Строительная механика: метод конечных элементов

СТРОИТЕЛЬНАЯ 
МЕХАНИКА: 
МЕТОД КОНЕЧНЫХ 
ЭЛЕМЕНТОВ

С. И. ТРУШИН

Москва
ИНФРА-М
2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию 
в области строительства в качестве учебного пособия для подготовки 
бакалавров по направлению 08.03.01 «Строительство», 
магистров по направлению 08.04.01 «Строительство» 
и специалистов по направлению 08.05.01 «Строительство уникальных 
зданий и сооружений»

УДК 624.04(075.8)
ББК 38я73
 
Т80

Трушин С. И.
Строительная механика: метод конечных элементов : учебное 
пособие / С.И. Трушин. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 305 с. +
Доп. материалы [Электронный ресурс]. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/17500.

ISBN 978-5-16-011428-6 (print)
ISBN 978-5-16-103683-9 (online)

В учебном пособии изложен метод конечных элементов для решения прикладных инженерных задач. Описан общий алгоритм метода и рассмотрен ряд основных типов конечных элементов, используемых в строительной механике. Рассматриваются вопросы 
статического расчета конструкций, устойчивости деформированного состояния систем, 
динамики, теплопередачи и механики жидкости. Дано описание различных методов решения нелинейных задач. Приведены результаты расчетов реальных зданий и сооружений 
методом конечных элементов.
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 
«Строительство», магистратуры — по направлению подготовки 08.04.01 «Строительство», 
специалитета — по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий 
и сооружений», а также для реализации программ подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по направлению подготовки 08.06.01 «Техника и технологии строительства». Пособие может быть рекомендовано студентам и аспирантам смежных технических 
специальностей.

УДК 624.04(075.8)
ББК 38я73

Т80

ISBN 978-5-16-011428-6 (print)
ISBN 978-5-16-103683-9 (online)

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе Znanium

© Трушин С. И., 2016

А в т о р:
С. И. Трушин, д-р техн. наук, профессор Национального исследовательского Московского государственного строительного университета (НИУ МГСУ)

Р е ц е н з е н т ы::
В. В. Карпов, д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры «Прикладная математика 
и информатика» Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного 
университета;
С. Б. Косицын, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Теоретическая механика» Московского государственного университета путей сообщения;
С. Н. Кривошапко, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Прочность материалов 
и конструкций» инженерного факультета Российского университета дружбы народов

Предисловие

Материал, изложенный в учебном пособии «Строительная механика: метод конечных элементов», предназначен для освоения 
дисциплин базовой части математического, естественно-научного 
и общетехнического циклов бакалавриата по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство». Учебное пособие может быть использовано при изучении дисциплин базовых частей общенаучного 
и профессионального циклов магистратуры по направлению подготовки 08.04.01 «Строительство», дисциплин базовых частей математического, естественно-научного, общетехнического и профессионального циклов при подготовке специалистов по направлению 
08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», а также 
при реализации программ подготовки научно-педагогических кадров 
в аспирантуре по направлению 08.06.01 «Техника и технологии 
строительства». Изложенный в учебном пособии материал может 
быть также рекомендован для бакалавриата смежных специальностей 
по направлениям 15.03.03 «Прикладная механика», 01.03.03 «Механика и математическое моделирование», 01.03.04 «Прикладная математика». При подготовке учебного пособия к печати учтены последние требования Министерства образования и науки Российской 
Федерации и требования Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования четвертого поколения.
Метод конечных элементов (МКЭ) занимает лидирующее положение в практике инженерных расчетов различного рода зданий 
и сооружений и является мощным инструментом в научных исследованиях. Подавляющее большинство расчетов на прочность, устойчивость и колебания выполняется с помощью вычислительных комплексов, базирующихся на варианте МКЭ в перемещениях. Знание 
основ используемого метода анализа строительных конструкций 
на основе конечно-элементного подхода не менее важно, чем умение 
работать с современными программными продуктами, реализующими все этапы проектирования.
МКЭ отличает относительная простота учета взаимодействия 
конструкций с окружающей средой (механические, температурные, 
коррозионные воздействия, граничные условия и т.д.), высокая 
степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета. 
Метод ориентирован на численную реализацию, поэтому без применения быстродействующей вычислительной техники он теряет 
свое значение. Не вызывает сомнения тот факт, что алгоритмы МКЭ 
наиболее эффективны при решении двумерных и трехмерных задач 

расчета конструкций сложной формы с различного рода вырезами 
и подкреплениями, с переменными по объему механическими и теплофизическими характеристиками. Вместе с тем изучение методики 
конечно-элементного анализа целесообразно проводить с использованием наиболее простых моделей, относящихся к различным 
разделам техники: стержень, подверженный растяжению-сжатию 
или изгибу; одномерная или двумерная задача теплопроводности; 
ламинарное течение жидкости между двумя параллельными плоскостями и т.д.

Содержание ряда глав книги построено на основе курсов лекций, 

которые читались автором в МГСУ по дисциплинам «Строительная 
механика», «Динамика и устойчивость сооружений», «Вычислительная механика», «Теория расчета пластин и вариационные методы механики», «Расчет конструкций на тепловые воздействия», 
«Тонкостенные пространственные системы» и др.

В книге дается краткая характеристика МКЭ и приводится общий 

алгоритм расчета. Рассматриваются вопросы решения задач механики деформируемого твердого тела с помощью МКЭ, включая 
выбор базисных функций и построение матриц жесткости конечных 
элементов. Приведены постановки задач сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости. Даны разрешающие уравнения и выражения для полной потенциальной энергии 
системы, которые служат основой при построении матриц жесткости 
конечных элементов. Представлен ряд конечных элементов, используемых для решения одномерных, двумерных и трехмерных задач 
расчета стержневых систем, пластин, оболочек и массивных тел. 
Рассмотрены вопросы устойчивости деформированного состояния 
систем как в линейной, так и в нелинейной постановке. Даны алгоритмы решения задач динамики. Рассмотрены задачи определения 
собственных частот и форм колебаний, представлены методы прямого интегрирования уравнений движения (метод центральных разностей, метод Ньюмарка). Даны методики решения стационарных 
и нестационарных задач теплопроводности, основанные на МКЭ, 
а также некоторых задач механики жидкости. Приведены численные 
процедуры решения нелинейных (геометрически и физически) задач 
строительной механики. Основное внимание уделяется подходам, 
основанным на методе продолжения решения по параметру. Дана 
вариационная постановка задач строительной механики на основе 
принципа Лагранжа. Кратко описан общий алгоритм МКЭ для статического расчета плоских стержневых систем; представлена методика, основанная на суперэлементном подходе. Показаны результаты расчетов реальных зданий и сооружений методом конечных 
элементов с использованием вычислительных комплексов и дана 
оценка их несущей способности. В приложениях приведены неко

торые сведения из линейной алгебры, представлены методы решения 
систем линейных алгебраических уравнений и описана постановка 
задачи на собственные значения.

Особенностью и преимуществом данного издания является ком
плексный подход к изучению предмета, включающий в себя теоретический материал, примеры решения типовых задач, контрольные 
вопросы и задания для самоподготовки, примеры расчета реальных 
зданий и сооружений, в которых даны результаты анализа напряженно-деформированного состояния объектов и показана методика 
оценки их несущей способности и надежности.

Освоение материала, представленного в данной книге, дает 

возможность студенту получить необходимые общекультурные 
и профессиональные компетенции, такие как способность к анализу исходной информации, умение сформулировать цели и задачи 
исследования, владение современными численными методами 
и алгоритмами решения поставленных задач, навыки работы с современными программными средствами для расчета несущих конструкций зданий и сооружений.

В результате изучения дисциплины студент должен:
знать:

 
• общий алгоритм решения инженерных задач методом конечных 

элементов;

 
• способы построения матриц жесткости одномерных, двумерных 

и трехмерных конечных элементов в задачах строительной механики;

 
• методики анализа устойчивости конструкций с помощью МКЭ;

 
• методики решения задач динамики, включая алгоритмы опре
деления собственных частот и форм колебаний (модальный 
анализ), а также прямые методы интегрирования уравнений 
движения;

 
• постановку задач и алгоритмы решения одномерных и двумерных 

задач теплопроводности и механики жидкости с помощью МКЭ;

 
• методы решения нелинейных задач в рамках МКЭ;

 
• применение вариационного подхода к построению решений задач 

строительной механики на основе принципа Лагранжа;

 
• алгоритм численной реализации МКЭ;

уметь:

 
• выполнять построение расчетных схем несущих конструкций 

зданий и сооружений на основе исходной информации;

 
• формировать конечно-элементную модель исследуемого объекта;

 
• выполнять расчеты конструкций на различные статические на
грузки и оценивать их напряженно-деформированное состояние;

 
• выполнять расчет на устойчивость исходной формы равновесия 

и определять предельные нагрузки и формы потери устойчивости;

 
• определять собственные частоты и формы колебаний кон
струкций для оценки их обобщенной жесткости;

 
• выполнять расчеты стационарных и нестационарных темпера
турных полей при различных граничных условиях;

 
• построить алгоритм решения задачи с учетом физической и гео
метрической нелинейности;

 
• разработать методику, алгоритм и программное обеспечение 

для расчета плоских стержневых систем методом конечных элементов;

 
• оценить несущую способность рассчитываемой конструкции 

по первой и второй группам предельных состояний;
владеть:

 
• навыками работы с учебной и научной литературой по строи
тельной механике, численным методам анализа и методу конечных элементов;

 
• способами формирования уравнений МКЭ с помощью вариаци
онной постановки и метода взвешенных невязок;

 
• современными численными методами расчета на прочность, 

устойчивость и колебания конструкций в линейной и нелинейной 
постановках;

 
• навыками решения задач строительной механики методом ко
нечных элементов с использованием современной вычислительной техники и специализированных приложений;

 
• спецификой решения задач прочности и устойчивости стерж
невых систем, пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности;

 
• навыками анализа достоверности численных результатов расчета 

методом конечных элементов;

 
• информацией о методике и результатах расчетов реальных зданий 

и сооружений на статические и динамические нагрузки.
Автор будет признателен за любые высказанные замечания и по
желания, касающиеся содержания и оформления книги.

Список обозначений

A — потенциал внешних сил
B — матрица, связывающая узловые перемещения с деформа
циями

C — матрица демпфирования
D — матрица упругости, связывающая деформации с напряже
ниями

E — модуль упругости материала
F — площадь поперечного сечения стержня
J — момент инерции поперечного сечения стержня
l — длина стержневого конечного элемента
M — матрица масс
P — вектор внешних узловых нагрузок
p — вектор внешних распределенных нагрузок
R — матрица конечного элемента (жесткости, теплопроводности)
u — вектор интерполирующих функций
V — матрица преобразования координат
W — потенциальная энергия деформации системы
x, y, z — декартовы координаты узла в общей системе координат
x′, y′, z′ — декартовы координаты узла в местной системе коор
динат

z — вектор узловых перемещений конечного элемента
ε — вектор, содержащий компоненты тензора деформаций
ν — коэффициент Пуассона
Π — полная потенциальная энергия системы
σ — вектор, содержащий компоненты тензора напряжений

Введение

Одним из наиболее эффективных современных методов чис
ленного решения инженерных задач с применением ЭВМ является 
метод конечных элементов. Идея представления сплошной среды 
в виде системы элементов конечных размеров высказывалась еще 
в начале XIX в. Пуассоном. Развитие МКЭ шло по двум направлениям: с одной стороны, МКЭ развивался как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики; с другой стороны, он разрабатывался на основе 
методов строительной механики стержневых систем, в частности 
метода перемещений. Начала этих направлений заложены в работах 
Р. Куранта, Мак Генри, А. Хренникова в 40-х гг. XX в. Постепенно 
эти направления стали объединяться. Одной из первых работ, посвященных МКЭ, была работа М. Дж. Тернера, Р. В. Клафа, Г. С. Мартина и Л. Дж. Топпа, опубликованная в 1956 г., а термин «конечный 
элемент» впервые появился в работе Р. В. Клафа в 1960 г. Быстрое 
развитие МКЭ связано в первую очередь с созданием высокопроизводительных вычислительных машин и решением задач аэрокосмической техники.

Описание основ МКЭ и его применение к задачам теории упру
гости и пластичности, теории пластин и оболочек, гидро- и аэродинамики, теплопроводности, расчету стержневых систем, мембранных конструкций и многим другим задачам даны в учебниках, 
учебных пособиях и монографиях многочисленных авторов: О. Зенкевича; Дж. Одена; Г. Стренга и Д. Фикса; Л. Сегерлинда; Р. Галлагера; К. Бате и Е. Вилсона; Д. Норри и Ж. де Фриза; Дж. Коннора 
и К. Бреббиа; М. Крисфилда; В. А. Постнова и И. Я. Хархурима; 
Л. А. Розина; А. Ф. Смирнова, А. В. Александрова, Б. Я. Лащеникова, 
Н. Н. Шапошникова; Р. А. Хечумова, Х. Кепплера, В. И. Прокопьева; 
С. Б. Синицына; В. П. Агапова; А. Е. Белкина и С. С. Гаврюшина; 
А. Б. Золотова и П. А. Акимова и других.

Основная идея метода состоит в представлении рассчитываемой 

конструкции в виде совокупности элементов простой формы, соединенных между собой в отдельных точках. По сути дела, сплошная 
среда с бесконечным числом степеней свободы заменяется набором 
подобластей, имеющих конечное число степеней свободы. При 
таком подходе искомые непрерывные величины (перемещения, напряжения, деформации и т.д.) внутри каждого конечного элемента 
(КЭ) выражаются с помощью аппроксимирующих функций через 
узловые значения этих величин. Распределенные внешние нагрузки 
заменяются эквивалентными узловыми силами. В математическом 

плане задача состоит в приведении дифференциальных уравнений 
или энергетического функционала, описывающих рассматриваемую 
конструкцию, к системе алгебраических уравнений, решение которой дает значения искомых узловых неизвестных.

Метод конечных элементов имеет большое распространение 

в практике расчетов на прочность, устойчивость и колебания строительных, машиностроительных, авиационных конструкций. С помощью МКЭ можно успешно выполнить анализ широкого класса 
стержневых систем (фермы, рамы, арки и т.д.), тонкостенных 
пространственных конструкций (плиты перекрытий, оболочки 
покрытий и т.д.), массивных трехмерных тел, а также комбинированных систем, состоящих из одномерных, двумерных и трехмерных 
элементов.

МКЭ отличает обширная область применимости, инвариантность 

по отношению к геометрии конструкции и физическим характеристикам материалов, относительная простота учета взаимодействия 
конструкций с окружающей средой (механические, температурные, 
коррозионные воздействия, граничные условия и т.д.), высокая 
степень приспособляемости к автоматизации всех этапов расчета. 
Метод имеет простую физическую интерпретацию и тесно связан 
с методом перемещений, который широко используется в строительной механике.

На базе конечно-элементного подхода разработано большое 

количество мощных программных комплексов. Среди них можно 
отметить такие, как «ЛИРА», SCAD, STARK, MicroFE, «СТАДИО», 
ABAQUS, ADINA, ANSYS, LS-DYNA, COSMOS, MSC / NASTRAN. Большинство из них имеет обширную библиотеку конечных элементов 
и дает возможность выполнять расчеты на прочность, устойчивость 
и колебания, учитывать физическую и геометрическую нелинейность, ортотропию материала, температурные нагрузки и т.д. Представленный выше перечень программных продуктов, реализующих 
МКЭ, является далеко не полным и лишь отражает ситуацию 
в данной области в настоящий момент.

Несомненно, МКЭ имеет существенные преимущества по срав
нению с другими подходами и в значительной степени универсален. Вместе с тем, как отмечает Р. Галлагер в своей монографии 
по МКЭ, «этот метод вряд ли может быть последним словом в численном анализе в том виде, в котором он существует в настоящее 
время. Его следует рассматривать как одну из многочисленных 
ступеней развития средств численного исследования при проектировании».

Наибольшее распространение в практике расчета и проектиро
вания строительных конструкций получил вариант МКЭ в перемещениях (в качестве искомых неизвестных принимаются переме

щения рассчитываемой системы), который будет рассмотрен ниже. 
При изложении МКЭ используются основные понятия и методы 
линейной алгебры, приведенные в приложении 1.

Метод конечных элементов предусматривает следующие ос
новные этапы.

1. Идеализация области. Рассчитываемая конструкция разбива
ется воображаемыми точками, линиями или поверхностями на элементы конечных размеров (конечные элементы). Предполагается, 
что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. В некоторых задачах строительной механики 
в качестве искомых неизвестных помимо узловых перемещений принимаются также их частные производные.

2. Построение интерполирующих функций. Выбирается система 

функций (чаще всего — кусочно-полиномиальная), однозначно 
определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента 
через перемещения узловых точек. Интерполирующие функции 
подбираются таким образом, чтобы обеспечить непрерывность 
искомых величин (перемещений и их производных) вдоль границ 
элемента.

3. Вывод основных геометрических и физических соотношений. 

На основе выбранной системы интерполирующих функций выводятся зависимости между деформациями и перемещениями (геометрические соотношения), а также между напряжениями и деформациями (физические соотношения).

4. Построение матрицы жесткости конечного элемента. С по
мощью принципа Лагранжа на основе полученных геометрических 
и физических соотношений строится матрица жесткости конечного 
элемента.

5. Получение системы уравнений метода конечных элементов. 

Каждая матрица жесткости отдельного конечного элемента включается в глобальную матрицу жесткости в цикле по элементам. Таким 
образом формируется система алгебраических уравнений всей конструкции (уравнения равновесия), которая имеет вид

Rz = P,

где R — матрица жесткости системы (ансамбля) конечных элементов; z — вектор неизвестных узловых перемещений; P — вектор 
узловых нагрузок.

В матрице жесткости R записанной выше системы уравнений не
обходимо учесть граничные условия, так как в противном случае эта 
матрица будет вырожденной.

6. Решение системы алгебраических уравнений. Для решения 

системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) использу