Введение в математические основы САПР

¬‚‰ÂÌËÂ
‚ χÚÂχÚ˘ÂÒÍË ÓÒÌÓ‚˚ —¿œ–

(ÍÛÒ ÎÂ͈ËÈ)

Москва, 2023

Ушаков Д. М.

2-е издание, электронное

УДК 32.973.26-018.2
ББК 004.438
У93

У93
Ушаков, Дмитрий Михайлович.
Введение в математические основы САПР : курс лекций / Д. М. Ушаков. — 
2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 209 с. — Москва : ДМК Пресс, 2023. — 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-89818-592-3

Книга представляет собой краткое изложение курса лекций «Введение в математические 
основы САПР», организованного Новосибирским государственным 
университетом при поддержке компании ЛЕДАС. Лекции рассчитаны на 
студентов старших курсов, специализирующихся в области прикладной математики, 
информатики и информационных технологий. Излагаемый материал может 
быть полезен разработчикам САПР, ученым, инженерам, а также всем интересующимся 
современными тенденциями в области автоматизации промышленных 
процессов.

УДК 32.973.26-018.2 
ББК 004.438

Электронное издание на основе печатного издания: Введение в математические основы 
САПР : курс лекций / Д. М. Ушаков. — Москва : ДМК Пресс, 2015. — 208 с. — ISBN 978-
5-97060-278-2. — Текст : непосредственный.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было 
форме и какими бы то ни было средствами без  письменного разрешения владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических 
ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и 
правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство не несет ответственности за возможные 
ошибки, связанные с использованием книги.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами 
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

ISBN 978-5-89818-592-3
© Ушаков Д. М.
© Оформление, ДМК Пресс

Содержание

Введение ........................................................................... 10

Организатор курса.................................................................. 10
Целевая группа ....................................................................... 10
Цели курса .............................................................................. 11
Организация занятий.............................................................. 11
Структура курса ...................................................................... 11
Благодарности ....................................................................... 12

Лекций 1. Введение в САПР ....................................... 13

Классы САПР .......................................................................... 14
Автоматизация современного машиностроительного
предприятия ........................................................................... 14
Исторический обзор развития систем автоматизации
проектирования...................................................................... 16
Функциональность CADсистем .............................................. 22
Современные CADсистемы и их классификация ................... 25
Системы инженерного анализа (CAE) ..................................... 26
Системы технологической подготовки производства
(CAPP) .................................................................................... 27
Системы автоматизации производства (CAM) ........................ 28
Системы управления данными об изделии (PDM) ................... 28
Интегрированные пакеты управления жизненным циклом
изделия .................................................................................. 30
Вопросы для самоконтроля .................................................... 31
Дополнительная литература ................................................... 31

Лекция 2. Геометрическое моделирование ........ 33

Автоматизация черчения и геометрическое моделирование ... 34
Виды геометрического моделирования .................................. 35
Функции твердотельного моделирования .............................. 37
Декомпозиционные модели.................................................... 38
Конструктивные модели ......................................................... 39
Граничные модели .................................................................. 40
Корректность граничных моделей .......................................... 42

Введение в математические основы САПР

Пакеты геометрического моделирования
и их функциональность ........................................................... 43
Вопросы для самоконтроля .................................................... 44
Дополнительная литература ................................................... 44

Лекция 3. Базовые геометрические объекты ..... 45

Аффинное пространство и соглашение о нотации .................. 46
Способы задания аналитических кривых и поверхностей ....... 46
Изометрии аффинного пространства ..................................... 48
Матричное представление трансформации в аффинном
пространстве .......................................................................... 49
Однородные координаты ........................................................ 50
Углы Эйлера ........................................................................... 51
Экспоненциальное представление трансформации ............... 52
Вопросы для самоконтроля .................................................... 53
Дополнительная литература ................................................... 54

Лекция 4. Инженерные кривые и поверхности ... 55

Кусочные кривые и их гладкость ............................................. 56
Билинейный лоскут ................................................................. 56
Поверхности сдвига и вращения ............................................ 56
Линейчатая поверхность......................................................... 57
Лоскут Кунса ........................................................................... 57
Эрмитова кривая, бикубическая поверхность и лоскут
Фергюсона ............................................................................. 58
Кривые и поверхности Безье .................................................. 61
Алгоритм де Кастельжо .......................................................... 62
Bсплайны и Bсплайновые поверхности ................................ 63
Рациональные кривые и поверхности ..................................... 64
Интерполяционные кривые и поверхности ............................. 65
Вопросы для самоконтроля .................................................... 65
Дополнительная литература ................................................... 66

Лекция 5. Обмен геометрическими данными..... 67

Стандарты обмена геометрическими данными ...................... 68
Формат IGES ........................................................................... 68
Формат DXF ............................................................................ 70

Содержание
5

Формат STEP .......................................................................... 70
Мозаичные модели ................................................................. 71
Формат STL ............................................................................ 72
Формат VRML ......................................................................... 73
Поверхности подразделения .................................................. 73
Вопросы для самоконтроля .................................................... 79
Дополнительная литература ................................................... 79

Лекция 6. Вариационное моделирование:
алгебраический подход ............................................... 81

Параметры, ограничения и вариационные модели ................. 82
Создание эскизов и проектирование сборок .......................... 82
Задача размещения геометрических объектов
и ее характеристики ............................................................... 83
Вариационный геометрический решатель .............................. 84
Способы алгебраического моделирования
геометрической задачи .......................................................... 85
Метрический тензор геометрической задачи ......................... 86
Методы символьного упрощения систем алгебраических
уравнений ............................................................................... 87
Декомпозиция Далмеджа–Мендельсона ................................ 88
Метод Ньютона–Рафсона ....................................................... 89
Решение систем линейных уравнений .................................... 91
Методы координатного и градиентного спуска....................... 92
Вопросы для самоконтроля .................................................... 93
Дополнительная литература ................................................... 93

Лекция 7. Вариационное моделирование:
диагностика и декомпозиция задачи ..................... 95

Диагностика геометрических задач ........................................ 96
Методы упрощения геометрических задач ............................. 96
Определение и классификация методов декомпозиции ......... 97
Граф ограничений .................................................................. 97
Методы рекурсивного деления ............................................... 98
Методы рекурсивной сборки .................................................. 99
Формирование кластеров с помощью анализа графа
ограничений ......................................................................... 100

Введение в математические основы САПР

Формирование кластеров на основе шаблонов .................... 102
Эвристическое формирование псевдокластеров ................. 103
Распространение степеней свободы .................................... 103
Вопросы для самоконтроля .................................................. 103
Дополнительная литература ................................................. 104

Лекция 8. Инженерия знаний в САПР.................... 105

Параметрическое проектирование на основе
конструктивных элементов ................................................... 106
Инженерные параметры ....................................................... 108
Отношения базы знаний ....................................................... 109
Параметрическая оптимизация ............................................ 110
Экспертные знания
и продукционные системы .................................................... 112
Вопросы для самоконтроля .................................................. 113
Дополнительная литература ................................................. 114

Лекция 9. Методы поиска и оптимизации
решения ........................................................................... 115

Задачи удовлетворения ограничениям и оптимизации
в ограничениях в общей постановке, их связь ...................... 116
Классификация методов поиска и оптимизации решения .... 117
Метод координатного спуска ................................................ 118
Метод градиентного спуска .................................................. 118
Жадный алгоритм ................................................................. 119
Метод Ньютона ..................................................................... 119
Методы перебора ................................................................. 120
Методы редукции областей .................................................. 121
Метод ветвей и границ ......................................................... 123
Алгоритм модельной закалки ............................................... 124
Генетические алгоритмы ...................................................... 125
Вопросы для самоконтроля .................................................. 126
Дополнительная литература ................................................. 126

Лекция 10. Инженерный анализ кинематики .... 127

Прямая и обратная задачи кинематики механизмов ............. 128
Виды кинематических пар..................................................... 128

Содержание
7

Моделирование механизмов ................................................ 131
Геометрические измерения.................................................. 131
Моделирование задачи кинематики ..................................... 132
Дифференциальное уравнение движения ............................ 133
Натуральный градиент уравнения......................................... 134
Алгоритмы численного решения дифференциальных
уравнений ............................................................................. 135
Планирование движения....................................................... 136
Вопросы для самоконтроля .................................................. 137
Дополнительная литература ................................................. 138

Лекция 11. Инженерный анализ динамики ........ 139

Задача анализа динамики механизмов ................................. 140
Движение абсолютно твердого тела в трехмерном
пространстве ........................................................................ 140
Моделирование контакта тел................................................ 142
Альтернативный подход: уравнения Лагранжа...................... 143
Методы определения столкновений ..................................... 145
Алгоритмы широкой фазы .................................................... 145
Алгоритмы фазы сужения ..................................................... 147
Коммерческое программное обеспечение для симуляции
движения .............................................................................. 148
Вопросы для самоконтроля .................................................. 148
Дополнительная литература ................................................. 149

Лекция 12. Инженерный анализ методом
конечных элементов ................................................... 151

Конечноэлементный анализ ................................................ 152
Введение в метод конечных элементов ................................ 152
Анализ упругости тела .......................................................... 152
Тензор деформаций ............................................................. 153
Тензор напряжений .............................................................. 154
Обобщенный закон Гука, матрицы жесткости и упругости .... 155
Уравнение равновесия тела под нагрузкой ........................... 157
Применение МКЭ для расчета малых напряжений тела
под нагрузкой ....................................................................... 157
Другие приложения МКЭ ...................................................... 159
Типы конечных элементов .................................................... 159

Введение в математические основы САПР

Разбиения для МКЭ .............................................................. 160
Общая схема конечноэлементного анализа
в CAEсистемах ..................................................................... 161
Коммерческие пакеты конечноэлементного анализа .......... 162
Вопросы для самоконтроля .................................................. 162
Дополнительная литература ................................................. 164

Лекция 13. Автоматизация производства ......... 165

Архитектура станков с ЧПУ ................................................... 166
Принципы программирования для станков с ЧПУ ................. 167
Языки программирования высокого уровня для станков с ЧПУ .. 168
Генерация программ для станков с ЧПУ по CADмоделям .... 170
Быстрое прототипирование и изготовление ......................... 171
Виртуальная инженерия ....................................................... 173
Вопросы для самоконтроля .................................................. 173
Дополнительная литература ................................................. 174

Лекция 14. Технологическая подготовка
производства ................................................................. 175

Интеграция CAD и CAM ......................................................... 176
Задачи инженератехнолога ................................................. 176
Модифицированный подход к технологической подготовке .... 177
Групповая технология ........................................................... 178
Классификация и кодирование деталей ............................... 178
Генеративный подход к технологической подготовке ........... 180
Конструкторскотехнологические элементы......................... 181
Методы автоматического распознавания конструктивных
элементов............................................................................. 182
Пример автоматического распознавания КТЭ ...................... 185
Вопросы для самоконтроля .................................................. 185
Дополнительная литература ................................................. 186

Лекция 15. Управление данными
на протяжении жизненного цикла изделия........ 187

Системы управления данными об изделии ........................... 188
Цифровой макет изделия (DMU) и спецификация
материалов (BOM) ................................................................ 188

Содержание
9

Примеры PDMсистем .......................................................... 189
Программное обеспечение для организации
бизнеспроцессов ................................................................ 189
Из чего состоит PLM? ........................................................... 191
Интеграция PLM с системами управления отношениями
с заказчиками ....................................................................... 193
Интеграция PLM с системами управления цепочками
поставок ............................................................................... 194
Интеграция PLM с системами управления ресурсами
предприятия ......................................................................... 195
Практические подходы к интеграции систем PLM с CRM,
SCM и ERP ............................................................................ 197
Преимущества внедрения систем PLM ................................. 199
Вопросы для самоконтроля .................................................. 200
Дополнительная литература ................................................. 201

Краткий англорусский словарь аббревиатур
в области автоматизации проектирования
и производства ............................................................. 202

Список литературы ...................................................... 205

Введение

Настоящая книга представляет собой второе издание оригинального
одноименного курса лекций, который раз разработан автором для
обучения студентов профильных специальностей математическим и
информационным основам разработки систем автоматизации проектных работ и смежного программного обеспечения. Данный курс
читается автором с 2005 года в Новосибирском государственном
университете для студентовмагистрантов двух факультетов: механикоматематического и информационных технологий.

Организатор курса

Курс лекций был подготовлен автором при поддержке компании
ЛЕДАС, являющейся независимым производителем вычислительных программных компонентов для систем автоматизации проектирования и планирования. Компанией разработаны оригинальные
технологии, основанные на программировании в ограничениях (научная область на стыке вычислительной математики и комбинаторики), которые широко применяются при производстве собственных и
заказных программных продуктов, а также при оказании консультационных услуг. Среди клиентов ЛЕДАС – ведущие мировые и российские производители систем автоматизированного проектирования (CAD), систем подготовки производства (CAM), инженерного
анализа (CAE), управления жизненным циклом изделия (PLM),
а также проектного и ресурсного планирования.

Целевая группа

Курс ориентирован на студентов старших курсов университетов,
специализирующихся в области прикладной математики, информатики и информационных технологий. От слушателей требуются базовые знания линейной алгебры, аналитической геометрии, теории
графов, программирования. Для глубокого понимания излагаемого
материала полезно знакомство с вычислительными методами решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, а также
с алгоритмами из области исследования операций.

Введение
11

Цели курса

При составлении программы курса были приняты во внимание следующие цели:

познакомить студентов с математическими основами современных САПР (систем автоматизации проектных работ, подготовки производства, инженерного анализа, управления жизненным циклом изделия);
научить алгоритмам и методам, применяемым при решении
типичных задач автоматизации проектирования;
ввести в проблематику создания современных вычислительных компонентов для САПР;
подготовить студентов к участию в промышленной разработке
вычислительных модулей для САПР.

Организация занятий

Курс организован в виде еженедельных лекций (по два академических часа каждая), читаемых на протяжении одного семестра (всего
15 лекций). Возможна организация практикума на персональном
компьютере с использованием образовательных лицензий на один из
современных САПРпакетов. Студенты, успешно прослушавшие настоящий курс и подтвердившие свои знания на экзамене, могут рассчитывать на прохождение преддипломной практики и последующее
трудоустройство в софтверных компаниях, занимающихся производством наукоемкого программного обеспечения для автоматизации проектирования и планирования производства.

Структура курса

Курс состоит из пятнадцати лекций. Первая лекция посвящена обзору современного состояния программных систем, традиционно относимых к классу САПР. Следующие четыре лекции описывают геометрические основы систем автоматизированного проектирования.
Материал шестой и седьмой лекций содержит описание различных
алгоритмов, используемых при решении задач вариационного проектирования. Инженерные инструменты САПР и алгоритмы решения
соответствующих задач рассматриваются в восьмой и девятой лекци

Введение в математические основы САПР

ях. Десятая, одиннадцатая и двенадцатая лекции представляют математический аппарат систем инженерного анализа. Тринадцатая
описывает математический аппарат, используемый для работы со
станками ЧПУ, а четырнадцатая посвящена математическим основам систем технологической подготовки производства. Последняя,
пятнадцатая лекция посвящена системам интеграции данных об изделии, используемых на протяжении его жизненного цикла. В конце
каждой лекции приводится список вопросов для самоконтроля,
а также рекомендации по дополнительному чтению.

Благодарности

Идея издания настоящей книги принадлежит генеральному директору ЗАО ЛЕДАС Давиду Яковлевичу Левину, который также взял на
себя руководство процессом ее издания и поддерживал автора на
всех этапах подготовки текста. Корректура текста, осуществленная
Людмилой Александровной Каревой, позволила избежать многих
ошибок. Автор выражает благодарность своим коллегам, которые прочитали предварительные версии настоящего курса лекций и любезно
указали на пробелы и недостатки в его структуре и содержании. Автор
также признателен всем читателям настоящего текста за возможные
замечания, исправления, пожелания по излагаемому материалу, которые он с благодарностью примет по email ushakov@ledas.com.

Лекция 1

Классы САПР .................................... 14
Автоматизация современного
машиностроительного
предприятия ..................................... 14
Исторический обзор развития
систем автоматизации
проектирования ............................... 16
Функциональность CADсистем ....... 22
Современные CADсистемы
и их классификация .......................... 25
Системы инженерного анализа
(CAE) ................................................. 26
Системы технологической
подготовки производства (CAPP) ..... 27
Системы автоматизации
производства (CAM) ......................... 28
Системы управления данными
об изделии (PDM) ............................. 28
Интегрированные пакеты
управления жизненным циклом
изделия ............................................ 30
Вопросы для самоконтроля .............. 31
Дополнительная литература ............. 31

Введение в САПР

Лекция 1

Классы САПР

За русским термином САПР (Система Автоматизации Проектных
Работ) скрывается несколько классов программных систем, имеющих отношение к автоматизации труда инженеров, конструкторов и
технологов. Каждый из классов имеет устоявшуюся трехбуквенную
английскую аббревиатуру:
двумерное черчение и трехмерное геометрическое проектирование (CAD);
инженерный анализ (CAE);
технологическая подготовка производства (CAPP);
автоматизация производства (CAM);
управление данными об изделии (PDM);
управление жизненным циклом изделия (PLM).
Кроме того, к САПР относятся программы для автоматизации
труда архитекторов и строителей, топографов и геологов, которые,
однако, остаются за рамками данного курса. В фокусе нашего внимания будут «механические» САПР (MCAD), используемые машиностроительными предприятиями и конструкторскими бюро. Механические САПР являются одними из исторически первых программ
для ЭВМ, занимая в настоящее время около 3% мирового рынка программного обеспечения. Без систем САПР невозможно представить
себе ни одно современное производственное предприятие аэрокосмической, автомобильной, судостроительной, электронной и других
отраслей промышленности, включая производство потребительских
товаров.

Автоматизация современного
машиностроительного предприятия

Для четкого понимания излагаемых в рамках данного курса концепций автоматизации различных процессов, связанных с жизненным
циклом изделия, рассмотрим сначала типичную схему организации
производства современного машиностроительного предприятия.
Как правило, любое предприятие специализируется на производстве
конкретных типов изделий. У предприятия обязательно имеется отдел маркетинга, который проводит рыночные исследования, ведет
работу с потенциальными и реальными клиентами и добивается заключения контрактов на производство и поставку партии изделий.
Получив конкретный заказ, отдел маркетинга передает его главному

Введение в САПР
15

инженеру предприятия, который должен оценить, можно ли в принципе выполнить этот заказ на технологической базе предприятия.
Для этого он поручает конструкторскому отделу подготовить проект
изделия. В большинстве случаев инженерконструктор имеет дело
с проектированием изделия, которое конструктивно похоже на выполненные ранее работы (так как обычное предприятие специализируется на какомто одном типе изделий). Поэтому он сначала находит похожий проект среди работ, выполненных в конструкторском
отделе ранее, копирует его и вносит требуемые изменения, а затем
передает обратно главному инженеру. Далее проект попадает в технологический отдел, где осуществляется составление проектного
плана – последовательности операций, которые необходимо выполнить в цехах предприятия для производства изделия (обработки деталей и их сборки). Третий этап – проверка наличия на складе всех
необходимых комплектующих (заготовок или готовых деталей от
предприятийсмежников) и заказ недостающих частей при необходимости. Четвертый – собственно производство партии изделий, как
правило, связанное с изготовлением отдельных деталей на станках
и прессах (при использовании станков с числовым программным
управлением требуется их соответствующим образом перепрограммировать), а также сборка конечного изделия (при использовании
конвейерных линий с роботамисборщиками требуется переналадить
их на сборку модифицированного изделия). Пятый этап – контроль
качества, шестой – упаковка изделий; а завершается все поставкой
изделий заказчику, организацией их послепродажного обслуживания и – при необходимости – утилизацией.
Таким образом, любое современное производство, даже весьма
скромных объемов, требует наличия квалифицированного персонала,
выполняющего большое количество самых разных интеллектуальных операций, сопровождающихся значительным документооборотом.
Излишне говорить, что трудоемкость создания каждого документа
(как правило, это чертежи изделий и техническая документация к ним)
традиционными методами (с использованием чертежной доски –
кульмана) невероятно велика. В условиях усиливающейся конкуренции (связанной с постоянным ростом экономики, с открытием
рынков, с глобализацией в масштабах всей планеты) выживают только те предприятия, которые способны быстро и адекватно отвечать
на постоянное изменение рыночных условий, то есть минимизировать время выполнения любого заказа. Для помощи таким предприятиям и были разработаны интегрированные программные системы

Лекция 1

автоматизации, ускоряющие каждую область деятельности по отдельности и в то же время связывающие их между собой в рамках одной информационной системы предприятия.

Исторический обзор развития
систем автоматизации
проектирования

Развитие систем автоматизации проектирования происходило в тесном сотрудничестве научных лабораторий, военных ведомств и промышленных предприятий. История этого развития включала в себя
несколько ключевых событий, которые можно объединить по десятилетиям:

1950е годы. Создание станков
с числовым программным управлением (ЧПУ)
1952. В Массачусетском технологическом институте (Massachusetts Institute of Technology, MIT) создан первый фрезерный станок
с ЧПУ.
1957. Система PRONTO – первое коммерческое ПО для управления станками с ЧПУ.

1960е годы. Системы компьютерной графики
и системы автоматизации черчения
1963. Айван Сазерлэнд (Ivan Sutherland) из MIT создал программу SKETCHPAD, которая намного опередила свое время и теперь
считается первой системой автоматизации черчения (рис. 1).

Рис. 1

Введение в САПР
17

1964. Американские математики Фергюсон (J.C. Ferguson) из
Boeing и Кунс (Steven A. Coons) из MIT предлагают различные способы задания параметрических поверхностей, обладающих определенными геометрическими свойствами. Сотрудник General Motors
де Бур (C. de Boor) впервые использует для инженерных целей понятие Bсплайна, предложенное еще в 1948 г. Пару лет спустя французские математики Безье (Pierre Bйzier) и де Кастельжо (Paul de Casteljau), работающие на конкурирующие компании Rйnault и Citroлn,
независимо изобрели аппарат для построения инженерных кривых и
поверхностей по контрольным точкам, который лег в основу современного поверхностного моделирования.
1965. В Computer Laboratory Кембриджского университета создается CAD Group. Эта команда ученых, возглавляемая Чарльзом Лангом (Charles Lang), проводит исследования в области создания программных средств, лежащих в основе MCAD/CAM. Вскоре к CAD
Group присоединяется Ян Брэйд (Ian Braid), который разрабатывает
экспериментальную систему BUILD, систему геометрического моделирования на основе революционной для того времени технологии –
граничного представления (BRep).
1965. Ведущие машиностроительные корпорации (Lockheed и
McDonnell) создают первые коммерческие CAD/CAMсистемы,
а также системы анализа методом конечных элементов.
1967, 1969. Создание первых софтверных компаний, производящих САПР: американских SDRC и Computervision. Их продукты –
IDEAS и CADSS (а позднее и Windchill) на долгие годы становятся
стандартом САПР. Позднее обе компании были поглощены новыми
лидерами рынка – c 1998 г. Computervision принадлежит Parametric
Technology Corporation, а в 2002 г. SDRC была куплена EDS и объединена с Unigraphics.

1970е. Первые 3Dсистемы
1974. Ведущие участники CAD Group в Кембридже образуют
компанию Shape Data Ltd., которая начинает разработку коммерческого геометрического ядра ROMULUS (на языке Fortran), основанного на идеях, обкатанных в экспериментальном ядре BUILD.
Вскоре продается первая коммерческая лицензия на ROMULUS.
Покупатель – компания HP – использует ее для создания своей
CADсистемы ME30 (наследником которой является CoCreate OneSpace Modeler).
1974. Выступление американского художникадизайнера Чайкина (G. Chaikin) на конференции CAGD в университете Юты с пред