Численные методы в техническом вузе

УДК 519.6 
ББК 22.193 

В31

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от 
информации, причиняющей вред их здоровью и 
развитию» данная продукция маркировке не подлежит.

Рецензент канд. техн. наук, доц. Ю.И. Привалова (СибАДИ, г. Омск, Россия)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебно-методического пособия. 

В31

Веремчук, Наталья Сергеевна.
Численные методы в техническом вузе : учебно-методическое пособие / 
Н.С.Веремчук.  – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2022. – 1 электрон. опт. диск           
(DVD-R). – Загл. с этикетки диска.

ISBN 978-5-00113-191-5.

Содержит сведения о численных методах, необходимых при решении 
прикладных инженерных задач. Включены теоретический материал, примеры, 
задания для самостоятельного решения, контрольные вопросы по каждому из 
разделов.  
Рекомендуется 
для 
выполнения 
лабораторных 
работ 
по 
дисциплинам 
«Математическое моделирование и численные методы решения инженерных задач», 
«Современные численные методы и пакеты прикладных программ». 
Предназначено для обучающихся направлений подготовки 09.03.03, 20.03.01, 
08.04.01, 09.04.01, 08.05.02, 09.06.01 всех форм обучения. 
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Подготовлено на кафедре «Прикладная информатика». 

Текстовое (символьное) издание (2,35 Мб )

Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista 7; DVD-ROM;
1Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения  pdf-файлов: 
Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader 

Редактор Н.И. Косенкова 
Техническая подготовка Л.Р. Усачева 

Издание первое. Дата подписания к использованию 18.07.2022

Тираж 50 экз.

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1 

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 

~ 3 ~ 

Введение 

Численные методы (вычислительные методы, методы вычислений) – 
раздел вычислительной математики, изучающий приближенные способы 
решения типовых математических задач, которые либо не решаются, либо 
трудно решаются точными аналитическими методами (вычислительная 
математика в узком смысле) [1, 2, 3, 4, 5]. Примерами типовых задач 
являются численное решение уравнений, численные дифференцирование 
и интегрирование и др. Кроме численных методов, к вычислительной 
математике относят круг вопросов, связанных с использованием 
компьютеров и с программированием. Деление методов вычислений на 
аналитические и численные несколько условно. 
Пример 1. При аналитическом решении квадратного уравнения 

2
0
ax
bx
c



 по известной формуле 

2

1,2
4
2
b
b
ac
x
a
 


 в ответ входит 

корень. Если он не извлекается точно (подкоренное выражение не 
является точным квадратом некоторого числа), то для получения 
численного 
значения 
корней 
потребуется 
численная 
процедура 
приближенного вычисления корня. 
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка с 
разделяющимися переменными  

sin
dy
ax
y
dx
x

. 

Оно решается аналитически 

0

sin
( )

x
at dt
t
y x
Ce


, 
но интеграл неберущийся, и вычислять его придется численно. 
Итак, даже в тех случаях, когда можно далеко продвинуться в 
аналитическом решении задачи, не исключено применение на каком-либо 
этапе численных методов для получения ответа в практически удобном 
виде. 
Часто аналитические методы называют точными, а численные – 
приближенными. 
Приведенные 
примеры 
показывают, 
что 
и 
аналитические методы могут приводить к приближенному результату. 
Кроме того, аналитические методы часто бывают приближенными по 
существу, 
оставаясь 
аналитическими, 
например, 
когда 
функция 
заменяется первыми слагаемыми ее ряда Тейлора. 

~ 4 ~ 

Глава 1. ПОГРЕШНОСТИ 

1.1. Классификация погрешностей 

Поскольку 
численные 
методы 
предназначены 
для 
отыскания 
приближенного решения задач, не решаемых точными методами, такому 
решению всегда свойственна некоторая погрешность [1, 2, 3]. Рассмотрим 
источники погрешности. 
1) Погрешность модели. Природа слишком сложна и многообразна,
чтобы пытаться изучать ее во всей полноте присущих ей в том числе и 
малозначимых взаимосвязей. Любая (естественная) наука изучает не 
природу непосредственно, а те модели, которые создаются самой наукой 
для описания природных явлений. Модель – это идеализированное 
описание явления, в котором выявлены основные и игнорируются 
второстепенные свойства явления. Хорошая модель – это верный шарж, 
меткая 
карикатура 
на 
изучаемое 
явление. 
Естественно, 
что 
моделирование, сопровождаемое огрублением и упрощением, вносит 
погрешность в результат описания явления. Математическая модель 
создается на языке математики, но оценка погрешности математической 
модели есть прерогатива не математики, а той науки, в рамках которой 
изучается явление. 
2) Погрешность исходных данных. Как правило, математическая
модель содержит некоторые параметры, зависящие от исходных данных. 
Поскольку последние определяются обычно из экспериментов, неизбежно 
сопровождаемых ошибками измерений, возникает погрешность исходных 
данных. 
Погрешности 
в 
решении, 
обусловленные 
моделированием 
и 
исходными данными, называются неустранимыми. Они не зависят от 
математики 
и 
присутствуют, 
даже 
если 
решение 
поставленной 
математической задачи найдено точно. 
3) Погрешность метода. После того как математическая модель
создана, вычисления в рамках модели обычно можно выполнять по-
разному. Сложная математическая задача заменяется более простой. 
Например, вычисление определенного интеграла заменяется вычислением 
интегральной суммы. При этом неизбежно возникает погрешность метода 
вычислений, которой в дальнейшем мы будем уделять большое внимание 
при рассмотрении конкретных численных методов. 
4) Погрешность округления. Любые расчеты, выполняемые как
вручную, так и с помощью вычислительной техники производятся с 
конечным числом цифр, поэтому приходится прибегать к округлению 
промежуточных и окончательного ответа. Так возникает погрешность 

~ 5 ~ 

округления, которая может накапливаться в ходе вычислений (опасный 
процесс, способный обесценить результат вычислений!). 
Даже те результаты, которые получены точными аналитическими 
методами, 
испытывают 
влияние 
погрешности 
округлений 
и 
в 
действительности могут оказаться приближенными. Полная погрешность 
является результатом взаимодействия разных видов погрешностей и не 
может быть меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей. 

1.2. Абсолютная и относительная погрешности 

Для 
оценки 
погрешности 
вводятся 
понятия 
абсолютной 
и 
относительной погрешности. 
Пусть х – точное значение некоторой величины (нам оно неизвестно и 
никогда не будет известно, поскольку определяется с помощью 
измерений, страдающих неточностями); а – приближенное значение той 
же величины (а ≈ х). Абсолютная погрешность приближенного числа а 
определяется как 
|
|
a
x
a
 

. Но поскольку х неизвестно, то и 
абсолютную погрешность мы узнать не можем! Чтобы разрешить 
парадокс, вводят предельную абсолютную погрешность 

*
a
  – такое 
значение, которое абсолютная погрешность заведомо не превзойдет при 
данном способе измерений 

*
|
|
a
x
a

  . 
 (1) 
Из выражения (1) следует, что 

*
*
a
a
a
x
a
  

  , поэтому желательно 
возможно меньшее значение 

*
a
  – это уменьшит длину интервала, 
содержащего 
искомое 
значение 
х 
и, 
следовательно, 
понизит 
неопределенность в наших знаниях об этой величине. 
В технике формулу (1) часто записывают в виде 

*
a
x
a

  , причем 

*
a


называется допусками. Никакое изделие не может быть изготовлено с 
абсолютно точным соблюдением номинальных размеров, допуски 
показывают возможные (допустимые) отклонения от номинала. Итак, 
абсолютная погрешность оценивает точность измерений, но эта оценка 
неполна, поскольку не учитывает характерный размер изучаемого явления 
(объекта). Так, например, абсолютная погрешность в 1 см при измерении 
длины комнаты – вероятно, вполне приемлемая точность, но при 
измерении 
роста 
человека 
эта 
же 
погрешность 
будет 
сочтена 
непозволительно грубой. 
Более информативным показателем качества измерений является 
относительная погрешность 
a
  (соответственно предельная относительная 

погрешность 

*
a
 ) приближенного числа а как отношение абсолютной 
погрешности (предельной абсолютной погрешности) к модулю числа а: 

~ 6 ~ 

|
|

a
a
a



,  

*
*
|
|

a
a
a



. 

Относительная погрешность является величиной безразмерной, т. е. 
не зависит от выбора системы единиц измерения, что позволяет 
сравнивать качество измерений разнородных величин (бессмысленным 
является вопрос о том, что больше: 1 кг или 1 м, но сравнение качества 
измерений массы и длины в терминах относительной погрешности вполне 
допустимо). Измеряется 
a
  (

*
a
 ) в долях единицы или в процентах. 
Пример 1. Согласно определениям международного Комитета по 
константам для науки и технологии входящая в закон всемирного 
тяготения гравитационная постоянная 

 = (6,67259 ± 0,00085)∙10-11 м3∙кг–1∙с–2, 
а заряд электрона 
e = (1,60217733 ± 0,00000049)∙10-19 Кл. 
Сравнить точность определения этих фундаментальных физических 
постоянных. 
Решение. Для гравитационной постоянной предельная относительная 
погрешность 

*
4
0,00085
1,27 10
6,67259





, 

а для заряда электрона 

*
7
0,00000049
3,1 10
6,60217733
e





. 

Таким образом, в последнем случае относительная погрешность 
оказывается на три порядка меньшей, т. е. заряд электрона определен 
существенно точнее , чем гравитационная постоянная. 
С понятиями абсолютной и относительной погрешности связаны 
понятия верных и значащих цифр. 
Если абсолютная погрешность приближенного числа не превышает 
единицы последнего (самого правого) разряда его десятичной записи, то 
цифры числа называют верными (или точными). 
По умолчанию десятичная запись приближенного числа должна 
содержать только верные цифры, и тогда по записи числа сразу можно 
узнать предельную абсолютную погрешность, с которой оно известно. 
Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительными. 
Пример 2. Даны приближенные числа а = 8,6, b = 8,60, c = 3200, 
d = 3,2∙103. Указать предельную абсолютную погрешность для 
каждого числа. 
Решение. Для числа а погрешность 

*
0,1,
a
 
 для числа b 

*
0,01,
b
 

для числа с 

*
1,
c
 
 для числа d 

*
3
0,1 10
100.
d
 


 

~ 7 ~ 

Итак, числа а и b, с и d, равные с точки зрения обычной математики, 
существенно различны в вычислительной математике: из абсолютной 
погрешности мы заключаем, что число b известно точнее, чем число а, а 
число с — точнее, чем d. Кроме того, нуль, стоящий справа в дробной 
части десятичного числа, важен, и им нельзя пренебрегать, если мы хотим 
составить верное суждение о точности числа. 
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры 
его десятичной записи, кроме нулей, находящихся левее первой отличной 
от нуля цифры. 
Пример 3. Числа 0,001307 и 6,0400 имеют соответственно четыре и 
пять значащих цифр. Итак, нули, находящиеся слева, значащими не 
являются, а нуль, записанный в конце десятичной дроби, всегда является 
значащей цифрой. 

1.3. Действия с приближенными числами 

Теорема 
1. 
Абсолютная 
погрешность 
алгебраической 
суммы 
нескольких приближенных чисел не превышает суммы абсолютных 
погрешностей этих чисел. 
В частности, для суммы двух чисел а и b любого знака получаем 

a b
a
b


    . 
Из 
этой 
теоремы 
следует, 
что 
абсолютная 
погрешность 
алгебраической суммы не меньше абсолютной погрешности наименее 
точного из слагаемых, т. е. увеличение точности за счет других слагаемых 
невозможно. Поэтому бессмысленно сохранять излишние десятичные 
знаки в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее. 

Правило сложения и вычитания приближенных чисел: 
1) выделить наименее точное число (или числа), т. е. такое, в
десятичной записи которого наименьшее число верных десятичных 
знаков; 
2) округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало на
один (запасной) знак больше, чем выделенное число; 
3) выполнить сложение и вычитание с учетом сохраненных знаков;
4) полученный результат округлить до предпоследнего знака.
Напомним правила округления числа, т. е. его замены числом с 
меньшим количеством значащих цифр: 
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые
десятичные знаки оставляют без изменения; 
2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний из
сохраняемых знаков увеличивают на 1; 

~ 8 ~ 

3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих за
ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков 
увеличивают на 1; 
4) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все последующие –
нули, то последний из сохраняемых десятичных знаков увеличивают на 1, 
когда он нечетен, и сохраняют неизменным, когда он четен (правило 
четной цифры). 
Пример 4. Округляя число 53,471 до одного знака после запятой, 
получим 53,5 (правило 2), а при округлении до двух знаков после запятой 
получим 53,47 (правило 1). Округляя число 7,825001 до трех знаков после 
запятой, получим 7,825 (правило 3). Округляя число 8,465 до сотых долей, 
получим 8,46; сохраняемая цифра не увеличивается на единицу, 
поскольку она четна. При округлении числа 8,475 до сотых долей 
получим 8,48 – нечетная цифра увеличилась на единицу (правило 4). 
Смысл правила 4 в том, что при многочисленных округлениях 
избыточные числа будут встречаться примерно с той же частотой, что и 
недостаточные, 
и 
произойдет 
частичная 
взаимная 
компенсация 
погрешностей округления; результат окажется более точным. 
Теперь 
проиллюстрируем 
правило 
сложения 
и 
вычитания 
приближенных чисел. 
Пример 5. Найти сумму приближенных чисел а = 414,8, b = 0,025, 
c =24,17, d = 0,000326. По умолчанию все цифры в этих числах считать 
верными. 
Решение. Наименее точное слагаемое – а, поскольку в нем только 
один верный десятичный знак. Округлим остальные слагаемые до двух 
знаков после запятой: b→0,02, c→24,17, d→0,00. Теперь сложим 
округленные числа: 414,8 + 0,02 + 24,17 + 0,00 = 438,99. Округляя 
результат до одного знака после запятой, получим окончательный ответ: 
439,0. 
Теорема 2. Относительная погрешность произведения (частного) 
приближенных чисел не превышает суммы относительных погрешностей 
этих чисел. 
В частности, для трех чисел 
/
ab c
a
b
c







. 
Из теоремы следует, что относительная погрешность произведения и 
частного не может быть меньше относительной погрешности наименее 
точного из исходных чисел (т. е. имеющего меньше всего верных 
значащих 
цифр). 
Поскольку 
относительная 
погрешность 
числа 
определяется количеством его верных значащих цифр, то при умножении 
и делении бессмысленно оставлять значащих цифр больше, чем их было в 
исходном числе с наименьшим количеством верных значащих цифр. 
Отсюда вытекает следующее правило. 

~ 9 ~ 

Правило умножения и деления приближенных чисел: 
1) из всех чисел, которые предстоит умножать и делить, выделить
наименее точное – то, в котором меньше всего верных значащих цифр; 
2) округлить остальные числа так, чтобы каждое из них содержало на
одну (запасную) значащую цифру больше, чем выделенное число; 
3) выполнить умножение и деление округленных чисел с учетом
сохраненных значащих цифр; 
4) оставить в ответе столько значащих цифр, сколько их было в
наименее точном числе. 
Пример 6. Найти произведение приближенных чисел а = 3,5 и 
b =83,368, все цифры которых верные. 
Решение. В первом числе две верные значащие цифры, а во втором – 
пять. Второе число округлим до трех значащих цифр: b→83,4. 
После округления перемножим числа: a∙b = 3,5∙83,4 = 291,9 ≈ 2,9∙102. 
В ответе оставлены две значащие цифры – столько, сколько их было 
во множителе с наименьшим количеством верных значащих цифр. 

~ 10 ~ 

Лабораторная работа № 1 

Погрешности. Действия с приближенными числами 

Задание 
а) Определить, какое равенство точнее. 
б) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки. 
Определить абсолютную погрешность результата. 
в) Найти предельные абсолютную и относительную погрешности 
приближенного числа, все цифры которого по умолчанию верные. 
Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы. 
Варианты 
1. а) 14/17 = 0,824, 53  = 7,28; б) 23,3749, δ = 0,23 %; в) 0,644.
2. а) 7/3 = 2,33, 58 = 7,62; б) 13,5727 ± 0,0072; в) 4,8556.
3. а) 27/31 = 0,871, 
42  = 6,48; б) 0,088758, δ = 0,56 %; в) 71,385.
4. а) 23/9 = 2,56, 87  = 9,33; б) 4,57639 ± 0,00042; в) 6,8346.
5. а) 6/7 = 0,857, 41 = 6,40; б) 46,7848, δ = 0,32 %; в) 7,38.
6. а) 12/7 =1,71, 
47  = 6,86; б) 0,38726 ± 0,00112; в) 0,00646.
7. а) 21/13 =1,62, 63 = 7,94; б) 45,7834, δ = 0,18 %; в) 3,6765.
8. а) 21/13 =1,62, 63 = 7,94; б) 45,7834, δ = 0,2 %; в) 3,6764.
9. а) 18/7 = 2,57, 
22  = 4,69; б) 46,451, δ = 0,15 %; в) 6,125.
10. а) 17/9 =1,89, 17  = 4,12; б) 0,66383 ± 0,00042; в) 24,6.
11. а) 51/11 = 4,64, 35  = 5,92; б) 0,66384, δ = 0,34 %; в) 0,543.
12. а) 19/12 =1,58, 12  = 3,46; б) 4,88446 ± 0,00052; в) 4,633.
13. а) 13/7 =1,857, 7  = 2,65; б) 2,8861, δ = 0,43 %; в) 63,749.
14. а) 49/13 = 3,77, 14  = 3,74; б) 5,6477± 0,0017; в) 0,00858.
15. а) 5/3 =1,667, 38  = 6,16; б) 3,7541, δ = 0,32 %; в) 0,389.
16. а) 17/11 =1,545, 18  = 4,243; б) 0,8648 ± 0,0013; в) 0,864.
17. а) 7/22 = 0,318, 13  = 3,61; б) 0,3947, δ = 0,15 %; в) 21,7.
18. а) 13/17 = 0,765, 31 = 5,57; б) 3,6871 ± 0,0013; в) 8,74.
19. а) 50/19 = 2,63, 
27  = 5,20; б) 0,85628, δ = 0,22 %; в) 231,57.
20. а) 21/29 = 0,724, 
44 = 6,63; б) 13,6453± 0,0023; в) 2,16.
21. а) 16/11 =1,4545, 18  = 4,243; б) 0,8347 ± 0,0013; в) 0,864.
22. а) 7/23 = 0,304, 13  = 3,61; б) 0,3945, δ = 0,15 %; в) 21,7.
23. а) 15/17 = 0,8823, 31 = 5,57; б) 3,6876 ± 0,0013; в) 8,74.
24. а) 51/19 = 2,68, 
27  = 5,20; б) 0,85637, δ = 0,22 %; в) 231,57.
25. а) 22/29 = 0,758, 
44 = 6,63; б) 13,6853± 0,0024; в) 2,16.

~ 11 ~ 

а) 9/19 = 0,474, 
103 =10,149. Найдем значения этих выражений с 
бoльшим числом десятичных знаков: a = 9/19 = 0,47368..., b = 
103 = 
=10,14889... . Вычислим предельные абсолютные погрешности, округляя 
их с избытком:  

4
| 0,47368
0,474| 3,2 10
0,0004,
a

 





4
|10,14889 10,149| 1,1 10
0,0002.
b

 





Предельные относительные погрешности составляют 

4
0,0004
8 10
0,08
|
|
0,474

a
a
a





 

%, 

5
0,0002
2 10
0,002
|
|
10,149

b
b
b








%. 

Поскольку 
b
  много меньше, чем 
a
 , равенство 
103
10,149


является гораздо более точным. 
б) Пусть дано приближенное число c = 72,354 ± 0,021. Поскольку 
предельная абсолютная погрешность 
0,021
0,1
c
 

, число с придется 
округлить до десятых и окончательно, только с верными цифрами, его 
запишем в виде 72,4. 
Пусть приближенное число d = 5,272 известно с относительной 
погрешностью 
0,1
d
 
%. 
Поскольку 
|
|
5,272 0,001
0,005272
0,01
d
d
d 
 





, 
число 
d 
придется округлить до сотых и окончательно, только с верными цифрами, 
его запишем в виде 5,27. 
в) Пусть приближенное число f =14,278. Поскольку все его цифры 
верные, 
предельная 
абсолютная 
погрешность 
0,001
f
 
. 
Тогда 
предельная относительная погрешность 

5
4
0,001
7 10
10
0,01
|
|
14,278

f
f
f










%. 

Контрольные вопросы и задания 

1. Что такое погрешность?
2. Как классифицируют погрешности?
3. Сформулируйте определение абсолютной погрешности.
4. Сформулируйте определение относительной погрешности.
5. Перечислите основные действия с приближенными числами.
6. Сформулируйте правило сложения приближенных чисел.
7. Сформулируйте правило вычитания приближенных чисел.
8. Сформулируйте правило умножения приближенных чисел.
9. Сформулируйте правило деления приближенных чисел.

Образец выполнения лабораторной работы