От математики к обобщенному программированию

От математики  
к обобщенному  
программированию

Александр А. Степанов, Дэниэл Э. Роуз

From Mathematics  
to Generic Programming

Alexander A. Stepanov, Daniel E. Rose

Upper Saddle River, NJ • Boston • Indianapolis • San Francisco
New York • Toronto • Montreal • London • Munich • Paris • Madrid
Capetown • Sydney • Tokyo • Singapore • Mexico City

От математики 
к обобщенному 
программированию

Москва, 2023

Александр А. Степанов, Дэниэл Э. Роуз

2-е издание, электронное

УДК 511+519.6
ББК 22.13+22.18+22.19
С79

С79
Cтепанов, Александр А.
От математики к обобщенному программированию / А. А. Степанов, Д. Роуз ; пер. 
с англ. А. А. Слинкина. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 266 с. — Москва : ДМК Пресс, 2023. — 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.

ISBN 978-5-89818-306-6

В этой основательной и вместе с тем доступной книге авторы объясняют принципы обобщенного программирования и стоящее за ними понятие математической абстракции.
Любой достаточно квалифицированный программист, умеющий логически мыслить, уже обладает достаточными знаниями для прочтения этой книги. Авторы на удивление доходчиво сообщают необходимые сведения из общей алгебры и теории чисел. Они объясняют, какие проблемы 
должны были разрешить математики, и показывают, как найденные ими решения переводятся на 
язык обобщенного программирования и позволяют создать эффективный и элегантный код.
Читая эту книгу, вы освоите мыслительный процесс, необходимый для правильного программирования, и научитесь обобщать найденные для частного алгоритмы с целью расширить область 
их полезного применения без потери эффективности. Вы также постигнете, в чем состоит ценность 
математики для программирования, — и это понимание пригодится вне зависимости от того, на 
каком языке вы пишете и какую парадигму применяете.

УДК 511+519.6 
ББК 22.13+22.18+22.19

Электронное издание на основе печатного издания: От математики к обобщенному программированию / 
А. А. Степанов, Д. Роуз ; пер. с англ. А. А. Слинкина. — Москва : ДМК Пресс, 2016. — 264 с. — ISBN 978-597060-379-6. — Текст : непосредственный.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы 
то ни было средствами без  письменного разрешения владельцев авторских прав.
Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но поскольку вероятность технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с 
этим издательство не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-89818-306-6
© 2015 Pearson Education, Inc.
© Оформление, перевод, ДМК Пресс, 2016

Содержание

Благодарности.......................................................................... 9

Об.авторах............................................................................. 10

От.авторов.............................................................................. 11

Предисловие.автора.к.русскому.изданию.................................... 12

Глава.1..О.чем.эта.книга............................................................ 13
1.1. Программирование и математика ..................................................................................13
1.2. Исторические справки ........................................................................................................14
1.3. Требования к читателю .......................................................................................................15
1.4. План книги ..............................................................................................................................15

Глава.2..Первый.алгоритм......................................................... 17
2.1. Египетское умножение .......................................................................................................18
2.2. Улучшение алгоритма .........................................................................................................21
2.3. Заключительные мысли .....................................................................................................24

Глава.3..Теория.чисел.в.Древней.Греции...................................... 25
3.1. Геометрические свойства целых чисел .........................................................................25
3.2. Просеивание простых чисел .............................................................................................28
3.3. Реализация и оптимизация кода .....................................................................................30
3.4. Совершенные числа .............................................................................................................35
3.5. Пифагорейская программа ...............................................................................................38
3.6. Фатальный изъян в программе .......................................................................................40
3.7. Заключительные мысли .....................................................................................................44

Глава.4..Алгоритм.Евклида........................................................ 45
4.1. Афины и Александрия ........................................................................................................45
4.2. Алгоритм Евклида нахождения наибольшей общей меры ....................................47
4.3. Тысяча лет без математики ...............................................................................................51
4.4. Странная история нуля ......................................................................................................52
4.5. Алгоритмы нахождения частного и остатка ...............................................................54
4.6. Повторное использование кода .......................................................................................57
4.7. Доказательство правильности алгоритма ....................................................................60
4.8. Заключительные мысли .....................................................................................................61

Глава.5..Зарождение.современной.теории.чисел.......................... 62
5.1. Простые числа Мерсенна и Ферма ................................................................................62
5.2. Малая теорема Ферма ........................................................................................................66
5.3. Сокращение ............................................................................................................................69
5.4. Доказательство малой теоремы Ферма ........................................................................72

 Содержание

5.5. Теорема Эйлера .....................................................................................................................74
5.6. Применение арифметики по модулю ............................................................................78
5.7. Заключительные мысли .....................................................................................................79

Глава.6..Абстракция.в.математике.............................................. 80
6.1. Группы ......................................................................................................................................80
6.2. Моноиды и полугруппы .....................................................................................................83
6.3. Некоторые теоремы о группах .........................................................................................86
6.4. Подгруппы и циклические группы ................................................................................88
6.5. Теорема Лагранжа ................................................................................................................90
6.6. Теории и модели ...................................................................................................................94
6.7. Примеры категоричных и некатегоричных теорий ..................................................97
6.8. Заключительные мысли .....................................................................................................99

Глава.7..Вывод.обобщенного.алгоритма.....................................102
7.1. Осмысление требований к алгоритму ........................................................................ 102
7.2. Требования к A ................................................................................................................... 103
7.3. Требования к N ................................................................................................................... 106
7.4. Новые требования ............................................................................................................. 108
7.5. От умножения к возведению в степень ..................................................................... 109
7.6. Обобщение операции ....................................................................................................... 111
7.7. Вычисление чисел Фибоначчи ..................................................................................... 114
7.8. Заключительные мысли .................................................................................................. 117

Глава.8..Еще.об.алгебраических.структурах................................118
8.1. Стевин, полиномы и НОД ............................................................................................. 118
8.2. Геттинген и немецкая математика ............................................................................... 123
8.3. Нётер и рождение общей алгебры ............................................................................... 128
8.4. Кольца ................................................................................................................................... 129
8.5. Умножение матриц и полукольца ................................................................................ 132
8.6. Приложение: социальные сети и кратчайшие пути .............................................. 134
8.7. Евклидовы кольца ............................................................................................................. 136
8.8. Поля и другие алгебраические структуры ................................................................ 137
8.9. Заключительные мысли .................................................................................................. 138

Глава.9..Организация.математических.знаний.............................141
9.1. Доказательства ................................................................................................................... 141
9.2. Первая теорема ................................................................................................................... 144
9.3. Евклид и аксиоматический метод ............................................................................... 147
9.4. Альтернативы евклидовой геометрии ........................................................................ 148
9.5. Формалистический подход Гильберта ....................................................................... 151
9.6. Пеано и его аксиомы ........................................................................................................ 153
9.7. Построение арифметики ................................................................................................. 156
9.8. Заключительные мысли .................................................................................................. 159

Содержание  7

Глава.10..Основные.понятия.программирования..........................160
10.1. Аристотель и абстракции ............................................................................................. 160
10.2. Значения и типы .............................................................................................................. 162
10.3. Концепции ......................................................................................................................... 163
10.4. Итераторы .......................................................................................................................... 166
10.5. Категории, операции и характеристики итераторов .......................................... 167
10.6. Диапазоны ......................................................................................................................... 171
10.7. Линейный поиск .............................................................................................................. 173
10.8. Двоичный поиск .............................................................................................................. 174
10.9. Заключительные мысли ............................................................................................... 178

Глава.11..Алгоритмы.перестановки............................................179
11.1. Перестановки и транспозиции ................................................................................... 179
11.2. Обмен диапазонов........................................................................................................... 182
11.3. Циклическая перестановка .......................................................................................... 185
11.4. Использование циклов .................................................................................................. 188
11.5. Обращение ......................................................................................................................... 192
11.6. Пространственная сложность ..................................................................................... 196
11.7. Алгоритмы, адаптирующиеся к объему памяти ................................................... 197
11.8. Заключительные мысли ............................................................................................... 198

Глава.12..Обобщения.НОД........................................................199
12.1. Аппаратные ограничения и более эффективный алгоритм ............................. 199
12.2. Обобщение алгоритма Штайна .................................................................................. 202
12.3. Теорема Безу ..................................................................................................................... 204
12.4. Расширенный алгоритм Евклида .............................................................................. 208
12.5. Применения НОД ........................................................................................................... 212
12.6. Заключительные мысли ............................................................................................... 213

Глава.13..Реальное.приложение................................................215
13.1. Криптология ..................................................................................................................... 215
13.2. Проверка простоты ......................................................................................................... 217
13.3. Тест Миллера–Рабина ................................................................................................... 220
13.4. Алгоритм RSA: как и почему он работает .............................................................. 222
13.5. Заключительные мысли ............................................................................................... 225

Глава.14..Заключение.............................................................226

Дополнительная.литература.....................................................228

Приложение.А..Обозначения....................................................233

Приложение.В..Стандартные.приемы.доказательства..................236
B.1. Доказательство от противного ..................................................................................... 236
B.2. Доказательство по индукции ........................................................................................ 237

 Введение

B.3. Принцип Дирихле ............................................................................................................ 238

Приложение.С..Язык.С++.для.программистов.на.других.языках......239
C.1. Шаблонные функции ...................................................................................................... 239
C.2. Концепции .......................................................................................................................... 240
C.3. Синтаксис объявлений и типизированные константы ....................................... 241
C.4. Объекты-функции............................................................................................................ 241
C.5. Предусловия, постусловия и утверждения ............................................................. 242
C.6. Алгоритмы и структуры данных STL........................................................................ 243
C.7. Итераторы и диапазоны ................................................................................................. 244
C.8. Использование using для псевдонимов типов и функций типов в C++11 ..... 245
C.9. Списки инициализаторов в C++11 ............................................................................ 246
C.10. Лямбда-функции в C++11 .......................................................................................... 246
C.11. Замечание о ключевом слове inline.......................................................................... 247

Библиография.......................................................................248

Предметный.указатель............................................................252

Благодарности

Мы благодарны всем, кто способствовал появлению этой книги. Руководство 
нашей компании A9.com активно поддерживало проект с самого начала. Билл 
Стейсиор предложил создать курс, легший в основу этой книги, и выбрал тему 
из предложенных нами вариантов. Брайан Пинкертон не только прослушал весь 
курс, но и всячески приветствовал идею превратить его в книгу. Мы благодарим 
также Мэта Маркуса, который вместе с Алексом читал похожий курс в компании 
Adobe в 2004–2005 годах.
На протяжении всего процесса важную роль играли другие члены группы по 
фундаментальным структурам данных и алгоритмам поиска. Анил Ганголли (Anil 
Gangolli) помогал при отборе материала для курса, Райан Эрнст (Ryan Ernst) подготовил большую часть инфраструктуры программирования, а Парамжит Оберой 
(Paramjit Oberoi) высказывал ценнейшие замечания на этапе написания книги. 
Нам доставило истинное удовольствие работать с ними, и мы признательны им 
за помощь.
Мы выражаем благодарность редакторам Питеру Гордону (Peter Gordon) и Грэгу Донку (Greg Doench), а также всему коллективу, собравшемуся под крышей 
издательства Addison-Wesley, в том числе главному редактору Джону Фуллеру, 
редактору по производству Мэри Кэсел Уилсон (Mary Kesel Wilson), выпускающему редактору Джилл Хоббс (Jill Hobbs), верстальщику и специалисту по LaTeX 
Лори Хьюз (Lori Hughes), за усилия по превращению рукописи в безупреч ную 
книгу.
Наконец, мы хотим поблагодарить наших друзей, семьи и коллег, которые 
прочли  черновые варианты книги и поделились с нами замечаниями, исправлениями, предложениями, советами и т. д.: Гас пера Азмана (Gašper Ažman), Джона 
Баннинга (John Banning), Синтию Дворк (Cynthia Dwork), Германа Эпельмана 
(Hernan Epelman), Райана Эрнста (Ryan Ernst), Анила Ганголли (Anil Gangolli), 
Сьюзан Груббер (Susan Gruber), Джона Кальба (Jon Kalb), Роберта Лера (Robert 
Lehr), Дмитрия Лещинера (Dmitry Leshchiner), Тома Лондона (Tom London), 
Марка Манасси (Mark Manasse), Пола Макджонса (Paul McJones), Николаса 
Николова (Nicolas Nicolov), Гора Нишанова (Gor Nishanov), Парамжита Обероя 
(Paramjit Oberoi), Шона Пэрента (Sean Parent), Фернандо Пелличиони (Fernando 
Pelliccioni), Джона Рейзера (John Reiser), Роберта Роуза (Robert Rose), Стефана 
Варгиаса (Stefan Vargyas) и Адама Юнга (Adam Young). Благодаря им книга стала 
намного лучше.

Об авторах

Александр А. Степанов изучал математику в Московском государственном университете с 1967 по 1972 год. С 1972 года занимается программированием, сначала 
в Советском Союзе, а затем, после эмиграции в 1977 году, в США. Он принимал 
участие в программировании операционных систем, инструментальных средств 
программирования, компиляторов и библиотек. В работе по основаниям программирования ему оказывали поддержку компания Дженерал Электрик, Политехнический университет, компании Bell Labs, HP, SGI, Adobe, и – с 2009 года по сей 
день – A9.com, дочерняя компания Amazon, специализирующаяся на технологиях поиска. В 1995 году журнал «Dr. Dobb’s Journal» присудил ему премию «За 
выдающиеся заслуги в программировании» за проектирование стандартной библиотеки шаблонов C++ (Standard Template Library).
Дэниэл Э. Роуз – ученый-исследователь, занимал руководящие должности 
в компаниях Apple, AltaVista, Xigo, Yahoo и A9.com. Круг его научных интересов 
охватывает технологии поиска, от низкоуров невых алгоритмов сжатия индекса 
до вопросов взаимодействия машины и человека в процессе поиска в веб. Роуз 
руководил в компании Apple группой, разработавшей систему локального поиска 
для компьютера Macintosh. Он обладатель докторской степени по когнитивистике и информатике, присужденной Калифорнийским университетом в Сан-Диего, 
а также степени бакалавра по философии, присужденной Гарвардским университетом.