Сопротивление материалов. Практикум

 
 
 
 
 
 
А. М. Кравченко 
 
 
 
 
 
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 
 
ПРАКТИКУМ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2023
1 
 

УДК 539.3/.6 
ББК 30.121 
К77 
 
 
Рецензенты: 
професор РВВДКУ, доктор технических наук, профессор В. Ф. Васильченков; 
старший преподаватель РВВДКУ, кандидат технических наук, профессор  
И. П. Семеренко 
 
 
 
Кравченко А. М.  
K77   Сопротивление материалов. Практикум : учебное пособие / А. М. Кравченко. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. – 136 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1469-2 
  
Содержит примеры решения типовых задач по всему курсу дисциплины «Сопротивление материалов». Для улучшения образного восприятия объектов расчетов обучаемыми ряд расчетных схем сопровождаются изображениями 3D-моделей элементов конструкций, разработанных в среде САПР, в том числе и по результатам FEM-анализа их 
напряженно-деформированного состояния. 
Для обучающихся по специальности 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства». Может быть полезно преподавателям дисциплин «Детали машин и основы конструирования», «Техническая механика», «Инженерная графика», «Теория механизмов и машин», «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», а также 
инженерам, соискателям и техническим специалистам, связанным с проектированием и 
эксплуатацией изделий транспортного машиностроения и средств их обслуживания.  
 
УДК 539.3/.6 
ББК 30.121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1469-2 
” Кравченко А. М., 2023 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
 
2 
 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение ....................................................................................................................... 4 
1. Растяжение (сжатие) ............................................................................................... 5 
2. Геометрические характеристики плоских сечений ..........................................  21 
3. Сдвиг 
....................................................................................................................... 27 
4. Кручение 
................................................................................................................. 34  
5. Изгиб 
....................................................................................................................... 40  
6. Расчет с применением теорий прочности 
........................................................... 48 
7. Изгиб с кручением 
................................................................................................. 50 
8. Расчеты на прочность при переменных нагружениях 
....................................... 57  
9. Расчет стержней на устойчивость ....................................................................... 63 
10. Определение перемещений ................................................................................ 80 
11. Статически неопределимые системы 
................................................................ 85  
12. Динамические напряжения .............................................................................. 100 
Список литературы ................................................................................................. 115  
Приложения ............................................................................................................. 116 
 
 
3 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Основные цели освоения учебной дисциплины «Сопротивление материалов» по специальности подготовки 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства»:  
– научиться основным методам расчетов типовых моделей деталей, соединений и механизмов машин общего назначения; 
– научиться основам правил проектирования, обеспечивающих изготовление надежных и экономичных конструкций; 
– сформировать навыки проектно-конструкторской и научно-исследовательской деятельности. 
Дисциплина дает теоретические и практические знания для освоения военно-специальных дисциплин. 
В данном практикуме представлены примеры решения типовых задач по 
всему курсу дисциплины с включением справочного материала. Решение отдельных задач интерпретировано с помощью FEM-анализа (Final Elements Method – 
метод конечных элементов) электронных твердотельных 3D-моделей в среде 
CAD/CAE-систем Autodesk Inventor Professional, сертифицированным пользователем которой является автор, а также КОМПАС-3D. Это позволило визуализировать напряженно-деформированное состояние исследуемых механических систем, встречающихся в инженерной практике. Решение многих задач автоматизировано в среде электронных таблиц Excel, что позволяет, оперативно меняя 
входные данные, предлагать обучаемым различные их варианты для самостоятельного решения. 
Все пожелания и рекомендации по совершенствованию представленного в 
издании материала с благодарностью принимаются автором по адресу: 
kam@62.ru. 
4 
 

1. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) 
 
Растяжение или сжатие – простой вид деформации, при которой в поперечном сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная 
(нормальная) сила, а все прочие внутренние силовые факторы (поперечные силы, 
крутящий и изгибающие моменты) равны нулю. В процессе эксплуатации образцов ВВТ растяжение (сжатие) испытывают многие элементы конструкций. 
Например, поршни, шатуны и шатунные болты ДВС, тросы (канаты), тяги в приводах механизмов управления транспортных средств (ТС) и многие другие. 
Задача 1.1. Проверить прочность буксировочного троса диаметром d = 14 мм 
транспортного средства (ТС) при тяговом усилии на крюке величиной F = 40 000 Н 
и вычислить запас прочности S. Принять: [ı] = 280 МПа, [S] = 1,5–2,5. 
Решение 
Площадь поперечного сечения троса круглого сечения: 
 
А = ʌ ā d 2 / 4 = 3,14 ǜ 142 / 4 = 153,9 мм2. 
 
Условие прочности при растяжении: 
 
ı = F / A ” [ı]. 
 
Действующее напряжение: 
  
ı = 40000 / 153,9 = 260 МПа. 
 
Вывод 1: прочность троса обеспечена, так как условие прочности выполняется – величина расчетного напряжения не превышает величины допускаемого 
напряжения: 
ı = 260 МПа < [ı] = 280 МПа. 
 
Фактический коэффициент запаса прочности: 
 
S = [ı] / ı = 280 / 260 = 1,1. 
 
Вывод 2: запас прочности недостаточный так как S < [S]. Следовательно, 
для обеспечения надежной и безопасной работы троса в составе гибкой сцепки 
необходимо принять следующие меры: 
– увеличить диаметр троса; 
– использовать трос из более прочного материала; 
– снизить тяговую нагрузку на трос. 
 
Задача 1.2. Проверить возможность буксировки и подъема ТС массой  
m = 8000 кг с помощью стального троса. Принять: коэффициент сопротивления 
качению f = 0,3; допускаемая нагрузка на канат [F] = 293 000 Н. 
 
5 
 

Решение 
Тяговое усилие в тросе при буксировке ТС: 
 
FЭв = G ǜ f, 
где  G – вес ТС, Н: 
G = m ǜ g = 8000 ǜ 9,8 = 78 400 Н, 
 
FЭв = 78 400 ǜ 0,3 = 23 520 Н. 
 
Вывод 1: буксировка возможна, т.к. тяговое усилие в тросе не превышает 
допускаемой нагрузки: 
[F] = 293 000 Н > Fэв = 23 520 Н. 
 
Запас прочности при буксировке: 
 
[S]б = [F] / Fэв = 293 000 / 23 520 = 12,5. 
 
Запас прочности при подъеме ТС: 
 
[S]п = [F] / G = 293 000 / 78 400 = 3,7. 
 
Вывод 2: для осуществления подъема ТС трос также пригоден. 
 
Задача 1.3. Вычислить удлинение троса ¨l при буксировке АТС массой  
m = 5000 кг. Принять: длину троса l = 65 000 мм, площадь поперечного сечения 
троса A = 200 мм2, модуль продольной упругости для стали E = 200 000 МПа, 
коэффициент сопротивления качению fк = 0,1. 
Решение 
Тяговое усилие на тросе: 
 
F = m  g  fк = 5000 ā 9,8 ā 0,1 = 4900 Н. 
 
Абсолютное удлинение каната: 
 
ǻl = 
ி ڄ ௟
ா ڄ ஺ ൌ 
ସଽ଴଴ ڄ ଺ହ଴଴଴
ଶ଴଴଴଴଴ ൉ ଶ଴଴ = 8,1 мм. 
 
Задача 1.4. Рассчитать величину напряжения ı, возникающего в каждой из 
двух ветвей стального каната диаметром d = 16 мм механизма подъема (рисунок 1.1) груза массой m = 1545 кг. 
Решение 
Расчетное напряжение в поперечном сечении каната при растяжении: 
 
ı = G / A. 
 
6 
 

      
 
 
Рисунок 1.1 – Грузоподъемное устройство:  
твердотельная модель и расчетная схема 
 
Вес груза: 
G = m  g = 1545 ā 9,8 § 15 450 Н. 
 
Площадь поперечного сечения одной ветви каната: 
 
А = ʌ Â d 2 / 4 = 3,14 ā 16 2 / 4 = 201 мм2. 
 
Расчетное напряжение одной ветви каната: 
 
ɐ = 
ீ
ଶ ڄ ଶ଴ଵ = 37,7 МПа. 
ଶ஺ ൌ 
ଵହସହ଴
 
Задача 1.5. Рассчитать диаметр звена d (калибр) круглозвенной цепи грузовой тали (рисунок 1.2) для подъема груза массой m = 2000 кг. Принять: предел 
прочности материала звеньев ıb = 400 МПа, запас прочности трехкратный [S] = 3. 
Решение 
Вес груза: 
G = m  g = 2000 ǜ 9,8 = 19 600 Н. 
 
Условие прочности: 
ı = G / A ” [ı]. 
Допускаемое напряжение: 
 
[ı] = ıb / [S] = 400 / 3 = 133,3 МПа. 
 
7 
 

         
 
 
Рисунок 1.2 – Грузовая таль:  
твердотельная модель и расчетная схема цепи 
 
Площадь поперечного сечения одной ветви звена цепи из условия прочности: 
 
A = G / (2 ǜ [ı]) = 19 600/(2 ǜ 133,3) = 73,5 мм2. 
 
Диаметр звена: 
d = ඥ4ܣ / ߨ = ඥ4 ή 73,5 / 3,14 = 9,7 мм. 
 
Из приложения И выбираем Цепь А1–10×28 ГОСТ 2319-81. 
 
Задача 1.6. Рассчитать максимальную силу F, которую смогут выдержать 
шатунные болты ДВС (рисунок 1.3). Принять: диаметр болтов d = 16 мм; предел 
текучести материала болтов ıТ = 1200 МПа. 
 
      
 
 
Рисунок 1.3 – Шатунная группа ДВС:  
3D-модель и расчетная схема 
 
8 
 

Решение 
Условие прочности при растяжении: 
 
ߪ ൌ ܨ/ܣ൑ሾߪሿ. 
 
Допускаемое напряжение при растяжении: 
 
[ı] = ıТ / [S], 
 
где   [S] – коэффициент запаса прочности [S] = 1,5–2,5; принимаем [S] = 2. 
 
Тогда: 
[ı] = 1200 / 2 = 600 МПа. 
 
Площадь поперечного сечения одного болта: 
 
A = ʌd 2 / 4 = 3,14 ǜ 162 / 4 = 201 мм2. 
 
Величина допускаемого значения силы, действующей на каждый болт: 
 
F = 2  ǜA ā [ı] = 2ā201ā[ı] = 2 ā 3,14 ā 162 / 4 ā 600 = 241 152 Н. 
 
Задача 1.7. Рассчитать диаметр d каждого из двух шатунных болтов (рисунок 1.3), если при прохождении НМТ на крышку шатуна действует сила инерции величиной F = 128 000 Н. Принять предел текучести материала болта ıТ  = 1200 МПа. 
Решение 
Условие прочности при растяжении: 
 
ı = F / A ” [ı]. 
 
Допускаемое напряжение материала болта: 
 
[ı] = ıТ / [S], 
 
где  [S] – коэффициент запаса прочности [S] = 1,5–2,5; принимаем [S] = 2, 
 
тогда: 
[ı] = 1200 / 2 = 600 МПа. 
 
Суммарная площадь поперечного сечения двух болтов: 
 
A = 2 ā ʌ ā d 2 / 4 = ʌ ā d 2 / 2, 
 
A = F / [ı] = ʌ ā d 2 / 2. 
 
 
9 
 

Расчетный диаметр каждого болта: 
 
଺଴଴ ڄ ଷ,ଵସ = 11,7 мм. 
d = ට
ி ڄ ଶ
ሾఙሿ ڄ గ = ට
ଵଶ଼଴଴଴ ڄ ଶ
 
Задача 1.8. Вычислить абсолютную ǻl и относительную İ продольные деформации стальной круглой тяги 2 диаметром d2 = 10 мм привода механизма 
сцепления АТС (рисунок 1.4), если ее длина в исходном состоянии l2 = 200 мм, 
сила давления ноги водителя на педаль сцепления F1 = 400 Н, длины плеч двуплечего рычага L1 = 300 мм и L2 = 60 мм. Принять для стали Е = 200 000 МПа. 
 
     
  
 
Рисунок 1.4 – Привод механизма сцепления:  
изображение и расчетная схема 
 
Решение 
Условие равновесия моментов, действующих на плечи рычага: 
 
™M = 0, 
 
F2 ǜ L2 = F1 ǜ L1. 
 
Продольная сила в тяге 2: 
 
F2 = F1 ā L1 / L2 = 400 ā 300 / 60 = 2000 Н. 
10