Эконометрика - 2: продвинутый курс с приложениями в финансах

Эконометрика2:
продвинутый курс
с приложениями в финансах

С. А. Айвазян
Д. Фантаццини

Учебник

2024

Москва

И
М
НФРАМОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
МГУ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

УДК [31:33](075.8)
ББК 65.051я731
А36

Айвазян С. А., Фантаццини Д.
А36
Эконометрика2: продвинутый курс с приложениями в финансах : учебник / С. А. Айвазян, Д. Фантаццини. — Москва : Магистр :
ИнфраМ, 2024. — 944 с. (www.znanium.com)

ISBN 9785977603331 (в пер.)
ISBN 9785160101361
ISBN 9785161018941 (online)
Агентство CIP РГБ
Продвинутый
курс
эконометрики
охватывает
ряд
важнейших
разделов
дисциплины. В частности представлены методы и модели анализа многомерных
временных рядов, последние достижения в области финансовой эконометрики (копулафункции, методы управления финансовыми рисками).
Для решения задач используется экономический инструментарий, включающий относительно недавно разработанные современные методы анализа многомерных временных рядов, байесовский подход в сочетании с приемами имитационного
статистического моделирования, продвинутые численные методы оптимизации.
Вычислительная реализация описываемых в учебнике примеров основана на использовании статистических и эконометрических пакетов R, Stata, Eviews, GAUSS.
Для студентов и аспирантов экономической и математической специализации,
интересующихся продвинутыми эконометрическими методами и их приложениями
в финансах, а также сотрудников аналитических служб банков и инвестиционных
компаний.
УДК [31:33](075.8)
ББК 65.051я731

ISBN 9785977603331
© Айвазян С. А., Фантаццини Д., 2014
ISBN 9785160101361
© Издательство «Магистр», 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Г л а в а 1. Выбор общего вида модели и нелинейная
регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. О подходах к выбору общего вида модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.2. Нелинейные модели регрессии и линеаризация. . . . . . . . . . . . . . .16
1.3. Вычислительные вопросы нелинейного метода наименьших
квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Выводы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
Г л а в а 2. Построение интегральных измерителей для
синтетических латентных категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1. Концептуальные основы подхода к измерению
синтетических латентных категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2. Исходные данные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3. Методология построения интегральных индикаторов —
измерителей синтетических латентных категорий и методы
многокритериального рейтингования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
2.4. Примеры построения интегральных индикаторов — измерителей
качества анализируемых синтетических латентных категорий . . . . . . . 89
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Г л а в а 3. Байесовский подход в эконометрическом
анализе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1. Философия и общая логическая схема байесовского
подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2. Априорные распределения, сопряженные с наблюдаемой генеральной 
совокупностью (определение и условие существования) . . . 125
3.3. Генезис априорных сопряженных распределений. . . . . . . . . . . .131
3.4. Пересчет значений параметров при переходе от априорного
сопряженного распределения к апостериорному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.5. Примеры задач на точечное и интервальное байесовское
оценивание параметров модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
3.6. Байесовский прогноз зависимой переменной, основанный на
нормальной классической линейной модели множественной
регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Оглавление

Г л а в а 4. Анализ многомерных временных рядов . . . . . . . . 163
4.1. Многомерные временные ряды: определения и основные
понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
4.2. Модели векторной авторегрессии (VAR-модели) . . . . . . . . . . . . 166
4.3. Структурные VAR-модели (SVAR-модели) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.4. Системы одновременных уравнений (СОУ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.5. Коинтеграция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281
4.6. Регрессионные модели с распределенными лагами . . . . . . . . . . 360
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Г л а в а 5. Анализ и моделирование волатильности . . . . . . . 385
5.1. Одномерные модели авторегрессионной условной
гетероскедастичности (ARCH- и GARCH-модели) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.2. Многомерные GARCH-модели (MGARCH). . . . . . . . . . . . . . . . . .433
5.3. Реализованная волатильность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
Г л а в а 6. Моделирование многомерных распределений
с использованием копула-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
6.1. Копула-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .509
6.2. Эллиптические копула-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516
6.3. Архимедовы копула-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .528
6.4. Парные копула-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .545
6.5. Меры зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
6.6. Процедуры оценивания: параметрические методы . . . . . . . . . . 567
6.7. Процедуры оценивания: полупараметрические и
непараметрические методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
6.8. Выбор копула-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
6.9. Критерии согласия для копула-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
Г л а в а 7. Анализ финансовых данных в задачах
управления риском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
7.1. Введение: имеющийся опыт и некоторые общие понятия. . . .625
7.2. Управление рыночным риском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
7.3. Управление операционным риском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
7.4. Управление кредитным риском. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855
Приложение 1. Исходные данные и результаты межстранового и
межрегионального анализа КЖН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865
Приложение 2. Некоторые сведения об одномерных и многомерных
законах распределения вероятностей, используемые в байесовском
подходе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
Алфавитно-предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935

Предисловие

Дорогой читатель!
В предисловии к «Методам эконометрики» [Айвазян (2010)] я говорил 
о том, что они «охватывают весьма полный спектр методов матема-
тико-статистического инструментария эконометрики по ее традиционным 
разделам», включая: (1) классическую линейную модель регрессии 
и классический метод наименьших квадратов; (2) обобщенную линейную 
модель регрессии и обобщенный метод наименьших квадратов;
(3) линейные модели регрессии с переменной структурой; (4) модели
с дискретными и дискретно-непрерывными зависимыми переменными
(модель бинарного и множественного выбора, тобит-модели); (5) статистический 
анализ одномерных временных рядов. Но уже в той книге
я пытался преодолеть распространенный недостаток, заключающийся 
в том, что «важнейшие для эконометрического анализа прикладные 
методы многомерной статистики (дискриминантный и кластер-
анализы, метод главных компонент и др.) по непонятным причинам отсутствуют 
в эконометрических курсах и классических университетских
учебниках Северной Америки и Западной Европы» ([Айвазян (2010),
с. 10]). Правда, в том же предисловии признавалось, что в «Методах
эконометрики» 2010 г. «представлены далеко не все важнейшие разделы
современной эконометрики... Нет, например, методов и моделей анализа 
многомерных временных рядов... не отражены последние достижения
в области финансовой эконометрики (копула-функции, методы управления 
финансовыми рисками), не представлены байесовский подход к
эконометрическому анализу и методы измерения и анализа синтетических 
латентных категорий, комплексно характеризующих качество
или эффективность функционирования анализируемой системы»(с. 11).
И я пообещал тогда, что «вся эта проблематика будет представлена
в продвинутом курсе эконометрики (предназначенном для магистерского 
уровня образования)».

Но, должен признаться, было непросто решиться на создание такого
учебника. Причин тому несколько.

Во-первых, он охватывает области знаний, с одной стороны, еще
фактически не представленные в отечественной учебной и монографической 
литературе (здесь я, в первую очередь, имею в виду эконометрический 
анализ моделей волатильности, копула-функций, разного рода
задачи управления финансовыми рисками), а с другой — еще не устоявшиеся, 
продолжающие бурно развиваться, а потому содержащие подчас
«сырые», полуэвристические подходы и рекомендации.

Во-вторых, представленные в данном учебнике содержательные постановки 
задач (построение интегральных измерителей для так назы-

Предисловие

ваемых синтетических латентных категорий, проблемы спецификации
анализируемых зависимостей, разноаспектный анализ и моделирование
операционных, рыночных и кредитных финансовых рисков) требуют
при своем решении использования необъятного по диапазону эконометрического 
инструментария, включающего, в частности, относительно 
недавно разработанные современные методы анализа многомерных
временных рядов, байесовский подход в сочетании с приемами имитационного 
статистического моделирования, продвинутые численные методы 
оптимизации. Уместить весь этот инструментарий в рамках одной,
пусть даже такой как эта объемной книги, задача невыполнимая, а потому 
в некоторых местах учебника (в основном, относящихся к главе 7,
посвященной задачам управления финансовыми рисками) нам приходилось 
переходить к обзорному стилю изложения, предлагая читателю
находить уточнение и углубление деталей описываемых методов в работах 
других авторов.

В-третьих, существенное осложнение процесса создания книги было 
связано с «разноязычием» авторов. Главы 5, 6, 7 и часть главы 4
были написаны моим коллегой по Московской школе экономики МГУ
им. М.В. Ломоносова Деаном Фантаццини на английском языке, они
требовали перевода, тщательного редактирования, унификации стиля
подачи материала. Большую помощь в переводе англоязычной части
книги оказал Александр Владимирович Кудров. В переводе участвовал 
и я, мне же пришлось осуществить общее научное редактирование
текста учебника.

Что же подтолкнуло авторов к выполнению столь объемной работы
по созданию предлагаемого Вашему вниманию учебника?

В первую очередь, это твердое осознание того факта, что назрела
объективная необходимость в подобном учебно-научно-методологическом
издании. Дело в том, что мировые финансовые кризисы 1998 и 2008 гг.,
продолжающиеся явления экономической рецессии продемонстрировали 
общее неблагополучие в сфере управления финансовыми рисками.
По-видимому, в определенной мере этим можно объяснить и тот прорыв 
в финансовой эконометрике и связанных с ней разделах многомерного 
статистического анализа, который мы наблюдаем в последние 
полтора-два десятилетия. И, конечно, требуются определенные усилия, 
направленные на оснащение обучающейся молодежи и сотрудников 
аналитических служб банков, инвестиционных компаний последними 
научно-методологическими достижениями в этой области. Можно
признать, что в плане освоения теоретической базы (методов и моделей 
финансовой математики) такие усилия в отечественной научно-
образовательной практике уже предприняты (см. работы А.Н. Ширяева, 
например, [Ширяев (2004)], и его учеников). Наша книга, насколько

Предисловие
9

мне известно, является «первой ласточкой» в области знаний, посвященных «
приземлению» этой теоретической базы на конкретные условия 
и конкретные исходные данные, что и составляет главное предназначение 
методов эконометрики. Отмечу также, что в книгу включены
некоторые оригинальные научно-методологические разработки авторов
(это относится, в основном, к главам 2 и 7).

Итак, наша книга адресована студентам и аспирантам экономической 
и математической специализации, интересующимся продвинутыми
эконометрическими методами и их приложениями в финансах, а также
сотрудникам аналитических служб банков и инвестиционных компаний.


Представленные в книге методы и модели могут составить содержание 
одного или нескольких (в зависимости от отведенного в учебном
плане вуза времени) семестровых курсов магистерского или аспирантского 
уровня по схеме — 2 часа лекций, 2 часа семинарских занятий.
Вычислительная реализация описываемых в учебнике примеров основана 
на использовании статистических и эконометрических пакетов R,
Stata, Eviews, GAUSS.

В заключение — о признательности авторов учебника. Прежде всего 
они благодарны коллективам и администрации Московской школы
экономики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова 
и Центрального экономико-математического института Российской 
академии наук, плодотворная профессиональная среда которых
существенно помогала в работе над учебником. Мы благодарны также 
профессору Эдуардо Росси (Eduardo Rossi) из Университета Павии,
(Италия) и профессору Станиславу Анатольеву (Российская экономическая 
школа) за любезное представление материалов по одномерным
GARCH-моделям, которые были использованы при написании главы,
посвященной анализу волатильности. Свое любезное согласие на использование 
материалов по структурным VAR-моделям мы получили
также от профессора Эрика Зив´о (Eric Zivot) из Университета Вашингтона, 
США), за что мы ему также благодарны. Наконец, мы благодарны
Алле Павловне и Галине Юрьевне Грохотовым за их нелегкий, самоотверженный 
и профессиональный труд по подготовке оригинал-макета
книги.

Я отдаю себе отчет в том, что объемность и пионерный характер
предлагаемого издания являются «питательной средой» для выявления
его слабых мест и недостатков. Всю ответственность за них, конечно,
несут авторы, которые будут признательны читателям, приславшим им
или в издательство свои отзывы и критические замечания.

С.А. Айвазян

Глава 1

Выбор общего вида модели
и нелинейная регрессия

1.1.
О подходах к выбору общего вида модели

Как по отдельным, частным наблюдениям выявить и описать интересующую 
нас зависимость некоторого результирующего признака η от набора 
так называемых объясняющих переменных ξ = (ξ(1), ξ(2), . . . ξ(p))′,
характеризующих (наряду с другими, не поддающимися учету факторами) 
условия функционирования анализируемой системы?1 Эта проблема 
бесспорно занимает центральное место во всем прикладном математическом (
и, в частности, в эконометрическом) анализе!

Попробуем уточнить и формализовать сказанное, одновременно
определив место тематики выбора общего вида модели регрессии во
всей этой проблеме. Будем полагать, что в серии экспериментов (наблюдений) 
за анализируемой системой есть возможность регистрации значений 
y1, y2, . . . . . . , yn количественного (случайного по своей природе)
признака η и соответствующих значений X1 = (x(1)
1 , x(2)
1 , . . . , x(p)
1 )′, X2 =
= (x(1)
2 , x(2)
2 , . . . , x(p)
2 )′, . . . , Xn = (x(1)
n , x(2)
n , . . . , x(p)
n )′ количественных
объясняющих переменных ξ = (ξ(1), ξ(2), . . . , ξ(p))′ (последние могут
быть как случайными, так и не случайными переменными). Тогда общая 
задача статистического исследования зависимости, связывающей
признак η с переменными ξ = (ξ(1), ξ(2), . . . , ξ(p))′, может быть сформулирована 
следующим образом:

по результатам наблюдений

{x(1)
i , x(2)
i , . . . , x(p)
i ; yi}i=1,2,...,n
(1.1)

1Верхний индекс «штрих» у вектора или матрицы здесь и далее означает операцию 
транспонирования.

Гл. 1. Выбор общего вида модели и нелинейная регрессия

исследуемых переменных, произведенных в ходе функционирования 
анализируемой системы, построить (оценить) такую 
функцию
ˆy = f(x(1), x(2), . . . , x(p)),
(1.2)

которая позволила бы наилучшим (в определенном смысле)
образом восстанавливать неизвестные значения результирующей 
переменной y по заданным значениям объясняющих
переменных X = (x(1), x(2), . . . , x(p))′.

При широко распространенных в практике эконометрического анализа 
критериях качества «подгонки» наилучшее решение сформулированной 
выше проблемы получается при использовании в роли f(X)
функции регрессии η по ξ, т. е. функции E(η|ξ = X) (о других возможных 
подходах к построению функции f(X) см., например, в [Айвазян
и др. (1985)], п. 5.2 и 5.3). Поэтому речь идет обычно о выборе общего
вида именно функции регрессии η по ξ, причем в параметрической 
постановке задачи, т. е. в предположении, что искомая функция
f(X) = E(η|ξ = X) принадлежит некоторому параметрическому семейству 
функций F = f(X; Θ). Так что задачей исследователя является
выбор того или иного параметрического семейства F, основанный на
анализе имеющихся в нашем распоряжении исходных статистических
данных (1.1) и на некоторых априорных сведениях о природе искомой
зависимости.

Тогда модель зависимости результирующего признака η от объясняющих 
переменных ξ может быть представлена в форме:

η = Ψ(ξ; ε; Θ),
(1.3)

где ε — некоторая остаточная случайная составляющая, аккумулирующая 
в себе влияние на η всех неучтенных в ξ факторов, а Θ =
= (θ1, θ2, . . . . . ., θm)′ — вектор-столбец неизвестных (подлежащих оцениванию 
по наблюдениям (1.1)) параметров модели.

Соответственно, функция f(X) из (1.2) определяется как функция
регрессии η по ξ, т. е.

f(X; Θ) = E(η | ξ = X) = E(Ψ(ξ; ε; Θ) | ξ = X),
(1.4)

где операция усреднения (E) производится по всем возможным значениям 
случайной величины ε.

Отметим, что как в нашем учебнике [Айвазян (2010)], так и в большинстве 
других отечественных и зарубежных учебников по эконометрике 
выбор структуры функции Ψ(ξ; ε; Θ), а вместе с ней и выбор общего 
вида функции f(X; Θ) был предопределен, а именно:

Ψ(ξ; ε; Θ) = θ0 + θ1ξ(1) + · · · + θpξ(p) + ε