Расчет на прочность и жесткость при простом сопротивлении. Практикум

 
 
 
 
С. Г. Корзун, А. М. Лаврентьев 
 
 
 
 
 
 
 
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ  
И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПРОСТОМ  
СОПРОТИВЛЕНИИ  
ПРАКТИКУМ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2023 
1 

УДК 539.3/.6 
ББК 22.251 
 
К66 
 
Рецензенты: 
генеральный директор ООО «Завод Ротор» к. т. н. В. А. Зубченко;  
Камышинский технический колледж 
 
 
 
Корзун, С. Г. 
К66  
Расчет на прочность и жесткость при простом сопротивлении. Практикум : учебное пособие / С. Г. Корзун, А. М. Лаврентьев. – Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. – 124 с. : ил., 
табл. 
 
ISBN 978-5-9729-1445-6 
 
Содержит краткую теорию по основным вопросам сопротивления материалов. Дан необходимый материал для выполнения практических заданий, примеры выполнения заданий и контрольные вопросы. Приводятся примеры оформления расчетно-графических работ и индивидуальные 
задания. 
Для студентов, обучающихся по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств». 
 
УДК 539.3/.6 
ББК 22.251 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1445-6 © Корзун С. Г., Лаврентьев А. М., 2023 
 
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
© Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
2 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Цель данного пособия – обратить внимание студентов на те основополагающие понятия, которые используются при расчетах на прочность и жесткость при простом сопротивлении по второй части дисциплины «Техническая механика»  – «Сопротивление материалов». 
Краткое дозированное изложение теоретических положений по 
отдельным темам, подробные пояснения к расчетам и контрольные вопросы позволяют более полно организовать самостоятельную работу, 
как на практических занятиях, так и во внеаудиторное время. 
В пособии приводятся также примеры оформления расчетнографических работ и индивидуальные задания, что способствует индивидуализации обучения. 
 
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ  
 
1. 
 Работа выполняется на листах стандартного формата А4 
(210×297) мм. 
2. 
 Все схемы и рисунки выполняются в карандаше с помощью 
чертежных инструментов (циркуль, линейка, транспортир); их точно, 
аккуратно и четко подписывают. 
3. 
 Последовательность оформления: тема задания, условие задачи, 
решение с необходимыми краткими пояснениями. 
 
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ  
ВЫПОЛНЕНИЯ 
 
• Изучить теоретический материал. 
• Ответить на контрольные вопросы. 
• Разобрать самостоятельно предложенные типы задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 

x
y
z
 
 
Рис. 1 
РАЗДЕЛ  
«ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ИЛИ СЖАТИЕ» 
 
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1 
 
Тема: Расчет на прочность и жесткость статически определимого 
ступенчатого бруса. 
Цель: Освоить определение величины продольных сил и нормальных напряжений в поперечных сечениях ступенчатого бруса и построение их эпюр. Освоить определение перемещений поперечных сечений. 
Время проведения: 2 часа. 
 
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 
 
1.1. Понятие о брусе 
 
Объектом изучения в сопротивлении материалов является брус. 
Брусом называется тело, у которого длина значительна по сравнению с 
его поперечными размерами (рис. 1). 
Брус, работающий на осевое 
растяжение или сжатие, принято 
называть стержнем. 
Геометрическое место центров 
тяжести поперечных сечений есть 
продольная ось бруса z. 
Форма поперечного сечения не 
оказывает существенного влияния 
на прочность и жесткость бруса 
при центральном растяжении-сжатии. 
При расчетах на прочность и жесткость принимают во внимание 
лишь величину площади поперечного сечения. Площадь – простейшая 
геометрическая характеристика поперечного сечения. 
 
1.2. Продольная сила и метод ее определения 
 
Деформация центральное (осевое) растяжение (сжатие) имеет место 
в случае действия на стержень уравновешенной системы сил, направленных вдоль его продольной оси или параллельно ей (рис. 2, а). 
При этом в поперечных сечениях стержня действует только один 
внутренний силовой фактор: продольная сила NZ (рис. 2, б). 
4 

При постоянных поперечных размерах стержня, принадлежащих 
различным участкам, величина продольной силы не одинакова. 
Графическое изображение закона изменения величины продольной 
силы по длине стержня называется эпюрой продольных сил (Эп N),  
см. рис. 6, в. 
z
F4
F3
F2
F1
III
II
I
a)
F1
F 2
Nz
z
 
б)
Рис. 2 
Для стержней постоянного поперечного сечения эпюра N позволяет определить место положения опасного сечения – сечения, в котором действует наибольшая (по абсолютной величине) продольная сила. Следует отметить, что на практике довольно часто встречаются 
случаи нагружения стержней, которым соответствуют простейшие 
расчетные схемы (рис. 3, а, б). 
F
F
F
F
сжатие
растяжение
 
а)                                                                 б) 
Рис. 3 
В таких условиях работают стержни в различных стержневых системах, например, кронштейнах, фермах и т. д. (рис. 4, а, б). 
F
α
F
 
а)                                                                           б) 
Рис. 4 
5 

Порядок определения величины продольной силы. 
• Стержень разбивают на участки, границами которых являются 
сечения, где приложены силы, и сечения, где изменяется площадь. 
В нашем случае стержень имеет 3 участка (рис. 2, а). 
• В пределах каждого участка используют метод сечений: 
– разрезают стержень поперечным сечением (рис. 2, а); 
– отбрасывают одну из частей стержня (желательно ту, к которой приложено больше сил или силы, величина которых неизвестна) 
(рис. 2, б). 
• Пользуясь соответствующими правилами, определяют величину 
продольной силы. 
I правило: величина продольной силы в произвольном сечении 
стержня численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных к оставшейся части 
стержня. 
Это правило составлено из рассмотрения равновесия оставшейся 
части стержня (рис. 2, б). 
0
FZ =
¦
 
0
F
F
N
1
2
Z
=
−
+
, 
откуда следует, что: 
−
=
2
1
Z
F
F
F
N
, 
.
ост
Z

	

¦
или окончательно: 
.
¦
=
ост.
Z
Z
F
N
 
F1
+
растяжение
F2
-
сжатие
 
 
Рис. 5 
 
II правило (правило знаков): 
если внешняя сила растягивает 
стержень, то ее проекцию на ось z 
следует взять со знаком «плюс», а 
если сжимает, то со знаком «минус» (рис. 2, б). 
Примечание: используя это правило, следует мысленно закрепить 
стержень в рассматриваемом сечении и использовать принцип независимости действия сил (рис. 5, а, б). 
 
6 

Порядок построения эпюры  N. 
• Проводят ось эпюры непосредственно под расчетной схемой при 
горизонтальном расположении схемы (рис. 6, б) или справа от нее при 
вертикальном расположении (рис. 7, б). 
• В пределах каждого участка откладывают значение N в выбранном масштабе: положительные – вверх (вправо), отрицательные – вниз 
(влево) (рис. 6, б и 7, б). 
• Через концы полученных отрезков проводят прямые, параллельные оси эпюры. 
• Штрихуют эпюру линиями, перпендикулярными оси эпюры 
(стержня), т. к. каждая линия штриховки имеет определенный физический смысл: в выбранном масштабе она соответствует значению продольной силы в данном сечении (рис. 6, б и 7, б). 
Указывают на эпюре значение продольных сил в пределах каждого участка. 
На большем поле эпюры один раз сверху (справа) от оси указывают знак «плюс», снизу (слева) – знак «минус». 
2
3
1
F  = 4F
F  = F
4
3
F = 5F
2
F = 2F
1
a)
1
2
3
III
II
I
2F
+
Эп N
3F
б)
4F
1
F
1
в)
1
2
3
F4
F1
F2
2
г)
д)
3
 
 
Рис. 6 
7 

Над эпюрой выполняют надпись: Эп N (кН). 
Рассмотрим вышеизложенное на примере. 
Определим величину продольных сил в поперечных сечениях 
стержня, представленного на рис. 6, а, при следующих значениях приложенных сил: F1 = 2F; F2 = 5F; F3 = F; F4 = 4F. 
N1 = F1 = 2F, т. к. сила F1 растягивает стержень, при защемленном 
сечении 1-1 (рис. 6, в). 
N2 = F1 – F2 = 2F – 5F = –3F, т. к. остались 2 силы при отброшенной 
правой части (рис. 6, г); сила F2 сжимает брус, поэтому она в уравнении 
со знаком «минус». 
N3 = –4F, т. к. при отброшенной левой от сечения 3–3 части стержня 
осталось только одна сила 4F, которая вызывает сжатие оставшейся части (рис. 6, д). 
Правила контроля правильности эпюры N.  
1. В пределах каждого участка эпюра N изображается прямой, 
параллельной оси эпюры. 
2. В сечениях стержня, в которых приложены внешние силы на 
эпюре, имеются скачки, величина которых соответствует величине 
приложенной силы. 
Например: в сечении, где приложена сила F2 = 5F, величина скачка равна 5F (2F + 3F), (рис. 6, а и б). 
Эп N, кН
4
F =  9 кН
3
+
5
2
F = 3 кН
2
F = 2 кН
1
 
 
 
 
а) 
 
 
 
 
 
     б) 
Рис. 7 
 
Используя правила определения величины продольной силы и 
правила контроля эпюры N, можно, не прибегая к предварительным 
расчетам, построить эпюру продольных сил (рис. 7). 
8 

В нижнем сечении скачок вправо (т. к. сила F1 растягивает брус) 
на величину 2 кН, дальше – прямая параллельная оси эпюры до сечения, где действует сила F2. Скачок вправо на 3 кН и прямая параллельная оси до сечения с нагрузкой F3; скачок на 9 кН влево (в минус), 
т. к. сила F3 сжимает брус и прямая, параллельная оси эпюры. 
 
1.3. Напряжения в поперечных сечениях 
 
Продольной силе соответствуют нормальные напряжения σ, величина которых определяется по формуле: 
 
A
N
=
σ
, 
 
где N – продольная сила в рассматриваемом сечении; А – площадь поперечного сечения. 
Продольная сила есть статический эквивалент нормальных напряжений (равнодействующая внутренних, нормальных к сечению, 
сил упругости). 
 
dA
N
А
Z
⋅
³ σ
=
 
σ
Nz
F
 
Рис. 8 
 
Величина нормального напряжения одинакова во всех точках поперечного сечения (рис. 8). 
Эпюру σ строят аналогично эпюре N, предварительно определив 
значения σ на каждом участке. 
Единицы измерения напряжения в системе СИ: 
 
1МПа = 106 Па (н/м2); 
 
6
Н
10
мН
1
МПа
1
=
=
=
. 
2
2
6
м
2
мм
Н
1
мм
10
 
Наиболее удобной для использования является интерпретация           
1 МПа = 1 Н/мм2; т. к. большинство деталей машин имеют размеры, 
соизмеримые с миллиметрами. 
9 

1.4. Определение деформаций и перемещений 
при осевом растяжении (сжатии) 
 
Перемещение произвольного поперечного сечения стержня – есть 
изменение положения сечения по отношению к его первоначальному 
положению или по отношению к сечению, принятому за неподвижное. 
Перемещение поперечных сечений является следствием абсолютной деформации (удлинения или укорочения) части бруса, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением. 
Абсолютная деформация ΔA отдельных участков бруса определяется по формуле Гука: 
 
A
A
⋅
σ
=
Δ
, 
EA
N A
A
⋅
=
Δ
     или     
E
 
где N – продольная сила, Н; A – длина рассматриваемого участка стержня, мм; Е – модуль упругости первого рода материала стержня, МПа;  
А – площадь поперечного сечения, мм2; σ – нормальные напряжения, 
действующие в поперечных сечениях рассматриваемого участка, МПа. 
Перемещение произвольного сечения стержня равно алгебраической сумме абсолютных деформаций его участков, расположенных 
между неподвижным и рассматриваемым сечением: 
 
¦Δ
=
δ
A . 
 
Для построения эпюры перемещений необходимо отложить от 
нулевой линии величины перемещений характерных (граничных) сечений (точек) в соответствии с их знаком, вверх «+», вниз «–» – при 
горизонтальном расположении бруса, и вправо «+», влево «–» – при 
вертикальном расположении бруса и полученные точки соединить отрезками прямых. 
В отличие от эпюр N и σ эпюра δ изображается ломаной линией, т. к. 
величина перемещения каждого сечения зависит от длины, 
( )
A
f
=
δ
. 
 
1.5.  Расчет на прочность 
 
Условие прочности при центральном растяжении (сжатии) имеет 
вид: 
]
[
A
N
σ
≤
=
σ
. 
 
где [σ] – допускаемое напряжение. 
10