Математическое моделирование технических систем

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

2024

Москва
«ИНФРАМ»

В.П. ТАРАСИК

Допущено 
УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин 
и транспортно-технологических комплексов 
в качестве учебника для студентов вузов, 
обучающихся по специальности 23.05.01 
«Наземные транспортно-технологические средства»

Утверждено 
Министерством образования Республики Беларусь 
в качестве учебника для студентов учреждений высшего образования 
по техническим специальностям

УЧЕБНИК

УДК 51.001.57:621(075.8)
ББК 22.1:39.33-01я73
 
Т19

Тарасик, В.П.
Математическое моделирование технических систем : учебник / 
В.П. Тарасик. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 592 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011996-0 (print)
ISBN 978-5-16-104762-0 (online)

Изложены основы методологии математического моделирования и проведения вычислительных экспериментов в процессе проектирования сложных технических систем. 
Рассмотрены принципы и методы построения детерминированных и вероятностных, теоретических и экспериментальных факторных моделей, численные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, стратегии постановки и решения 
задач многокритериальной оптимизации. Изложение материала дополнено большим 
количеством примеров.
Для студентов технических вузов, аспирантов, инженеров (проектировщиков и исследователей) и научных работников.

УДК 51.001.57:621(075.8)
ББК 22.1:39.33-01я73

Т19

 
© Тарасик В.П., 2016
 
© ООО «Новое знание», 2016

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра «Автомобили» Белорусского национального технического университета;
главный научный сотрудник Объединенного института машиностроения НАН Беларуси, 
член-корреспондент НАН, доктор технических наук, профессор Л.Г. Красневский;
заместитель председателя Совета УМО вузов РФ по образованию в области транспортных 
машин и транспортно-технологических комплексов, кандидат технических наук, профессор 
В.В. Серебряков

ISBN 978-5-16-011996-0 (print)
ISBN 978-5-16-104762-0 (online)

Оглавление

Предисловие .......................................................................................... 7

Введение.................................................................................................9

1. Общие сведения о моделировании технических систем ..................... 14
1.1. Методология автоматизированного проектирования ....................... 14
1.2. Структура и параметры объектов проектирования .......................... 17
1.3. Особенности технологии автоматизированного проектирования ....... 18
1.4. Постановка задач проектирования ............................................... 20
1.5. Классификация математических моделей ..................................... 22
1.6. Режимы функционирования технических объектов ........................ 28

2. Математические модели технических объектов на микроуровне ........ 33
2.1. Объекты проектирования на микроуровне ..................................... 33
2.2. Основы построения математических моделей на микроуровне .......... 35
2.3. Модели тепловых систем на микроуровне ...................................... 37
2.4. Модели гидравлических систем на микроуровне ............................ 42
2.5. Модели механических систем на микроуровне ............................... 46
2.6. Приближенные математические модели технических объектов
на микроуровне ......................................................................... 48

3. Математические модели простых дискретных элементов
технических объектов ................................................................... 64
3.1. Объекты проектирования на макроуровне ..................................... 64
3.2. Динамическая модель технического объекта на макроуровне ........... 65
3.3. Компонентные и топологические уравнения .................................. 70
3.4. Компонентные и топологические уравнения механической системы ... 72
3.5. Компонентные и топологические уравнения гидравлической
системы .................................................................................... 75
3.6. Компонентные и топологические уравнения тепловой системы ........ 79
3.7. Компонентные и топологические уравнения электрической системы .... 82
3.8. Аналогии в динамических системах ............................................. 83
3.9. Определение параметров элементов динамических моделей
технических объектов ................................................................ 84

4. Основы построения теоретических математических моделей
на макроуровне ........................................................................... 94
4.1. Способы построения теоретических моделей .................................. 94
4.2. Графические формы представления математических моделей .......... 96
4.3. Матричная форма представления математической модели ............. 103
4.4. Узловой метод формирования математической модели .................. 106
4.5. Общее уравнение динамики ....................................................... 113

4.6. Уравнения Лагранжа второго рода .............................................. 137
4.7. Метод функционально законченных элементов ............................ 150

5. Структурноматричный метод формирования математических
моделей .................................................................................... 159
5.1. Основы структурноматричного метода ....................................... 159
5.2. Моделирование технических объектов
с трансформаторными элементами ............................................. 167
5.3. Сложное движение твердого тела ................................................ 183
5.4. Моделирование механической системы
при пространственном движении твердых тел .............................. 188
5.5. Моделирование механической системы при плоском движении
твердых тел ............................................................................. 194
5.6. Моделирование технических объектов с фрикционными
элементами ............................................................................. 198
5.7. Моделирование дифференциальных приводов .............................. 205
5.8. Моделирование теплопередачи в твердых телах ............................ 213
5.9. Моделирование электромеханических систем .............................. 226

6. Моделирование нелинейных систем и систем с виртуальными
и неголономными связями .......................................................... 244
6.1. Виды нелинейных характеристик элементов технических систем ... 244
6.2. Моделирование нелинейных элементов ....................................... 246
6.3. Моделирование нелинейных систем ............................................ 249
6.4. Связи элементов технической системы ........................................ 254
6.5. Моделирование технических объектов с неудерживающими
связями .................................................................................. 255
6.6. Моделирование неголономных систем ......................................... 259

7. Качественный анализ и упрощение математических моделей .......... 267
7.1. Задачи качественного анализа математических моделей ................ 267
7.2. Оценка свойств математической модели ...................................... 268
7.3. Собственные значения матрицы Якоби математической модели ..... 271
7.4. Оценка физических свойств технической системы по спектру
матрицы Якоби ........................................................................ 276
7.5. Топология динамических моделей технических систем ................. 282
7.6. Упрощение динамических моделей механических систем .............. 289
7.7. Упрощение динамических моделей гидравлических
и гидромеханических систем ..................................................... 302
7.8. Моделирование планетарных передач ......................................... 310

8. Моделирование и анализ статических состояний ............................ 320
8.1. Задачи анализа статических состояний технических систем ........... 320
8.2. Постановка задач анализа статических состояний ........................ 321

4
Оглавление

8.3. Численные методы решения систем алгебраических уравнений ...... 322
8.4. Метод простой итерации ............................................................ 325
8.5. Метод Зейделя ......................................................................... 328
8.6. Методы релаксации .................................................................. 329
8.7. Метод Ньютона ........................................................................ 330
8.8. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ....... 333
8.9. Метод Гаусса ........................................................................... 334
8.10. Метод LUразложения ............................................................. 337
8.11. Решение систем линейных алгебраических уравнений
с ленточными матрицами ........................................................ 340
8.12. Анализ статических состояний линейных технических систем ..... 341
8.13. Анализ статических состояний нелинейных технических систем .... 348

9. Моделирование и анализ переходных процессов ............................ 356

9.1. Задачи анализа переходных процессов технических систем ........... 356
9.2. Численные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений .................................................. 358
9.3. Погрешности численных методов интегрирования ........................ 362
9.4. Устойчивость численных методов интегрирования ....................... 365
9.5. Выбор шага интегрирования ...................................................... 368
9.6. Одношаговые методы интегрирования ........................................ 370
9.7. Многошаговые методы интегрирования ...................................... 377
9.8. Методы прогноза и коррекции ................................................... 379
9.9. Неявные методы интегрирования ............................................... 380
9.10. Алгоритмы неявных методов интегрирования ............................ 392
9.11. Оценка показателей качества переходных процессов ................... 394
9.12. Анализ переходных процессов технических систем ..................... 401

10. Моделирование и анализ вероятностных систем ........................... 405

10.1. Основные понятия теории вероятностей ..................................... 405
10.2. Распределения вероятностей .................................................... 408
10.3. Числовые вероятностные характеристики ................................. 412
10.4. Теоретические распределения вероятностей ............................... 417
10.5. Моделирование случайных величин .......................................... 423
10.6. Основные свойства случайных процессов ................................... 425
10.7. Моделирование реализаций случайных процессов ....................... 427
10.8. Оценки вероятностных характеристик реализаций
случайных процессов .............................................................. 429
10.9. Определение статистических оценок вероятностных
характеристик случайных процессов ......................................... 431
10.10. Частотный метод анализа стационарных случайных процессов ... 444
10.11. Оценки числовых характеристик случайных величин ................ 449

Оглавление
5

11. Экспериментальные факторные математические модели ............... 451
11.1. Особенности экспериментальных факторных моделей ................. 451
11.2. Основные принципы планирования эксперимента ....................... 454
11.3. План эксперимента ................................................................. 456
11.4. Регрессионный анализ ............................................................ 459
11.5. Оценка параметров регрессионной модели ................................. 461
11.6. Планы экспериментов и их свойства .......................................... 465
11.7. План однофакторного эксперимента .......................................... 466
11.8. План полного факторного эксперимента .................................... 469
11.9. План дробного факторного эксперимента ................................... 473
11.10. Генерирующие соотношения и определяющие контрасты ........... 478
11.11. Статистический анализ результатов активного эксперимента ..... 479
11.12. Определение коэффициентов регрессионной модели и проверка
их значимости ...................................................................... 482
11.13. Проверка адекватности и работоспособности регрессионной
модели ................................................................................ 484
11.14. Планы второго порядка ......................................................... 486
11.15. Регрессионный анализ результатов вычислительного
эксперимента на детерминированной математической модели .... 488
11.16. Получение математической модели
на основе пассивного эксперимента ......................................... 495

12. Оптимизация параметров технических систем ............................. 498
12.1. Принцип локальной оптимизации в методологии
автоматизированного проектирования ...................................... 498
12.2. Основные понятия и определения параметрической оптимизации ... 499
12.3. Определение экстремума аналитической целевой функции .......... 505
12.4. Поисковая оптимизация .......................................................... 509
12.5. Постановка задач оптимизации ................................................ 511
12.6. Формирование целевой функции в многокритериальной задаче
оптимизации ......................................................................... 514
12.7. Выбор управляемых параметров ............................................... 521
12.8. Методы поиска экстремума целевой функции ............................. 524
12.9. Методы безусловной оптимизации ............................................ 525
12.10. Оптимизация в условиях сложного рельефа поверхности
целевой функции .................................................................. 543
12.11. Оптимизация параметров технических систем с учетом
ограничений ........................................................................ 559
12.12. Оптимизация параметров на основе максиминной стратегии ....... 572

Приложения ....................................................................................... 577

Литература ......................................................................................... 585

Предметный указатель ......................................................................... 587

6
Оглавление

Предисловие

Современный этап развития техники характеризуется чрезвычайно быстрой сменой моделей выпускаемой продукции, возрастающим количеством
разработок, выполненных на новых, неизвестных ранее принципах, обеспечивающих изделиям более высокие потребительские качества и создающих
жесткую конкуренцию на рынке их сбыта. Это приводит к необходимости
интенсификации процессов создания новой техники, повышения качества
проектов, разработки и организации производства конкурентоспособных изделий в короткие сроки. При этом достигается снижение затрат финансовых
и трудовых ресурсов, рентабельность производства и планируемая прибыль.
В этих условиях важное значение приобретают сроки и качество выполнения проектноконструкторских работ. Их соответствие современным требованиям можно обеспечить применением новой технологии проектирования,
основанной на использовании методов математического моделирования и вычислительной техники.
Новый технический объект должен, безусловно, превосходить существующие. Это достигается соответствующей стратегией проектирования, нацеленной на достижение высоких показателей технического уровня и эффективности
создаваемого изделия. Решаемые задачи в соответствии с этой стратегией носят оптимизационный характер и требуют разработки и применения новой
технологии проектирования. В учебнике значительное внимание уделено вопросам методологии автоматизированного проектирования. Современная методология проектирования базируется на системном подходе, использующем
принципы декомпозиции, иерархичности, итеративности, локальной оптимизации и комплексного осуществления процесса проектирования, включающего функциональный, конструкторский и технологический аспекты.
Проектирование — сложный иерархический процесс, включающий множество взаимосвязанных стадий и этапов. Декомпозиция и иерархичность
приводят к необходимости применения множества разнообразных моделей.
Математическое моделирование технических объектов занимает центральное
место в построении эффективной технологии автоматизированного проектирования. Инженерпроектировщик должен иметь четкое представление о видах
математических моделей и способах их построения, режимах функционирования технических объектов и методах их моделирования, разработке алгоритмических моделей и их эффективной реализации с использованием современных средств вычислительной техники.
В учебных планах подготовки инженеровконструкторов различных специальностей технического профиля предусмотрен ряд дисциплин, позволяющих освоить программирование, математическое моделирование технических объектов, компьютерную графику, технологию автоматизированного
проектирования, прикладное программное обеспечение, изучить современные средства вычислительной техники и научиться использовать их для выполнения проектноконструкторских работ.

Учебник предназначен для использования при освоении дисциплины
«Математическое моделирование технических систем», входящей в учебные
планы всех специальностей технического профиля (название дисциплины
в учебных планах некоторых специальностей отличается от упомянутого
только конкретизацией объектной области).
Цель дисциплины — изучение методов построения и анализа математических моделей, постановки и решения задач синтеза и оптимизации при
автоматизированном проектировании машин, технических устройств, механизмов, систем и т.п.
Содержание книги построено на материалах различных литературных источников, оригинальных авторских разработок по математическому моделированию и на базе курса лекций, разработанного и читаемого автором
в Могилевском государственном техническом университете с 1985 г. по настоящее время (с 2000 г. — БелорусскоРоссийский университет).
Для освоения материала данного учебника достаточно знаний, полученных
студентами при изучении курсов высшей математики, физики, теоретической механики.
Третье издание учебника значительно отличается от предыдущих (вышли
в 1997 и 2004 гг. в издательстве «ДизайнПРО», г. Минск). Полностью переработаны разделы по моделированию тепловых систем. Предложена новая математическая модель теплопередачи при генерировании на граничных поверхностях тепловых потоков в процессе трения контактирующих поверхностей.
Добавлено большое количество примеров моделирования различных технических объектов (системы виброзащиты конструктивных элементов автомобиля, водителя и пассажиров; модели оценки тяговоскоростных свойств
и топливной экономичности автомобиля; модели переходных процессов в трансмиссии мобильных машин при переключении передач; модели дифференциальных приводов механических систем; оригинальная модель трансмиссии
с планетарной коробкой передач; модель теплопередачи в многодисковых
фрикционах; примеры построения регрессионных моделей различных объектов и оптимизации их параметров).
Автор выражает глубокую благодарность кандидату технических наук,
доценту Л.А. Молибошко, доктору технических наук, профессору О.С. Руктешелю, доктору технических наук, профессору, членукорреспонденту НАН
Беларуси Л.Г. Красневскому и кандидату технических наук, профессору
В.В. Серебрякову, критические замечания которых способствовали улучшению содержания книги.

8
Предисловие

Введение

При создании машин, технических комплексов и других объектов широко
используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях.
Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведения исследований на модели с целью
получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический
или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения
исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.
Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном
моделировании строят физическую модель, которая отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель
может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом
(например, электронная модель гидравлической или механической системы).
Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование
называют физическим.
Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени
при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания,
в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической
разработки оказывался неудачным, то осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания и т.д.
Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено
с большими временными и материальными затратами.
Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы,
схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.
Математическое моделирование позволяет посредством математических
символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры
и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества,
осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение
математического моделирования при проектировании в большинстве случаев

позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить
объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических
объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.
Математическая модель — это совокупность математических объектов
и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства
создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов
выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс
формирования математической модели и использования ее для анализа
и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской
практике под математическим моделированием обычно понимается процесс
построения математической модели, а проведение исследований на модели
в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. Такое
деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано,
поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.
Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо
разработать алгоритм реализации математической модели.
Алгоритм — это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного
проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для
получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда делают их вербальное (словесное)
описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.
Формализация процесса проектирования на основе математического моделирования позволяет его автоматизировать. Одним из основных компонентов
системы автоматизированного проектирования (САПР) является математическое обеспечение, включающее математические модели объектов проектирования и их элементов, методы и алгоритмы выполнения проектных
операций и процедур.
Развитие автоматизированного проектирования прошло несколько стадий. Вначале ЭВМ применялась лишь для выполнения вычислений по методикам, ориентированным на ручное решение. Это не вносило ничего нового
в процесс проектирования, а лишь ускоряло выполнение отдельных его этапов.
Затем начали использовать математические модели, позволяющие имитировать функционирование объектов проектирования, что позволило обеспечить
повышение точности получаемой информации, организовать поиск оптимальных проектных решений и достичь универсальности описания отдельных
проектных операций и процедур. Были разработаны единые подходы к получению математических моделей для целых классов технических объектов и
эти подходы удалось формализовать. В результате процесс формирования
математической модели оказалось возможным возложить непосредственно

10
Введение