Математическое обеспечение чертежа при конструировании деталей в машиностроении

ǰ.Ƕ. ǻȎȞȠȭ 
ǺȎȠȓȚȎȠȖȥȓȟȘȜȓ ȜȏȓȟȝȓȥȓțȖȓ ȥȓȞȠȓȔȎ  
ȝȞȖ ȘȜțȟȠȞȡȖȞȜȐȎțȖȖ ȒȓȠȎșȓȗ  
Ȑ ȚȎȦȖțȜȟȠȞȜȓțȖȖ
Монография
ǶțȢȞȎ-ǶțȔȓțȓȞȖȭ 
ǺȜȟȘȐȎ-ǰȜșȜȑȒȎ 
2018 

 
ФЗ 
№436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке  
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 
 
УДК 621.81(075)    
ББК 34.42я73 
     Н 28 
 
Рецензенты: 
Байджанов Д.О., доктор технических наук, профессор; 
Ким В.А., доктор технических наук, профессор; 
Смирнов Ю.М., доктор технических наук, профессор. 
 
 
 
Нартя В.И.  
Н 28    Математическое обеспечение чертежа при конструировании деталей   
            в машиностроении / В.И. Нартя. -М.: Инфра-Инженерия, 2018. - 80 с. 
ISBN 978-5-9729-0170-8   
В  работе  применена  скалярно-параметрическая  форма  описания  
ортогональных  проекций  геометрических  фигур.  Математический  аппа- 
рат базируется на методах аналитической геометрии, которым ставятся в  
соответствие  традиционные  графические  алгоритмы  как  представления  
геометрических  объектов  различных  классов,  так  и  решения  позицион- 
ных и метрических задач. 
Рекомендуется студентам, аспирантам, преподавателям технических вузов, научным сотрудникам и инженерам-конструкторам, работающим в области кибернетизации инженерной графики при разработке 
графических пакетов на разных языках программирования, а также при 
решении задач САПР- визуализации геометрических объектов и обработки 
деталей на металлорежущем оборудовании с ЧПУ.
УДК 621.81(075)    
ББК 34.42я73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
‹ Нартя В.И., автор, 2018  
‹ Издательство «Инфра-Инженерия», 2018 
 
ISBN 978-5-9729-0170-8 
2 
 

ǽǾdzDzǶǿǹǼǰǶdz 
В последнее время наметилась тенденция дополнять чертёж аналитическим описанием и, следовательно, предполагая известными основные понятия 
геометрии, геометрические факты записывать в виде соотношений между координатами. Это дает возможность разрабатывать различные математические модели отображения пространства на плоскость и, затем, программное обеспечение 
для применения систем и средств автоматизированного выполнения чертежей. 
Идея «строгого» соответствия графического и численно-аналитического 
представления, а также оценки состава изображений объектов пространства 
при ортогональном проецировании на две или три взаимно-перпендикулярные 
плоскости проекций была предложена в свое время ещё основателем метода - 
Г. Монжем, который небезосновательно считал наиболее перспективным приёмом использование аппарата Р. Декарта. Эту идею автор учебного пособия реализовал, используя скалярно-параметрическую форму описания проекций, как 
основную при разработке математических моделей изображений плоских и 
трехмерных объектов. Основные достоинства такого подхода: 
- численно читается каждая проекция объекта в отдельности, т.е. достигается расчленение в аналитическом описании по изображениям; 
- при конструировании поверхностей описываются одновременно два 
каркаса линий, обеспечивающие как полноту задания, так и наглядность (при переходе к аксонометрическим проекциям); 
- упрощается решение задач позиционного и метрического характера (по 
сравнению с другими формами аналитического описания); 
- достигается простота разработки блок-схем, а также алгоритмов представления изображений на выбранном языке программирования. 
 
Автор приносит глубокую благодарность 
 докт. техн. наук, проф. Исагулову А.З., докт. техн. наук, проф. Кузембаеву С.Б. 
 и доцентам, канд. техн. наук – Синчукову А.Н., Цой С.М. за оказанную 
 организационную и техническую помощь при подготовке рукописи к изданию. 
 
 
 
 
 
 
3 
 

ǼǯǼǵǻǮȅdzǻǶȍ Ƕ ǿǶǺǰǼǹǶǸǮ 
А. Обозначение геометрических фигур 
1.Геометрическая фигура обозначается - Ф. 
2.Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными 
буквами латинского алфавита или арабскими цифрами: 
А, В, С, D, … 
1, 2, 3, 4, … 
3.Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, 
обозначаются строчными буквами латинского алфавита: 
a, b, c, d, … 
Линии уровня обозначаются 
h - горизонталь; 
v - фронталь; 
w -  профильная прямая (профиаль). 
Для прямых используются также следующие обозначения: 
(АВ) - прямая, проходящая через точки А и В; 
[АВ) - луч с началом в точке А; 
[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.  
4.Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита: 
Į, ȕ, Ȗ, į, … 
Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, иногда указываются геометрические элементы, которыми они определяются. 
5.Углы обозначаются: 
‘ АВС - угол с вершиной в точке В или  ‘ ĮÛ, ‘ ȕÛ, ‘ ȖÛ, … 
6.Расстояния между элементами пространства обозначаются двумя вертикальными отрезками _ _. Например: 
_АВ_ - расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ); 
_ Аa _ - расстояние от точки А до линии a; 
_ АĮ _ - расстояние от точки А до поверхности Į; 
_ ab _  - расстояние между линиями a и b; 
_ Įȕ _  - расстояние между поверхностями Į  и ȕ. 
7.Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком A , который ставится 
над углом: 
АВС - величина  ‘ АВС; 
ijÛ  -  величина  ‘ ijÛ. 
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри -       . 
8.Для координатных плоскостей проекций приняты следующие обозначения: 
H, V, W, где: 
V - фронтальная плоскость проекций; 
H - горизонтальная плоскость проекций; 
W - профильная плоскость проекций. 
4 
 

При замене плоскостей проекций новую плоскость обозначают той же буквой, 
что и плоскость, которую она заменила, с добавлением подстрочного индекса:  
H1, V1, W1, H2, V2  и т.д. 
9.Оси проекций обозначаются: x, y, z, 
где x - ось абсцисс; 
y - ось ординат; 
z - ось аппликат. 
Точка пересечения осей проекций обозначается буквой О. 
10. Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением 
верхнего индекса А
, А

, А


 или 1
, 1

, 1


, соответствующего плоскости проекций, на которой они получены: 
А
, В
, С 
, D
, … - горизонтальные проекции точек; 
А

, В

, С 

, D

, … - фронтальные проекции точек; 
А


, В


, С 


, D 


, … - профильные проекции точек; 
a
, b
, c
, d 
, … - горизонтальные проекции линий; 
a

, b

, c

, d 

, … - фронтальные проекции линий; 
a


, b


, c


, d 


, … - профильные проекции линий; 
Į
, ȕ
, Ȗ 
, į
, … - горизонтальные проекции поверхностей; 
Į

, ȕ

, Ȗ 

, į

, … - фронтальные проекции поверхностей; 
Į


, ȕ


, Ȗ 


, į


, … - профильные проекции поверхностей. 
11. Следы поверхностей обозначаются той же буквой, что и поверхность, с добавлением подстрочного индекса H, V, W, указывающего плоскость проекции, на 
которой находится след. 
Так: Į H - горизонтальный след поверхности Į; 
Į V - фронтальный след поверхности Į. 
12. Следы прямых обозначаются той же буквой, что и прямая, с добавлением 
подстрочного индекса H, V, W, указывающего плоскость проекции, на которой 
находится след. 
Так: a H - горизонтальный след прямой a; 
a V - фронтальный след прямой a. 
13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1, 2, 3, … , n: 
А1, А2, А3, … , А n; 
a 1, a 2, a 3, … , a n; 
Į 1, Į 2, Į 3, … , Į n; 
Ф1, Ф2, Ф3, … , Ф n. 
Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для 
получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той 
же буквой с подстрочным индексом 0: А0, В0, С0, … 
 
 
5 
 

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами: 
   -  совпадают, равны, результат действия; 
#  -  конгруэнтны; 
a  -  подобны;  
Œ  -  параллельны; 
     -  скрещиваются; 
A  -  перпендикулярны; 
‘-  пустое множество; 
  -  принадлежит, является элементом (для точки); 
 - включает, содержит (большее множество включает множество меньшей мощности); 
8-  объединение множеств; 
ŀ  -   пересечение множеств. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 

DZǹǮ
ǾȀǼDZǼǻǮ
dz ǽǾǼdzǸȄ
ȄǶǶ ȀǼȅ
ȅǸǶ,  
ǼǽǶǿǮ
ǽǾȍ
ȍǺǼǷ Ƕ 
ǮǰǮ 1. Ǽ
ǽǹǼǿǸǼ
ǼǿȀǶ Ƕ 
ǮǹȊǻȉdz
Ƕȃ ǽǮǾǮ
ǮǺdzȀǾǶȅ
ȅdzǿǸǼdz 
ǻǶdz 
§ 1
1. ȀȜȥȘȎ
Оп
перацию в
же осей к
координат
т называю
ют арифм
метизаци-
на чертеж
введения 
(рис. 1.1ей эпюра
а Монжа 
1.3). 
z 
z 
z 
А
А

 


А


А


 
ZА 
ZА 
XА 
О 
y 
x 
y
x 
O 
y 
А
x 

 = А

 
О =
y 
= А


 
А

 
X
XА 
XА 
YА 
y 
y 
y 
А
 
     ǾȖȟ. 1
.1             
         ǾȖȟ.
. 1.2          
      ǾȖȟ. 1
1.3            
Гор
ризонтал
ьная прое
точки А о
определя
ется коор
рдинатами
, 
и XА, YА,
фронталь
екция А
 
профиль
. 
ьная: А

 -
ьная: А


 -
- XА, ZА, 
-  YА, ZА.
 
§ 2
2. ǽȞȭȚȎ
Ȏȭ șȖțȖȭ
ȭ 
Пр
рямую ли
инию и ка
аждую ее
е проекци
ию можно
о рассмат
тривать к
как одно(однопара
аметричес
ское) мно
ожество т
точек. То
чка же - 
- нульмер
рное мно-
-
мерное (
жество. 
Пр
рямая общ
щего пол
ожения н
не паралл
лельна и 
не перпе
ендикуляр
рна ни к
к 
одной из
з плоскост
тей проек
кций. 
' 
а' 
Н
Н 
Ǿ
ǾȖȟ. 1.4 
ǾȖȟ
ȟ. 1.5 
7 
 

Горизонтальная проекция a
 прямой a (рис. 1.4 и 1.5) описывается параметрическими выражениями:   
x = t1 cos ij1Û  d1,                                                  (1) 
y = t1 sin ij1Û;            
фронтальная - a

: 
x = t2 cos ij2Û  d2,                                                 (2) 
z  = t2 sin ij2Û. 
 
Координаты точек профильной проекции a


 можно определить, исключив в выражениях (1) и (2) абсциссу  х: 
y = t1 sin ij1Û,                                                      (3) 
z = t2 sin ij2Û. 
В выражениях (1, 2, 3) t1 и t2 - переменные параметры, определяющие 
длины отрезков на проекциях  a
 и  a

 от точек  a
V  и  a

H  соответственно; ij1Û, 
ij2Û - углы между проекциями прямой a и осью абсцисс, взятые против хода часовой стрелки от оси х для  a
 и по ходу - для  a

 (рис. 1.5); d1 и d2 - абсциссы 
точек  a
V  и  a

H  пересечения проекций  a
  и  a

  с осью х. Переменные параметры  t1 и  t2  для отрезков прямых, расположенных в первом октанте, принимают значения 0 d t1, t2 d 1; углы  ij1Û и ij2Û могут быть зафиксированы в пределах  0Û < ij1Û, ij2Û < ʌ. 
Координаты проекций произвольных точек на прямой а, например, точки В, 
определяются из выражений (1), (2) после задания хотя бы одной координаты: 
    задано ЍYВ                    задано Ѝ ХВ               задано Ѝ  ZВ 
                                                                             Ў 
            t1                                                                        t1             t2                                 t2 
                    Ў                                           Ў          Ў                            Ў 
                       ХВ  Ѝ  t2 Ѝ ZВ                    YВ        ZВ            YВ Ћ t1 Ћ ХВ 
 
Возможны также и другие способы параметрического задания прямой, 
которые рассмотрены в главе 3. 
Следы прямой - точки пересечения (встречи) с плоскостями проекций: 
а) горизонтальный след aH = а ŀН  при t2 = 0 определяется координатами: 
Х = d2, Y = (d2  - d1) tg ij1Û,  Z = 0; 
б) фронтальный след аV = а ŀV  (t1 = 0): Х =  d1, Y = 0,  Z =  (d1 - d2) tg ij2Û; 
в) профильный след аW = а ŀW (на рис. 1.4, 1.5 не показан): Y = - d1 tg ij1Û,  
Z = - d2  tg ij2Û  при условии Х = 0. 
8