Стереометрия. Решение задач повышенного уровня в вариантах ЕГЭ и не только

А.А. Прокофьев

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Решение задач повышенного уровня 
в вариантах ЕГЭ и не только

Москва
«Интеллект-Центр»
2023

Электронное издание

УДК 373.167.1:514.113+514.112(075.3)
ББК 22.151.0я73
П80

Рецензент:

Т. Н. Казарихина – кандидат педагогических наук, 
заместитель директора по НМР АНО СОШ «Димитриевская», доцент МПГУ

П80
Прокофьев, А. А.

Стереометрия. Решение задач повышенного уровня в вариантах ЕГЭ и не только 
/ А. А. Прокофьев. — Эл. изд. — 1 файл pdf : 227 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.

ISBN 978-5-907651-40-1

Пособие «Стереометрия. Решение задач повышенного уровня в вариантах ЕГЭ и не только» написано на 
основе личного опыта автора в преподавании геометрии учащимся профильных классов. Оно будет полезно 
всем выпускникам на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ по математике на профильном уровне, учителям, осуществляющим обучение геометрии в старших классах, методистам и репетиторам, а также может быть использовано и при дистанционном обучении.

УДК 373.167.1:514.113+514.112(075.3) 
ББК 22.151.0я73

Электронное издание на основе печатного издания: Стереометрия. Решение задач повышенного уровня в вариантах 
ЕГЭ и не только / А. А. Прокофьев. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — 224 с. — ISBN 978-5-90765122-7. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907651-40-1
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2023
© А. А. Прокофьев, 2022

ВВЕДЕНИЕ

Пособие «Стереометрия. Решение задач повышенного уровня в вариантах ЕГЭ и не 
только» написано на основе личного опыта автора в преподавании геометрии учащимся профильных классов. Оно будет полезно всем выпускникам, на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ по 
математике на профильном уровне, учителям, осуществляющим обучение геометрии в старших классах, методистам и репетиторам, а также может быть использовано и при дистанционном обучении. 
Пособие предназначено для отработки навыков решения стереометрических задач в вариантах ЕГЭ по математике профильного уровня. Особое внимание в книге уделено теоретическим сведениям, необходимым для решения стереометрических задач, и правильному их 
применению, особенно в пунктах заданий на доказательство, способам построения сечений 
многогранников плоскостью, использованию векторного и координатного методов решения 
задач. Также пособие содержит набор опорных задач, составляющих основу для выполнения 
большинства задач в формате ЕГЭ.
Материал, представленный в книге, структурирован по тематическому принципу, а внутри каждой темы распределён по типам задач. Каждый параграф включает теоретическую и 
наглядно-практическую (примеры решения задач различными методами) части, а также тренировочные упражнения, представляющие собой задания из вариантов ЕГЭ прошлых лет или 
близкие им по содержанию, и ответы к ним. Как правило, параграф начинается с изложения 
необходимых теоретических сведений, знакомства с набором опорных задач и их решения.
Важно понимать, что научиться решать стереометрические задачи можно только усвоив 
основные теоретические сведения и применив их в дальнейшем при решении тренировочных 
упражнений.
Автор

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

§ 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них. Опорные задачи

Основные понятия

● Стереометрия – раздел геометрии, изучающий свойства тел и фигур, взаимное положение линий, плоскостей, поверхностей и тел в трехмерном пространстве.
Основными неопределяемыми понятиями в стереометрии являются: точка, прямая и 
плоскость. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита A B C
,
,
,; прямые 
– либо двумя прописными буквами латинского алфавита AB MN
,
, либо строчными буквами 

, , ,
a b c ; плоскости – либо тремя прописными буквами латинского алфавита 
,
ABC  
,
MNP  
либо буквами греческого алфавита a, b, γ.
● Фигурой называется всякое множество точек, прямых и плоскостей в пространстве. В 
свою очередь, прямая, плоскость – множества точек. Пространство – множество всех точек. 
Геометрическая фигура называется пространственной, если не все точки ее лежат в одной плоскости. Примером пространственной фигуры может служить геометрическое тело – 
часть пространства, занимаемая предметом. Геометрическое тело отделяется от окружающего 
пространства поверхностью.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить так, чтобы 
они совпали всеми своими частями. Предполагается, что при перемещении в пространстве 
геометрические фигуры не изменяются.
В геометрических предложениях такие слова, как «лежать», «принадлежать», «совпадать», «проходить», «пересекать», «параллельны», «перпендикулярны» выражают отношения 
между точками, прямыми и плоскостями. Обычно используют обозначения:
Œ – знак принадлежности. Так, запись A Œa (или A Œa) означает, что точка A принадлежит прямой a (или плоскости a).
⊂ – знак включения. Так, запись a ⊂ a означает, что множество точек прямой a включается во множество точек плоскости a.

  – знак пересечения. Например, запись a   b означает пересечение плоскостей a и b, 
a   b прямых a и b, a   a прямой a и плоскости a. Оно может равняться пустому множеству, 
если соответствующие элементы не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Аксиомы стереометрии

В стереометрии, так же, как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. Некоторые свойства фигур не подлежат доказательству и принимаются в качестве исходных. Основные свойства плоскостей 
выражаются следующими аксиомами (по учебнику [1]):
А1. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой 
плоскости. В этом случае говорят, что прямая лежит в плоскости.
А3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Следствия из аксиом

1. Через прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести плоскость и притом только одну.
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну.
4. Через любую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.
Как видно из аксиом и следствий из них, плоскость задается однозначно следующим 
набором элементов:
а) даны три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 1а);
б) дана прямая и не принадлежащая ей точка (рис. 1б);
в) даны две пересекающиеся прямые (рис. 1в).
Кроме этого, как будет видно из дальнейшего, две параллельные прямые в пространстве 
однозначно задают плоскость (рис. 1г).

           Рис. 1а                         Рис. 1б                            Рис. 1в                         Рис. 1г

A
α
b

a

A
b
a

A

a

C

B

α
α
α

Рис. 3а  
Рис. 3б 
Рис. 3в 
Рис. 3г 

Задача 1.  Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости a, b, γ. Докажите, что, 
если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая 
проходит через точку их пересечения.
Доказательство. 
Пусть 
a
a
b =

, 
b
b
γ =

, 

c
a
γ =

 и a
b
A

=
 (рис. 2). Докажем, что A
c
∈ . 
Поскольку A
a
∈
 и A
b
∈ , то точка A  принадлежит 
всем трем плоскостям a, b, γ. Тогда по аксиоме 2 
плоскости a и γ имеют общую точку, следовательно, 
они пересекаются по прямой, проходящей через эту 
точку. Но по условию 
c
a
γ =

. Значит, A
c
∈ . 

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые в пространстве либо лежат в одной плоскости, либо нет. 
● Прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общую точку, называются пересекающимися.
● Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.
● Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема 1  (пространственная теорема о параллельных прямых). Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
Доказательство. Пусть a  – произвольная прямая пространства, M  – точка, не принадлежащая ей (рис. 3). Через прямую 
a  и точку M  можно провести единственную плоскость (обозначим ее a). На плоскости a через эту точку M  можно прове
сти прямую b  такую, что b a

 и M
b
∈ . Докажем, что прямая 

b  единственная. Допустим, что существует другая прямая 
1b , 

A
a

α

β

γ

b

c

Рис. 2 

M
b

a

b1

α

Рис. 3 

которая не совпадает с прямой b, параллельная прямой a  и проходящая через точку M. Тогда поскольку 
1
a b

, то по определению они лежат в одной плоскости (пусть это плоскость 
a1). Плоскости a и a1 имеют общие элементы (прямую a  и точку M, не принадлежащую ей). 
Следовательно, они совпадают, Тогда, прямые b и b1 лежат в одной плоскости, параллельны и проходят через точку М, а значит, совпадают.

Теорема 2  (признак параллельности прямых). Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу или совпадают.
Доказательство. Пусть прямые b и c такие, что 

|| ,
b a  ||
c a  (рис. 4). Докажем, что ||
b c .
Случай, когда прямые a, b и c лежат в одной плоскости, рассматривался в планиметрии. Поэтому 
рассмотрим случай, когда они не лежат в одной 
плоскости. 
Пусть плоскости a и b таковы, что b ⊂ a, c ⊂ a, а 
с ⊂ b, а ⊂ b. Плоскости a и b различны. Выберем 
на прямой b точку B и проведем плоскость γ через 
прямую с и точку B. Она пересечет плоскость a 
по прямой 
1b . Допустим, что b1 пересекает прямую a  в точке A. В этом случае 
1b
a
γ =

, 
a
a
b =

, 
c
b
γ =

 и 
1
a
b
A

=
, следовательно 

A
c
∈  (см. задачу 1), то есть прямая с не параллельна прямой a , что противоречит условию теоремы. Значит, b1 не пересекает a, но тогда 
1 ||
b
a  и, следовательно, 
1b
b
=
 (по предыдущей теореме). Значит, прямая b лежит в одной плоскости γ с прямой с и не пересекает ее, значит ||
b c .

Задача 2.  Прямые a и b пересекаются в точке M. Докажите, что 
любая прямая, пересекающая прямые a и b, не проходящая через точку M, лежит с ними в одной плоскости. 
Доказательство. Через две пересекающиеся прямые a и b 
( a
b
M

=
) можно провести плоскость a и притом только одну. 
Пусть третья прямая c (рис. 5) проходит так, что a
c
N

=
, 

b
c
K

=
. Плоскость a содержит точки N и K, лежащие на прямой c. Следовательно, c ⊂ a. 

Задача 3.  Дана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
Доказательство. Пусть даны прямая a и точка M
a
∉
 (рис. 6). 
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести 
плоскость и притом только одну (обозначим ее a). Выберем 
произвольную точку на прямой a (например, точку N) и проведем прямую b через точки M и N. Две точки прямой b  лежат в 
плоскости a, значит прямая b лежит в плоскости a. Поскольку 
точка N – произвольная точка прямой a, то все прямые, проходящие через точку M и пересекающие прямую a лежат в плоскости a. 

a

c

b1

b
γ

A

B

β

α

 

Рис. 4 

M
b

a

α
c
K

N

 
Рис. 5 

M
b

a

α
N

 
Рис. 6 

Задача 4. Докажите,чтовсепрямые,пересекающиеоднуиздвухскрещивающихсяпрямыхи

параллельныедругой,лежатводнойплоскости.
Доказательство. Пусть даны скрещивающиеся прямыеaиb(рис.7).Возьмемнапрямойb произвольную
точкуMипроведемпрямуюcтак,что c
a

и c
b
M

=
 
(онаединственна!).Черездвепересекающиесяпрямые
bиc (c
b
M

=
) можнопровестиплоскостьaипритом

толькоодну. РассмотримпроизвольнуюточкуNнапрямойb,отличнуюотточкиM.Вплоскостиaчерезточку
N можнопровестипрямую d
c

(соответственно d
a

).

ТаккакчерезточкуN впространствеможнопровести
единственнуюпрямую,параллельнуюданной,толюбая
прямая,параллельнаяaипроходящаячерезточкуN,совпадетсd.Соответственновсепрямые,пересекающие
прямуюbипараллельныепрямойaлежатводнойплоскостиa.

Еслижепроцесспостроенияплоскостиначатьскакой-тодругойточки
1
M
b
∈ построить

плоскостьa1,товэтойплоскоститакжебудетлежатьпрямаяc,рассмотреннаявыше.Тогда
получаемb ⊂ a,c ⊂ a иb ⊂ a1,c ⊂ a1.Следовательно,плоскостиaиa1.
Такимобразомдоказано,чтовсепрямые,пересекающиеоднуиздвухскрещивающихся

прямыхипараллельныедругой,лежатводнойплоскости.

Пример 1.В правильном тетраэдре ABCD  точка K – центр

грани ABD ,точка M –центрграни ACD .Докажите,чтопрямые BC и KM параллельны.
Доказательство. Всеграниправильноготетраэдра–правильныетреугольники.Вправильномтреугольникецентрграни–
точкапересечениямедиан.Пусть CH –медианатреугольника
CAD ,а BH –медианатреугольника BAD  (рис.8). 

Поскольку
1
2
HM
HK
MC
KB
=
=
, то
1
3
HM
HK
HC
HB
=
=
. Значит, треу
гольники HKM и HBC подобныподвумпропорциональным
сторонамиуглумеждуними,азначитпрямые KM и BC  параллельны.

§ 2. Основные теоремы (признаки) стереометрии

БольшинстводоказательстввстереометрическихзадачахизвариантовЕГЭоснованона

примененииследующихпризнаков:

–признакскрещивающихсяпрямых;
–признакпараллельностипрямойиплоскости;
–признакпараллельностиплоскостей;
–признакперпендикулярностипрямойиплоскости;
–признакперпендикулярностиплоскостей.

● Двепрямыевпространстве,нележащиеводнойплоскости,называютсяскрещивающимися.

Рис. 7 

M
b

a

α

N
c

d

Рис. 8

H
K

D

C

B

A

M

Пусть точки 
,
,
,
A B C D  (рис. 9) не лежат в одной плоскости. Фигура, образованная отрезками 
,
AB  BC , DC  
и 
,
AD  называется пространственным четырехугольником.
Замечание. Точки A, B, C и D, в общем случае, задают 
несколько различных пространственных четырехугольников. Поэтому кроме вершин необходимо указывать и 
отрезки, являющиеся сторонами пространственного четырехугольника.
Справедливы следующие утверждения:
1. Середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
2. Два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон пространственного 
четырехугольника, и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной 
точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство. Пусть дан пространственный четырехугольник 
ABCD. Точки K, L, M, N – середины рёбер AB, BD, DC, AC (рис. 10а). 
В треугольнике ABC  отрезок KN  является медианой, значит 

KN
BC
 
 и 
1
2
KN
BC
=
. А в треугольнике BDC  отрезок LM  явля
ется медианой, значит, LM
BC
 
 и 
1
2
LM
BC
=
. 

Так как KN
BC
LM


 
 
, то KN
LM
 
, а так как прямые KN  и LM  
пересекают прямую NM  и параллельны, то они лежат в одной плоскости. Значит, точки 
, ,
,
K L M N
  
 
 лежат в одной плоскости и являются вершинами четырехугольника, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, то есть параллелограмма. 
Соответственно отрезки, соединяющие середины противоположных 
сторон пространственного четырехугольника ABCD  являются диагоналями в параллелограмме KLMN  для параллелограмма верно, 
его диагонали пересекаются в точке O
KM
LN

=
 и точкой пересечения делятся пополам.
Пусть точки E  и F  – середины отрезков AD и BC  соответственно (AD и BC  – диагонали пространственного четырехугольника) (рис. 10б). Аналогично доказывается, что четырехугольник 
KEMF – параллелограмм, его диагонали также пересекаются в точке 

O
KM
EF

=
 и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, верно, что два отрезка, 
соединяющие середины противоположных сторон пространственного четырехугольника, и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 3  (признак скрещивающихся прямых). Если одна 
из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а 
другая прямая пересекает эту плоскость в точке, 
не лежащей на первой прямой, то эти прямые 
скрещиваются (рис. 11).

A
D

B

C

α
 

Рис. 9  

 

Рис. 10 
Рис. 10 

M

D

C

B

A
N

K

L

M

D

C

B

A
N
K

L

O

E

F
 
a  
б 

Рис. 10 

C

M

D

C

B

A
N
K

L

O

E

F
 

б 

a

b

α
B

 

Рис. 11 

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Возможны следующие случаи расположения в пространстве прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости (или плоскость проходит через прямую);
б) прямая и плоскость имеют одну общую точку, т. е. прямая пересекает плоскость. Точку 
их пересечения называют следом прямой на данной плоскости;
в) прямая не имеет общих точек с плоскостью, т. е. прямая параллельна плоскости.

Параллельность прямой и плоскости 

● Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. 

Теорема 4   (признак параллельности прямой и плоскости). 

Если прямая a  не лежит в плоскости a и параллельна прямой 
1a , лежащей в плоскости a 
(рис. 12), то она параллельна плоскости a.

Теорема 5.  Если две плоскости a и b, проходящие соответственно через параллельные прямые a  и b, пересекаются, то прямая их пересечения c  параллельна обеим данным прямым a  и b (если, конечно, 
прямая c  не совпадает ни с a , ни с b) (рис. 13).

Теорема 6.  Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Следствие: если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то 
она параллельна линии их пересечения.

Теорема 7.  Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то и 
другая прямая параллельна той же плоскости или лежит в ней.

Теорема 8.  Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость и притом 
только одна, параллельная другой прямой.

Пример 2.  В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD  лежит квадрат 

ABCD . Через середины рёбер MA и MB  проведена плоскость a, параллельная 
ребру MC .  Докажите, что плоскость a параллельна ребру MD .

Доказательство.  Пусть точка N  – середина ребра MA, а 
точка K – середина ребра MB  (рис. 14). Плоскость a пересекает грань BMC  по отрезку KL  (точка L  лежит на ребре  
BC), параллельному ребру MC . Ребро CD  параллельно ребру AB  (как стороны квадрата), а ребро AB  параллельно 
отрезку NK  ( NK – средняя линия в треугольнике AMB ). 
Следовательно, плоскость a параллельна плоскости грани 
CMD . Поэтому прямая MD  параллельна плоскости a.

α

a1

a

Рис. 12 

β

c

b

α
a

 

Рис. 13 

A

B

M

N
K

C

D

L

 

Рис. 14 

Пример 3.  В правильной треугольной пирамиде SABC  
точка K  делит сторону SB в отношении 2:1
   
считая от вершины S , точка L  делит сторону 
AC  в отношении 1:2
   считая от вершины C . 
Через точки L  и K  параллельно SA проведена 
плоскость a. Докажите, что плоскость a параллельна прямой BC .
Доказательство.  Так как плоскость a параллельна прямой SA и имеет с плоскостью грани SAB  общую точку К, 
то она пересекает эту плоскость по прямой KP
SA

, где 

P
AB
= a 
 (рис. 15). В таком случае по теореме Фалеса 

следует 
1
2
BP
BK
PA
KS
=
=
. 

Тогда, треугольники APL  и ABC  подобны по двум пропор
циональным сторонам 
2
3
PA
AL
BA
AC
=
=
 и углу между ними,

а значит, поэтому отрезок PL  параллелен BC . Поскольку точки K , P  и L  лежат в плоскости 
a и прямая BC  параллельна лежащей в плоскости сечения прямой PL , она параллельна и самой плоскости a по признаку параллельности прямой и плоскости.

Пример 4.  Дана прямая призма 
1
1
1
ABCA B C . Докажите, что линия пересечения плоскостей 
1
ABC  и 
1
1
A B C  параллельна основаниям призмы.
Доказательство. Пусть точка 
1
1
O
AC
AC

=
 (рис. 16). Значит, 
она – общая точка плоскостей 
1
ABC  и 
1
1
A B C. Проведем через 
нее прямую l, параллельную AB  и 
1
1
A B  (
1
1
AB
A B

, поскольку 
призма прямая и все её боковые грани – прямоугольники). Поскольку прямая, проходящая через точку плоскости параллельно 
прямой этой плоскости, лежит в этой плоскости, то прямая l  лежит в обеих плоскостях 
1
ABC  и 
1
1
A B C, то есть 
1
1
1
l
ABC
A B C

=
. 
А так как l  параллельна AB, она параллельна плоскости основания призмы.

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

● Прямая называется перпендикулярной плоскости (или перпендикуляром к плоскости), 
если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (перпендикулярность в 
данном случае понимается в смысле «угол между скрещивающимися прямыми равен 90°»). 
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90°.
● Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная ей, называется наклонной 
к этой плоскости.
Теорема 9  (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна 
двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, то есть она перпендикулярна 
плоскости.
● Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки на плоскость называется след перпендикуляра, проведенного через эту точку к данной плоскости. 
● Наклонная – отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой на плоскости, отличной от ортогональной проекции на плоскость первой точки. 

A

B

S

K

C

P
L

 

Рис. 15 

C

B

A

B1
A1
C1

O
l

 
Рис. 16