Техническая механика

ТЕХНИЧЕСКАЯ 

МЕХАНИКА

М.А. ЛУКЬЯНОВ
А.М. ЛУКЬЯНОВ

УЧЕБНИК

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебника для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 

23.05.03 «Подвижной состав железных дорог», 

23.05.04 «Эксплуатация железных дорог», 

23.05.05 «Системы обеспечения движения поездов», 

23.05.06 «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» 

(квалификация «инженер путей сообщения») (протокол № 10 от 15.12.2021)

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 656.2(075.8)
ББК 39.2я73
 
Л84

А в т о р ы:

М.А. Лукьянов, кандидат технических наук, доцент, доцент ка
федры строительной механики Российского университета транспорта 
(МИИТ);

А.М. Лукьянов, доктор технических наук, профессор, профессор ка
федры строительной механики Российского университета транспорта 
(МИИТ)

Р е ц е н з е н т ы:

Е.Н. Курбацкий, доктор технических наук, профессор кафедры мос
тов и тоннелей Российского университета транспорта (МИИТ);

Ю.Г. Чепелев, старший научный сотрудник Всероссийского на
учно-исследовательского института железнодорожного транспорта 
(ВНИИЖТ)

ISBN 978-5-16-016027-6 (print)
ISBN 978-5-16-106471-9 (online)

© Лукьянов М.А., Лукьянов А.М., 

2022

Лукьянов М.А.

Л84  
Техническая механика : учебник / М.А. Лукьянов, А.М. Лукьянов. — 

Москва : ИНФРА- М, 2024. — 486 с. — (Высшее образование: Специалитет). — DOI 10.12737/1078230.

ISBN 978-5-16-016027-6 (print)
ISBN 978-5-16-106471-9 (onlinе)
В учебнике изложены теоретические основы и методика расчетов 

на прочность, жесткость и устойчивость элемен тов конструкций железнодорожного транспорта. Приведены понятия, определения и справочные 
сведения в том объеме, который необходим для подготовки студентов к работе над курсовыми заданиями. Наряду с классическими приемами оценки 
прочности даются основные понятия механики разрушения. Характеризуется обстоятельным изложением теоретического материала и подробным 
решением примеров.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначен для студентов дневной и заочной форм обучения, полу
чающих образование по специальностям, связанным с железнодорожным 
транспортом.

УДК 656.2(075.8)

ББК 39.2я73

Предисловие

Курс «Техническая механика» относится к основным инженерным дисциплинам, изучаемым студентами при обучении 
на первых курсах вузов, и предусматривает освоение общих законов 
движения и равновесия материальных тел, основ расчета элемен тов 
конструкции на прочность, жесткость, устойчивость.
Указанный курс состоит из двух разделов — теоретической механики и сопротивления материалов, в которых внимание обращено 
на вопросы, излагаемые в дисциплинах «Организация и технология 
строительства на железнодорожном транспорте», «Техническая 
эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных 
машин и оборудования», «Техническая эксплуатация подвижного 
состава железных дорог».
Основные цели учебника: кратко и наглядно рассмотреть основы 
предмета, дать студентам начальные знания анализа и методов расчета элемен тов конструкций железнодорожного транспорта, описать экспериментальные исследования явлений и процессов, протекающих в них; помочь овладеть методами решения типовых задач; 
повысить эффективность самостоятельных занятий, оптимизировать время, затрачиваемое студентам на выполнение контрольных 
заданий.
Отметим следующие особенности предлагаемого учебника:
 
• наиболее полно описаны основные физические модели и изложены методы решения упругопластических задач применительно к стержням конструкций железнодорожного транспорта;
 
• основные вопросы курса подробно проиллюстрированы несложными примерами, способствующими приобретению навыков 
в решении более сложных задач.
Материал учебника составлен на основе действующей программы курса и многолетнего опыта преподавания авторами вышеуказанных дисциплин в Федеральном государственном автономном 
образовательном учреждении высшего образования «Российский 
университет транспорта».
Авторы выражает искреннюю благодарность рецензентам 
Е.Н. Курбацкому и Ю.Г. Чепелеву за полезные замечания, которые 
способствовали существенному улучшению учебника.

В результате освоения материала учебника студенты будут:
знать
 
• основные законы и принципы равновесия и движения материальных тел на основе моделирования;
 
• устройство и принципы работы узлов и деталей, механизмов 
и машин машиностроительных производств железнодорожного 
транспорта;
 
• физическую сущность изучаемых явлений и закономерностей;
 
• основные положения технической механики; представлять цели 
и задачи расчетов простейших элемен тов железнодорожного 
транспорта в статике и динамике их работы, используя методы, 
средства, приемы, алгоритмы и способы решения задач на прочность, жесткость, усталость и устойчивость стержневых конструкций;
уметь
 
• выполнять математические операции и действия на основе законов и принципов механики;
 
• проводить простейшие расчеты на прочность, жесткость, устойчивость;
 
• проводить конструктивные разработки, сочетая их с техникоэкономическими вопросами, сравнением трудоемкости, материалоемкости и стоимости транспортных конструкций;
 
• оформлять, представлять, описывать, характеризовать данные, 
сведения, факты, результаты работы на языке символов (терминов, формул, образов), введенных и используемых в курсе 
«Техническая механика»;
 
• рассчитывать, определять, находить, решать, вычислять, оценивать, измерять признаки, параметры, характеристики, величины, 
состояния, используя известные модели, методы, средства, решения, технологии, приемы, алгоритмы, законы, теории, закономерности;
 
• выбирать способы, методы, приемы, алгоритмы, меры, средства, 
модели, законы, критерии для решения задач курса «Техническая механика»;
 
• делать экономическую оценку выбранного материала в проведенных расчетах и полученных результатах;
владеть
 
• основами применения методов математического анализа и моделирования к решению практических задач;
 
• способностью к приобретению новых математических и естественно-научных знаний, используя современные образовательные и информационные технологии;

 
• основами нахождения уникальных ответов при расчете на прочность, жесткость и устойчивость стержневых конструкций;
 
• критическими суждениями, основанными на прочных знаниях 
расчетов элемен тов узлов и деталей, механизмов и машин машиностроительных производств железнодорожного транспорта;
 
• начальными основами расчета и конструирования деталей 
и узлов железнодорожного транспорта, анализа надежности 
проектируемых конструкций и обеспечения их долговечности 
при минимальных затратах материалов для их изготовления.

Раздел 1. 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В данном разделе: приведены определения основных понятий, 
на базе которых изложена теория вопроса; освещены законы классической (ньютоновской) механики, общие теоремы динамики механической системы, принцип Даламбера, основы аналитической 
механики Лагранжа.
Основные положения теории проиллюстрированы примерами 
и решениями типовых задач. Для усвоения теоретического материала рекомендуется выполнение индивидуальных курсовых заданий.

Глава 1. 
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ

1.1. ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Теоретическая механика — наука о равновесии и движении материальных тел, которая традиционно подразделяется на три раздела — статику, кинематику и динамику.
Статика изучает правила сложения сил, преобразования 
и упрощения систем сил, а также условия равновесия неподвижных 
материальных тел под действием различных систем сил.
В основе кинематики лежит исследование общих геометрических свойств движения материальных тел вне зависимости 
от причин, влияющих на характер движения.
В динамике движение материальных тел рассматривается 
с учетом действующих на них сил, от которых зависит характер 
этого движения.
Основные положения статики были установлены еще до нашей 
эры. Законы динамики в наиболее полном виде сформулированы 
Исааком Ньютоном в его книге «Математические начала натуральной философии», опубликованной в 1687 г.

Сформулированная Анри Пуанкаре и Альбертом Эйнштейном 
в начале прошлого века общая теория движения материальных 
тел (при скоростях движения, сопоставимых со скоростью света), 
так называемая теория относительности, содержит в качестве 
частного случая все законы Ньютона. Поэтому теоретическую механику, в основе которой лежат эти законы, справедливо называют 
ньютоновской, или классической.
Для решения практических задач вполне достаточна та точность, 
с которой законы классической механики описывают реальное движение. Это обстоятельство позволяет на стадии проектирования 
любого технического объекта предсказывать его поведение под действием разнообразных нагрузок.
Решение любой механической задачи состоит из ряда этапов. 
Сначала выбирается расчетная схема и для нее составляются разрешающие уравнения. Набор этих уравнений называют математической моделью. На следующем этапе составляется расчетный 
алгоритм, т.е. указывается последовательность выполнения математических операций, ведущих к решению задачи. В простейших 
случаях результат можно получить быстро и довольно простыми 
средствами. Следует обратить внимание на необходимость обязательного контроля полученного результата. Эта мера обеспечивает 
надежность результата вычислений и, как следствие, надежность 
создаваемого на базе этих результатов объекта.
Кроме проверки численных результатов большое значение 
имеет понимание внутренних сил взаимодействия, или механического «смысла» работы конструкции.
Рассмотрим более детально выбор расчетной схемы или порядок 
построения механической модели.
Механическое движение является простейшей формой движения. Оно состоит в изменении с течением времени взаимного 
расположения материальных тел или их частей в пространстве под 
действием нагрузок.
При решении довольно широкого круга задач о движении 
твердых тел бывает достаточно знать, как движется всего одна 
какая-либо точка этого тела, например его центр масс. В этом 
случае можно не учитывать, что при движении, например, снаряда 
он вращается вокруг своего центра масс. Тогда можно использовать простейшую механическую модель — материальную точку. 
Размеры тела и его форма при этом не учитываются. Единственной 
характеристикой является масса тела, которая считается сосредоточенной в центре масс.

Положение материальной точки в пространстве определяется 
тремя параметрами — декартовыми координатами. При этом принято говорить, что модель имеет три степени свободы. При наложении связей (ограничений) на движение число степеней свободы 
уменьшается. Широко распространена в исследованиях модель 
абсолютно твердого тела, когда можно пренебречь изменением 
взаимного расположения отдельных частиц реального тела, иными 
словами, не учитывать деформации.
Модель абсолютно твердого тела в трехмерном пространстве 
имеет шесть степеней свободы: по три степени свободы имеют 
центр масс и три возможных вращения тела относительно осей, 
проведенных через центр масс. Число степеней свободы уменьшается при наличии связей.
При изложении материала раздела 1 все твердые тела будут считаться недеформируемыми. Изучению поведения деформируемых 
тел посвящен раздел 2.

1.2. МЕХАНИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

Материальные тела в природе и технике находятся в постоянном взаимодействии. Планеты Солнечной системы находятся 
в силовом поле, создаваемым массами планет и Солнца, и движутся по эллиптическим орбитам, подчиняясь закону всемирного 
тяготения, открытому Ньютоном. Самолеты и вертолеты взаимодействуют с воздушной средой, морские и речные суда — как с воздушной средой, так и с жидкостью водных пространств, наземные 
экипажи (автомобили, поезда, дрезины и пр.) — с покрытием дорог 
или с рельсовым путем, а также с воздушной средой.
Детали станков, механизмов коммуницируют между собой 
и в целом (подобно зданиям и сооружениям) с опорами и воздушной средой.
В процессе взаимодействия материальные тела могут изменять 
свое состояние и свойства. Выделяя механическое взаимодействие, 
мы сознательно игнорируем другие виды физического или химического воздействия. В случае необходимости изучение коммуницирования тел может быть дополнено рассмотрением этих сопутствующих воздействий.
Механическое движение является простейшим видом движения 
материи.
Количественной мерой механического взаимодействия материальных тел является сила. Следует различать два вида силового 
взаимодействия. В поле тяготения или в магнитном поле оно воз

никает между всеми частицами тел и распределено по их объему. 
Взаимодействие материальных тел с воздушной или водной средой, 
с опорными устройствами происходит по поверхности контакта. 
Таким образом, силы можно считать либо приложенными по поверхности, либо объемными.

1.3. ПОНЯТИЕ СИЛЫ И СИСТЕМЫ СИЛ. 
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ

Для построения теории требуется ввести абстрактную модель — 
сосредоточенную силу.
Сила — это мера механического взаимодействия материала тел 
между собой. Она измеряют в ньютонах (1 Н ≈ 0,1 кг).
Силовой вектор имеет линию действия, точку приложения, направление действия и модуль (числовую величину).
Силы, действующие на тело (или систему тел), делятся 
на внешние и внутренние. Внешние силы бывают активными и реактивными. Активные силы вызывают перемещение тела, реактивные стремятся противодействовать перемещению тела под действием внешних сил.
При рассмотрении равновесия твердых тел некоторые силы 
будут полностью заданы, некоторые потребуется найти. При этом 
важно каждый раз уточнять, что именно нужно найти (линию действия силы, ее модуль и т.д.). Нечеткие представления в этом вопросе ведут к ошибкам при решении задач.
Довольно близко к модели абстрактной сосредоточенной силы 
подходит случай взаимодействия ножек стола с полом, или контакт 
отбойного молотка со скальной породой в шахте.
Для наиболее адекватного описания взаимодействия тел вводится понятие системы сил.
Системой сил называется совокупность сил, действующих 
на данное тело.
Введем еще несколько понятий, необходимых для дальнейшего 
построения теории.
Системы сил эквивалентны, если они оказывают одинаковое 
действие на твердое тело (не изменяют кинематического состояния 
тела — покоя или движения).
Система сил, эквивалентная нулю, является уравновешенной.
Равнодействующей системы сил называется такая сила, которая 
по своему действию эквивалентна всей системе сил.
Рассмотрим три примера, когда на тело действует система, состоящая из двух сил (рис. 1.1). Пусть модули сил равны: F1 = F2.

а
б
в F1
F1

F1
F2
F2
F2

z

x

y

R

Рис. 1.1. Примеры действия на тело системы двух сил:
а — линии действия сил сходятся в точке; б — линии действия сил образуют пару 
сил; в — линии действия сил скрещиваются

На рис. 1.1, а показано, что линии действия сил сходятся 
в одной точке. Их действие можно заменить одной равнодействующей силой:

 
R = F1 + F2. 
(1.1)

Из рис. 1.1, б видно, что две равные линии силы, действия которых параллельны, образуют пару сил. Действие пары сил вызывает вращение тела. Далее будут рассмотрены свойства пары сил. 
Равнодействующей в этом случае не существует.
Согласно рис. 1.1, в линии действия сил скрещиваются, такая 
совокупность сил приводит к динамическому винту.
Подробнее о действии динамического винта можно узнать 
из учебников по теоретической механике, которые приведены в библиографическом списке.
На основании рассмотренных примеров можно сделать вывод: 
не всякая система сил имеет равнодействующую. Ее существование 
каждый раз нужно устанавливать.

1.4. АКСИОМЫ СТАТИКИ

Аксиома 1.1. Под действием двух равных по модулю сил, действующих по одной прямой и противоположно направленных, тело 
находится в равновесии.
Аксиома 1.2. Состояние тела не изменится, если к нему приложить или от него отнять систему сил, эквивалентную нулю.
Аксиома 1.3. Равнодействующая двух сил, приложенных 
в одной точке тела, по величине и направлению равна диаго нали 
параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
Вектор равнодействующей силы равен геометрической сумме 
векторов сил. Модуль равнодействующей находится с помощью 
теоремы косинусов: