Прикладная математика

 
УДК 519.6 
ББК 22.193 
В33 

Рецензент канд. экон. наук, доц. Л.И. Остринская (СибАДИ, г. Омск)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебно-методического пособия. 

В33

Веремчук, Наталья Сергеевна.
Прикладная математика : учебно-методическое пособие / Н.С. Веремчук, 
Т.А. Полякова. – Омск : СибАДИ, 2022. – 1 электрон. опт. диск (DVD-R).
– Загл. с этикетки диска.
ISBN 978-5-00113-195-3.
.

Содержит сведения о распределениях случайных величин, статистическом исследовании зависимостей, элементах математического программирования, необходимых при решении прикладных инженерных задач. Включены теоретический материал, примеры, задания для самостоятельного решения, контрольные вопросы по
каждому из разделов.
Рекомендуется для ознакомления с теоретическим материалом и выполнения практических работ по дисциплинам «Прикладная математика», «Математика», «Высшая математика». Предназначено для магистров, бакалавров и специалистов всех
форм обучения по направлению подготовки 08.04.01 «Строительство», а также других направлений для ознакомления с соответствующими разделами математики.
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Подготовлено на кафедре «Физика и математика».

Текстовое (символьное) издание (7,6 Мб)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ; Windows XP/Visa/7/10, 
DVD-ROM,  1 ГБ свободного места на жестком диске;
программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader 

Редактор Н.И. Косенкова
Техническая подготовка  Л.Р. Усачева

Издание первое. Дата подписания к использованию 31.08.2022

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ 
644080, г. Омск, пр. Мира, 5
РИО ИПК СибАДИ
644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от
информации, причиняющей вред их здоровью и развитию» 
данная продукция маркировке не подлежит

Введение 

На сегодняшний день невозможно себе представить создание образцов новой техники, строительство зданий и сооружений, экономику, управление и другие сферы человеческой деятельности без применения математических моделей и методов их расчета. В настоящее 
время применяемый математический аппарат стал значительно разнообразнее и сложнее, чем это было еще совсем недавно. Этому способствует развитие и широкое распространение средств вычислительной 
техники. С помощью моделей, реализованных на компьютере, можно 
изучать новые явления, решать практически все задачи анализа и проектирования сложных систем, осуществлять выбор наилучших вариантов решений, выполнять анализ и прогнозирование поведения систем 
и решать множество других задач. 
Прикладная математика – это один из основных разделов математики, который включает создание, обоснование алгоритмов и их применение при решении задач в различных областях науки, техники и социально-экономической практике, в том числе в области строительства.  
Цель данного пособия – формирование системы компетенций для 
решения профессиональных задач студентами магистратуры направления 08.04.01 «Строительство» с применением методов прикладной математики и средств компьютерного моделирования. Целью изучения дисциплины «Прикладная математика» является изучение методов построения и анализа математических моделей, формирование у студентов магистратуры математической культуры, необходимой для успешного решения в будущем профессиональных и общественных задач, общих знаний и умений в областях теории вероятностей, математической статистики, теории надежности, математического моделирования.  
Содержание учебного пособия построено на материалах различных литературных источников и авторских разработках по прикладной 
математике. В результате изучения дисциплины студент магистратуры 
должен: выработать способность к использованию основных законов 
естествознания в сфере своей деятельности, готовность к участию в решении профессиональных задач, знать учебный материал, решать задачи на основе стандартных алгоритмов решения, овладеть навыками 
компьютерного моделирования и решения усложненных математических задач.  

1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕКОТОРЫХ
ВАЖНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1.1. Случайные величины. Основные законы распределения 
случайных величин

1.1.1. Случайные величины. Основные понятия

Вероятностно-статистические методы широко применяются при 
решении целого ряда технических задач. В настоящее время является 
общепризнанным, что поведение реальных конструкций обусловлено 
взаимодействием ряда факторов случайной (стохастической) природы. 
Поэтому обоснованный подход к определению надежности и долговечности конструкций возможен только с позиций вероятностного подхода. Так, например, вероятностная природа нагрузок и характеристик 
материалов СНиПом заложена в коэффициентах надежности и коэффициенте сочетаний (коэффициент сочетаний указывает, что одновременное достижение всеми нагрузками их наибольших значений допускается с определенной степенью вероятности).
Случайная величина (с.в.), являясь фундаментальным понятием теории вероятностей, широко используется в ее приложениях. 
Понятие случайной величины тесно связано с понятием случайного события. Если случайное событие – это качественная характеристика 
результата опыта со случайными исходами, то количественной характеристикой такого опыта является случайная величина.
Определение. Случайной величиной (с.в.) называют величину, 
которая в результате испытания принимает одно из возможных значений, 
наперед не известное и зависящее от случайных причин (случайных факторов), которые заранее не могут быть учтены.
Более строгое (научное) определение случайной величины звучит
так.
Определение. Случайной величиной (с.в.) называется функция 
X, определенная на некотором множестве элементарных событий
Ω.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин 
обозначаются соответствующими малыми буквами:
X x1, x2 , , xn ; Y y1, y2 , , yn и т.д.

Пример 1.1.
А. Х  кол-во попаданий в мишень при 6 выстрелах – с.в.
Х 0,1, 2, 3, 4, 5, 6.
Б. Х – размер изготавливаемой на станке детали от 15 до 20 см –
с.в. X x15; 20.
В. Х – скорость движения автомобиля на участке дороги от 60 до
80 км/ч – с.в. Х x60; 80.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Определение. Дискретной (д.с.в.) называют случайную величину, которая принимает конечное или бесконечное счетное число значений с определёнными вероятностями.
Пример 1.2. Количество зданий, разрушенных в результате землетрясения; количество бракованных деталей на станке; количество автомобилей, пересекающих перекресток, за данный промежуток времени и т.д.
Определение. Непрерывной (н.с.в.) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного 
или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Пример 1.3. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле 
из орудия, есть случайная величина, которая могла принять любое из 
значений промежутка; длительность работы прибора до отказа; размер 
детали, изготавливаемой на станке; ошибка измерения и т.д.
Для общего описания случайных величин используется закон 
распределения – всякое соотношение (таблица, формула, функция, 
график и т.д.), устанавливающее связь между значениями случайной 
величины и вероятностями этих значений.
Способы и формы представления закона распределения случайной величины различны. Чаще всего в задачах в качестве законов распределения с.в. Х выступают: ряд распределения (для д.с.в.), функция распределения (для д.с.в. и н.с.в.), плотность распределения 
(для н.с.в.).
Определение. Законом распределения (рядом распределения) 
дискретной случайной величины Х называют перечень возможных значений с.в. X x1;x2; ;xn;
и вероятностей этих значений:
pi  PX  xi, i 1,2,  ,n,  .
Закон распределения д.с.в. Х записывается в виде таблицы 
(табл. 1.1 А, Б)

Таблица 1.1 
Закон распределения д.с.в. Х 

А) для случая, когда с.в. Х принимает конечное число значений: 

Х
1x
2x
…
nx

P
1p
2
p
…
n
p




n

i
ip
1
1

Б) д.с.в. Х принимает бесконечное счетное число значений: 

Х
1x
2x
…
nx
…

P
1p
…
n
p
…




1
1
i
ip

Д.с.в. Х может быть также задана многоугольником распределения (графический способ задания д.с.в. Х). 
В прямоугольной системе координат строят точки 

i
i p
x ,
, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную ломаную называют 
многоугольником распределения (рис. 1.1). 

Рис. 1.1. Многоугольник распределения 

Определение. Функцией распределения с.в. Х называется 
функция 
 
x
F
, которая для любого значения 
 равна вероятности
события: 

x
Х 
. Таким образом, по определению

 


x
X
P
x
F


 .                                   (1.1)
Геометрический смысл 
 
x
F
 (рис. 1.2): 
 
x
F
 есть вероятность 
того, что с.в. Х примет значение, которое на числовой оси изображается 

2
p

R
x

точкой, лежащей левее точки х, т.е. случайная точка Х попадет в интервал 

х
;


.

Рис. 1.2. Геометрический смысл  
x
F

Свойства  
x
F
:
1.
  1
0


x
F
 для любого 







;
x
.
2.
 
x
F
  неубывающая функция для любого 







;
x
. То
есть, если 
1
2
x
x 
, то 

 
1
2
x
F
x
F

. 
3.



 1
;0






F
F
.
4.






 
 
a
F
b
F
b
X
a
P
b
a
X
P






,
.
5.
 
x
F
 непрерывна слева. То есть
 


0
0
lim
0
x
F
x
F
x
x




. 

Определение. Плотностью распределения вероятностей с.в. Х 
(плотностью распределения, плотностью вероятностей, плотностью) 
называется производная ее функции распределения 

 
 
x
F
x
f


.
 (1.2) 
Плотность распределения является важнейшей характеристикой 
непрерывной случайной величины Х. Обозначается плотность распределения чаще всего как  
x
f
 или  
x
p
.
Свойства функции плотности следуют из ее определения. Перечислим основные из них. 
Свойства  
x
f
:
1.
 
0

x
f
 для любого 







;
x
.

2.


 




b

a
dx
x
f
b
X
a
P
. 

Геометрический смысл формулы 

 




b

a
dx
x
f
b
X
a
P
 заклю
чается в том, что вероятность события 




b
a
X
,

 равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой плотности распределения 
 
x
f
, снизу осью Ох, слева и справа прямыми 
a
x 
 и 
b
x 

(рис. 1.3). 

Рис. 1.3. Геометрический смысл свойства 
2 плотности распределения 

Опираясь на свойство 2, можно доказать, что: 

а) 



 
0







C

C
dx
x
f
C
X
C
P
C
X
P
; 

б) 





 










b

a
dx
x
f
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
. 

3.
 
 





x
dx
x
f
x
F
. 

4.
 
1








f x dx
.

Для описания какой-либо особенности случайной величины или
системы случайных величин служат числовые характеристики  числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с.в. Это математическое ожидание 
MX, дисперсия DX , среднее квадратическое отклонение X ,
мода M0 X , медиана MeX , асимметрия Ax и эксцесс Ex (соответственно, «симметрия» и «островершинность») и т.д.
1. Математическим ожиданием (МХ) (средним значением) случайной величины X называется число, равное

 



n

i
i
i p
x
МХ
1

 или 





1
i

МХ 
xi pi , для д.с.в. Х, 
(1.3) 

где xi  все возможные значения д.с.в. Х и pi  PX  xi, i 1, ... n,
или i 1, ... n, ...   соответствующие вероятности этих значений;

MX   x  f



xdx


, для н.с.в. Х,  
  (1.4)

где 
)
(x
f
 – плотность распределения вероятности случайной величины 
н.с.в. Х. 

Свойства МХ:
1. MC  C, где C  const.

2. MCX  C  MX.

3. MX  Y  )MX  MY.
4. MX  MX   0.
5. Если с.в. X  и с.в. Y  независимы, то MX Y MX  MY
2. Дисперсия (DX) случайной величины Х (рассеяние) – математическое ожидание квадрата отклонения с.в. Х от ее математического 
ожидания.
DX  MX  MX2 .
 (1.5) 
На практике для расчетов чаще используют формулу
DX  MХ 2  MX2 ,
(1.6)
где

 

























н.с.в.Х
для
,

д.с.в.Х
для
,

2

)
(

1

2

2

dx
x
f
x

p
x
MХ

n

i
i
i

  (1.7) 

Дисперсия характеризует стабильность результатов измерения 
значений с.в. Х. Например, чем меньше дисперсия, тем более тесно 
группируются результаты конкретных испытаний относительно математического ожидания.
Свойства DХ:
1. DC  0, где C  const.

2. DCX   C2DX .

3. DX  Y   DX  DY.

4. DC  X   DX.
5. Если с.в. X  и с.в. Y  независимы, то
DX Y  MX 2  MY 2 MX2 MY2 
.
3. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение, стандарт) (Х) случайной величины Х – квадратный корень из 
дисперсии с.в.Х.
Х 
DX . 
(1.8)

DX имеет размерность квадрата с.в. Х, что не всегда удобно в 
сравнительных целях. Среднее квадратическое отклонение несет тот 
же смысл, что и дисперсия, но размерность Х та же, что и у с.в. Х. 
Свойства Х (следуют из свойств дисперсии): 
1.
0

C

, где 
const
C 

2. 


X
C
CX




3.


X
X
C





4. Модой 

X
M o
 случайной величины Х называют ее наиболее 
вероятное значение (для д.с.в. Х), и значение, которому соответствует 
максимум плотности вероятности (для н.с.в. Х) (рис. 1.4 а, б). 

а
б

Рис. 1.4. Геометрический смысл моды с.в. Х:

а – для д.с.в. Х; б – для н.с.в. Х

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 1.5). 

Рис. 1.5. Полимодальное распределение с.в. Х 

5. Медианой 

X
M е
 случайной величины Х называется такое ее 
значение х, для которого 




2
1




х
X
P
х
X
P
, то есть корень
уравнения  
2
1

х
F
 (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Геометрический смысл медианы н.с.в. Х 

MX, 
X
M е
, 
X
M o
 характеризуют центр распределения с.в. Х. 
6. Начальным моментом k-го порядка случайной величины X

называется математическое ожидание случайной величины 
k
X . 







n

i
i
k
i
k
k
p
x
MX
1

  для д.с.в. Х и 









dx
x
f
x
MX
k
k
k
)
(

  для н.с.в. Х. 

Так, например, математическое ожидание случайной величины 
X является начальным моментом первого порядка случайной величины 
X: 







n

i
i
i
p
x
MX
1
1

  для д.с.в. Х и 









dx
x
f
x
MX
)
(
1

  для н.с.в. Х. 

7. Центральным моментом k-го порядка называется начальный
момент k-го порядка случайной величины Х: 










n

i
i
k
i
k
k
p
MX
x
X
M
1
)
(

  для д.с.в. и 

 











dx
x
f
МХ
x
X
M
k
k
k
)
(

  для н.с.в. 

Так, например, дисперсия случайной величины X является центральным моментом второго порядка случайной величины X.