Основы теоретической механики

Б. А. Беляев






            основы ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ


Учебное пособие









Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 531.8
ББК 22.21
      Б44








Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой автоматизации технологических процессов Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
В.  Ф. Коростелёв;
кандидат технических наук, доцент Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации
С.  В. Поляков







     Беляев, Б. А.
Б44 Основы теоретической механики : учебное пособие / Б. А. Беляев. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 180 с.:ил.
          ISBN 978-5-9729-1535-4


           Даны основные понятия из области статики, кинематики и динамики. Рассмотрены механические волны, колебания, теория удара, работа механической силы.
           Для студентов очной и заочной форм обучения с элементами дистанционных образовательных технологий по направлениям подготовки бакалавриата.

                                                                           УДК 531.8
                                                                           ББК 22.21














ISBN 978-5-9729-1535-4

          © Беляев Б. А., 2023
          © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                                  © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ


ПРЕДИСЛОВИЕ...............................................................5

ВВЕДЕНИЕ..................................................................6

Раздел 1. СТАТИКА......................................................8
  1.1. Основные понятия и определения статики..........................8
  1.2. Связи и их реакции.............................................19
  1.3. Аксиомы статики................................................26
  1.4. Проекция силы на ось и плоскость...............................35
  1.5. Система сходящихся сил.........................................37
  1.6. Сложение параллельных сил......................................39
  1.7. Центр тяжести..................................................40
  1.8. Момент силы....................................................44
  1.9. Пара сил. Момент пары сил......................................47
  1.10. Приведение силы кзаданному центру.............................52
  1.11. Теорема Вариньона.............................................55
  1.12. Аналитические условия равновесия систем сил...................57
  1.13. Трение........................................................61
  1.14. Понятие об устойчивости и критической силе....................66
  Вопросы для самоконтроля............................................70
  Словарь терминов, определений, понятий по разделу «Статика».........71

Раздел 2. КИНЕМАТИКА..................................................74
  2.1. Основные понятия кинематики....................................75
  2.2. Способы описания движения точки................................83
  2.3. Скорость и ускорение точки.....................................87
  2.4. Сложное движение точки.........................................90
  2.5. Частные случаи движения точки..................................93
  2.6. Вычисление кинематических величин.............................101
     2.6.1. Определение проекции скорости............................101
     2.6.2. Определение проекции ускорения...........................102
     2.6.3. Определение вида движения точки по графику зависимости скорости от времени.............................................103
     2.6.4. Определение перемещения по графику зависимости скорости от времени .... 103
  2.7. Прямолинейное вертикальное движение тела вблизи поверхности Земли..104
  2.8. Различные движения тела, брошенного относительно поверхности Земли.107
  2.9. Разновидности движения твёрдого тела..........................111
  2.10. Мгновенный центр скоростей (МЦС).............................117
  Вопросы для самоконтроля...........................................122
  Словарь терминов, определений, понятий по разделу «Кинематика».....122

Раздел 3. ДИНАМИКА...................................................125
  3.1. Законы динамики точки.........................................125
  3.2. Две задачи динамики материальной точки........................133

3

  3.3. Дифференциальные уравнения движения точки......................134
  3.4. Работа механической силы.......................................136
  3.5. Мощность.......................................................142
  3.6. Коэффициент полезного действия (КПД)...........................143
  3.7. Импульс тела и силы............................................144
  3.8. Механическая энергия...........................................145
  3.9. Центр масс и система центра масс...............................151
  3.10. Метод кинетостатики (принцип Даламбера).......................153
  3.11. Теория удара..................................................156
  3.12. Уравнения движения механической системы в обобщённых координатах (уравнения Лагранжа II рода)........................................160
  3.13. Теория колебаний..............................................164
  3.14. Понятия о маятниках...........................................169
  3.15. Механические волны............................................172
  Вопросы для самоконтроля............................................175
  Словарь терминов, определений, понятий по разделу «Динамика»........175

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................178

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..............................................179

ПРЕДИСЛОВИЕ


      Развитие теоретических основ новой техники неопровержимо свидетельствует, что теоретическая механика полностью сохраняет своё значение и в настоящее время не только как средство углубленной информации об основных законах природы, приводящих к созданию расчётных схем, необходимых в инженерной практике, но также как средство воспитания у будущих выпускников высшей школы навыков к научным обобщениям, так как сама теоретическая механика в целом и своими элементами является примером огромного научного обобщения, полученного в результате кропотливого труда многих поколений учёных.
      Целью настоящего учебного пособия является изложение основ теоретической механики, позволяющее значительно сократить объём курса, не затрагивая его идейную часть.
      Поэтому относительная краткость учебного пособия требовала тщательного отбора теоретического материала и примеров, поясняющих разделы пособия.
      В основу учебного пособия положен курс лекций, читаемый автором студентам всех направлений, в программу которых входит теоретическая механика.

5

ВВЕДЕНИЕ


      Общая механика (греч. Mp/uviKp - искусство построения машин), одна из древнейших наук, изучает механическое движение и взаимодействие материальных тел.
      Теоретическая механика является частью общей механики. В ней, отвлекаясь от большинства свойств реальных физических тел, игнорируя микростроение и проницаемость их вещества, изучают движение объектов, которые являются предельными абстракциями, возникающими в процессе анализа сложных задач общей механики.
      Все явления природы представляют собой движение различных форм материи. В теоретической механике рассматриваются механические движения материальных объектов только вещественных форм, таких как различные материальные тела. Материальность тел в теоретической механике характеризуется массой и другими величинами, связанными с ней.
      Всякое изменение материи называют движением. Одним из простейших является механическое движение - простейшая форма движения материи, которая сводится к простому перемещению по времени физических тел из одного положения в пространстве и времени в другое без рассмотрения физических свойств этих тел и их изменение в процессе движения.
      В теоретической механике изучаются механические движения вещественных форм материальных объектов в пространстве и времени.
      Пространство, время, как и материя, являются сложными понятиями. В теоретической механике используются их упрощенные понятия и модели. Пространство считается не зависящим от времени и движущейся в нём материи. Принимают, что оно обладает всеми геометрическими свойствами эвклидовой геометрии. Время считают универсальным, не связанным с пространством и движущейся материей. Его характеризуют каким-либо периодическим процессом, например периодом вращения Земли.
      В теоретической механике широко используются математические методы, абстрактные понятия, модели явлений и законы логики, являющиеся составной частью диалектического метода.
      Каждый раздел теоретической механики имеет в своей основе ряд понятий и аксиом, имеющих опытное происхождение. Вводя новые понятия и используя законы логики, получают следствия или теоремы в форме, удобной для практического применения.
      В основе теоретической механики лежат законы Ньютона, поэтому она называется ньютоновской или классической.
      По своей внутренней структуре теоретическая механика аналогична точным наукам, например геометрии.

6

      Теоретическая механика имеет свою историю становления законов и понятий, берёт свое начало в глубокой древности, задолго до нашей эры.
      Наибольший вклад в основу современной теоретической механики внёс гениальный мыслитель, экспериментатор, наблюдатель и превосходный практик Галилей, который сделал множество открытий. Значение его работ заключается не только в полученных им результатах, но и в том, что в своих исследованиях он применил подлинно научные методы вместо обычных в то время схоластических рассуждений.
      Христиан Гюйгенс продолжил работы Галилея. В области механики он дал ряд теорем о центробежной силе, по теории удара и полную теорию физического маятника.
      Исаак Ньютон по праву считается основателем классической механики. Он чётко сформулировал аксиому механики, ввёл понятие массы и решил целый ряд проблем механики.
      Быстрое развитие механика получила в XVIII веке. В это время работал гениальный учёный и первый русский академик Михаил Васильевич Ломоносов, деятельность которого оказала огромное влияние на развитие всей русской науки и, в частности, на развитие механики.
      Дальнейшее развитие теоретической механики связано с именами многих учёных, наиболее выдающиеся Даламбер, Эйлер, Лагранж и многие другие.
      Большой вклад в развитие современной механики внесли русские учёные, такие как Н. Е. Жуковский, М. В. Остроградский, К. Э. Циолковский и др.
      Развитие теоретической механики и далее будет способствовать успешному решению ряда технических задач.
      Из методических соображений и на основании установленных традиций теоретическая механика делится на статику, или учение о равновесии; из механики часто выделяют геометрическое учение о движении тел под названием кинематика, которая рассматривает движение тел как заданное, вне зависимости от приложенных сил; динамику, или учение о движении тел под действием сил.

Раздел 1. СТАТИКА



1.1. Основные понятия и определения статики


      Статика (от греч. Етатос, неподвижный, или statike, равновесие) изучает условия равновесия механических систем под действием сил и операции преобразования систем сил в эквивалентные.
      Первые изложения общих понятий механики содержатся в фундаментальном восьми томном трактате «Физика (греч. Фишка)» древнегреческого философа Аристотеля (384-322 до н. э.).
      Физика впервые рассматривается не как учение о природе (греч. Фиор), а как наука о движении (греч. кйщшс), категория которого подразумевает время, пустоту и место.
      В седьмом томе Аристотель утверждает существование перводвигателя, поскольку всякое движение должно чем-то инициироваться. Первое движение Аристотель называет перемещением (греч. форас) и насчитывает четыре его вида: притяжение, толкание, несение, вращение.
      Впервые научное обоснование механики появляется в работе сиракузского геометра и механика Архимеда (287-212 до н. э.).
      Он предпринял попытку аксиоматизации механики (статики), дал ряд научных обобщений, относящихся к учению о равновесии теория рычага, центра тяжести и гидростатики (закон Архимеда). А всего у него написано 19 трактатов на разные темы.

Аристотель

Архимед

     Родоначальником современной статики считают фламандского математика и механика Симона Стевина (1548-1620). В своём основном труде по механике «Начало статики» (1586) Стевин свою статику строит аксиоматически.

8

В начале даётся серия определений, в основу которых положена совокупность основных постулатов геометрической статики Архимеда. Стевин ввёл обозначение сил стрелками, ввёл понятие силового треугольника и доказал теорему о трёх силах (если три силы образуют треугольник, они уравновешиваются).
      Французский математик, астроном, физик и механик Жиль Персонье (1602-1675) в своём труде «Трактат по механике» осуществил систематизацию и завершение геометрической статики Стевина.
      Луи Пуансон (1777-1859), французский математик и механик, в своём трактате «Начала статики» подчеркнул, что механика должна непосредственно обслуживать запросы практики.

Симон Стевин

Жиль Персонье

Луи Пуансон

     Расчёты статики необходимы для оценки работоспособности конструкций различных сооружений, механизмов и машин; методы и приёмы статики применяются в сопротивлении материалов и строительной механики (науки о принципах и методах расчёта сооружений на прочность, жёсткость, устойчивость и колебания).
     Содержание статики составляет две основные задачи:
       1. Первая задача о приведении системы сил заключается в замене данной системы сил другой ей эквивалентной, то есть более простой.
       2. Вторая задача состоит в определение условий, при которых система сил, приложенная к телу, будет уравновешенной системой.
     В теоретической механике используются идеализированные понятия, которые служат моделью для построения приближенной теории равновесия тел.
     Материальная точка — простейшая физическая модель, то есть обладающее массой материальное тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи.
     В дальнейшем материальную точку будем просто называть точкой. Точка есть то, что не имеет частей - буквально «Точка есть то, часть чего ничто»).
    При решении задач реальное тело заменяют точкой, помещая её в центр тяжести тела.
    Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие в теоретической механике, то есть такое тело, в котором при любых обстоятельствах расстояния между любыми точками являются постоянными, сохраняются лишь форма и размеры при полном абстрагировании от всех других свойств.

9

     Абсолютно твёрдое тело можно также рассматривать как совокупность материальных точек, жёстко связанных между собой.
     В дальнейшем абсолютно твёрдое тело будем называть просто твёрдым телом.
     На рис. 1 показана идеализированная модель твёрдого тела.


Рис. 1. Модель твёрдого тела (алмаз)

      Целостное представление о кристаллической структуре твёрдых тел, как совокупности атомов, упорядоченное размещение которых в пространстве обеспечивается силами взаимодействия.
      Первые идеи такого рода высказывал в 1669 году в своих трактатах датский геолог, кристаллограф, анатом Николас Стено (1638-1686).


Николас Стено

     Строга говоря, абсолютно твёрдых тел в природе не существует, и все тела изменяют свою форму и размеры под действием приложенных сил, то есть деформируются.
     Механическая система — любая совокупность точек или твёрдых тел, в которой положение и движение каждой точки или тела зависит от положения и движения всех остальных.
     Тела в природе различным образом взаимодействуют между собой или с окружающей средой.
     В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму).
     Однако, спор вокруг определения силы не закончен до сих пор - это обусловлено трудностью объединения в одном определении сил, различных по своей природе и характеру проявлений.

10

      Сила -векторная величина (лат. vector - несущий), которая характеризу

ется тремя элементами:
       1) модуль - это численное значение;
       2) направление, в котором перемещалось бы изначально покоящееся (неподвижное) тело, под действием этой силы. Прямая линия, вдоль которой направлен вектор силы, называется линией действия силы. Линия - длина без ширины. Края же линии - точки. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
       3) точка приложения - условная точка тела, к которой непосредственно приложена сила.
     Было бы бесполезным пытаться объяснить физическую природу силы, пользуясь только механикой. Абстрагируясь от физической сущности силы, в теоретической механике устраняют многие неясности, связанные с понятием силы в других науках.
     Один из мыслителей как-то сказал, что «земная механика, есть единственная наука, в которой действительно знают, что означает слово «сила», так как основным условием земной механики является отказ исследовать причину толчка, то есть природу соответственной в каждом случае силы...».
     Силу в основном обозначают латинской буквой F (англ. Force - сила).
     Графически силу условно изображают на чертеже отрезком прямой со стрелкой, при этом начало отрезка совпадает с точкой приложения силы (рис. 2).


Рис. 2. Графическое представление силы

      Для изображения вектора силы на чертеже в масштабе используют масштабный коэффициент k.F = |F|, Н/ АВ, мм.
      Свободный вектор характеризуется только модулем и направлением. Он не связан с какой-либо определённой прямой линией или точкой. Начало такого вектора может быть выбрано произвольно (свободно) в любой точке пространства.
      Скользящий вектор, когда точку приложения вектора можно переносить вдоль линии действия и от этого его действие не меняется, то есть расположен

11

произвольно на своей линии действия. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
     Связанный вектор характеризуется модулем, направлением и точкой приложения; называется также приложенным или неподвижным.
     В соответствии с Международной системой единиц измерения (СИ) за единицу измерения силы принимается ньютон (Н) - сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/сек² в направлении действия силы (1 кг = 9,806652 Н), а 1Н(вес) = 0,101972кг.
     Напомним, что такое масса. Но не путайте массу и вес!
     Вес зависит от того, где взвешивают предмет - например, на Луне он будет весить примерно в шесть раз меньше, чем на Земле, а в глубоком космосе не будет весить ничего. Масса же во всех случаях неизменна.
     Масса - это скалярная физическая величина, которая является одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные, энергетические и гравитационные свойства.
     Масса в классической механике (ньютоновской) определяется как мера инерции, или способности тела к сохранению покоя при отсутствии действия на него силы.
     В 1872 году решением Международной комиссии по эталонам метрической системы за единицу массы была принята масса прототипа килограмма, то есть единицей измерения массы в системе СИ есть один килограмм (кг).
     Международный эталон килограмма хранится в городе Севре недалеко от Парижа. Эталон - это цилиндр диаметром 3,9 см и такой же высотой, изготовленный из платиново-иридиевого сплава (90 % платины и 10 % иридия) (рис. 3).


Рис. 3. Эталон килограмма

      С эталона изготовлена копия № 12, которая хранится в Санкт-Петербурге. А вообще эталону уже 120 лет.
      Понятие массы было введено Ньютоном, до этого исследователи оперировали понятием веса. В работе «Математические начала натуральной философии» (в Англии под натуральной философией подразумевали физику) Ньютон сначала определил количество материи в физическом теле как произведение его плотности на объём. Далее он указал, что в том же смысле будет использовать термин «масса». Наконец, Ньютон вводит понятие массы в свои

12