространстве, система координат —
произвольная аффинная . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
15. Плоскость в трехмерном пространстве, система координат —
декартова прямоугольная. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
Лекция № 10 . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
16. Прямая в трехмерном пространстве, система координат — произвольная аффинная. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
17. В котором рассматриваются некоторые практически важные
задачи про прямые в пространстве: угол между прямыми,
взаимное расположение прямых в пространстве; расстояние
от точки до прямой, расстояние между двумя прямыми; общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым. Все события
разворачиваются в ортонормированном репере, поскольку он
наиболее привычен для инженеров и чаще всего используется
на практике . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
Лекция № 11 . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
18. Пучок прямых на плоскости и пучок плоскостей в пространстве
148
19. Пример простейшей задачи линейного программирования —
максимизация выручки при выпуске двух типов продукции
в условиях ограниченности ресурсов . .. . . . . . . . . . . . . . . .
156

Г л а в а 3.
Квадрики на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . .
167
Лекция № 12 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
20. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. .. . . . . . . . . . . .. . .
168
21. Директориальное свойство эллипса. Оптическое свойство эллипса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
Лекция № 13 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
22. Гипербола . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
186
23. Парабола. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
Лекция № 14 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
24. Классификация линий второго порядка на плоскости . .. . . . . .
203
Лекция № 15 . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
25. Асимптотические направления. Тип квадрики . .. . . . . . . . . . .
221
26. (Факультативный,
для
любопытных
студентов.)
Диаметры
и центр квадрики. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
Лекция № 16 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
236
27. Некоторые важные поверхности второго порядка . .. . . . . . . . .
237

Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252

Предисловие для преподавателей

Зачем эта книжка
Учебников и пособий по аналитической геометрии много. Разных,
плохих и хороших, нацеленных на разные аудитории — как для будущих профессионалов-математиков, так и для инженерных специальностей. Многие пособия учитывают специфику вуза и будущей специальности выпускника. Большинство учебников отличаются достаточным
охватом материала и корректным последовательным изложением.
Тем не менее, в условиях значительного уплотнения учебных планов и сокращения часов на аналитическую геометрию для математических специальностей возникает необходимость выбора материала и его
компактного изложения. В учебном плане специальности «Математика» в Уральском федеральном университете аналитическая геометрия
стоит в первом семестре первого курса (2 часа лекций и 3 часа практических занятий в неделю), что, конечно, вынуждает преподавателя «изворачиваться», дабы успеть изложить хотя бы традиционные разделы,
используемые в других предметах и составляющие основу математической грамотности будущего математика. Продолжительность первого
семестра 17 недель, где последняя неделя «пропадает» на зачетные
мероприятия, поэтому в семестре удается прочитать 16 лекций — ровно
столько их и содержится в этой книжке. Таким образом, первая причина написания этой книжки — необходимость компоновки материала
и компактного изложения самых необходимых разделов аналитической
геометрии для обучения «математической грамоте» вчерашних школьников, а ныне — первокурсников математических специальностей. Для
целенаправленного ликбеза молодого поколения, если угодно.
Вторая
причина
носит
довольно
«бюрократический» характер.
По
непонятным мне
мотивам
при
составлении
учебных
планов,
программ, модулей дисциплин и т. п. введено требование указывать
в списке рекомендованной литературы учебники и пособия возрастом
не старше 5 лет. Такое требование не лишено смысла применительно
к бурно развивающимся дисциплинам технологического и прикладного
характера (в частности, IT-отрасли), но касательно фундаментальных
дисциплин,
составляющих
незыблемую
основу
математического
знания, это требование выглядит сомнительно. Вряд ли за последние
пять лет что-либо могло измениться в общем виде уравнения прямой
на плоскости. И тем не менее, в требовании обновлять учебную литературу есть и существенный положительный момент: написание новых
учебников приводит к развитию методики преподавания, появлению

Предисловие для преподавателей

новых удачных способов изложения материала, обмену опытом между
преподавательскими школами различных университетов.

Для кого эта книжка

Во-первых, для студентов-первокурсников, во-вторых, для преподавателей. Постараюсь кратко пояснить, что и почему содержится
в книжке для каждой группы адресатов.
1. Эта книжка предназначена студентам, так как лекции читаются
студентам и именно для них они записаны подробно. В книжке содержится не только строгий сухой математический материал (как в большинстве существующих учебников), но и «много слов», как это должно
быть на живой лекции. Неопытные первокурсники, еще не научившиеся правильно вести конспект, традиционно переписывают в свои
тетрадки только то, что преподаватель написал на доске — формулы,
обозначения, схематичные рисунки, выжатые (в смысле литературного
текста) доказательства. За рамками их конспектов оказывается, порой,
самое важное — причины возникновения понятий, мотивация выполняемых действий, разъяснения преподавателя к каждому звену цепочки
математических рассуждений, объяснения рисунков и т. д. Поэтому
именно для студентов в этой книжке вся живая преподавательская
речь сохранена, записаны рассуждения, «лирические» отступления,
эмоциональные фрагменты. Мой преподавательский опыт показал, что
представленные здесь лекции слушаются первокурсниками с большим
интересом 1), поэтому я их и записал. Для первокурсников.
2. Это книжка для преподавателей, в особенности для начинающих
либо уже опытных, но получивших аналитическую геометрию в своем
учебном поручении впервые. Мне хотелось поделиться с вами, уважаемые коллеги, своим опытом. В этой книжке фактически приводятся
подбор и компоновка материала, подробно записан пример лекционного исполнения этого материала, вплоть до того, где и какие слова
говорить во время лекции, на каких разъяснениях заострять внимание,
что в этом предмете воспринимается первокурсниками легко, а что
вызывает затруднение. Преподаватель увидит в этой книжке разбивку
материала по времени, «чтобы все успеть». Облегчить лектору-преподавателю исполнение этого курса — одна из основных задач книжки.
Кроме того, после каждой лекции приводится ориентировочный список
задач для практических занятий по теме лекции (об этих задачах чуть
позже в этом предисловии). Этот список — не столько «задачник» для
студентов, сколько ориентир для преподавателей-ассистентов, ведущих
практические занятия. Список является указанием, задачами какого
типа хотелось бы подкрепить материал лекции.

1) Регулярное явление — первокурсники приводят ко мне на лекции своих
друзей, бывших одноклассников, поступивших в другие вузы, чтобы послушать
аналитическую геометрию.

Предисловие для преподавателей
7

Сразу следует предупредить читателя-преподавателя, что в моей
лекционной речи присутствует довольно много просторечных выражений, (порой, даже сленг и «новояз»), которыми изобилует общение
представителей современного молодого поколения в социальных сетях.
Русский язык меняется (в лучшую или худшую стороны — не будем
сейчас обсуждать, просто примем трансформацию языка как данность),
первокурсники разговаривают уже не на том языке, на котором мы,
люди старшего поколения, говорили еще лет 30 назад. Вчерашние
школьники гораздо быстрей и комфортней воспринимают математическую информацию в более привычном для них стиле общения, поэтому
я не гнушаюсь использовать в своей речи «их выражения».
В тексте моих лекций много фрагментов, которые, на первый
взгляд, «к делу не относятся». Как сказали бы педантичные приверженцы сухого академического стиля изложения: «в лекциях много
болтовни». Уверяю вас, это сделано намеренно, в силу особенностей психологии восприятия современных первокурсников: невозможности длительное время сосредоточенно удерживать внимание на трудном (или просто непривычном) материале, особенно в коллективе,
где всегда присутствуют отвлекающие моменты со стороны соседей;
пресловутое «клиповое» мышление, необходимость часто расслабляться и т. д.
Психология восприятия первокурсников диктует свои особенности
к оформлению лекции как законченного произведения. Так, например,
в лекции должны быть «точки», которые психологически отмечают ее
начало и конец — своеобразные маркеры, означающие для студентов,
что «все, надо отложить посторонние дела и начинать работать» (а студент, вошедший в аудиторию после такого маркера, будет всеми восприниматься как опоздавший). Как быть? Звонки ведь в университете
не работают! Я для себя нашел такое решение — в начале каждой
лекции я подчеркнуто громко повторяю одну и ту же фразу: «Здравствуйте, хорошие дети! Садитесь. Открыли тетрадки, пишем: “Сегодня
ХХ-е ХХ-бря, классная работа, лекция номер ХХ”». На первых лекциях
эта фраза воспринимается комично (как привет из средней школы),
и студенты из любопытства переключают свое внимание с посторонних
дел на меня. Потом студенты привыкают, и комичная фраза в начале
лекции начинает восприниматься просто как звонок на урок, сигнал
к началу работы. Первокурсники легко принимают такие юмористические «правила игры» и с готовностью поддерживают их — были случаи,
когда я заходил в аудиторию, немного мешкая с началом лекции,
и слышал из заполненной аудитории чуть ли не хором: «Здравствуйте,
хорошие дети! Мы уже открыли тетрадки...». В записи моих лекций
читатель-преподаватель отметит для себя много подобных моментов,
а уж использовать их или нет в своем общении с аудиторией или
придумать для себя нечто другое (многообразие возможных приемов

Предисловие для преподавателей

велико) предстоит решать моему уважаемому коллеге. 1) В любом
случае современные реальности таковы, что сухое академическое исполнение лекций, принятое у многих лекторов (и, вероятно, ошибочно
ассоциирующееся у них с математической строгостью изложения), во
многих случаях затрудняет как восприятие, так и усвоение материала
значительной долей современных первокурсников.
Я, конечно, далек от прямолинейного и наивного призыва лекторов-математиков к «живому творческому подходу при подготовке и при
исполнении своих лекций». Но согласитесь, что когда живой и интересный в повседневном общении человек выходит к доске и словно
пораженный какой-то бациллой нудности превращается у доски в монотонного педанта, который сухо проговаривает доказательства фактов
из математического справочника, а потом еще и требует от студентов
их неукоснительного знания, — это печальное зрелище, вряд ли способствующее развитию интереса и любви к математике.

Чем объясняется выбор материала этой книжки
Необходимостью эти факты знать. Они используются во всех следующих курсах на протяжении всего университетского обучения математике. Меньший объем материала, чем изложено в этой книжке,
просто невозможен. Больший объем возможен, но вступает в действие
фактор ограниченности во времени: в рамках одного семестра больший
объем материала разъяснить на лекциях весьма проблематично.
«Привилегированные» столичные университеты страны, в которые
поступают особо одаренные выпускники средних школ, с большим
количеством баллов ЕГЭ, победители различных олимпиад высокого уровня, могут позволить себе отдавать своим студентам на самостоятельное изучение некоторые простые и традиционные разделы
аналитической геометрии либо излагать их на лекциях очень бегло,
полагаясь на уже достаточный уровень подготовки своих слушателей.
Взамен на аудиторных лекциях возникают более «экзотические» темы,
например фрагменты полилинейной алгебры, внешнее произведение,
поливекторы и т. д. При такой схеме преподавания первокурсники

1) Тем более что далеко не все «правила игры в лекцию» с первокурсниками
оказалось возможным записать в этой книжке. Например, каждого опоздавшего первокурсника (постучавшегося в дверь после фразы «Здравствуйте,
хорошие дети...») я прямо в дверях стараюсь огорошить вопросом типа «Когда
векторы перпендикулярны?» Если он ответил: «Тогда и только тогда, когда
их скалярное произведение равно нулю», он может войти. Иначе я отправляю
его обратно за дверь фразой, сказанной тоном адской школьной учительницы
(ставшей популярным интернет-мемом): «Выйди и зайди как следует!» Уверяю
вас, таким потешным способом удается весьма быстро и эффективно вдолбить
в головы первокурсников базовые понятия аналитической геометрии, поскольку аудитория сама начинает подсказывать правильный ответ опоздавшему
растяпе, и через пару недель уже все крепко запомнили правильные ответы
на подобные вопросы.

Предисловие для преподавателей
9

за один семестр успевают познакомиться с абстрактными и более
современными разделами математики, а итоговый объем материала
к экзамену возрастает.
Уральскому федеральному университету, где я работаю, тоже грех
жаловаться на поступающих абитуриентов; их уровень весьма и весьма высок, но расслоение по степени предварительной подготовки
(да и по уровню увлеченности математикой, и по степени мотивации
к ее изучению, и, наконец, по умению самостоятельно учиться) весьма
значительно. В ответ на раздающееся порой ворчание преподавателеймизантропов: «какие тупые нынче студенты пошли, ничего не понимают», я всегда возражаю — других первокурсников у нас нет и не будет,
а стране нужны квалифицированные специалисты, поэтому учить надо
всех, и одаренных, и не очень одаренных, причем учить качественно.
Для усредненного уровня студентов-первокурсников большинства университетов страны я считаю неприемлемой схему преподавания предметов, принятую в «привилегированных» вузах, поэтому в своей книжке
добросовестно собрал и старательно разжевал (с многочисленными
повторами) именно классические разделы аналитической геометрии,
самые необходимые, без которых дальнейшее математическое образование будет немыслимо. Цель курса — разъяснить студентам базовые
факты и обучить их решать именно стандартные задачи аналитической геометрии. Не все же выпускники, в конце концов, впоследствии
станут профессиональными учеными-математиками 1): многие пойдут
работать в смежные специальности. А если наш выпускник-математик,
работая, например, в каком-нибудь конструкторском бюро, будет знать
внешнюю алгебру Грассмана, но не сумеет найти объем трехмерного
параллелепипеда с помощью определителя третьего порядка, то грош
цена такому выпускнику (с точки зрения конструкторского бюро).
Именно такими соображениями я и руководствовался при подборе
материала для своего курса.

Немного об устройстве книжки и курса

Хронометрически каждая лекция содержит столько материала,
сколько реально изложить за стандартные полтора часа у доски. Лишь
первая лекция в книжке несколько длиннее остальных — ее продолжительность — три академических часа. Она проходит в первую неделю
семестра, формально считается «установочной», и деканат выделяет на
нее чуть больше времени в расписании, поскольку в нашем университете это оказывается технически возможным осуществить — в первую
неделю еще не проводятся практические занятия и на «установочные»
лекции остается больше времени.

1) Будущих профессиональных математиков-исследователей видно сразу,
опытный преподаватель всегда найдет к ним индивидуальный подход в обучении и не оставит их на уровне общего усредненного университетского
математического образования.

Предисловие для преподавателей

Первое практическое занятие по аналитической геометрии на особом положении. Оно отличается от всех следующих практик тем, что
на нем не решаются задачи по теме первой лекции (ведь на тему
«определение вектора» и решать-то, собственно, нечего), а происходит
знакомство с важным техническим аппаратом — определителями второго и третьего порядка. Предложенный после лекции №1 примерный
список задач на первое практическое занятие демонстрирует, какие
сведения и навыки хотелось бы зафиксировать у первокурсников для
дальнейшего изучения аналитической геометрии.
Поскольку определители не входят в школьную программу, с ними
могут быть знакомы только выпускники каких-нибудь специализированных лицеев с углубленным изучением математики, а выпускникам
обычных средних школ они внове. Ассистенту, ведущему практические занятия, придется прямо на первой практике рассказать, что
определители — серьезный инструмент для работы с геометрическими
понятиями, что они постоянно возникают как в теоретических построениях, так и при решении практических задач. Предстоит дать
необходимые определения, а затем показывать и обсуждать те свойства
определителей, которые первокурсники будут как бы самостоятельно
«открывать» при решении задач.
Я предпочитаю на первой практике давать детям следующие определения. Конечно, определитель второго порядка вводится без вариантов:
a11
a12
a21
a22

= a11a22 − a21a12;

а вот определитель третьего порядка вводится иначе,
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33

= a11

a22
a23
a32
a33

− a12

a21
a23
a31
a33

+ a13

a21
a22
a31
a32

,

разложением по первой строке.
Выписывая определения, надо попутно обсудить, что такое матрица,
какая диагональ в матрице главная, какой смысл у индексов (номер
строки и номер столбца), когда между индексами запятая не ставится. Нужно научить правильно читать эти формулы. Особое внимание
предстоит уделить устройству формулы для определителя третьего
порядка и как ее запомнить, показать, что такое минор в определителе,
заострить внимание на том, что знак минус ставится тогда, когда сумма
индексов у элемента строки, по которой раскладываем, нечетная.
Разумеется, для нужд геометрии придется сообщить (пока без
доказательства, пообещав доказать позже) критерий компланарности
трех векторов в пространстве: три вектора компланарны тогда и только
тогда, когда определитель, составленный построчно из координат этих
трех векторов, равен нулю.
Очень полезно для дальнейших занятий показать и обсудить правило Крамера решения систем линейных уравнений. Естественно, на пер