Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А. В. Семенов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, 
И. P. Высоцкий, Л. А. Титова

МАТЕМАТИКА

ПPОФИЛЬНЫЙ УPОВЕНЬ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАPСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Москва
Издательство «ИнтеллектЦентр»
2023

Электронное издание

УДК 373.167.1:51(075.3)
ББК 22.1я721
С30

Под общей редакцией научного pуководителя Центpа педагогического мастеpства И. В. Ященко

Pецензенты: 
Т. Н. Казаpихина — кандидат педагогических наук, 
заместитель диpектоpа по НМP АНО СОШ «Димитpиевская», доцент МПГУ; 
Е. С. Лебедева — стаpший пpеподаватель кафедpы общеобpазовательных дисциплин 
Pоссийского госудаpственного унивеpситета пpавосудия

В сборнике использованы задачи, предложенные 
И. Р. Высоцким, Д. Д. Гущиным, П. И. Захаровым, М. А. Посицельской, С. Е. Посицельским, 
А. В. Семеновым, В. А. Смирновым, А. С. Трепалиным, С. А. Шестаковым, Д. Э. Шнолем, И. В. Ященко

С30
Семёнов, А. В.
Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. Р. Высоцкий, Л. А. Титова и др. ; под ред. И. В. Ященко ; Московский Центр непрерывного математического образования. — Эл. изд. — 1 файл pdf : 223 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — (Единый государственный экзамен). — Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-907528-65-9

Данное пособие пpедназначено для подготовки к Единому госудаpственному экзамену по математике пpофильного уpовня. Издание включает типовые задания по всем содеpжательным линиям экзаменационной pаботы, а также 
30 тpениpовочных ваpиантов в фоpмате ЕГЭ 2023 года.
Пособие поможет школьникам пpовеpить свои знания и умения по пpедмету, а учителям — оценить степень достижения тpебований обpазовательных стандаpтов отдельными учащимися и обеспечить их целенапpавленную 
подготовку к экзамену.
УДК 373.167.1:51(075.3) 
ББК 22.1я721

Электронное издание на основе печатного издания: Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. Р. Высоцкий, Л. А. Титова и др. ; под ред. И. В. Ященко ; Московский Центр непрерывного математического образования. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — 224 с. — (Единый 
государственный экзамен). — ISBN 978-5-907528-37-6. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, 
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907528-65-9
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2023
© МЦНМО, 2018

ВВЕДЕНИЕ

Государственная итоговая аттестация по математике в форме Единого государственного
экзамена с 2015 года проводится на базовом и профильном уровнях. Содержание заданий контрольных измерительных материалов Единого государственного экзамена профильного уровня
в 2023 году не будет отличаться от содержания вариантов 2022 года. С окончательной структурой варианта можно ознакомиться на сайте Федерального института педагогических измерений (https://fipi.ru) в разделе «ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы». В рамках спецификации продолжается расширение тематики задач, особенно это касается геометрической
части экзамена, а также заданий по началам математического анализа. Указанные изменения
нашли своё отражение в книге, которую вы держите в руках.

В контрольных измерительных материалах Единого государственного экзамена на профильном уровне задания с кратким ответом проверяют уровень освоения ФГОС на базовом и повышенном уровнях. В первой части задания с кратким ответом даются на базовом и повышенном уровнях сложности. Основной акцент в большей части таких заданий сделан на проверку
освоения математических компетенций (в первую очередь, на применение математических знаний к решению практических задач). Ответом ко всем заданиям с кратким ответом должно
быть целое число или конечная десятичная дробь. Эти ответы нужно записывать в Бланке
ответов № 1 в соответствии с прилагаемой инструкцией заполнения бланка. Особенностью
проверки правильности выполнения таких задач является проверка только ответов (решения
не проверяются). Все задания с кратким ответом берутся из открытого банка заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. Большой банк математических задач, из которого формируется банк ФИПИ, содержится на сайте www.mathege.ru.

Вторая часть варианта экзамена по математике содержит задания повышенного и высокого
уровней сложности и предназначается, прежде всего, для дифференциации по уровню подготовки будущих абитуриентов. Задания с развёрнутым ответом проверяют уровень освоения
ФГОС на повышенном уровне. Все решения заданий с развёрнутым ответом должны быть записаны в Бланке ответов № 2 (дополнительном бланке ответов № 2). Обоснованность и полноту решения этих заданий устанавливают эксперты, и выставляют баллы в соответствии
с Критериями оценивания заданий с развёрнутым ответом (демонстрационный вариант ЕГЭ
по математике на сайте ФИПИ).

В контрольных измерительных матеpиалах Единого государственного экзамена на базовом
уровне задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение
анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических
конструкциях. В экзаменационную работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика.

Учебное пособие «Математика. Пpофильный уpовень. ЕГЭ. Готовимся к итоговой
аттестации» создано на основе Открытого банка заданий по математике профильного уровня
и Открытого банка заданий по математике базового уровня. Использование пособия «Математика. Пpофильный уpовень. ЕГЭ. Готовимся к итоговой аттестации» позволяет выпускникам
и учителям заранее выбрать уровень итоговой аттестации, осуществлять диагностику проблемных зон, эффективно выстраивать стратегию и тактику итогового повторения и подготовку
к экзамену.

Опыт проведения экзамена с использованием открытого банка заданий по математике
в 2010—2022 годах показывает, что наименее эффективны, к сожалению, наиболее популярные
стратегии подготовки — прорешивать, начиная с сентября месяца, подряд все задания открытого банка (в котором более 50 000 математических заданий), или прорешивать имеющиеся
в большом количестве варианты, аналогичные демонстрационному варианту ЕГЭ (либо
из опубликованных пособий, либо составленные с использованием открытого банка).

Залог успеха на экзамене — регулярные занятия математикой в течение всего периода обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем.
Поэтому настоящая книга позволит учителю включать задания, аналогичные заданиям ЕГЭ,
в текущий учебный процесс, начиная с 6 класса.
Учителя и учащиеся при организации итогового повторения и подготовки к экзамену с помощью этой книги имеют возможность повторить задания основных тем курсов алгебры, алгебры и начал математического анализ, геометрии, теории вероятностей и статистики. 
Авторы пособия много лет анализируют выполнение заданий экзамена и «вынуждены»
рекомендовать определённые подготовительные задания, те задания, которые в явном виде
и не даются на экзамене, но без правильного выполнения таких простых заданий нельзя получить правильный ответ в более сложных экзаменационных заданиях.
Раздел «Алгебра» включает в себя задания на рациональные, иррациональные, степенные,
тригонометрические и логарифмические уравнения и выражения, новые задания на функции
и гpафики, обновлённые задания на веpоятность.
В пункте «Рациональные уравнения и выражения» собраны задания с разных позиций варианта, есть и подготовительные задания: линейные уравнения, простейшие дробнорациональные уравнения, квадратные — это те уравнения, в которых участники экзамена допускают много
ошибок. В этом пункте присутствуют задания на вычисление по формулам, традиционные текстовые задачи на совместную работу, движение, проценты, концентрацию растворов и сплавов. 
В пункте «Иррациональные уравнения и выражения» собраны задания с разных позиций
варианта, но объединяет эти задания наличие радикала (корня). В начале пункта даются задания на преобразование числовых выражений, содержащих корень, в таких вычислениях делается много ошибок участниками экзамена. Авторы рекомендуют при выполнении этих заданий
не прибегать к помощи калькулятора, поскольку на экзамене использование калькулятора
не предусмотрено. Очень много досадных ошибок допускается в простейших иррациональных
уравнениях, поэтому таких уравнений в пособии даётся много. Задания на вычисления по формулам, содержащих радикал, также включены в этот пункт.
В пункте «Степенные уравнения и выражения» собраны задания с разных позиций варианта.
В начале пункта даётся большое количество заданий на преобразование числовых выражений,
содержащих степень. Простейшие показательные уравнения есть в вариантах экзамена, поэтому таких уравнений в пособии даётся много. Задания на вычисления по формулам, содержащих степень, также включены в этот пункт.
В пункте «Тригонометрические уравнения и выражения» собраны задания с разных позиций варианта, но объединяет эти задания наличие тригонометрических функций. В начале
пункта даются задания на нахождение по одной тригонометрической функции других тригонометрических функций, в пособии даётся очень большое количество заданий на преобразование
тригонометрических выражений с использованием основного тригонометрического тождества,
формул приведения, тригонометрических формул двойного угла, знание табличных значений
тригонометрических функций. В этот пункт включены также простейшие тригонометрические
уравнения, без правильного решения которых нельзя получить правильный ответ в заданиях
повышенного уровня. Задания на вычисления по формулам, содержащих тригонометрические
функции, также включены в этот пункт.
В пункте «Логарифмические уравнения и выражения» собраны задания с разных позиций
варианта, но объединяет эти задания наличие логарифма. В начале пункта даются задания
на нахождение значений выражений, содержащих логарифм. Задания подобраны так, чтобы учащийся с помощью этого банка заданий имел возможность повторить все свойства логарифмов.
В этот пункт включены также простейшие логарифмические уравнения, без правильного решения которых нельзя получить правильный ответ в заданиях повышенного и высокого уровней.
Задания на вычисления по формулам, содержащих логарифм, также включены в этот пункт.
В пункте «Функции и гpафики» включены задания на нахождение паpаметpов линейной,
квадpатичной, дpобноpациональной, иppациональной, логаpифмической функции по её
гpафику.
В пункте «Вероятность» собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить
вероятность наступления или не наступления события. Наряду с простыми заданиями в этот
пункт включены и сложные задания.

Раздел «Геометрия» включает в себя задания стереометрии и задания планиметрии, разбитые по темам: длины, углы, тригонометрия, площади.
В пункте «Длины» собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить длину
отрезка. Это может быть и треугольник, и четырёхугольник. В этот пункт включено много подготовительных задач — простых планиметрических задач на какойто один геометрический факт.
Для решения таких заданий авторы рекомендуют обязательно сделать рисунок. Иногда такие
задания можно решать практически устно, применяя известные соотношения, иногда для решения задачи нужно составить уравнение или систему уравнений. Наряду с простыми заданиями
в этот пункт включены и сложные задания.
В пункте «Углы» собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить величину угла. Это может быть и угол в треугольнике или в четырёхугольнике, и вписанный или
центральный угол. В этот пункт также включено много подготовительных задач — простых
планиметрических задач на какойто один геометрический факт. Для решения таких заданий
авторы рекомендуют обязательно сделать рисунок. Иногда такие задания можно решать практически устно, применяя известные соотношения, иногда для решения задачи нужно составить уравнение. Наряду с простыми заданиями в этот пункт включены и сложные задания.
Практически все задания пункта «Тригонометрия» носят подготовительный характер, потому что авторы специально большое количество заданий на тригонометрические соотношения
дали для прямоугольного треугольника в качестве важного повторения.
В пункте «Площади» собраны задания, в которых нужно вычислить площадь фигуры.
Это может быть и площадь треугольника, и площадь четырёхугольника (параллелограмма,
трапеции), и площадь круга.
В пункте «Стереометрия» собрано большое количество заданий, в которых нужно решить
стереометрическую задачу. Это может быть и расстояние между вершинами многогранника,
и длина ребра прямоугольного параллелепипеда, и высота правильной пирамиды, и площадь
полной поверхности многогранника, и объём части конуса и т.д. В основном в этот пункт включены задания базового уровня сложности.
Раздел «Начала математического анализа» включает задания на геометрический и физический смысл производной, технику дифференцирования и исследование функций, нахождение
первообразной и применение первообразной для нахождения площади фигуры.
В пункте «Геометрический и физический смысл производной» собрано большое количество
заданий. В пункте есть классические задания на уравнение касательной, а есть и задания, когда
по графикам функции и касательной нужно вычислить значение производной в точке. В этот
пункт также включено большое количество заданий на рисунках: по графику производной указать какието свойства функции или по графику функции ответить на вопросы про производную этой функции.
Практически все задания пункта «Техника дифференцирования» носят подготовительный
характер, потому что авторы специально дали большое количество заданий на нахождение
производной различных функций. Для выполнения этих заданий потребуется знание табличных производных и правил дифференцирования.
В пункте «Исследование функций» собрано большое количество заданий. В этот пункт
включено большое количество заданий на рисунках: по графику производной указать какието
свойства функции (точка экстремума, скорость изменения) или по графику функции ответить
на вопросы про производную этой функции. В этом пункте есть большое количество классических задач на нахождение точек экстремума (локального), наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке.
В пункте «Первообразная» даны задания, в которых есть понятие «первообразная». В этот
пункт включены задания на рисунках: по графику одной из первообразных указать какието
свойства функции или по графику функции вычислить площадь фигуры или приращение первообразной. В этом пункте также даны классические задачи на первообразную базового уровня
сложности.
Раздел «Задачи повышенной сложности» даёт представления (не претендуя на полноту) о заданиях повышенного и высокого уровня сложности с развёрнутым ответом: тригонометрические
уравнения, неравенства и их системы, уравнения и неравенства с параметром, планиметpические
и стереометрические задачи и задачи высокого уровня сложности по арифметике и алгебре.

В пункте «Уравнения» даётся набор уравнений повышенного уровня сложности, сводящихся к решению тригонометрических, показательных и логаpифмических уравнений. Для того,
чтобы прийти к простейшему тригонометрическому уравнению, нужно решить сначала или
квадратное уравнение, или иррациональное уравнение, или показательное уравнение, или логарифмическое. Задания этого пункта даны на языке экзамена: решить уравнение и найти корни этого уравнения, принадлежащие данному отрезку.
В пункте «Неpавенства и системы неравенств» даётся небольшой набор неравенств повышенного уровня сложности. Здесь есть и рациональные неравенства, и показательные, и логарифмические.
В пункте «Уравнения и неравенства с параметром» даётся небольшой набор заданий с параметром высокого уровня сложности. 
В пункте «Планиметрия» даётся небольшой набор геометрических заданий повышенного
уровня сложности. Задания этого пункта даны на языке экзамена: доказать геометрический
факт и чтото вычислить.
В пункте «Стереометрия» даётся небольшой набор геометрических заданий повышенного
уровня сложности на нахождение расстояний от точки до прямой или плоскости, на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. 
Основное назначение пункта «Арифметика и алгебра» — дать представление о задачах высокого уровня сложности.
В пункте «Экономические задачи» даётся небольшой набор задач с экономическим содержанием.
Учебное пособие «Математика. Пpофильный уpовень. Единый госудаpственный экзамен.
Готовимся к итоговой аттестации» содержит 30 тренировочных вариантов, аналогичных заданиям
государственной итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ, вошедших в обновлённый
открытый банк заданий ФИПИ.
Предложенные тренировочные варианты помогут участнику экзамена выбрать свою стратегию
сдачи экзамена. При решении тренировочных вариантов можно попробовать разные варианты
планирования работы, обращая внимание на то, что условия работы должны быть такими же,
как на экзамене: не допускается использование калькулятора, не следует отвлекаться в течение
всего времени, отведённого на выполнение варианта. Перед выполнением заданий варианта
обязательно прочитайте инструкцию. На экзамене (тренировке) следует пропускать те задания,
которые на этапе подготовки, например, с помощью учебного пособия «Математика.
Пpофильный уpовень. Единый госудаpственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации»,
вызывали затруднения, и выполнять их после того, как будут решены те задания, в решении которых уверены. Каждый участник экзамена во время выполнения заданий каждой части может
выделить больше времени на те задачи, которые он может решить: более подготовленный,
быстро решив простые задачи, имеет возможность сосредоточиться на более сложных (задания
второй части в вариантах профильного уровня), а менее подготовленный сможет всё время потратить на решение заданий базового уровня сложности (задания первой части). 
Данный сборник позволяет учителю вести планомерную подготовку к итоговой аттестации
по математике, включая задания сборника в классную и домашнюю работу. В основном одинаковые задания даются парами: одну задачу решили в классе, другую — дома. 
Учащиеся имеют возможность самостоятельно выстраивать тактику подготовки к экзамену
с использованием материалов данного издания, открытого банка математических заданий
с опорой на школьные учебники.
Авторы выражают уверенность в том, что задания сборника позволят не только успешно
подготовиться к экзамену, но и закрепить математические знания, которые пригодятся в обычной жизни и при продолжении образования.

1. АЛГЕБPА

1.1. Рациональные уравнения и выражения

1.1.1. Найдите корень уравнения 

1.1.2. Найдите корень уравнения 

1.1.3. Найдите корень уравнения 

1.1.4. Найдите корень уравнения 

1.1.5. Найдите корень уравнения 

1.1.6. Найдите корень уравнения 

1.1.7. Найдите корень уравнения 

1.1.8. Найдите корень уравнения 

1.1.9. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

1.1.10. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе

запишите больший из корней.

1.1.11. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного
корня, укажите больший из них.

1.1.12. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.

1.1.13. Решите уравнение 

1.1.14. Найдите корень уравнения 

1.1.15. Найдите корень уравнения 

1.1.16. Найдите корень уравнения 

1.1.17. Решите уравнение 

1.1.18. Найдите корень уравнения 

1.1.19. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

1.1.20. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

1.1.21. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них.

2
5x
11
2x.
4 3
x
(
)
2x
7.
7
8---x
19 1
4---.
5
9---x
1 2
3---.
1
5x
5
-------------2.
1
x
5
----------1
4---.
x
40
x
4
-------------5.
1
7x
2
-------------1
3x
6
--------------.
2
5---x2
4,9.
1
11
------x2
9 1
11
------.
x2
9x
14
0.
x2
4x
45
0.
2x
7
(
)
2
2x
1
(
)
2.
x
10
(
)
2
x
3
(
)
2.
x2
4
x
2
(
)
2.
x2
5
x
1
(
)
2.
x
1
(
)
2
4x.
x
2
(
)
2
8x.
2
x2
1
-------------1.
19x
x2
5
-------------2.
x
x
10
x
6
------------------.

1.1.22. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе укажите меньший из них. 

1.1.23. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе запишите больший из корней.

1.1.24. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного корня,

в ответе запишите больший из корней.

1.1.25. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного

корня, в ответе запишите больший из корней.

1.1.26. Найдите корень уравнения 
 Если уравнение имеет более одного

корня, в ответе запишите больший из корней.

1.1.27. Найдите корень уравнения 

1.1.28. Найдите корень уравнения 

1.1.29. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня,
в ответе запишите больший из корней.

1.1.30. Решите уравнение 
 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

1.1.31. При температуре 
 рельс имеет длину 
 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 
 где 
 — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите
в градусах Цельсия. 

1.1.32. При температуре 
 рельс имеет длину 
 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 
 где 
 — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите
в градусах Цельсия. 

1.1.33. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятиямонополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой 
 Выручка предприятия r
(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле 
 Определите наибольшую цену p, при
которой месячная выручка 
 составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

1.1.34. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятиямонополиста от цены p (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой 
 Выручка предприятия r
(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле 
 Определите наибольшую цену p, при
которой месячная выручка 
 составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед.

1.1.35. Некоторая компания продает свою продукцию по цене 
 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют 
 руб., постоянные расходы предприятия 
 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле 
 Определите месячный объём
производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300 000 руб. 

x
4x
7
x
12
------------------.
10
x2
15
---------------1.
8
x2
8
-------------1.
x
4
4x
1
-------------x
4
3x
10
-----------------.
x
8
7x
2
-------------x
8
6x
7
--------------.
x
4
(
)
9
512.
x
7
(
)
3
216.
x3
7x
6
0.
x4
x2
2
0.
0 °C
l0
10
l t( )
l0 1
α t(
),
α
1,2 10
5
°C
(
)
1
t

0 °C
l0
10
l t( )
l0 1
α t(
),
α
1,2 10
5
°C
(
)
1
t

q
110
5p.
r p
( )
q p
.
r p
( )

q
100
4p.
r p
( )
q p
.
r p
( )

p
400
v
200
f
500 000
π q
( )
q p
v
(
)
f.

1.1.36. Некоторая компания продает свою продукцию по цене 
 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют 
 руб., постоянные расходы предприятия 
 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле 
 Определите месячный объём
производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600 000 руб.

1.1.37. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время
t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле
 где h — расстояние (в метрах), t — время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя,
чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах. 

1.1.38. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время
t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле
 где h — расстояние (в метрах), t — время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 1 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы
измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах. 

1.1.39. Высота 
над 
землёй 
подброшенного 
вверх 
мяча 
меняется 
по 
закону
 где h — высота (в метрах), t — время (в секундах), прошедшее с момента
броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров? 

1.1.40. Высота 
над 
землёй 
подброшенного 
вверх 
мяча 
меняется 
по 
закону
 где h — высота (в метрах), t — время (в секундах), прошедшее с момента
броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров? 

1.1.41. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 
 где t — время (в минутах), 
 — начальная угловая

скорость вращения катушки, а 
 — угловое ускорение, с которым наматывается
кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 
достигнет 
 Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий
должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

1.1.42. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 
 где t — время (в минутах), 
 — начальная угловая

скорость вращения катушки, а 
 — угловое ускорение, с которым наматывается
кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки 
достигнет 
 Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий
должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах. 

1.1.43. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 
 км/ч, выезжает из него
и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 
 км/ч2. Расстояние

от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 

Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем
в 48 км от города. Ответ выразите в минутах. 

1.1.44. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 
 км/ч, выезжает из него
и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 
 км/ч2. Расстояние

от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 

Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем
в 56 км от города. Ответ выразите в минутах. 

p
500
v
200
f
900 000
π q
( )
q p
v
(
)
f.
h
5t2,
h
5t2,
h t( )
1,2
10t
5t2,
h t( )
1,6
8t
5t2,
ϕ
ωt
βt2

2
-------,
ω
75 °/мин
β
10 °/мин2
ϕ

2250°.

ϕ
ωt
βt2

2
-------,
ω
50 °/мин
β
10 °/мин2
ϕ

1000°.

v0
58
a
16
S
v0t
at2

2
-------.
v0
55
a
2
S
v0t
at2

2
-------.

1.1.45. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением

электроприбора по закону Ома: 
 где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление

электроприбора (в омах). В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила
тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах. 

1.1.46. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением

электроприбора по закону Ома: 
 где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление

электроприбора (в омах). В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила
тока превышает 5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах. 

1.1.47. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 
 этого электрообогревателя, если
известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
 Ом

и
Ом их общее сопротивление задаётся формулой 
 (Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом.
Ответ выразите в омах.

1.1.48. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 
 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 
 этого электрообогревателя, если
известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 
 Ом

и
Ом их общее сопротивление задаётся формулой 
 (Ом), а для нормального

функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом.
Ответ выразите в омах.

1.1.49. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 
 где 
 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), 
 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя 
КПД этого двигателя будет не меньше 20 %, если температура холодильника 
 К? Ответ
выразите в градусах Кельвина.

1.1.50. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой 
 где 
 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), 
 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя 
КПД этого двигателя будет не меньше 65 %, если температура холодильника 
 К? Ответ
выразите в градусах Кельвина.

1.1.51. Зависимость температуры (в Кельвинах) от времени для нагревательного элемента
некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле 
 где t — время в минутах, 
 К, 
 К/мин2,
 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала
работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

I
U
R
----,
I
U
R
----,
R1
25
R2

R1

R2
Rобщ
R1R2
R1
R2
----------------R1
63
R2

R1

R2
Rобщ
R1R2
R1
R2
----------------η
T1
T2
T1
---------------- 100%,
T1
T2

T1

T2
320
η
T1
T2
T1
---------------- 100%,
T1
T2

T1

T2
301
T t( )
T0
bt
at2,
T0
1400
a
50
b
400