Математика. Типовые расчеты. Часть первая

УДК 51:378
ББК  22.1:74.58

К21

Рецензенты:

канд. техн. наук, доц. С.А. Эмралиева (СибАДИ, г. Омск),
канд. техн. наук, доц. С.А. Зырянова (СибАДИ, г. Омск)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебно-методического пособия.

К21

Карасева, Римма Борисовна. 
Математика. Типовые расчеты. Часть первая : учебно-методическое пособие / Р.Б. Карасева. – Электрон. дан. – Омск : 
СибАДИ, 2022. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/MegaPro, для авторизованных пользователей. – Загл. с экрана. 

Содержит типовые расчеты по разделам: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в 

математический анализ», «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной», «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной». Состоит из семи
разделов, включает восемь типовых расчетов в соответствии с программой дисциплин «Математика» и «Высшая математика». Приводятся примеры решения типовых расчетов. Необходимый теоретический и справочный материал находится в разделе «Приложения».
Представлены вопросы и задания для самопроверки.

Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Может быть полезно обучающимся всех направлений и специальностей всех форм обучения.
Подготовлено на кафедре «Физика и математика».

Текстовое издание (369 КБ)

Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ; Windows XP/Vista/7; DVD-ROM;
1 ГБ свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов Adobe Acrobat Reader

Редактор И.Г. Кузнецова 
Техническая подготовка − Е.В. Садина 
Издание первое. Дата подписания к использованию 19.10.22
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022

Согласно   436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, 
причиняющей вред их здоровью и развитию» данная продукция  
маркировке не подлежит.

Введение

Важным фактором усвоения математики и овладения ее 

методами является самостоятельная работа студентов. Одной из форм 
ее активизации служит система типовых расчетов, входящих в 
программу 
дисциплин 
«Математика», 
«Высшая 
математика»

СибАДИ. 

В зависимости от программы дисциплины число типовых 

расчетов в одном семестре может варьироваться от одного до 
четырех-пяти. Обычно типовой расчет является заданием по одному 
разделу курса и состоит из теоретических вопросов и из задач,
примеров. Теоретические вопросы
являются общими для всех 

студентов, 
а 
задачи 
и 
примеры 
–
для 
каждого 
студента 

индивидуальные.

Выполнение типового расчета –
это комплексная работа, 

предполагающая не только рутинные действия при решении типовых 
задач, но и самостоятельное изучение теории, выполнение, возможно, 
небольшого исследования при решении нестандартных теоретических 
упражнений.

Учебно-методическое пособие «Математика. Типовые расчеты. 
Часть первая» содержит типовые расчеты по разделам: «Линейная 
алгебра», 
«Векторная 
алгебра», 
«Аналитическая 
геометрия», 
«Введение 
в 
математический 
анализ», 
«Дифференциальное 
исчисление 
функции 
одной 
действительной 
переменной», 
«Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», 
«Интегральное 
исчисление 
функции 
одной 
действительной 
переменной» и предназначено прежде всего для обучающихся 
технических направлений очной формы обучения.   
Тематика, 
содержание 
и 
методика 
изложения 
отвечают 
требованиям образовательных стандартов Министерства образования 
РФ третьего поколения. 
Учебно-методическое 
пособие 
содержит 
восемь 
типовых 
расчетов из 26-ти вариантов каждый. Каждый типовой расчет 
выполняется как результат изучения соответствующих разделов по 
программе дисциплин «Математика», «Высшая математика».  
Представлены также образцы выполнения всех типовых 
расчетов как способ решения и вариант оформления выполненных 
студентами работ. Необходимый теоретический материал приводится 
в приложениях. Кроме того, имеются теоретические вопросы по 
темам каждого типового расчета. 

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
 
1.1. Типовой расчет 
 
1. Сделать линейные преобразования, найти определитель. 
2. Выполнить действия над матрицами:   
E
B
A
A
T
2
−
⋅
⋅
. 
3. Решить систему методом Крамера. 
4. Решить систему методом Гаусса. 
5. Решить матричное уравнение. 
 

Вариант 1
Вариант 2

1. 

2
1
8
8

6
1
5
5

4
3
2
1

1
1
1
1
−

; 

 

2. 

















−

−

=

2
1
6

8
2
0

7
5
1

А
;       

 

















−
−
−
−
=
2
2
5
1
3
1
4
3
2
B
; 

 

3. 







=
−
−
=
−
+
=
+
−

;3
7
6
;2
;1
5
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

4. 







=
−
+
=
+
−
=
+
−

;5
6
;
12
3
;2
4
5

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

1. 

6
4
2
3

7
6
1
0

2
1
1
6

5
2
3
3

−
−
; 

 

2. 

















−
−
−
=
2
3
4
5
1
1
1
5
3
А
; 

       

















−

−
=
3
7
5
0
3
3
4
2
4
B
; 

 

3. 







=
−
−
=
−
+
=
+
−

;3
7
6
;2
;1
5
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

4. 







=
+
+
=
+
−
=
−
+

;8
4
2
6
;2
3
;7
7
4
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

5. 
















−
−
=















−

5
3
7
1
4
2
1
3
3

1
3
2
1
0
2
7
1
4
X
. 5. 

















−
−

−

=
















−
−
6
4
3
2
4
3

3
3
2

3
1
3
0
1
2

7
3
2

X
. 

 

Вариант 3
Вариант 4

1. 

8
4
1
3

7
22
2
4

8
11
7
6

2
2
3
3

−
−

−

; 

 

2. 

















−
−
−
−
=
2
1
1
2
6
2
1
3
4
А
;       

 

















−
−
−
−
−
=
3
1
1
0
4
3
4
6
8
B
; 

 

3. 







=
−
+
=
−
−
=
+
−

;3
2
3
4
;5
2
;1
4
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 
 

4. 







=
+
−
=
−
+
=
+
−

;3
6
2
;1
6
;8
6
4

y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 
















−
=















−
−

1
7
7
5
1
0
2
0
1

3
1
2
3
1
0
2
4
1
X
. 

1. 

1
2
5
6

0
3
1
2

1
3
4
1

1
2
3
3

−

−

−
; 

 

2. 
















−
−
−
=
2
6
3
5
2
2
1
3
0
А
;      

 

















−
−
−

−

=

2
1
1

1
6
2

7
1
1

B
;     

 

  3. 







−
=
−
−

=
−
+

=
−
−

;7
2
2

;2
4
3

;1
2

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

4. 







=
−
+
=
+
−
=
+
−

;2
4
3
;1
4
3
;4
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 
















=
















−

−

1
1
2

3
4
1

2
1
5

1
4
2

2
0
1

3
2
1

X
. 

 
 

Вариант 5

 

1. 

2
2
2
2

1
1
1
6

4
2
1
0

3
1
1
5

−

−

; 

 

2. 

















−
−
−
−
=
2
6
7
3
3
1
1
2
5
А
;       

 

















−

−
=
4
4
2
5
2
4
7
1
3
B
; 

 

3. 







=
−
+
−

=
−
+

=
+
+

;3
5
2

;1
2
2

;2
3
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

4. 







=
−
+

−
=
+
−

=
+
−

;3
5

;1
5
4

;2
3
4

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

5. 

















−
−
=















−
−

5
1
1
2
3
2
0
1
0

0
1
5
6
5
4
1
2
3
X
. 

 
Вариант 7 
 

1. 

12
5
1
1

2
1
1
1

1
3
1
2

1
3
1
2

−

−

−
−
; 

Вариант 6

 

1. 

6
1
1
3

4
1
2
2

4
4
5
2

2
1
3
2

−

−
−
−
; 

 

2. 

















−
−
−
=
1
5
1
5
3
2
2
4
4
А
;       

 

















−
−
−
−

=
3
4
1
5
2
3

1
5
3

B
; 

 

3. 







−
=
+
+

=
+
−

=
−
+

;7
3
3

;2
7
6

;5
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

4. 







=
−
+

=
+
−

=
+
−

;2
6

;8
5
3
2

;
11
4

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

5. 
















−
=















−
−

1
2
1
4
3
2
1
1
1

0
5
1
3
2
4
2
1
0
X
. 

 
Вариант 8 
 

1. 

1
1
1
1

2
2
2
2

3
3
3
3

1
1
2
2

−
−

−
−

; 

2. 

















−
−
−
−
=
1
6
5
3
1
3
5
4
4
А
;  

















−

−
=
3
4
4
0
6
3
7
1
7
B
; 

3. 







=
−
+
=
+
−
=
+
−

;5
4
;4
3
;2
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

4. 







−
=
−
+
=
+
−
=
−
+
−

;2
7
3
;2
2
3
;1
5

z
y
x
z
y
x
z
y
x

5. 
















−
=















−
7
1
0
0
6
3
1
2
1

1
6
2
3
0
1
1
5
6
X
. 

2. 
















−
−

−

=

1
3
1

8
1
2

1
4
0

А
;      

















−

−
=
1
1
4
3
3
1
7
1
2
B
; 

3. 







=
+
+
=
−
−
=
+
−

;8
3
3
;1
3
;2
6

z
y
x
z
y
x
z
y
x

4. 







=
+
+
=
−
−

=
+
−

;8
3
3
;1
3

;2
4
5

z
y
x
z
y
x

z
y
x

5. 
















−

−

=
















−
−
−
5
1
1
0
7
3

2
1
5

3
1
2
0
1
1

5
6
7

X
. 

Вариант 9
Вариант 10

1. 

3
5
2
1

7
3
1
1

1
4
3
3

6
5
2
2

−
−
−

−
−

; 

2. 
















−
−
=
2
5
2
1
1
4
3
2
4
А
;      

1. 

1
1
1
1

5
8
7
1

4
1
2
3

4
3
2
2

−
−
−
−

; 

2.

















−
−
−
=
2
3
4
5
1
1
1
5
3
А
;     
















−
−
=
0
4
2
5
2
4
7
1
3
B
; 

3. 







=
+
−
=
−
−
=
+
−

;1
5
4
;8
3
;5
3
2

z
y
x
z
y
x
z
y
x

4. 







=
−
=
+
−
=
−
+

;
11
;3
4
;2
3
4

y
x
z
y
x
z
y
x

5. 

















−
−
=
















−

−

3
7
7
6
2
5
4
2
3

8
1
3
1
2
4
3
2
2
X
. 
















−

−
−

=

0
3
2

1
2
4

7
3
2

B
; 

3. 







=
−
+
=
+
−
=
−
+

;8
3
3
;
11
2
;3
6
2
4

z
y
x
z
y
x
z
y
x

4. 







=
+
−

=
+
−

=
+
+

;1
8
2
3

;5
6

;2
3
3
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

5. 

















−

−
=
















−
−

−

2
3
2
4
8
3
4
1
2

5
1
6
3
3
2
3
4
1
X
. 

Вариант 11
Вариант 12

1. 

5
4
4
5

3
8
6
2

5
1
2
1

3
1
2
2

−

−
−
; 

2. 

















−

−
=
3
7
5
0
3
3
4
2
4
A
;     

















−
−
−
=
2
3
4
5
1
1
1
5
3
B
; 

1. 

2
4
4
4

2
2
1
1

3
3
6
3

1
2
1
2

−

−
−
; 

2. 
















−
−
=
2
1
4
3
0
1
7
9
3
А
; 

















−
−

−
−
=
7
2
5
6
3
5
2
5
1
B
; 

3. 







−
=
+
−
=
−
−
=
+
+

;1
12
6
;3
3
4
;
10
2
3
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

4. 







=
+
−
=
−
+
−
=
−
−

;0
8
3
3
;6
4
2
;5
3
2

z
y
x
z
y
x
z
y
x

5. 

















−
−
=
















−
−
−

7
4
2
3
1
9
8
7
3

2
1
3
2
4
3
8
3
2
X
. 

3. 







=
+
−
=
−
+

=
+
−

;0
8
;
12
4

;2
3

z
y
x
z
y
x

z
y
x

 

4. 







=
−
−
=
+
+
=
−
−

;8
5
2
;3
4
3
2
;1
5

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

5. 

















−

−

=
















−

−

−

1
2
6

4
3
3

1
3
2

6
1
3

7
1
4

2
6
5

X
. 

Вариант 13
Вариант 14

1. 

4
3
7
2
1
4
3
3
1
8
7
6
4
2
1
1

−
−
−
; 

2. 
















−
−
−
=
1
3
1
8
1
2
1
4
0
А
;      

















−

−
=
3
4
4
0
6
3
3
1
7
B
 ; 

3. 







=
+
+
=
−
−
=
+
+

;
12
6
4
3
;
11
4
;0
7
6
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

1. 

1
1
0
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1

−
−
−
−
; 

2. 
















−
=
6
6
5
2
4
1
3
1
2
A
;      

















−
−
−
−
=
3
3
7
7
2
3
1
1
1
B
; 

3. 







=
+
+
=
+
−
=
+
−

;2
2
;1
2
4
;2
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

4. 







=
−
+
=
+
+
=
−
−

;4
5
4
3
;7
8
;3
4

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 

















−

−
=















−

−

6
3
4
0
1
2

4
3
3

3
8
7
0
1
3
1
2
4
X
. 

4. 







=
+
+

=
+
−

=
−
+

;2
2

;1
2
4

;4
3
3

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

5. 

















−
−
−
=















−
−
2
1
3
8
3
2
1
3
2

4
2
0
1
1
3
8
6
5
X
. 

Вариант 15
Вариант 16

1. 

1
1
6
4

3
4
4
6

5
3
1
1

1
2
3
2
−

; 

 

2. 

















−
−
−
=
5
3
1
1
4
1
1
3
8
А
;         

 

















−

−
=
1
1
4
3
3
1
7
1
2
B
; 

 

3. 







=
−
−
=
−
+
=
+
+

;4
;0
5
3
3
;2
5
4
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

4. 







−
=
−
+
=
+
−
=
+
−

;8
6
4
;7
3
3
;5
4
2

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 

















−

−
=
















−

−

3
2
2
5
1
3
2
4
1

0
8
9
11
3
4
1
3
2
X
. 

1. 

1
2
1
2

1
1
3
3

1
1
1
1

1
1
2
2

−
−
−
; 

 

2. 
















−
=

1
2
6

3
2
3

1
2
5

А
;         

 

















−

−
=
1
1
4
2
0
7
7
3
2
B
; 

 

3. 







=
+
+
=
−
−
=
−
−

;8
;4
4
4
;3
3
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

4. 







=
+
+

=
−
+

=
−
+

;5

;3
3

;2
4

z
y
x

z
y
x

z
y
x

 

 

5. 
















−
=















−
2
13
7
8
6
2
3
4
1

4
2
3
7
4
3
1
2
1
X
. 

Вариант 17
Вариант 18

1. 

2
2
1
1

1
1
6
5

1
3
0
1

2
6
3
2

−
; 

 

2. 

















−

−
=
3
7
5
0
3
3
4
2
4
A
;        

 
















−
−
−
−
=
3
4
1

5
2
3
1
5
3
B
; 

 

3. 







=
−
+
=
−
=
−
+

;8
5
3
;6
;5
3

z
y
x
y
x
z
y
x

 

 

4. 







=
+
+
=
−
−
=
−
+

;1
4
;2
6
;8
5
3

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 
















−

=















−

−

4
2
3
8
4
2

3
3
3

2
1
4

3
2
3

6
1
2

X
. 

1. 

2
3
1
10

8
2
0
0

1
0
1
2

6
3
0
0

−
−

−

−
; 

 

2. 

















−
−
−
=
2
3
4
5
1
1
1
5
3
А
;     

 
















−
−

=

0
4
2

5
2
4

7
1
3

B
; 

 

3. 







−
=
−
+
=
+
−

=
+
+

;5
4
2
;2
3

;1
6
4
3

z
y
x
z
y
x

z
y
x

 

 

4. 







=
+
+
−
=
−
−
=
−
+

;2
;5
2
2
;8
6

z
y
x
z
y
x
z
y
x

 

 

5. 

















−

−

=
















4
7
3

0
3
2

4
3
1

8
6
4

4
1
2

1
3
2

X
. 

Вариант 19
Вариант 20

1. 

3
3
2
1

6
5
4
3

2
1
1
1

5
4
3
2

−

−
; 
1. 

2
7
1
8

7
6
1
2

3
3
4
5

2
2
1
1

−

−
−

;