Математика для архитекторов

~ 2 ~ 
 

УДК 512 
 ББК 22.14 
         Р86 
 
 
Рецензент 
канд. физ.-мат. наук, доц. О.Л. Курнявко  
(ОИВТ (филиал) ФГБОУ ВО СГУВТ, г. Омск) 
 
Работа 
утверждена 
редакционно-издательским 
советом 
СибАДИ  
в качестве учебно-методического пособия.   
 

Р86 

Руппель, Елена Юрьевна.
Математика для архитекторов : учебно-методическое пособие / Е.Ю. Руппель. – 
Электрон. 
дан. 
– 
Омск 
: 
СибАДИ, 
2022. 
– 
Режим 
доступа: 
http://bek.sibadi.org/MegaPro, для авторизованных пользователей. – Загл. с экрана. 

Содержит теоретический и справочный материал по разделам «Линейная 
алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия в пространстве», 
«Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной», 
необходимый для обучающихся направления 07.03.01 «Архитектура» по дисциплине «
Математика». Рассмотрены примеры решения задач, также представлены 
вопросы для самопроверки, контрольные работы и индивидуальные задания.  
Имеет интерактивное оглавление. 
Предназначено для обучающихся направления 07.03.01 «Архитектура», а 
также всех форм обучения экономических, технических, строительных направлений 
бакалавриата и специалитета. 
Работа выполнена на кафедре «Физика и математика». 
 
Текстовое (символьное) издание (2,2 МБ). 
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista/7; 
DVD-ROM; 1 Гб свободного места на жестком диске; 
 программа для чтения pdf-файлов: Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader 

Редактор И.Г. Кузнецова 
Техническая подготовка – А.А. Орловская  

 
 
Издание первое. Дата подписания к использованию 12.12.2022 
 
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ 
644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ 
644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая,1 
 
 
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите 
детей от информации, причиняющей вред их 
здоровью и развитию» данная продукция 
маркировке не подлежит 

~ 3 ~ 
 

 

 

Кто с детских лет занимался математикой, тот развивает 
внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает 
в себе настойчивость и упорство в достижении цели. 

А.И. Маркушевич  

 

 

Введение  

 
Цель изучения общего курса математики вузов состоит в том, 
чтобы углубить знания по изученным разделам и ознакомиться с некоторыми 
новыми разделами математики, которые обогащают общую 
культуру, развивают логическое мышление и широко используются в 
математическом моделировании задач, с которыми встречается современный 
инженер в своей деятельности.  
В каждом разделе изложены необходимые теоретические сведения, 
основные определения и формулы, достаточные для решения задач. 
Пособие составлено таким образом, что наряду с теоретической 
частью содержит подробный разбор типовых задач, решение которых 
позволит читателю глубже понять и закрепить изученный материал.  
Предлагаются также задачи для самостоятельной работы, к которым 
приведены ответы в конце каждого раздела. Предложенные задачи 
для самостоятельной работы могут использоваться преподавателем 
для работы на практических занятиях, а также при подготовке к 
контрольной работе и итоговой форме контроля. 
В конце каждого раздела содержатся контрольная работа и задания 
для самостоятельного решения, которые являются заданиями по 
целому разделу курса. Задания выдаются по вариантам и являются 
индивидуальными для обучающегося в каждой академической группе. 

~ 4 ~ 
 

1. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ 
 
1.1. Начальный этап развития математических знаний 
 
Способности к абстрагированию стали развиваться у людей с 
незапамятных времен. Вряд ли можно представить жизнь даже очень 
отдаленных предков, не предполагая у них необходимости, скажем, в 
пространственной и количественной ориентировке. Например, чтобы 
вырыть яму для ловли зверя или пронести тушу убитого зверя через 
вход в пещеру, надо как-то учитывать пространственные формы и величину 
предметов и отвлекаться от других их свойств. 
Наблюдения за предметами окружающей действительности и 
обращение с ними в процессе трудовой деятельности учили человека 
замечать свойства предметов, играющие существенную роль при решении 
практических задач, которые, естественно, возникали уже при изготовлении 
орудий охоты и земледелия, при постройке жилищ и т. д.  
Сосредоточивая главное внимание на этих свойствах, люди постепенно 
научились мысленно отделять их от других свойств и даже от самих 
предметов, с которыми они неразрывно связаны в действительности, 
стали рассуждать об отвлеченных свойствах как о самостоятельных (
абстрактных) предметах и наделять их названиями так же, 
как это делали с чувственно воспринимаемыми вещами. Так, общественная 
практика и развитие языка постепенно приводили к формированию 
различных понятий, в том числе и таких абстрактных, в которых 
находят отражение только пространственные формы и количественные 
отношения. 
Наблюдения за границами, отделяющими предметы друг от друга, 
естественно, приводят к выделению простейших геометрических 
элементов, из которых они состоят, т. е. к понятиям о поверхности, 
линии и точке. Так, например, если в какой-нибудь сосуд налита вода, 
то она принимает определенную форму. Уже на этом простом примере 
видно, что одну и ту же поверхность тела можно рассматривать и 
как нечто целое, и как состоящее из некоторых частей. Части эти выделяются 
уже тем, что одна из них является общей границей воды и 
стенок сосуда, а другая – общей границей воды и воздуха; их общей 
границей служит линия. Такого рода наблюдения на протяжении длительного 
исторического периода приводят к тому, что поверхность 
надо понимать как общую границу двух тел или частей тела, линию ‒ 
как общую границу двух частей поверхности, точку ‒ как общую  

~ 5 ~ 
 

границу двух частей линии. При этом важнейшим свойством поверхности 
служит то, что она мыслится без толщины. Если понимать поверхность 
как нечто, имеющее толщину, то она теряет свою специфику 
служить общей границей двух тел. Аналогично линию надо мыслить 
без ширины, так как в противном случае она не может служить 
общей границей двух частей поверхности. Точка как общая граница 
двух частей линии не имеет никаких измерений.  
Человеку трудно было мысленно выделить простейшие геометрические 
абстракции, но когда он почувствовал и узнал, скажем, что 
прямая обладает наиболее простыми свойствами из всех других линий, 
тогда он сам стал проводить прямые. Заметив, что геометрическими 
свойствами луча Солнца, проникающего в маленькое отверстие 
темного помещения, обладает и туго натянутая на двух опорах нить, и 
даже веревка, люди немедленно воспользовались этим при изготовлении 
различных брусьев, стержней, линеек, при постройке жилищ, 
планировании земельных участков и т. д. 
Целесообразность практического использования плоских и прямолинейных 
форм диктуется и физическими свойствами тел. По равнине 
легко и удобно перемещаться. Прямолинейное движение при 
этом сопряжено с наименьшими затратами времени и сил. На горизонтальной 
плоскости тела приобретают устойчивое положение, 
предметы с плоскими и прямолинейными формами легко совмещаются 
и примыкают друг к другу без зазоров и т. д. 
На уяснении характера геометрических абстракций особенно 
сказалась практика планирования и измерения на земной поверхности. 
Участок земли часто приходилось считать куском плоскости, а 
его границу ‒ геометрической линией. На нем приходилось мысленно 
проводить различные линии, считая предметы, расположенные на 
границе, тачками, и таким путем разбивать этот кусок плоскости на 
геометрические фигуры желательного вида. 
Из постоянного сравнения предметов со стороны их формы и 
размеров выделялось то общее, что связывает предметы независимо 
от их вещественного содержания, формировалось общее понятие о 
пространственной форме и геометрической фигуре. Всякий частный 
вид геометрической фигуры ‒ прямоугольник, треугольник, круг, шар 
и т. д. – использовался в практических целях, где он проявлял новые 
свойства. Так практически складывались представления, составляющие 
основу формирования понятий геометрии, вместе с этим на  

~ 6 ~ 
 

основе опыта и запросов практики возникали и развивались простейшие 
понятия арифметики. 
На основании некоторых косвенных данных, какими служат, 
например, наблюдения за культурой отсталых племен и народностей, 
можно считать, что вначале люди располагали, по-видимому, весьма 
ограниченным запасом первых натуральных чисел. При этом число 
воспринималось сначала как неотъемлемое свойство той или иной совокупности 
предметов, а потом постепенно выделялось на основе 
сравнения разнообразных множеств с некоторым стандартным множеством, 
которым чаще всего служило множество пальцев рук и ног. 
Знаменитый русский путешественник ученый Н. Н. Миклухо-Маклай 
так описывает в своих сочинениях характер счета у туземцев Новой 
Гвинеи: «...Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает 
определенный звук, например, „бе, бе, бе”. Досчитав до пяти, он 
говорит „ибон-бе” (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова 
повторяет „бе, бе, бе”, пока не доходит до „ибон-ал” (две руки). Затем 
он идет дальше, приговаривая „бе, бе, бе”, пока не доходит до 
„самба-бе” и „самба-али” (одна нога, две ноги). Если нужно считать 
дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». 
Мы видим, что здесь, например, число пять понимается как столько, 
сколько пальцев на руке. 
В связи с развитием практической деятельности развивалась и 
система чисел с ее связями и законами. Большое значение в этом отношении 
имело введение обозначений для чисел, относящееся, вероятно, 
ко времени зарождения письменности. Это можно рассматривать 
как первый шаг по пути развития специфического для математики 
языка знаков и формул. 
Наиболее древнее руководство по математике, дошедшее до нас 
в виде рукописи египетского писца Ахмеса, было составлено более 
чем за 1700 лет до нашей эры. Оно представляет сборник задач, которые 
должны были уметь решать царские чиновники. Среди этих задач 
встречаются уже отвлеченные задачи в виде упражнений в искусстве 
вычислений с дробями, но основное содержание все же составляют 
практические задачи на вычисление площадей земельных участков, 
на перевод одних мер зерна в другие, на определение земельных работ 
и заработной платы, вместимости сосудов и амбаров и т. д. 
В те отдаленные времена, конечно, еще не было геометрии и арифметики 
как отдельных областей знания. Наука делала только первые шаги 
в направлении систематизации и обобщения накопленного опыта.  

~ 7 ~ 
 

Однако и тогда в ряде стран и, в особенности в Египте и Вавилоне, на 
разнообразном конкретном материале появляются заметные ростки 
отвлеченных математических рассуждений. 
Процесс формирования научных понятий сопровождается постепенным 
уяснением законов и навыков обращения с ними как с основными 
формами мышлении, входящими в состав суждений и умозаключений. 
Результаты этого стали сказываться в Древней Греции 
примерно с VII в. до н. э. Математические знания, перешедшие из 
Египета и Вавилона, стали здесь заметно приобретать качественно 
новую форму. В связи с их систематизацией выделяются наиболее 
общие понятия и предложения, на основе которых определяются другие 
понятия математики. Некоторые исходные положения об их свойствах, 
справедливость которых неизменно подтверждалась в практике 
на протяжении многих веков, фактически становятся аксиомами. Другие 
же свойства стали устанавливать с помощью рассуждений без обращения 
к опыту, т. е. оформлять их в виде теорем с доказательствами, 
схожими с теми, какие изучаются теперь в школьном курсе. 
Пифагор и его ближайшие ученики (VI‒V вв. до н. э.) уже владели 
логическим доказательством многих теорем геометрии. Они основательно 
развили и учение о числах. Придавая особенно большое 
значение выяснению закономерностей в числах четных и нечетных, 
простых и составных в так называемых фигурных, совершенных, а 
также в пропорциях. 
Как полагают историки, математика в V‒IV вв. до н. э. приобретает 
примерно такой вид, в каком дошла она до нас в «Началах» 
Эвклида (III в. до н. э.), т. е. становится теоретической наукой с характерным 
для нее дедуктивным методом, выражающим движение 
мысли от общего к частному. При этом считают, что развитие и выявление 
существа этого характерного для математики метода было делом 
пифагорейской школы. 
 
1.2. Период элементарной математики 
 
Чистая математика, сложившаяся в Древней Греции, о которой 
мы судим, главным образом, по «Началам» Эвклида, в своем дальнейшем 
развитии оказывается тесно связанной с развитием общества 
и запросами его экономической жизни. 
Обычно полагают, что до XVII в. она была элементарной математикой, 
которая характеризуется в основном как математика посто-

~ 8 ~ 
 

янных величин и простейших геометрических фигур. Производственная 
жизнь в эту эпоху предъявляла к математике требования в отношении 
решения элементарных задач, сводящихся к простому счету 
предметов, к измерению времени, площадей земельных участков, количества 
продуктов, к вычислениям, связанным со строительством, и 
т. п. И математика удовлетворила эти требования. Геометрия позволила 
решать задачи с прямолинейными фигурами и с простейшими 
криволинейными фигурами, встречающимися в практике (преимущественно 
круг и его части). Арифметика в Древней Греции не достигла 
такого совершенства, как геометрия, но древние греки уже знали о 
бесконечности натурального ряда чисел и считали, что свойства чисел 
можно устанавливать логически так же, как доказываются и теоремы 
геометрии. В дальнейшем была хорошо развита арифметика рациональных 
чисел, хотя строго логическое обоснование арифметики в 
целом относится к следующему периоду. 
Появившиеся еще в древности зачатки алгебры при дальнейшем 
развитии привели к тому, что в IX в. алгебра оформилась в самостоятельную 
дисциплину, изучающую уравнения. Для нужд астрономии 
Птолемеем (II в. н. э.) была составлена таблица хорд, заменяющая в то 
время таблицы тригонометрических величин, что положило начало 
развитию тригонометрии. 
В годы наибольшего расцвета древнегреческой культуры (III в. до н. э.) 
Аполлоний в исследованиях конических сечений и Архимед в вычислениях 
площадей и объемов вплотную подошли к идеям высшей математики. 
Но производственная деятельность того времени не предъявляла 
настоятельных требований в отношении развития таких исследований. 
Математические исследования в этот период ограничились сферой таких 
понятий, как понятие числа, величины геометрической фигуры. 
Элементарная математика может дать математическую характеристику 
только состояния, а не процесса, и вопрос о движении в ней 
не ставится. Для задач, решаемых средствами элементарной математики, 
характерно, что в них имеют дело с определенным числом 
неизменных фигур и величин, производят отдельные действия с отдельными 
числами, и таких актов всегда бывает вполне определенное 
число. Задачи решаются не на основе общего метода, а чаще всего путем 
особого подхода для каждой задачи. 
 
 
 

~ 9 ~ 
 

1.3. Период высшей математики 
 
В эпоху Средневековья идейный уровень математики, достигнутый 
в Древней Греции, существенно не изменился. Известный застой 
в науке в то время был обусловлен весьма ограниченными запросами 
феодального общества и реакционным влиянием церкви, власть которой 
была направлена на подавление всего нового. 
Заметное движение в науке появилось в эпоху Возрождения в 
связи с появлением нового общественного класса буржуазии и ослаблением 
феодальной идеологии. Рост городов приводил к развитию 
торговли, которая с развитием мореплавания распространялась и на 
отдаленные районы. Открытие в конце XV в. Америки и морского пути 
в Индию способствовало расширению умственного горизонта людей, 
изучению природных богатств различных районов земли. От кустарного 
производства стали переходить к более совершенным видам 
общественного производства. Стали развиваться промышленность и 
транспорт, морское и военное дело, а это требовало от естественных 
наук и математики решения серьезных научно-теоретических проблем. 
Такими проблемами были, например, задачи определения местоположения 
корабли в море и составления географических карт. 
Начальная стадия развития капитализма серьезно расширила круг задач, 
которые должна решать математика. Перед астрономией, механикой 
и физикой, а вместе с тем и перед математикой была поставлена 
задача изучения различных форм движения, прежде всего механического 
движения. Возникла необходимость развития новой механики 
‒ механики движущихся тел. 
Наиболее важные научные открытия, обусловливающие переход 
математики на качественно новый этап развития, были сделаны Галилеем (
1564 ‒ 1642) и Кеплером (1571 ‒ 1630). Галилей установил закон 
свободного падения тел. Он же установил, что струя воды, вытекающая 
из бокового отверстия сосуда под давлением воды, имеет 
форму параболы. Галилей занимался также вопросами военного дела, 
где важно было изучить траекторию снаряда, связанную с наклоном 
орудия, чтобы рассчитать попадание его в цель. Немецкий математик 
Кеплер открыл закон движения планет вокруг Солнца. Было установлено, 
что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого 
находится Солнце, что отрезок прямой, соединяющий планету с 
Солнцем, в равные промежутки времени описывает равновеликие фигуры, 
что планеты движутся по эллипсам с переменными скоростями, 

~ 10 ~ 
 

зависящими от размеров орбиты. Во всех таких задачах приходилось 
иметь дело с кривыми, которые описываются движущимся телом и 
связанными с ним отрезками, длина которых изменяется в процессе 
движения. Средства элементарной математики для таких задач были 
явно недостаточны. 
Существенный вклад в математику внес французский математик 
Виет (1540 ‒ 1603), перешедший в алгебре к систематическому употреблению 
букв для обозначения чисел. Эго послужило серьезной 
предпосылкой для развития абстрактного мышления. Шотландский 
математик Непер (1550 ‒ 161?) открыл таблицы логарифмов, которые 
существенно расширили и упростили вычислительные возможности 
математики. В 1637 г. французский математик и философ Декарт 
(1596 ‒ 1650) опубликовал «Геометрию», представляющую в основных 
чертах изложение той математической дисциплины, которая 
позднее стала называться аналитической геометрией. Он впервые 
пришел к понятию переменной величины и функциональной зависимости, 
решая геометрические задачи с помощью аппарата арифметики 
и алгебры. Это, можно сказать, и определило переход к высшей 
математике. Ф. Энгельс по этому поводу писал: «Поворотным пунктом 
в математике была декартова переменная величина. Благодаря 
этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому 
же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное 
исчисления...». 
Сам термин «функция» впервые встречается в трудах немецкого 
математика Лейбница (1646 ‒ 1716), который вначале, как и Декарт, 
усматривал функциональную зависимость в задачах по геометрии. 
Английский математик и физик Ньютон (1643 ‒ 1727) широко использовал 
понятие функциональной зависимости в механике. Геометрической 
задачей, приводящей к основным понятиям дифференциального 
исчисления служит задача проведения касательной к кривой 
в данной точке; механической задачей является задача определения 
скорости движения в данный момент времени. В отношении интегрального 
исчисления аналогичную роль играют задача определения 
площади плоской фигуры по заданному контуру и определение закона 
движения по заданной скорости. В связи с весьма простым механическим 
и геометрическим толкованием основных понятий дифференциального 
и интегрального исчислений высшая математика сразу 
же получила широкое применение в механике, геометрии, физике, 

~ 11 ~ 
 

технике и т. д., что в свою очередь послужило важным стимулом ее 
бурного развития на протяжении XVII и XVIII столетий. 
История знает много выдающихся математиков того времени, 
среди которых особенно выделяется петербургский академик Леонард 
Эйлер (1707 ‒ 1783). Ему принадлежат 756 работ, охватывающих все 
разделы математики того времени. Работы эти, в частности его учебники, 
имели огромное значение для дальнейшего развития математических 
знаний. Заметим, что Эйлеру принадлежит введение привычного 
теперь общего обозначения функции в форме f(х). 
Жизненность новых теорий эффективно подтверждалась практикой, 
но в их логическом обосновании было много неясного. Требовали 
уточнения почти все понятия высшей математики и прежде всего 
понятие бесконечно малой величины и бесконечного ряда. В новых 
непривычных методах было много непонятного. 
Очень большое значение для уяснения методов высшей математики 
имели работы французского математика Коши (1789 ‒ 1857). 
Разработанная им теория пределов была положена в основу высшей 
математики и дала возможность изложить дифференциальное и интегральное 
исчисления («Курс анализа») логически более четко и 
стройно. Этому ученому принадлежит также заслуга в расширении 
сферы применения новых методов на функции комплексной переменной. 

Переход к высшей математике не означает отказ от элементарной 
математики, он означает только существенное расширение задач 
и коренное изменение в методах их решения. В элементарной математике 
противопоставляется прерывное и непрерывное, конечное н бесконечное, 
кривое и прямое, точное и неточное и т. д., дальше этого 
противопоставления не идут; в высшей математике на этом противопоставлении 
не останавливаются, а идут дальше. В бесконечных процессах, 
связанных с переходом к пределу, эти противоположности переходят 
друг в друга. Так, например, при определении и вычислении 
длины дуги кривой мы заменяем дугу кривой вписанной в нее ломаной, 
заведомо допуская погрешность. Затем, изучая процесс неограниченного 
увеличения числа звеньев ломаной при неограниченном 
уменьшении длины наибольшего из них, замечаем, что допущенная 
погрешность является в этом процессе закономерно исчезающей. 
Применение анализа и синтеза в их единстве позволяет затем перейти 
от неточного к точному. При всем этом средства элементарной математики 
не только не отбрасываются, а используются с большей силой. 
Вычисления средствами элементарной математики выступают здесь 
как отдельные звенья цепи с общим законом ее образования. Опера-