Математика для экономических специальностей. Часть 1

УДК 512     
 ББК 22.14 
          М33 
 
Рецензент 
канд. физ.-мат. наук, доц. О.Л. Курнявко (ОИВТ (филиал) ФГБОУ ВО СГУВТ) 
 
Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебно-методического пособия.  
 

 М33 

Матвеева, Светлана Владимировна.
Математика для экономических специальностей : учебно-методическое пособие : в 2 ч./ С.В. Матвеева. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2022. – Ч.1. –
Режим доступа: http://bek.sibadi.org/MegaPro, для авторизованных пользователей. 
– Загл. с экрана..
 
При подготовке работы автор руководствовался принципом повышения 
уровня фундаментальной математической подготовки обучающихся с учётом 
экономической направленности. 
Состоит из основных и дополнительных разделов, которые изучают по дисциплинам «Математика» и «Математический анализ» студенты, обучающиеся на экономических направлениях в вузе.  
В начале каждого раздела имеется необходимый справочный теоретический 
материал, основные положения которого иллюстрируются практическими задачами 
(с решениями), рисунками и таблицами, представлены вопросы и задания для самопроверки. В конце каждого раздела приводятся задачи для самостоятельной работы и 
контрольные задания. Особенность в том, что часть примеров и задач имеют экономическое содержание. 
Адресовано обучающимся очной, а также очно-заочной форм обучения 
экономических специальностей, изучающих курс математики в техническом вузе.  

Подготовлено на кафедре «Физика  и математика». 
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
 
Мультимедийное издание (1,6 МБ) 
Системные требования : Intel, 3,4 GHz ; 150 МБ ; Windows XP/Vista/7 ; 
DVD-ROM ; 1 ГБ свободного места на жестком диске ; 
программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader; Google Chrome ;  
Windows Media Player, колонки 
 
Редактор Н.И. Косенкова 
Техническая подготовка – А.А. Орловская  
 
Издание первое. Дата подписания к использованию 25.11.2022 
 
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ.  
644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ  
644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая,1 

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите 
детей от информации, причиняющей вред их 
здоровью и развитию» данная продукция 
маркировке не подлежит 

Введение 
 
Данное учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий и контроля самостоятельной работы со студентами очного, а также очно-заочного отделения экономических специальностей, изучающих курс математики в техническом вузе. При подготовке данного пособия автор руководствовался принципом повышения 
уровня фундаментальной математической подготовки студентов с учётом 
экономической направленности. 
Пособие состоит из основных и дополнительных разделов, представляющих собой самостоятельные темы, изучаемые студентами в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». 
Каждый раздел пособия начинается с необходимого справочного 
материала, содержащего основные понятия и формулы, знание которых 
необходимо для решения задач. По каждой теме приводятся образцы решения задач, изучив которые обучающиеся смогут самостоятельно овладеть основными методами решения  подобных примеров. Основные положения иллюстрируются рисунками и таблицами. В каждом разделе есть 
задачи для самостоятельного решения, снабжённые ответами, которые 
можно применять при проведении практических занятий, а также обучающиеся смогут их использовать в качестве вспомогательного материала 
при подготовке к зачету, экзамену или тестированию. 
Для обеспечения оценки уровня теоретической подготовленности 
студентов имеются вопросы и задания для самопроверки в конце каждого 
раздела. 
В пособии имеется комплект контрольных работ, предусмотренных 
в фондах оценочных средств рабочих программ по математике. 
Согласно ФГОС обучающиеся должны знать основы математики, 
необходимые для решения прикладных задач, уметь применять математические методы и строить модели, владеть навыками применения математического инструментария для решения практических задач. Изучение 
представленного в пособии материала будет способствовать данной цели. 
В конце учебного пособия приводится библиографический список, 
который обучающиеся могут использовать для углублённого усвоения 
материала. 

Раздел 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ 
 
1.1. Проценты 
 
Определение. Процентом называется сотая доля (часть) числа: 
обозначается символом %. 
Основные типы задач 
1. Нахождение процентов от данного числа. 
Если дано число A, то %
p
 этого числа находится как  

100
p
A
b
⋅
=
. 

2. Нахождение числа по его процентам. 
Если %
p
 некоторого числа составляет b, то это число будет 

100
⋅
= p
b
A
. 

3. Наращение по простым и сложным процентам. 
Вклад A, помещённый в банк под 
%
p
 годовых от величины 
вклада через t  лет, будет равен  

)
100
1(
t
p
A
⋅
+
⋅
. 

Сложные проценты – это проценты, начисляемые в определённые сроки как на основной вклад, так и на наращенные за предыдущий 
срок проценты. В этом случае вклад A при 
%
p
 годовых от величины 
вклада через t  лет составит 

t
p
A
)
100
1( +
⋅
. 

4. Дисконтирование – решение обратной задачи для нахождения 
первоначальной суммы вклада. Найти первоначальную сумму A, которую надо положить в банк под 
%
p
 годовых, чтобы в конце срока 
получить конкретную сумму 
tA , величину которой называют современной суммой. 
Для простых процентов 

1
)
100
1(
−
⋅
+
⋅
=
t
p
A
A
t
. 

Для сложных процентов при ежегодном начислении  

t
t
p
A
A
−
+
⋅
=
)
100
1(
. 

Число 
A
A
D
t −
=
 называется дисконтом. 

Пример 1. Банк выдал кредит 10 млн руб. на пять лет под 12% годовых. Найти сумму долга (с процентами), которую необходимо вернуть 
банку. Через сколько лет сумма долга удвоится по отношению к сумме 
кредита? Расчёты провести, применяя простые и сложные проценты. 
Решение. Сумма долга при ежегодном начислении процентов 
составит: 
– по формуле простых процентов 

0,
16
)
5
100
12
1(
10
5
=
⋅
+
⋅
=
A
 (млн руб.); 

– по формуле сложных процентов 

623
,
17
)
100
12
1(
10
5
5
=
+
⋅
=
A
 (млн руб.). 

Необходимое число t  лет для увеличения суммы долга в N  раз 
можно найти по формуле: 
– для простых процентов 

i
N
t
1
−
=
, где 
100
p
i =
; 

– для сложных процентов 

)1
lg(
lg
+
=
i
N
t
. 

Таким образом, сумма долга удвоится (
)
2
=
N
 по сравнению с 
суммой кредита через: 

3,8
12
.0
1
2
=
−
=
t
 (лет) при наращении по формуле простых процен
тов; 

1,6
12
,1
lg
2
lg
=
=
t
 (лет) при наращении по формуле сложных про
центов. 
Пример 2. Найти первоначальную сумму вклада, которую надо 
положить в банк под 12% годовых, чтобы через 3 года получить 5 млн 
руб., применяя простые и сложные проценты при ежегодном их начислении. Определить сумму дисконта. 

Решение. По условию имеем 
5
,
12
,0
100
,3
=
=
=
tA
p
t
, тогда  

современная сумма определяется: 
•для простых процентов 
676
,3
)3
12
,0
1(
5
1 ≈
⋅
+
=
−
A
 (млн руб.); 
•для сложных процентов 
559
,3
)
12
,0
1(5
3 ≈
+
=
−
A
(млн руб.). 

При этом дисконт составит соответственно 
324
,1
676
,3
5
1
=
−
=
D

(млн руб.) и 
493
,1
559
,3
5
2
=
−
=
D
(млн руб.). 
 
Задачи для самостоятельного решения 
 
1.Налог на добавленную стоимость (НДС) составляет 20%. На 
сколько процентов уменьшится цена товара при отмене этого налога? 
2. После реконструкции поточной линии её производительность 
за смену возросла на 20%, расход электроэнергии за смену сократился 
на 10%, а цена 1 кВт. ч электроэнергии выросла на 40%. На сколько 
процентов увеличились затраты на электроэнергию в расчёте на единицу продукции? 
3. Предприятие купило автомобиль стоимостью 1500 000 руб. 
Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость 
стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года. 
4. Банк выплачивает 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 100 000 руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 
4 года  вклад вместе с процентами составит 10 000 руб. 
 
Ответы 
 
1. 16,7%. 2. 5%. 3. 892 500 руб. 4. а) 115 760 руб., б) 8227 руб. 
 
1.2. Действия со степенями, корнями, логарифмами 
 
Правила действий со степенями (
0
,0
,0
≥
>
≥
c
b
a
). 

1. 
n
n
n
n
c
b
a
abc
=
)
(
;              4. 
n

n
n
b
a
b
a
=
)
(
; 

2. 
n
m
n
m
a
a
a
+
=
⋅
;                  5. 
n
m
n

m
a
a
a
−
=
; 

3. 
mn
n
m
a
a
=
)
(
.                      6. 
n
n
a
a
a
1
;1
0
=
=
−
. 

Например, 
3
4
4
1
4
4
4
4
4
2
2
2
)
(
−
−
+
−
−
−
−
−
=
=
=
⋅
a
b
a
ab
b
a
ab
b
a
. 

Или 
32
2
3
2
3
2
)3
2
(
3
2
6
9
8
5
4
4

4
9

4

4
9

4

2
3
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
. 

Основные алгебраические формулы: 

).
)(
(

;
3
3
)
(

;
2
)
(

);
)(
(

2
2
3
3

3
2
2
3
3

2
2
2

2
2

b
ab
a
b
a
b
a

b
ab
b
a
a
b
a

b
ab
a
b
a

b
a
b
a
b
a

+
±
=
±

±
+
±
=
±

+
±
=
±

+
−
=
−



 

Например,  

.
8
36
54
27

)
2
(
)
2
(
3
3
2
)
3
(
3
)
3
(
)
2
3
(

3
2
2
3

3
2
2
3
3

y
xy
y
x
x

y
y
x
y
x
x
y
x

−
+
−

=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
 

Правила действий с корнями  

))
,
(
2
,2
;0
,0
,0
(
N
m
n
p
n
c
b
a
∈
≥
≥
≥
>
≥
. 

1. 
n
n
n
n
c
b
a
abc
⋅
⋅
=
;          4. 
n

n
n
b
a
b
a =
; 

2. 
n
m
m
n
a
a
=
)
(
;                     5. 
mn
n m
a
a =
. 

3. 
n
m
np
mp
a
a
=
. 

Например, 
2
3
6
3
3
3

7
4
2
2
8
xy
y
x
xy
y
x
=
=
. 

Свойства логарифмов: 
(при любых 
1
,0
,0
,0
≠
>
>
>
a
a
y
x
) 

.
;
log
log
;
log
log
log

;
log
log
)
(
log
;0
1
log
;1
log

log
x
a
x
n
x
y
x
y
x

y
x
xy
a

x
a
n
a
a
a
a

a
a
a
a
a

a
=
=
−
=

+
=
=
=

 

Десятичные логарифмы – логарифмы по основанию 
10
=
a
; обозначаются 
x
lg , т.е. 
x
x
lg
log10 =
. 
Натуральные логарифмы – логарифмы по основанию 
e
a =
; обозначаются 
x
ln , т.е. 
x
x
e
ln
log
=
. 
Например, 
27
2
2
8
27
log
3
log
3
3
log
2
2
2
=
=
=
. 
 
1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа 
 
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа x  
называют число 



≤
−

≥
=
.0
,

;0
,

x
если
x

x
если
x
x
 

Например, 
.3
)
3
(
3
;3
3
=
−
−
=
−
=
 

Основное свойство модуля 

.
2
x
x =
 
Пример 1. Вычислить значение выражения 

2
2
)
5
7
(
)
7
5
(
−
+
−
. 
Решение. Применим основное свойство модуля и затем 
раскроем по определению знак модуля: 

.4
2
2
5
7
7
5
)
5
7
(
)
7
5
(
2
2
=
+
=
−
+
−
=
−
+
−
 
Пример 2. Решить неравенство 
5
3 <
+
x
. 
Решение. Решением неравенства будут точки, удовлетворяющие 
условию 

5
3
5
<
+
<
−
x
 или 
2
8
<
<
−
x
. 
 
1.4. Факториал. Комбинаторика 
 
Факториалом целого положительного числа n (обозначается !
n ) 
называется произведение первых n чисел натурального ряда, т.е. 

.
)1
...(
3
2
1
!
n
n
n
⋅
−
⋅
⋅
=
 
Например, 
.
120
5
4
3
2
1
!5
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
 
По определению, 
.1
!0 =
 
Факториалы больших чисел можно приближённо оценить по 
формуле Стирлинга: 

.1
0
,
)
(
2
!
12
<
<
⋅
≈
θ
π

θ
где
e
e
n
n
n
n
n
 

Всевозможные группировки из данных n элементов по m  в каждой, 
отличающиеся друг от друга или самими элементами или порядком расположения элементов, называются размещениями из n по m . 
Число всех размещений из n по m  обозначают 
m
n
A  и вычисляют 

по формуле 
.
)!
(
!
m
n
n
A m
n
−
=
 

Например, 
.
2520
3
4
5
6
7
!2
!7
)!
5
7
(
!7
5
7
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
−
=
A
 

Перестановками из n элементов называют их группировки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения входящих в них 
элементов. 
Число всех различных перестановок из n различных элементов 
обозначают 
nP  и вычисляют по формуле 
!.
n
Pn =
 

Например, 
.
720
6
5
4
3
2
1
!6
6
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
P
 
Всевозможные группировки из данных n элементов по m  в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по m . 
Число всех сочетаний из n по m  обозначают 
m
n
C
 и вычисляют 

по формуле 
.
)!
(!
!
m
n
m
n
C m
n
−
⋅
=
 

Например, 
.
126
4
3
2
1
9
8
7
6
!5
!4
!9
)!
4
9
(!4
!9
4
9
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
−
⋅
=
C
 

 
Пример 1. В урне 4 белых и 7 чёрных шаров. Сколькими способами можно одновременно вынуть из урны два белых шара?  
Решение. Число таких случаев можно определить по формуле 

6
2
2
4
3
2
!2
!2
!4
2
4
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
= С
m
. 

Пример 2. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. Играющий 
зачеркивает 6 произвольных чисел по своему усмотрению. После тиража объявляется 6 «счастливых» чисел. В случае угадывания, по 
крайней мере, 3 зачеркнутых «счастливых» чисел владелец карточки 
получает выигрыш тем больший, чем больше чисел угадано. Максимальный выигрыш достигается, если удалось угадать все 6 чисел. 
Определить, сколькими способами можно зачеркнуть 6 любых чисел 
на карточке «Спортлото»?  
Решение. Очевидно, что различные комбинации зачеркнутых 
чисел отличаются только составом,  т. е. являются сочетаниями. 
Общее число различных способов выбора 6 чисел из 49 равно 
6
49
С
. Используя формулу, получим, что число таких способов будет равно  

7
6
49
10
4,1
816
983
13
!
43
!6
!
49
⋅
≈
=
=
= С
m
. 

Пример 3. В бригаде из 25 человек нужно назначить четырёх для 
работы на определённом участке. Сколькими способами это можно 
сделать? 
Решение. Так как порядок среди выбранных четырёх человек не 
имеет значения, то это можно сделать 
4
25
С
 способами:  

650
12
4
3
2
1
25
24
23
22
!4
!
21
25
24
23
22
!
21
!4
!
21
!
25
!4
)!
4
25
(
!
25
4
25
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
−
=
С
. 

 

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,5] 
 
1. Что называется процентом числа? 
2. Напишите формулы для вычисления простых и сложных процентов. 
3. Какие правила действий со степенями вы знаете? 
4. Что называется модулем действительного числа? 
5. Запишите свойства логарифмов. 
6. Как записывается основное логарифмическое тождество? 
7. Какие выборки вы знаете? 
8. Что называется факториалом? 
9. Назовите отличия размещений и сочетаний. 
10. Запишите формулы для вычисления размещений и сочетаний. 
 

Раздел 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА  
 
Линейная алгебра является необходимым инструментом для 
компактного и эффективного описания и анализа экономикоматематических моделей и методов. 
 
2.1. Матрицы и операции над ними 
 
Матрицей размера 
n
m×  называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений. Матрица записывается в виде 

(
)
n
m
ij

mn
m
m

n

n

n
m
a

a
a
a

a
a
a
a
a
a

A
,

3
1

2
22
21

1
12
11

,

...
...
...
...
...
...
...

=



















=
, 

где 

_____
,1 m
i =
 − номер строки; 

_____
,1 n
j =
 − номер столбца, 
ij
a  –  элементы 
матрицы.  
Виды матриц. 
Если 
n
m =
, то 
n
n
n
A
А
=
,
 – квадратная матрица n-го порядка. 

Если 
j
i
aij
≠
∀
= ,0
, то 



















=

n
n
a

a

a

A

..........
0
........
0

...
...
...

0
.....
0

0
.......
0

22

11

 – диагональная матрица. 

Если 



≠

=
=
j
i

j
i
aij
,0

,
,1
, то 



















=
=

1
..........
0
........
0

...
...
...

0
.....
1
0

0
.......
0
1

E
An
 – единичная матрица. 

Если все элементы квадратной матрицы под (над) главной диагональю 
равны нулю, то матрица 
n
A  называется диагональной. 
Действия над матрицами 
 
1. Сложение (вычитание) матриц одинаковой размерности осуществляется поэлементно: 

ij
ij
ij
b
a
c
если
B
A
C
+
=
+
=
,
, 
.
,...
2,1
,
,...,
2,1
n
j
m
i
=
=
∀