Теория вероятностей с элементами математической статистики, теории случайных процессов и эконометрики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
С ЭЛЕМЕНТАМИ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, 
ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ 
ПРОЦЕССОВ И ЭКОНОМЕТРИКИ

А.В. СИГАЛ

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.2+519.862.6(075.8)
ББК 22.17:65в631я73
 
С34

Сигал А.В.
С34  
Теория вероятностей с элементами математической статистики, теории 
случайных процессов и эконометрики : учебное пособие / А.В. Сигал. — 
Москва : ИНФРА-М, 2023. — 385 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/1842523.

ISBN 978-5-16-017314-6 (print)
ISBN 978-5-16-109868-4 (online)
В учебном пособии изложены основные разделы теории вероятностей, 
математической статистики, теории случайных процессов и эконометрики. 
Изложение теоретических сведений иллюстрируется многочисленными 
числовыми примерами. Содержатся вопросы и задания для самопроверки 
студентами степени усвоения изложенного материала, а также задачи для 
самостоятельного решения.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки «Бизнес-информатика». Также пособие будет полезно 
студентам, обучающимся по другим направлениям подготовки, которым 
в будущей профессиональной деятельности может потребоваться применение 
методов вероятностно-статистического моделирования.

УДК 519.2+519.862.6(075.8)
ББК 22.17:65в631я73

Р е ц е н з е н т ы:
В.И. Суслов, доктор экономических наук, профессор, заведующий 
лабораторией моделирования и анализа экономических процессов 
Института экономики и организации промышленного производства 
Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск), 
член-корреспондент РАН;
В.К. Семенычев, доктор технических наук, доктор экономических 
наук, профессор, профессор кафедры математических методов экономики 
Самарского национального исследовательского университета 
имени академика С.П. Королева

ISBN 978-5-16-017314-6 (print)
ISBN 978-5-16-109868-4 (online)
© Сигал А.В., 2023

Основные сокращения и обозначения

ВМНК
— взвешенный метод наименьших квадратов

ДСВ
— дискретная случайная величина

ЛОП
— линейное отношение порядка

ММП
— метод максимального правдоподобия

МНК
— метод наименьших квадратов

МП
— марковский процесс

НСВ
— непрерывная случайная величина

ОВЗ
— область возможных значений

ОМНК, или 1МНК
— обычный (одношаговый) метод наименьших 
квадратов

ПФ
— последовательность Фишберна

СВ
— случайная величина

СВДТ
— случайный вектор дискретного типа

СВНТ
— случайный вектор непрерывного типа

СКО
— среднеквадратичное отклонение

СЛАУ
— система линейных алгебраических уравнений


СМО
— система массового обслуживания

СФ
— случайная функция

ФНП
— функция нескольких переменных

ЦМ
— цепь Маркова

∀
— квантор всеобщности «для любого», «для 
всех»

{a1; a2; …; an}
— множество, которому принадлежат перечис -
ленные элементы

(a1; a2; …; an)
— вектор (упорядоченный набор), элементами 
которого являются перечисленные объекты

Pn
— число перестановок

Pn(k1; k2; …; kn)
— число перестановок с повторениями

n!
— факториал числа n, где n ∈ Z0

(2 · n)‼ = 2 · 4 · … · (2 · n)
— субфакториал (двойной факториал) четного 
числа 2 · n, где n ∈ N

(2 · n + 1)‼ = 
= 1 · 3 · … · (2 · n + 1)

— субфакториал (двойной факториал) нечетного 
числа 2 · n + 1, где n ∈ Z0

k
n
A
— число размещений

k
n
A— число размещений с повторениями

r

k










— биномиальные коэффициенты

Cn(n1; n2; …; nk)
— число соответствующих разбиений множества


k
n
C
— число сочетаний

k
n
C— число сочетаний с повторениями

m
x , 
m
x
— число x в убывающей, возрастающей факториальной 
степени m

{x | P(x)}
— множество всех x, удовлетворяющих заданному 
условию P(x)

x
 
 
— пол (целая часть, или антье) действительного 
числа x

x
 
 
— потолок действительного числа x

〈x〉
— ближайшее целое число к действительному 
числу x

{x}
— дробная часть действительного числа x

x
— расстояние действительного числа x до ближайшего 
целого числа

Spec (x)
— спектр действительного числа x

x mod y
— бинарная операция mod

N
— множество всех натуральных чисел

R = (–∞; +∞)
— множество всех действительных чисел

Z
— множество всех целых чисел

Z0
— множество всех целых неотрицательных 
чисел

[P(x)]
— нотация Айверсона, которая равняется 1, 
если заданное условие P(x) истинно, и равняется 
0, если заданное условие P(x) ложно

As(X)
— коэффициент асимметрии СВ X

Ek(X)
— коэффициент эксцесса СВ X

D(X) = Dx = σ2(X)
— дисперсия (вариация) СВ X

M(X)  mx  m
— математическое ожидание СВ X

Me(X)
— медиана СВ X

Mo(X)
— мода СВ X

P(A)
— вероятность события A

(X)
— СКО СВ X

— невозможное событие (или пустое множество)


Ω
— достоверное событие (или пространство элементарных 
событий)

*
— символ выборочной (эмпирической) числовой 
характеристики, например F*(x), Mo*, 
Me*, *

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся 

по направлению подготовки «Бизнес-информатика», а также для 
студентов, которым в будущей профессиональной деятельности 
может потребоваться применение методов и моделей вероятностно-
статистического моделирования.

Учебное пособие состоит из пяти разделов: «Необходимые све-

дения из конкретной математики», «Теория вероятностей», «Математическая 
статистика», «Элементы теории случайных процессов», 
«Эконометрика». Раздел IV содержит параграф 15.1, в котором 
изложены сведения из линейной алгебры, необходимые для усвоения 
и лучшего понимания теории случайных процессов и эконометрики.


Конкретная математика как самостоятельная наука зарожда-

лась в последние десятилетия ХХ в. Название «конкретная математика» «
отцы-основатели» этой дисциплины Р.Л. Грэхем, Д.Э. Кнут 
и О. Паташник объясняют следующим образом: «КОНКРЕТНАЯ 
математика — это математические основы информатики, позволяющие 
применять технику работы с КОНтинуальными (непрерывными) 
объектами для работы с дисКРЕТНЫМИ объектами». 
Например, суммирование может выполняться по формулам, аналогичным 
вычислению определенных интегралов. Использование 
методов конкретной математики позволяет анализировать алгоритмы, 
быстрее получить результат и значительно уменьшить 
общий объем вычислений. В разделе I приведены основные сведения 
из таких тем конкретной математики, как «Теории целочис -
ленных функций», «Элементы комбинаторики» и «Биномиальные 
коэффициенты».

Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая 

закономерности случайных явлений и массовых однородных случайных 
событий. Математическая статистика — это математическая 
наука, изучающая приближенные методы поиска законов 
и оценок числовых характеристик случайных величин по результатам 
экспериментов или наблюдений. Приемы конкретной математики 
играют важную роль при вычислении вероятностей различных 
событий, числовых характеристик случайных величин 
и значений их статистических оценок.

Возникновение теории вероятностей как полноценной науки 

принято относить к XVII в., когда известные французские ученые 

Блез Паскаль (1623–1662) и Пьер Ферма (1601–1665) в своей переписке 
1654 г. по поводу решения двух знаменитых задач нашли правильные 
ответы к этим задачам: и к задаче шевалье де Мере о подбрасывании 
игральных костей, и к задаче Луки Пачоли о разделе 
ставки. Итальянский математик, один из основателей современных 
принципов бухгалтерии, монах-францисканец Лука Бартоломео  
де Пачоли (1445–1517) еще в 1494 г. опубликовал работу «Сумма 
[знаний] арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности». 
В этой книге среди прочего приведено несколько задач 
о справедливом разделе ставки при незавершенной игре двух лиц, 
подбрасывающих монету. Поиск правильного решения этих задач 
о справедливом разделе ставки занял более чем 150 лет, хотя им 
занимались ведущие математики XVI и XVII в.

Паскаль и Ферма, решив задачу Л. Пачоли, заложили основы 

теории вероятностей и, по сути, математической статистики, что 
впоследствии позволило, например, использовать в экономике вероятностные 
меры риска. Задача Л. Пачоли о разделе ставки сыграла 
в истории науки особую роль. Многие исследователи считают 
1494 г., год издания книги Л. Пачоли, содержащей несколько задач 
о разделе ставки, датой зарождения сразу трех наук: и теории вероятностей, 
и теории экономического риска, и теории игр.

Начавшись с вычисления количества различных комбинаций при 

игре в азартные игры, теория вероятностей практически сразу же 
развилась в фундаментальную математическую науку, предоставившую 
мощный инструментарий для решения самых разных задач 
из разных сфер деятельности. В частности, методы и модели теории 
вероятностей и математической статистики широко применяются 
в теории и практике экономики, техники, физики.

Теория случайных процессов — математическая наука, изуча-

ющая закономерности случайных явлений в динамике их развития. 
Именно случайные процессы, представляющие собой функции неслучайного 
аргумента (например, времени) вероятностного описания 
величины, имеющей случайный характер и изменяющейся 
в процессе наблюдения, позволяют исследовать развивающиеся 
(динамические) случайные явления. Основу общей теории случайных 
процессов составляет теория Марковских случайных процессов, 
выросшая из теории цепей Маркова. Цепь Маркова, т.е. 
последовательность случайных событий с конечным или счетным 
числом исходов, характеризующаяся тем свойством, что при фиксированном 
настоящем будущее не зависит от прошлого, названа 
в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова-старшего 
(1856–1922), который в своих работах 1906–1907 гг. исследовал по-

следовательности зависимых испытаний и связанных с ними сумм 
случайных величин. Интересно, что А.А. Марков-старший проиллюстрировал 
эти свои научные результаты не на физических или 
технических примерах, а на исследовании зависимостей чередования 
гласных и согласных букв в первых главах «Евгения Онегина» 
и «Детских годах Багрова внука».

Теория массового обслуживания — математическая наука, 

 изучающая рациональный выбор структуры системы обслуживания 
и процесса обслуживания на основе исследования потоков 
требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящих 
из нее, длительности ожидания и длины очереди. В основу теории 
массового обслуживания легла теория потока однородных событий, 
разработанная советским математиком Александром Яковлевичем 
Хинчиным (1894–1959). Первые задачи теории массового 
обслуживания были рассмотрены сотрудником Копенгагенской 
телефонной компании, датским математиком, статистиком и инженером 
Агнером Крарупом Эрлангом (1878–1929) в период между 
1908 и 1922 гг. Теория систем массового обслуживания представляет 
собой эффективный математический инструмент для оптимизации 
работы систем обслуживания, а также для исследования 
демографических процессов и широкого круга вопросов функционирования 
реальных социально-экономических систем.

Эконометрика является сравнительно молодой наукой. Аме-

риканский экономист, лауреат за 1970 г. Премии шведского национального 
банка по экономическим наукам памяти Альфреда 
Нобеля, учрежденной в 1969 г. и часто называемой Нобелевской 
премией по экономике, Пол Энтони Самуэльсон (1915–2009) так 
определил задачи эконометрики: «Эконометрика позволяет проводить 
количественный анализ реальных экономических явлений, 
основываясь на современном развитии теории и наблюдениях, связанных 
с методами получения выводов».

Термин «эконометрика» (или его синоним «эконометрия») 

происходит от двух слов: «экономия» и «метрика», т.е. измерение. 
Термин «эконометрия» впервые использовал львовский ученый 
Павел Цьомпа (1886–1914), опубликовав в 1910 г. книгу «Очерки 
эконометрии и естественной теории бухгалтерии, основанной 
на политической экономии». П. Цьомпа пытался применить методы 
алгебры и геометрии к анализу хозяйственной деятельности. В настоящее 
время термин «эконометрика» используется для раздела 
теории экономического анализа, который изучает влияние факторов, 
формирующих результаты работы фирмы (предприятия). 
В современном понимании термин «эконометрика» ввел в науку 

норвежский ученый, лауреат Нобелевской премии по экономике 
за 1969 г. Рагнар Антон Киттиль Фриш (1895–1973).

Первой эконометрической работой принято считать книгу «За-

коны заработной платы: эссе по статистической экономике», которую 
в 1911 г. издал американский экономист Генри Людвелл 
Мур (1969–1958). В 1928 г. американский математик и экономист 
Чарльз Уиггинс Кобб (1875–1949) и американский экономист 
и политический деятель (сенатор в 1949–1967) Пол Ховард Дуглас 
(1892–1976) опубликовали в журнале «Американское экономическое 
обозрение» статью «Теория производства», в которой исследовали 
рост американской экономики в период с 1899 по 1922 г. 
В этой работе они рассмотрели упрощенное представление об экономике, 
когда выпуск продукции определяется количеством вовлеченного 
труда и объемом капитала, и применили производственную 
функцию, названную производственной функцией Кобба — Дугласа. 
Эта функция вошла в эконометрику как классический пример 
и по настоящее время является важным инструментом экономического 
анализа.

29 декабря 1930 г. по инициативе Рагнара Фриша и амери-

канских экономистов Ирвинга Фишера (1867–1947), Чарльза 
Фредерика Руса (1901–1958) был основан международный союз 
экономистов «Эконометрическое общество, международное общество 
для развития экономической теории в своем взаимодействии 
со статистикой и математикой», кратко называемое Эконометрическим 
обществом. Первым президентом Эконометрического общества (
1931–1934) был Ирвинг Фишер. С 1933 г. Эконометрическое 
общество издает журнал «Эконометрика».

О существенном значении эконометрики для экономической 

теории и практики свидетельствуют многочисленные присуждения 
в разные годы Нобелевской премии по экономике за разнообразные 
эконометрические исследования, а также факт того, что первыми 
обладателями Нобелевской премии по экономике в 1969 г. «за создание 
и применение динамических моделей к анализу экономических 
процессов» стали Рагнар Фриш и голландский экономист 
Ян Тинберген (1903–1994).

Дисциплины «Теория вероятностей и математическая ста-

тистика», «Теория случайных процессов» и «Эконометрика» 
 изучаются студентами Крымского федерального университета 
имени В.И. Вернадского, обучающимися на разных курсах бакалав-
риата по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика».

В результате изучения дисциплин «Теория вероятностей и ма-

тематическая статистика», «Теория случайных процессов», «Эко-

нометрика» у студентов должны быть сформированы необходимые 
компетенции. В частности, студенты будут:

знать

 
•  основы вероятностно-статистического аппарата, закономер-

ностей отдельного случайного явления и массовых случайных 
явлений, прогнозирования их характеристик;

 
•  основные термины, понятия, положения, принципы и инстру-

ментарий математического аппарата, используемого для моделирования 
экономической динамики, а также теории систем 
массового обслуживания;

 
•  методы регрессионного анализа и эконометрические модели 

в сфере информатики и компьютерной техники;
уметь

 
•  использовать количественные и качественные методы анализа 

закономерностей эволюции систем в условиях стохастической 
неопределенности;

 
•  находить характеристики случайных процессов и вероятности 

различных событий для потоков однородных событий, оценивать 
эффективность работы экономической системы, функционирование 
которой характеризует однородная цепь Маркова, 
вычислять характеристики систем массового обслуживания 
и значения критериев эффективности их функционирования;

 
•  проводить регрессионный анализ экономических явлений, 

строить и использовать эконометрические модели для принятия 
управленческих решений в сфере информатики и компьютерной 
техники;
владеть

 
•  навыками применения вероятностных и статистических методов 

для решения различных профессиональных задач;

 
•  аппаратом теории случайных процессов и теории систем массо-

вого обслуживания, а также основными методами и моделями, 
применяемыми для анализа случайных явлений в динамике их 
развития;

 
•  навыками проведения регрессионного анализа явлений в сфере 

информатики и компьютерной техники.
Учебное пособие адресовано студентам, обучающимся по на-

правлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика». Кроме 
того, оно будет полезно студентам и аспирантам, обучающимся 
по укрупненным группам направлений подготовки «Экономика 
и управление», «Математика и механика», «Управление в технических 
системах», а также научно-педагогическим работникам, 
специализирующимся в области применения математики в эконо-