Вращающиеся вихревые лазерные пучки

УДК 535.42
ББК 22.243.4
В 81

К о т л я р
В. В.,
К о в а л е в
А. А.,
Х о н и н а
С. Н.
Вращающиеся
вихревые лазерные пучки. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 240 с. —
ISBN 978-5-9221-1915-3.

В монографии рассмотрены лазерные световые пучки, у которых при распространении в свободном пространстве поперечное распределение интенсивности вращается вокруг оптической оси. Причины, приводящие к вращению
поперечной интенсивности пучка в пространстве, могут быть разные. Все эти
различные виды вращающихся пучков подробно рассматриваются в книге.
Вращающиеся лазерные пучки применяются в микроскопии для получения
сверхразрешения по продольной координате и при измерении локализации
и ориентации отдельных молекул, при зондировании атмосферы и в беспроводных системах связи, в передаче информации под водой, а также в датчиках
магнитного поля.
Книга будет полезной для широкого круга специалистов в области фотоники, студентов старших курсов, бакалавров и магистров, обучающихся
по специальностям «Оптика», «Прикладные математика и физика», «Прикладная математика и информатика», и аспирантов, специализирующихся в этих
областях.

ISBN 978-5-9221-1915-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ В. В. Котляр, А.А. Ковалев,
С.Н. Хонина, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1.
Инвариантные пучки и пучки с продольной периодичностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Инвариантные лазерные пучки (эксперимент). .. . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1. Самовоспроизведение как инвариантность к действию различных операторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.2. Бездифракционные пучки Бесселя . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3. Гауссовы пучки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.4. Формирование
самовоспроизводящихся
лазерных
пучков
в дифракционных порядках
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.1.5. Обнаружение угловых гармоник
. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . .
22
1.2. Чистые оптические вихри . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.1. Чистые вихри — инвариантные пучки с минимальной расходимостью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2.2. Гипергеометрические моды . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.3. Свойства чистых вихрей . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.4. Результаты численного моделирования . .. . . . . . . . . . . . . .
34
1.3. Гипергеометрические моды (эксперимент) . .. . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.1. Теоретические основы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.2. Численное моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.3. Эксперимент
. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Г л а в а 2.
Многомодовые вращающиеся пучки . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1. Пучки с продольной периодичностью. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.1.1. Теоретические основания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.1.2. Алгоритмы расчета ДОЭ . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
51
2.1.3. Результаты моделирования . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.2. Вращение многомодовых пучков Бесселя . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.2.1. Расчет фазового ДОЭ для формирования вращающегося
пучка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.2.2. Градиентный алгоритм расчета фазового ДОЭ . .. . . . . . . . .
60
2.2.3. Вращение многомодового пучка в волокне . .. . . . . . . . .. . . .
61
2.2.4. Численный расчет . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.3. Вращающиеся пучки без орбитального углового момента . .. . . . . .
67
2.4. Эллиптический пучок Лагерра–Гаусса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.4.1. Преобразование Френеля от моды Лагерра–Гаусса . .. . . . . .
75
2.4.2. Наклонный параксиальный световой пучок Лагерра–Гаусса
77

Оглавление

2.4.3. Эллиптический параксиальный пучок Лагерра–Гаусса . .. . . .
80
2.4.4. Результаты численного моделирования . .. . . . . . . . . . . . . .
88
2.4.5. Эксперимент
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Г л а в а 3.
Вращение вихревых пучков в ближней зоне. . . . . . . . . .
96
3.1. Вращение пучка при дифракции на спиральной фазовой пластинке
96
3.1.1. Ход лучей после спиральной фазовой пластинки
. .. . . . . . .
97
3.1.2. Скалярная теория дифракции на рельефе СФП . .. . . . . . . .
100
3.1.3. Строгое моделирование с помощью уравнений Максвелла . .
103
3.1.4. Эксперимент
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
104
3.2. Вращение двухлепесткового оптического вихря в ближнем поле
вихревого микроаксикона . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
3.2.1. Теоретические основания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
3.2.2. Моделирование . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
3.2.3. Изготовление вихревого аксикона . .. . . . . . . . . . . . . .. . . .
112

Г л а в а 4.
Вращающиеся асимметричные лазерные пучки . . . . . . .
115
4.1. Вращающийся асимметричный пучок Бесселя–Гаусса . .. . . . . . . .
115
4.1.1. Линейная комбинация БГ-пучков . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.1.2. Фурье-спектр аБГ-пучка
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
4.1.3. Орбитальный угловой момент аБГ-пучка
. .. . . . . . . . . . . .
125
4.1.4. Взаимная неортогональность функций, описывающих семейство аБГ-пучков . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
126
4.1.5. Эксперимент
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
4.2. Асимметричные вращающиеся пучки Лагерра–Гаусса . .. . . . . . . .
129
4.2.1. Пучки Лагерра–Гаусса с комплексным смещением . .. . . . . .
131
4.2.2. Мощность смещенного пучка Лагерра–Гаусса . .. . . . . . . . .
133
4.2.3. Орбитальный угловой момент смещенного пучка Лагерра–Гаусса
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
4.2.4. Параксиальные пучки Лагерра–Гаусса в форме вращающегося полумесяца
. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
4.2.5. Экспериментальное формирование асимметричного пучка Лагерра–Гаусса
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
4.2.6. Вращающиеся суперпозиции асимметричных пучков Лагерра–Гаусса
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
4.3. Асимметричные вращающиеся пучки Куммера . .. . . . . . . . . . . . .
150
4.3.1. Смещенные пучки Куммера
. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
4.3.2. Орбитальный угловой момент асимметричного пучка Куммера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
4.3.3. Численное моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155

Г л а в а 5.
Эллиптические вращающиеся пучки . . . . . . . . . . . . . . .
157
5.1. Гауссов пучок с внедренным эллиптическим вихрем . .. . . . . . .. . .
157
5.1.1. Вычисление орбитального углового момента
. .. . . . . . . . . .
158
5.1.2. Вычисление комплексной амплитуды поля . .. . . . . . . . . . . .
160
5.1.3. Эксперимент по
формированию
эллиптического гауссова
вихря . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163

Оглавление
5

5.2. Дифракция эллиптического гауссова пучка на эллиптической спиральной фазовой пластинке . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
5.2.1. Орбитальный угловой момент эллиптического пучка после
прохождения через эллиптическую спиральную фазовую пластинку
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
5.2.2. Численное моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
5.2.3. Вывод формулы для нормированного ОУМ . .. . . . . . . . . . .
181

Г л а в а 6.
Вращающиеся астигматические лазерные пучки . . . .. . .
184
6.1. Безвихревой астигматический пучок . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
6.1.1. Безвихревой пучок с орбитальный угловым моментом . .. . . .
185
6.1.2. Орбитальный угловой момент астигматического пучка
. .. . .
187
6.1.3. Моделирование . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
6.1.4. Астигматический пучок после скрещенных цилиндрических
линз и в ABCD-системе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
6.2. Вращающийся астигматический пучок Эрмита–Гаусса . .. . . . . . . .
195
6.2.1. Безвихревой пучок с ОУМ . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
197
6.2.2. Формирование эллиптического гауссова пучка . .. . . . . . . . .
200
6.2.3. Эллиптический пучок Эрмита–Гаусса после цилиндрической
линзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
6.2.4. Эксперимент
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
6.3. Вращающийся эллиптический астигматический вихревой гауссов
пучок. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
6.3.1. Амплитуда пучка на двойном фокусном расстоянии от цилиндрической линзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
6.3.2. Семейство астигматических эллиптических гауссовых вихрей
213
6.3.3. Результаты моделирования . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
6.3.4. Эксперимент
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
217

Заключение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222

Введение

Вращающиеся световые поля, у которых при распространении в свободном пространстве вращается вокруг оптической оси распределение
интенсивности в поперечном сечении, нашли применение в микроскопии при измерении локализации и ориентации отдельных молекул [1],
при зондировании атмосферы и в беспроводных системах связи [2],
для передачи информации под водой [3], а также в датчиках магнитного поля [4].
Впервые вращающиеся оптические вихри — когерентные световые
поля с сингулярной фазой, которые вращаются при распространении
в свободном пространстве, расcмотрены в [5]. В [5] было получено
условие для номеров линейной комбинации мод Лагерра–Гаусса (ЛГ),
интенсивность которой как целое вращается при распространении.
В [6] с помощью цифровой голограммы был сформирован вращающийся вихревой пучок, состоящий из суммы двух мод ЛГ с номерами (0,0) и (4,2), и имеющий распределение интенсивности в виде
двух лепестков. В [6] экспериментально измерена угловая скорость
вращения лазерного пучка, в сечении которого есть два локальных
максимума интенсивности. Такие пучки называются двухлепестковыми
пучками (ДЛП). В [7] c помощью фазового дифракционного элемента
были сформированы вращающиеся лазерные пучки, состоящие из двух
мод Бесселя с топологическими зарядами –1 и –3. Скорость вращения ДЛП составила 0,006 град/мкм. В [7] скорость вращения ДЛП,
в отличие от [6], была постоянная. В [8] c помощью ДЛП точно
(ошибка 1,6 %) измерена глубина резкости изображения. В [9] предложено с помощью пространственного модулятора света формировать
функцию рассеяния точки в виде двух лепестков, которые вращаются
вокруг оптической оси при распространении в пространстве. С помощью оптимизационной процедуры был рассчитан фазовый элемент,
эффективность которого при формировании ДЛП была равна 57 %,
хотя в эксперименте была достигнута эффективность только 37 %.
Сформированный ДЛП состоял из линейной комбинации многих мод
ЛГ и сферической линзы с числовой апертурой NA = 0,71. При этом
скорость вращения ДЛП в близи фокуса в диапазоне от –1,5 мкм до
1,5 мкм составляла 50 град/мкм. В [10] ДЛП, состоящий из двух пучков Бесселя, был сформирован с помощью жидкокристаллического модулятора. Скорость вращения была постоянная и равна 0,003 град/мкм.
Из этого краткого обзора работ по вращающимся пучкам видно, что
чаще всего для их формирования используют суперпозицию лазерных

Введение
7

мод — пучков Бесселя–Гаусса или Лагерра–Гаусса. Далее в книге
будут часто использоваться эти хорошо известные в оптике модовые
пучки, которые описываются функциями, являющимися точными решениями параксиального уравнения Гельгольца (уранения типа Шредингера). Приведем выражения для комплексных амплитуд этих пучков.
Бездифракционные пучки Бесселя:

En,m(r, ϕ, z) = eikzzJn (αmr) einϕ,
αm =
k2 − k2z ,
(B1)

где (r, ϕ, z) — цилиндрические координаты, z — оптическая ось, k —
волновое число света, kz — проекция волнового вектора на оптическую
ось, Jn(x) — функция Бесселя n-го порядка.
Пучки Бесселя–Гаусса:

En,m(r, ϕ, z) =

= q−1 (z) exp
ikz − iα2
mz

2kq(z)

exp
−
r2

ω2
0q(z) + inϕ
Jn

αmr

q(z)

,
(B2)

где αm = k sin θm = (2π/λ) sin θm — масштабирующий множитель,
k = 2π/λ — волновое число света с длиной волны λ, θm — угол
конической волны, формирующей пучок Бесселя, q(z) = 1 + iz/z0,
z0 = kω2
0/2 — длина Рэлея, ω0 — радиус перетяжки гауссова пучка,
Jn(x) — функция Бесселя первого рода n-го порядка.
Пучки Лагерра–Гаусса:

En,m (r, ϕ, z) = w (0)

w (z)

√

2 r

w (z)

|n|

L|n|
m

2r2

w2 (z)

×

× exp
−
r2

w2 (z) +
ikr2

2R (z) − i (|n| + 2m + 1) ζ (z) + inϕ
,
(B3)

где

w (z) = ω0

1 +
z

z0

2
,

R (z) = z
1 +
z0

z

2,
(B4)

ζ (z) = arctg
z

z0

,

где (r, ϕ, z) — цилиндрические координаты, ω0 — радиус перетяжки гауссова пучка, n — топологический заряд оптического вихря,
Ln
m (x) — присоединенный многочлен Лагерра, w(z) — радиус гауссова
пучка на расстоянии z от перетяжки, R(z) — радиус кривизны волнового фронта гауссова пучка, ζ(z) — фаза Гоу.

Введение

Пучки Эрмита–Гаусса:

En,m (x, y, z) = in+m
ω0

w (z)

2
Hn

√

2 x

w (z)

Hm

√

2 y

w (z)

×

× exp

−x2 + y2

w2 (z) + ik
x2 + y22R (z)

×

× exp
−i (n + m + 1) arctg
z

z0

,
(B5)

где (x, y, z) — декартовы координаты, Hn(x) — многочлен Эрмита.
Авторы выражают благодарность научному сотруднику Самарского
университета д.ф.-м.н. А.П. Порфирьеву за помощь в проведении экспериментов по формированию вращающихся лазерных пучков, а также
профессору Я. Турунену (Финская академия наук, Йоенсуу, Финляндия) и доктору Л. О’Фаолейну (Институт технологии Корка, Ирландия)
за помощь в изготовлении дифракционных оптических элементов.
Подготовка книги к изданию была поддержана грантом РФФИ
18-29-20003, а материал книги, основан на результатах, полученных,
в том числе, по грантам РФФИ 18-29-20003, 18-07-01122, 18-07-01129,
18-07-01380, 15-37-20723, 15-07-01174, 14-29-07133.

Г л а в а 1

ИНВАРИАНТНЫЕ ПУЧКИ И ПУЧКИ

С ПРОДОЛЬНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ

1.1. Инвариантные лазерные пучки (эксперимент)

В
1980–1984 гг.
научная группа
под
руководством академика
А.М. Прохорова впервые рассмотрела проблему формирования лазерных световых полей с заранее заданными свойствами с помощью
плоских дифракционных оптических элементов (ДОЭ) [11–15].
Работы по данной тематике в дальнейшем привели к созданию
научного направления — компьютерная оптика. Был рассчитан, синтезирован и исследован целый класс новых оптических элементов —
фокусаторы [11], моданы [13], элементы Бессель-оптики [15].
Основываясь на работах [11–15] в 1994–1998 гг. была создана
теория многомодовых лазерных пучков, обладающих инвариантными
свойствами [16–19]. То есть для разных модовых базисов (Бесселя,
Лагерра–Гаусса, Эрмита–Гаусса) были найдены условия для выбора
номеров мод, обеспечивающих формирование инвариантных лазерных
пучков, которые при распространении в однородных и градиентных
средах сохраняют свой вид (стабильные пучки), вращаются или периодически повторяются. Также был развит эффективный метод расчета
фазовых многоуровневых ДОЭ, способных преобразовывать обычный
гауссов лазерный пучок в пучки с инвариантными свойствами. Численное моделирование показало, что данные ДОЭ могут преобразовывать гауссов пучок в инвариантный с дифракционной эффективностью около 80 % и со средним отклонением профиля интенсивности
рассчитанного пучка от заданного около 20 %. Был также разработан
метод частичного кодирования [20], который позволяет снизить ошибку
отклонения до 3 % за счет уменьшения эффективности до 20 %.
В данном разделе приводятся результаты экспериментального формирования лазерных инвариантных пучков с помощью фазовых бинарных или многоуровневых ДОЭ, изготовленных по технологии электронной литографии с помощью генератора изображений Leica LION
LV1 c микрорельефом для длины волны 0,633 мкм.

Гл. 1. Инвариантные пучки и пучки с продольной периодичностью

Лазерные пучки со свойствами стабильности (бездифракционное
распространение) и вращения (распространение с заданным угловым
орбитальным моментом) могут быть применены, в частности, для манипулирования микрочастицами в биологии и нанотехнологии [21–23].

1.1.1. Самовоспроизведение как инвариантность к действию
различных операторов. В теории волноводов существует понятие
мод, которые обладают рядом замечательных свойств: 1) инвариантность к оператору распространения в своей среде, 2) сохранение ортогональности при распространении, 3) меньшие потери энергии для мод
с меньшими индексами, 4) наилучшая среднеквадратичная аппроксимация полей, распространяющихся в данной среде.
Модовый состав когерентных световых полей определяет их поведение при распространении вдоль оптической оси. Условия на номера мод
(табл. 1.1), обеспечивающие самовоспроизведение лазерных пучков,
т. е. условия инвариантности по отношению к операторам распространения, масштаба и поворота, получены авторами [24] в простой форме
и включают такие характеристики, как величина периода и скорость
вращения.

Т а б л и ц а 1.1. Условия самовоспроизведения многомодовых пучков

Бесселя
Лагерра–Гаусса
Эрмита–Гаусса

Инвариантность
к оператору
распространения

n = const, ∀ m
2n + |m| = const
n + m = const

Продольная
периодичность
при распространении

n1 ⩽ n ⩽ n2,
∀ m n1, n2 —
опред.
параметрами

2(n−n′)+|m|−|m′| =
= const · q,
q — целое

(n−n′)+
+(m−m′)=
= const · q,
q — целое

Поступательное
вращение
при
распространении

m − m′

n − n′ =
= const,
∀ n ̸= n′,
m ̸= m′

2(n−n′)+|m|−|m′|

m−m′
=
= const
∀ n ̸= n′, m ̸= m

Не обладают угловым моментом

Фурье-инвариантность
Не обладают
2n+|m|=const+4q,
q — целое

n+m=const+4q,
q — целое

Как видно из таблицы, наиболее «жесткие» ограничения накладываются на индексы функций, участвующих в композиции, для получения
вращающихся пучков. Это связано с тем, что вращающиеся пучки сочетают в себе свойства инвариантных и периодически повторяющихся
при распространении пучков.
Условие
Фурье-инвариантности
гауссовых
мод
очень
похоже
на условие инвариантности к оператору распространения и сводится
к нему при q = 0.