Теория пластического деформирования металлов

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

. . . . -
«. . » 

15.03.01 «», 22.03.02 «» 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................... 9 

ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ................................................ 19 

1.1 Внешние силы ....................................................................... 19 
1.2 Внутренние силы. Напряжения ........................................... 22 
1.3 Индексные обозначения ....................................................... 26 
1.4 Тензор напряжений ............................................................... 28 
1.5 Напряжения на наклонной площадке ................................. 33 
1.6 Главные нормальные напряжения....................................... 36 
1.7 Схемы главных нормальных напряжений .......................... 44 
1.8 Октаэдрические напряжения ............................................... 49 
1.9 Разложение тензора напряжений ........................................ 51 
1.10 Главные (максимальные) касательные напряжения ........ 57 
1.11 Равновесие сил и моментов ............................................... 63 
1.12 Диаграмма напряжений Мора ........................................... 71 
1.13 Выводы ................................................................................ 75 
1.14 Задания для самоконтроля ................................................. 76 
1.15 Задачи и упражнения .......................................................... 78 

ГЛАВА 2 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ................................................ 95 

2.1 Понятие деформации. Тензор деформаций ........................ 95 
2.2 Геометрические уравнения ................................................ 100 
2.3 Уравнения совместности деформаций .............................. 103 
2.4 Главные деформации .......................................................... 106 
2.5 Схемы главных деформаций .............................................. 109 
2.6 Разложение тензора деформаций ...................................... 113 
2.7 Объемная деформация ........................................................ 115 
2.8 Переменные Лагранжа и Эйлера ....................................... 117 

2.9 Скорость деформации. Тензор скоростей деформации .. 119 
2.10 Большие пластические деформации ............................... 123 
2.10.1 Абсолютные и относительные деформации ........ 123 
2.10.2 Логарифмические деформации. Коэффициенты 
деформации ........................................................................ 124 
2.10.3 Смещённый объем. Условие постоянства
объема ................................................................................129 
2.10.4 Определение числа переходов. Условие 
постоянства секундных объемов ..................................... 132 
2.10.5 Средняя скорость деформации ............................. 134 
2.10.6 Однородная, равномерная и монотонная 
деформации ........................................................................ 137 
2.11 Механические схемы деформаций .................................. 139 
2.12 Неравномерность деформации ........................................ 150 
2.12.1 Неравномерность деформации  и дополнительные 
напряжения ........................................................................ 150 
2.12.2 Причины неравномерности деформаций ............. 152 
2.12.3 Остаточные напряжения ........................................ 154 
2.13 Принцип наименьшего сопротивления деформации..... 157 
2.14 Пластичность и разрушение металла .............................. 160 
2.15 Выводы .............................................................................. 170 
2.16 Задания для самоконтроля ............................................... 173 
2.17 Задачи и упражнения ........................................................ 178 

ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ .................................................. 187 

3.1 Обобщенный закон Гука .................................................... 187 
3.2 Различные формы записи основного закона упругости .. 195 
3.3 Удельная потенциальная энергия ...................................... 202 
3.4 Постановка задач и способы их решения ......................... 204 
3.5 Частные случаи объемного напряженного состояния ..... 211 

3.5.1 Плоское напряженное состояние ............................ 211 
3.5.2 Плоское деформированное состояние ................... 217 
3.5.3 Осесимметричное напряженное состояние ........... 220 
3.6 Выводы ................................................................................ 227 
3.7 Задания для самоконтроля ................................................. 228 
3.8 Задачи и упражнения .......................................................... 230 

ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ......................................... 237 

4.1 Условие перехода металла из упругого состояния
в пластическое состояние......................................................... 237 
4.2 Условие постоянства максимального  касательного 
напряжения ................................................................................ 239 
4.3 Условие постоянства энергии формоизменения .............. 243 
4.4 Условие пластичности анизотропных сред ...................... 252 
4.5 Экспериментальная проверка условий пластичности ..... 256 
4.6 Условие упрочнения ........................................................... 258 
4.7 Простое и сложное нагружение ......................................... 263 
4.8 Разгрузка. Остаточные напряжения и деформации ......... 265 
4.9 Постулат Друкера ............................................................... 273 
4.10 Ассоциированный закон течения .................................... 275 
4.11 Теория малых упругопластических деформаций .......... 277 
4.12 Теория пластического течения ........................................ 281 
4.13 Теория Сен-Венана – Леви – Мизеса .............................. 285 
4.14 Выводы .............................................................................. 286 
4.15 Задания для самоконтроля ............................................... 289 
4.16 Задачи и упражнения ........................................................ 292 

ГЛАВА 5 ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ 
ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ .............................................. 297 

5.1 Понятие внешнего трения .................................................. 297 
5.2 Роль внешнего трения в процессах пластического  
деформирования ........................................................................ 298 
5.3 Виды внешнего трения ....................................................... 302 
5.4 Законы трения ..................................................................... 305 
5.5 Основные факторы, влияющие на трение ........................ 311 
5.6 Определение коэффициентов трения ................................ 314 
5.7 Выводы ................................................................................ 318 
5.8 Задания для самоконтроля ................................................. 320 

ГЛАВА 6 РАСЧЕТ УСИЛИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ПРИ ПЛАСТИЧЕКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ .. 322

6.1 Основные положения расчета деформирующего
усилия ........................................................................................ 322 
6.2 Пример расчета деформирующего усилия ....................... 326 
6.3 Метод совместного решения приближенных уравнений  
равновесия и пластичности ...................................................... 327 
6.3.1 Основные положения метода .................................. 328 
6.3.2 Упрощенное уравнение равновесия  для плоского 
деформированного состояния .......................................... 330 
6.3.3 Упрощенное уравнение равновесия
для осесимметричного напряженного состояния .......... 332 
6.3.4 Упрощенное уравнение равновесия для плоского 
напряженного состояния .................................................. 334 
6.3.5 Алгоритм решения практических задач ................. 337 
6.3.6 Пример использования метода ............................... 338 
6.4 Метод линий скольжения ................................................... 341 
6.4.1 Основные понятия линий скольжения ................... 341 
6.4.2 Основные свойства линий скольжения .................. 347 
6.4.3 Виды полей линий скольжения .............................. 350 

6.4.4 Пример использования метода ............................... 352 
6.5 Сопротивление материалов пластическим
деформациям ............................................................................. 355 
6.5.1 Основные положения метода .................................. 355 
6.5.2 Пример использования метода ............................... 356 
6.6 Метод работ ......................................................................... 359 
6.6.1 Основные положения метода .................................. 359 
6.6.2 Пример использования метода ............................... 360 
6.7 Вариационные методы ....................................................... 362 
6.7.1 Основные положения метода .................................. 362 
6.7.2 Пример использования метода ............................... 366 
6.8 Метод конечного элемента ................................................ 371 
6.8.1 Основные положения метода .................................. 371 
6.8.2 Пример использования метода ............................... 376 
6.9 Выводы ................................................................................ 379 
6.10 Задания для самоконтроля ............................................... 382 
6.11 Задачи и упражнения ........................................................ 386 

ГЛАВА 7 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ, СКОРОСТНЫЕ
И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО  
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ .............................................. 394 

7.1 Классификация видов пластической деформации ........... 394 
7.2 Тепловой эффект деформации ........................................... 396 
7.3 Выбор температурного интервала горячей пластической 
деформации ............................................................................... 399 
7.4 Сопротивление металлов при пластической
деформации ............................................................................... 401 
7.5 Выводы ................................................................................ 406 
7.6 Контрольные вопросы ........................................................ 408 
7.7 Задачи и упражнения .......................................................... 409

ГЛАВА 8 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
ИССЛЕДОВАНИЯ  НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО 
СОСТОЯНИЯ ................................................................................... 413 

8.1 Метод координатной делительной сетки ......................... 413 
8.2 Метод визиопластичности ................................................. 415 
8.3 Метод линий тока ............................................................... 416 
8.4 Определение нормальных контактных напряжений ....... 420 
8.5 Закон подобия ..................................................................... 425 
8.6 Моделирование процессов деформирования ................... 431 
8.6.1 Основные положения ............................................... 431 
8.6.2 Пример компьютерного моделирования ................ 433 
8.7 Выводы ................................................................................ 439 
8.8 Контрольные вопросы ........................................................ 440 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ........................... 442 

ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................................ 446 

ВВЕДЕНИЕ

Теория пластического деформирования металлов – это прикладная 
инженерная дисциплина, связанная с предшествующими 
дисциплинами учебного планатакими как математика, механикасплошных сред, материаловедение, термическая обработка, технологические 
процессы в машиностроении и металлургии. Дисциплина 
тесно связана и последующими изучаемыми дисциплинамитакими как «Теория и технология прокатки», «Теория и технология 
прессования», «Теория и технология ковки и горячей объемной 
штамповки», «Теория и технология холодной листовой штамповки». 

Объект изучения дисциплины – это процессы пластического 
деформирования металлов: ковка, горячая объемная штамповка, холодная 
листовая штамповка, прокатка, прессование и волочение.
Предмет изучения дисциплины – это теоретические основы, 
методы проектирования и моделирования технологических процессов 
пластического деформирования металлов, обеспечивающих получение 
заготовок и готовых изделий требуемой формы и размеров, 
структуры и эксплуатационных свойств.
Сущностью современного технологического процесса обработки 
давлением является получение изделий из металлических, 
конструкционных, композитных и наноструктурированных материалов 
с заданным уровнем физических, механических и эксплуатационных 
свойств и качеством поверхности. Изделия максимально 
приближены по форме и размерам к готовым деталям машин, механизмов 
и других устройств.

В настоящее время считается бесспорным, что пластичность 
является состоянием металлов и зависит от способа деформирования: 
температуры (термические условия), скорости и степени деформации (
деформационные условия), схемы напряженного состояния, 
внешнего трения (механические условия).
Пластическая деформация является эффективным способом 
изменения механических и физических свойств металлов. Пластической 
деформацией можно увеличить прочность сплавов, которые 
термически не упрочняются. 
Изделия получают пластическим деформированием в холодном 
или горячем состоянии с использованием универсального и 
специализированного инструмента на оборудовании с минимальными 
затратами материалов, энергии, времени и труда.
К оборудованию относят прокатные станы, гидравлические и 
кривошипные прессы, молоты, горизонтальные ковочные машины. 
В качестве деформирующего инструмента применяют листовые и 
сортопрокатные валки, штампы для холодной и горячей объемной 
штамповки, матрицы, контейнеры, калибры, волоки и оправки. 
Для реализации процессов пластического деформирования используется 
следующая структурная схема (рис. 1). 

Рис. 1. Структурная схема процессов пластического деформирования металлов 

Любой технологический процесс состоит из последовательных 
операций обработки металлов давлением. Разработать технологический 
процесс, значит, разработать все операции. На рис. 2 в каче-

стве примера рассмотрен процесс прессования профиля из алюминиевого 
сплава в виде последовательности технологических операций 
и решаемые для их реализации на производстве задачи.

Рис. 2. Технологическая схема изготовления прессованного профиля «УГОЛОК»
из алюминиевого сплава Д16, состояние поставки Т1

Из анализа приведенного примера видно, что при проектировании 
технологических процессов пластического деформирования
металлов давлением специалисту приходится решать в общем случае 
следующие основные теоретические и технологические задачи:
• определять поля напряжений и деформаций в обрабатываемом 
металле и инструменте, что имеет не только чисто теоретический, 
но и практический интерес; 
• устанавливать условия перехода металла из упругого состояния 
в упругопластическое и пластическое; 
• выяснять наиболее благоприятные режимы пластического деформирования 
металлов; 
• определять геометрические размеры и форму исходной заготовки 
перед и после технологической операции, степень ее дефор-

мации, число переходов, обеспечивающих высокую производительность, 
низкую себестоимость и высокое качество готовых металлоизделий; 
• 
определять температуру нагрева заготовки и инструмента,
скорость деформирования, при которых будет осуществляться технологическая 
операция;
• оценивать предельные возможности пластической деформации 
заготовки без разрушения в ходе выполнения технологической 
операции;
• устанавливать влияние пластического деформирования на
структуру металла, изменение механических свойств, неравномерность 
распределения деформации по объему изделия; 
• проводить расчет величины усилия и работы, энергии деформации, 
необходимые для выбора основного оборудования, проектирования 
и расчета деформирующего инструмента на прочность;
• моделировать напряженно-деформированное состояние металла 
заготовки при осуществлении операции, исключающее появление 
дефектов.
При решении поставленных задач обычно выбирается модель 
твердого деформируемого тела, построенная на гипотезах о сплошности 
строения, однородности материала, шаровой изотропии и 
естественном ненапряжённом состоянии.
Гипотеза о сплошности строения тела. По этой гипотезе 
тело до деформации, в процессе деформации и после нее остается 
сплошным (без пустот, разрывов, трещин).
В любом существенном для нас объеме очень много атомов, а 
расстояния между ними малы. Например, 1 см3 железа плотностью 
7,87 г/см3 содержит при температуре 20°С 8,46·1022 атомов, а расстояние 
между соседними атомами равно 2,86·10-8 см. Поэтому 
твердое деформируемое металлическое тело можно моделировать 
сплошной средой, занимающей часть реального физического пространства. 
Расстояние между ближайшими точками сплошной 

среды как угодно мало. Эта гипотеза является основой для математического 
описания движения твердых деформируемых тел, позволяет 
использовать математический аппарат непрерывных функций, 
дифференциальное и интегральное исчисления.
Допущение об однородности материала. Сплошная среда 
называется однородной, если свойства выделенных из нее одинаковых 
объемов одинаковы; например, деформируемая среда имеет 
одинаковую плотность во всех точках тела. 
В реальных деформируемых телах однородности не существует, 
хотя бы из-за отсутствия однородности материала. Неоднородными 
телами являются, например, плакированный лист из алюминиевого 
сплава Д16, неравномерно нагретое по объему тело. Существенно 
неоднородны композиционные материалы, содержащие
волокна из углерода и бора.
Гипотеза об изотропности среды. Сплошная среда считается 
изотропной по отношению к какому-либо свойству металла, если 
это свойство в любой точке будет одинаковым по всем направлениям. 
Если же свойства зависят от направления в точке, то среда 
является анизотропной по отношению к этим свойствам.
Отдельно взятый кристалл металла анизотропен, поскольку 
атомы в кристаллической решетке располагаются совершенно 
определенным образом. Но если в объеме содержится большое количество 
хаотично расположенных кристаллов с различной ориентировкой 
кристаллографических осей, то материал в среднем обладает 
одинаковыми свойствами в различных направлениях. Его при-
ближенно можно рассматривать как квазиизотропный. С другой 
стороны, в листовом металле зерна деформируются в направлении 
прокатки, образуется так называемая текстура деформации. Поэтому 
предел текучести в направлении прокатки и в поперечном 
направлении отличается от предела текучести под углом 45°
(рис. 3). Такая же анизотропия возникает при всех других видах 

пластического деформирования металлов. Особенно резко выражена 
анизотропия свойств в полуфабрикатах, изготовленных из 
сплавов авиационного назначения (титановых, бериллиевых, магниевых, 
алюминиевых), специальных сталей. Одними из самых 
перспективных материалов являются композиты. Они по своему 
строению (конструкции) вообще не могут быть изотропными.
Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии 
тела. Согласно этой гипотезе существующие до приложения 
нагрузок напряжения в материале принимаются равными нулю. Эта 
гипотеза также не отвечает реальности, т.к. в действительности невозможно 
получить полуфабрикаты без остаточных напряжений. 

Рис. 3. Изменение предела текучести в плоскости прокатанного листа: 
1 – изотропное тело; 2 – анизотропное тело

На практике часто встречаются случаи, когда в теле имеются 
напряжения до приложения внешних сил, называемые начальными 
(остаточными) напряжениями. Основная причина их возникновения – 
технология изготовления рассматриваемого изделия.
Рассмотрим на примерах возникновение начальных напряжений 
в заготовках и деталях. Удалим в трубе, изготовленной холодной 
прокаткой или волочением, в продольном направлении участок
abb'a' (рис. 4, а).
Присутствующие в трубе начальные напряжения приведут к 
увеличению зазора между точками aa' и bb'. При горячей прокатке 
двутавровых балок в них возникают начальные напряжения, вследствие 
процессов изготовления и неравномерного остывания. Если 

такую балку разрезать в продольном направлении посередине вертикальной 
стенки, обе ее половинки разходятся, изгибаясь наружу 
(рис. 4, б).

а
б

Рис. 4. К образованию начальных напряжений

Все перечисленное представляет собой основные допущения 
теории пластического деформирования металлов давлением. Причем, 
если гипотезы о сплошности строения тела и его естественном 
напряженном состоянии остаются как бы незыблемыми, то применение 
остальных не всегда является обязательным. Из перечисленного 
ясно, что принятые гипотезы не отвечают действительности, 
но они помогают строить физическую модель деформируемой 
среды.
Принятых допущений недостаточно для построения моделей 
формоизменения тел при упругой и пластической деформации. 
Здесь приходится проводить дальнейшую идеализацию.
Идеально упругое тело (рис. 5, а). Это понятие лежит в основе 
теории упругости. Для идеально упругих тел выполняется первый 
закон термодинамики о сохранении энергии в изолированной среде. 
Это явление нашло математическое отражение в законе Гука. Поэтому 
тела, подчиняющиеся этому закону, часто называют телами 
Гука.
Нелинейно-упругое тело (рис. 5, б). Тело либо не подчиняется 
закону Гука, либо деформация перешла за предел упругого состояния, 
но разгрузка идет по той же кривой.

Идеально упругопластическое тело.
При напряжении 
меньше предела текучести σт тело ведет себя как тело Гука
(рис. 5, в). При достижении критического значения предела текучести 
σт начинается пластическое течение и величина деформации
при σт = const является неопределенной. Разгрузка протекает упруго 
с тем же модулем, что и при нагружении тела, сжатие подчиняется 
тем же законам, что и растяжение, т.е. пределы текучести на растяжение 
σтр и сжатие σтсж одни и те же по абсолютной величине. Такие 
тела в процессе деформации не упрочняются и не разрушаются и 
часто называются телами Прандтля.
Идеально жесткопластическое тело (рис. 5, г). Если пластическая 
деформация является развитой, то упругой составляющей, 
считая ее бесконечно малой по сравнению с пластической, можно 
пренебречь и считать, что материал до предела текучести ведет себя 
как абсолютно твердое тело. 
И здесь пластическая деформация является неопределенной и 
может неограниченно возрастать. Такие тела называют телами Сен-
Венана-Мизеса. Определенный тип моделей может учитывать 
упрочнение металла, т.е. наблюдается повышение предела текучести 
с ростом степени деформации. Упругопластическое тело с линейным 
упрочнением и жестко-пластическое тело с линейным 
упрочнением приведены на рис. 5, д, е. 
Идеальная 
линейно-вязкая 
среда 
или 
среда 
Ньютона 
(рис. 5, ж) начинает деформироваться при любом напряжении, отличном 
от нуля. Скорость деформации такой среды пропорциональна 
напряжению, деформация необратима, изменение объема не 
происходит.
Вязкопластическая среда (рис. 5, з). Остаточное формоизменение 
проявляется при напряжении, равном пределу текучести σт.
При увеличении скорости деформации среда линейно упрочняется. 
Подобную модель часто используют при горячей обработке металлов 
давлением.