Курс высшей математики для экономистов

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.





КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

УЧЕБНИК

Под редакцией Р.В. Сагитова




                        Рекомендовано в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», 38.03.07 «Товароведение» (квалификация (степень) «бакалавр»)




znanium.com
электронно-библиотечная система

Москва
ИНФРА-М


2024

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73
      К93



     Авторы:
        Рудык Б.М. — раздел А;
        Бобрик Г.И., Гринцевичюс Р.К., Сагитов Р.В., Шершнев В.Г. — раздел В;
        Матвеев В.И., Гладких И.М. — раздел С;
        Сагитов Р.В., Шершнев В.Г. — раздел D

     Рецензенты:
        кафедра статистики Московского банковского института (заведующий кафедрой — доктор экономических наук, профессор Искаков Б.И.) и профессор Пучков В.И.



К93 Курс высшей математики для экономистов : учебник / под ред. Р.В. Сагитова. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 647 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/13680.

         ISBN 978-5-16-019153-9 (print)
         ISBN 978-5-16-111906-8 (online)
         В учебник включены основные разделы математики, необходимые для подготовки экономистов различных специализаций.
         Предназначен для студентов экономических факультетов вузов.

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73

ISBN 978-5-16-019153-9 (print)
ISBN 978-5-16-111906-8 (online)

© Авторский коллектив, 2016

                Предисловие





   Математическая подготовка экономистов имеет свои особенности, связанные со спецификой экономических задач, а также широким разнообразием подходов к их решению.
   Переход к новым образовательным стандартам третьего поколения потребовал коренного пересмотра программ математической подготовки экономистов.
   Данный учебник является переизданием «Общего курса высшей математики для экономистов», содержит уточнения, связанные с изменением образовательного стандарта, и рассчитан прежде всего на студентов экономических специальностей вузов, обучающихся по программе бакалавриата экономики.
   При подготовке учебника к переизданию авторы стремились, с одной стороны, привести материал в соответствие с требованиями новых стандартов — развитие профессиональных компетенций, а с другой — сохранить уровень фундаментальной математической подготовки экономистов, выдерживая оптимальное соотношение между фундаментальным и прикладным в математическом образовании экономистов. Это является также важным обстоятельством получения основ математической подготовки для дальнейшего обучения по магистерским программам.
   Задачи практической и теоретической экономики, связанные прежде всего с общими принципами рыночного хозяйства, множественными формами теории спроса и предложения, поведения фирм и пр., требуют хорошей математической подготовки исследователя, владения методами сбора и обработки статистической информации, а также оценки состояния и перспектив развития экономических процессов. При этом необходимы навыки применения различных способов использования полученной информации — от простого логического анализа до составления сложных экономико-математических моделей экономических процессов и задач, что требует в свою очередь разработки соответствующего математического аппарата их исследования.
   Неопределенность и случайность экономического поведения субъектов рынка, большой объем информации, описывающий их взаимодействие, обусловливают необходимость широкого привлечения методов статистического анализа, рассматриваемых в теории вероятностей и математической статистике.
   Наряду с математическим моделированием в экономической практике часто возникают задачи принятия наилучших управленческих

3

решений, поэтому в учебнике рассмотрены математические методы исследования операций в линейной постановке.
   Отмеченные направления требуют знания основополагающего математического аппарата линейной алгебры, математического анализа и теории вероятностей и математической статистики.
   Важной особенностью представленного курса высшей математики является включение разделов, изучаемых экономистами различных специализаций, — от общеэкономических и финансовых до математикоэкономических и информационных.
   Учебник написан преподавателями кафедры высшей математики Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова.
   Материал разбит на четыре раздела.
   Первый раздел (А) включает основы курса линейной алгебры, второй (В) посвящен математическому анализу, третий (С) содержит курс теории вероятностей и математической статистики, четвертый (D) рассматривает задачи линейного программирования.
   Каждый раздел имеет собственную нумерацию. Ссылки на номера параграфов, таблиц, рисунков и формул относятся только к данному разделу.
   Для удобства читателей особыми значками отмечены начало и конец теорем и отдельных выводов (□ и ■), следствий (*> и ♦) и примеров (О и •).

А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ





                1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ




            1.1. Линейные уравнения


   Линейным уравнением относительно неизвестных хр х₂, хп называется выражение вида
   а₁х₁ + а^с₂ + ... + ахп = Ъ,                        (1.1)
где ор о₂, ..., ап, b — числа. При этом ор о₂, ..., ап называются коэффициентами уравнения, a b — свободным членом.
   Последовательность п чисел kᵣ, k₂, kₙ называется решением уравнения (1.1), если после подстановки
   Xj = fcp х₂ = k₂, ..., хп = kₙ
в данное уравнение оно превратится в верное числовое соотношение.
   О Пример. Уравнение
   2х₁ + Зх₂ — 5х₃ + х₄ = 4                            (1.2)
обладает решением 2, 1, 1,2, так как после подстановки х₃ = 2, х₂ = 1, х₃ = 1, х₄ = 2 получаем верное числовое соотношение 2-2 + 31 — — 51 + 2 = 4. Последовательность же чисел 3, 2, 0, 1 не является решением уравнения (1.2), так как полученное после подстановки Xj = 3, х₂ = 2, х₃ = 0, х₄ = 1 числовое соотношение 2-3 + 3- 2 — 50 + + 1 = 4 не верно. •
   Подчеркнем, что последовательность чисел кр к₂, ..., кп составляет одно решение уравнения (1.1) (а не л решений), поэтому решение уравнения (1.1) будем записывать в круглых скобках в виде (кг, к₂, ..., кп).
   Решения уравнения (1.1)
   К=(кг,к₂, ..., кп), L = (Zp /₂, ..., 1я)
будем считать одинаковыми только в том случае, когда

     &1 /р к₂ 1₂, кп 1п.

(1-3)

5

   Если же условие (1.3) не выполняется, решения считаются различными.
   Два линейных уравнения называются равносильными, если их решения совпадают. Легко доказать, что если данное уравнение подвергнуть одному из следующих преобразований:
   а) перенос членов из одной части уравнения в другую;
   б) почленное умножение обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число, —
то получим уравнение, равносильное данному.
   Решить уравнение (1.1) — значит найти все его решения или установить, что их нет. В зависимости от того, каковы числа ар ..., ап, Ь, можно определить, имеет уравнение (1.1) решение или нет, а также количество этих решений. Возможны только следующие три случая:
   1) ах = ... = ап = О, b * 0;
   2) аг = ... = ап = 0, b = 0;
   3) хотя бы одно из чисел ар ..., ап отлично от нуля.
   В первом случае уравнение (1.1) имеет вид
   (Ц + 0х₂ + ... + 0хл = b, b * 0                           (1.4)
и не имеет решений. В самом деле, пусть (kᵥ к₂, ..., кп) — решение этого уравнения, тогда

   Ок, + 0к₇ + ... + Ок = b 12                П
должно быть верным числовым соотношением, что невозможно, так как b * 0. Противоречие возникает, если предположить, что уравнение (1.4) имеет решение. Следовательно, оно не имеет решений. Будем называть уравнение (1.4) противоречивым.
   Во втором случае уравнение (1.1) имеет вид
   Oxj + 0х₂ + ... + 0хл = 0                                 (1.5)
и каждая последовательность (kᵥ к₂, ..., кп) является решением этого уравнения. Поэтому уравнение (1.5) будем называть тривиальным.
   В третьем случае предположим, для определенности, что ах * 0. Перенесем все члены из левой части уравнения (1.1), кроме члена а^^ в правую часть, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент а₁ * 0. Тогда получим
   Xj = Со + С₂х₂ + ... + с хл,                              (1.6)
где с₀ = b/aᵥ cₜ = -а/ар i = 2, 3, ..., п.
   Уравнения (1.1) и (1.6) равносильны, поэтому для того, чтобы решить уравнение (1.1), достаточно найти все решения уравнения (1.6). Неизвестное Xj назовем разрешенным, а неизвестные х₂, ..., хл — свободными.

6

   □ Теорема 1.1. Придадим свободным неизвестным х₂, хп уравнения (1.6) произвольные значения к₂, кп. Тогда:
   1)    можно построить решение ^уравнения (1.6), у которого значения свободных неизвестных равны соответственно к₂, кп;
   2)    если у решений Ки L уравнения (1.6) значения свободных неизвестных совпадают, то и сами решения совпадают.
   Доказательство. 1. Если значения свободных неизвестных х₂ = к₂, ..., хп = кп подставить в (1.6), то для неизвестного х} получим значение
   Х1 = С0 ⁺ С2к2 ⁺ - ⁺ Спкп   Ясно, что
   К = (С0 + с2к2 ⁺ - ⁺ спкп’ к2’ кг) является решением уравнения (1.6).
   2. Пусть у решения L = (/р /₂, ..., /л) уравнения (1.6) значения свободных неизвестных равны соответственно к₂, ..., кп, т. е.
   /₂ = к₂, ..., 1п = кп.                                 (1.7)
   Так как L — решение уравнения (1.6), то
   /1 = Со + С₂1₂ + ... + Сп1п
или с учетом (1.7)
   Z1 ⁼ С0 ⁺ с2к2 ⁺ - ⁺ Спкп-                             <L⁸)
   Из условий (1.7) и (1.8) следует, что решения KwL совпадают. ■
   Уравнение (1.6) имеет бесконечное множество решений, так как значения для неизвестных х₂, ■■■,хп можно выбирать бесконечным числом различных способов.
   Итак, при п > 1 уравнение (1.1) не имеет решений либо имеет бесконечное множество решений.


            1.2.  Системы линейных уравнений


   Пусть дана система т линейных уравнений относительно неизвестных хр х₂, ..., хл. Уравнения системы будем считать пронумерованными — первое, второе и т. д. Коэффициенты при неизвестных в г-м уравнении системы обозначим через вд, aᵢ₂,..., aᵢₙ (первый индекс указывает номер уравнения, второй — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент), а свободный член z-ro уравнения — через Ьг Тогда система линейных уравнений будет выглядеть следующим образом:
  'а1Л ⁺ ад + - + ад = bv
  «гЛ + ад + - + ад = b2’                                 л оч
(1-9)
  а.х. + ат₂х₂ + ... + а х, = Ь.
    ml 1 т£ L         тп п т

7

   Числа ап, а₁₂, ..., атп называются коэффициентами системы уравнений, а числа Z>ₚ b₂, Ьт — свободными числами.
   Заметим, что в системе уравнений (1.9) количество неизвестных может не совпадать с числом уравнений.
   Систему линейных уравнений (1.9) можно представить также в виде таблицы

Х1   Х2   Хп    
а11  а12  а1п   
fl21 а22  а2п ^2
апН  ат2  атп Ьт

в z-й строке которой, 1 < i < т, записаны коэффициенты при неизвестных и свободный член г-го уравнения системы (1.9).
   Решением системы уравнений (1.9) называется такая последовательность чисел (kᵥ k₂, ..., kₙ), которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.
   В дальнейшем увидим, что возможны только следующие три случая:
   1) система уравнений несовместна, т. е. не имеет ни одного решения;
   2)    система уравнений является определенной, т. е. имеет единственное решение;
   3)    система уравнений является неопределенной, т. е. имеет бесчисленное множество решений.
   Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.
   Пусть система уравнений содержит противоречивое уравнение. Тогда каждое решение этой системы должно быть решением противоречивого уравнения. Так как противоречивое уравнение не имеет решений, то система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна.
   Чтобы найти все решения системы уравнений или установить их отсутствие, следует преобразовать данную систему уравнений, стремясь получить систему уравнений, все решения которой находятся без труда (в дальнейшем такую систему уравнений будем называть разрешенной). Если при этом использовать только такие преобразования, которые переводят систему уравнений в равносильную, то полученная разрешенная и исходная системы уравнений равносильны. Следовательно, все найденные решения разрешенной системы будут решениями исходной системы.
   Заметим, что не всегда данную систему уравнений удается преобразовать в разрешенную. Если в процессе преобразований получена система, содержащая противоречивое уравнение, то эта система и, значит, равносильная ей исходная система не имеют решений.
   Намеченная программа решения системы линейных уравнений будет реализована в параграфах 1.3—1.5.

8

            1.3. Разрешенные системы линейных уравнений


   В этом параграфе рассмотрены системы уравнений специального вида, которые играют большую роль при решении произвольных систем уравнений.
   Неизвестное xⱼ называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит неизвестное х₍. с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы неизвестное х₍. не входит, т. е. входит с коэффициентом, равным нулю.
  О Пример. Система уравнений
  'Xj + Зх₃ — Зх₅ = 5,
<       —7х₃ + х₄ + х₅ =8,                            (1-Ю)
      х₂ + 2х₃     — х₅ + х₆ = 1
содержит разрешенные неизвестные хр х₂, х₄, х₆. Неизвестные же х₃ и х₅ не являются разрешенными. •
   Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной. Ясно, что система уравнений (1.10) является разрешенной.
   Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному разрешенному неизвестному. Тогда получим набор попарно различных неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных данной разрешенной системы. Заметим, что набор разрешенных неизвестных в общем случае определен неоднозначно. Например, система (1.10) обладает двумя наборами разрешенных неизвестных хр х₄, х₂ И Хр Х₄, Х₆.
   Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе (1.10) фиксирован набор разрешенных неизвестных хр х₄, х₂, то неизвестные х₃, х₅, х₆ являются свободными. Если же в системе (1.10) хр х₄, х₆ — набор разрешенных неизвестных, то свободными являются неизвестные х₂, х₃ и х₅.
   Пусть теперь разрешенная система уравнений содержит неизвестные хр х₂, ..., хп и предположим, для определенности, что набор неизвестных хр х₂, ..., хг является набором разрешенных неизвестных данной системы. Тогда возможны два случая: 1) г = и; 2) г < и.
   В первом случае все неизвестные системы хр х₂, ..., хп образуют набор разрешенных неизвестных. Из определения набора разрешенных неизвестных следует, что данная система содержит п уравнений. Для определенности предположим, что первое уравнение системы содержит неизвестное хр второе — х₂ и т. д., и-е уравнение содержит неизвестное хи. Из определения разрешенных неизвестных вытекает, что не

9

известное х₁ содержится только в первом уравнении, неизвестное х₂ — только во втором и т. д., неизвестное хп содержится только в и-м уравнении. Отсюда следует, что первое уравнение системы содержит только неизвестное хр второе — только х₂ и т. д., п-е уравнение содержит только неизвестное хп, т. е. разрешенная система имеет вид

  Ясно, что эта система уравнений имеет единственное решение (*р ь₂,..., Ьп).
  Во втором случае (г < и) разрешенная система состоит из г уравнений вида
  X + aᵢᵣ₊ixᵣ₊₁ + ... + aₗₗₜxₙ =b₁;
 . х2 ⁺ «2,₊Л₊1 ⁺ - ⁺ а2Л = ь»                       ₍₁ П₎

  Хг + аг г₊Л₊₁ + ... +  = ьг.
  Неизвестные хг₊р..., хп являются свободными неизвестными системы (1.11).
  Выразим разрешенные неизвестные хр х₂,..., хг системы (1.11) через ее свободные неизвестные хг₊р ..., хп:

  'х1 ⁼ й1-а1г₊Л+1---а1Л
  Х2 = Ь2 - а2 г + Л + 1 - - - Vn’                   <¹Л²)
  «

  5 = Ьг - аг г₊Л₊₁ - ... - вЛ

  Ясно, что системы уравнений (1.11) и (1.12) равносильны.

  □ Теорема 1.2 (свойство свободных неизвестных). Придадим свободным неизвестным хг₊р ..., хп системы уравнений (1.12) произвольные значения Аг₊р ..., кп.
  Тогда:
  1)    можно построить решение К системы уравнений (1.12), у которого значения свободных неизвестных равны соответственно kᵣ₊ᵢ, к*,
  2)    если у решений К и L системы уравнений (1.12) значения свободных неизвестных совпадают, то и сами решения совпадают.
  Доказательство. Если значения свободных неизвестных хг₊₁ = = кг₊₁, ..., хп = кп подставить в систему уравнений (1.12), то для разрешенных неизвестных хр ..., хг получим следующие значения:

10