Классическая электродинамика. Электромагнитные волны. Четырехмерная электродинамика

 
 
 
 
Â. È. ßêîâëåâ 
 
 
ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß 
ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 
 
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ. 
×ÅÒÛÐÅÕÌÅÐÍÀß ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 
 

Ó÷åáíîå ïîñîáèå 

Èçäàíèå âòîðîå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2023 

537+538 
22.313 
 
- 
 
 
 
– 2-– -– ISBN 978-5-9729-1301-5 
 

-. 
 
537+538 
22.313 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1301-5 2023 
 
- 
-

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 7.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
. . . . . . .
11
7.1.
Свободное электромагнитное поле.
Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
7.2.
Плоские волны. Основные соотношения
. . . . . . . . . .
13
7.3.
Пример плоской волны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.4.
Уравнения Максвелла для монохроматических процессов
20
7.5.
Монохроматическая плоская волна:
поля, волновой вектор,
фазовая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.6.
Монохроматическая плоская волна:
поляризация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
7.7.
Отражение и преломление электромагнитной волны на
границе раздела двух сред . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.8.
Формулы Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
7.9.
Характерные особенности процесса
отражения-преломления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
7.10. Просветление оптики.
О диэлектрических зеркалах . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
7.11. Предварительно о монохроматической сферической волне 49
7.12. Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Глава 8.
ФУРЬЕ-РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.1.
Формулы преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.2.
Некоторые характерные случаи фурье-преобразования
.
58

Оглавление

8.3.
Соотношение неопределённости
. . . . . . . . . . . . . . .
63
8.4.
О физическом содержании соотношения неопределённости 72
8.5.
Спектр случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.6.
Преобразования Фурье для функций четырёх переменных. Уравнения Максвелла в фурье-представлении . . . .
79
8.7.
Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Глава 9.
ДИСПЕРСИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 89
9.1.
Краткий обзор электромагнитных свойств различных сред
и их механизмов дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.2.
Классическая электронная теория
дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
9.3.
Дисперсия и волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9.4.
Метод стационарной фазы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5.
О затухании и усилении электромагнитной волны в среде 110
9.6.
Задачи к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Глава 10.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ. РЕЗОНАТОРЫ. ВОЛНОВОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
10.1. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2. Стоячие волны при отражении от стенки конечной проводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.3. Два примера электромагнитных волн в ограниченных
областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4. Резонаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.5. Вынужденные колебания полей в щелевом резонаторе с
потерями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.6. Волноводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.7. Волновод с прямоугольным поперечным сечением
. . . . 140
10.8. ТЕМ-волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.9. Задачи к главе 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Глава 11.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА . . . . . . . . .
152
11.1. Вводные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.2. Уравнение эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.3. Пример прохождения волны в!неоднородное полупространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.4. Второе приближение геометрической оптики для конкретного примера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Оглавление
5

11.5. Световые лучи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.6. Примеры применения уравнения луча
. . . . . . . . . . . 168
11.7. Принцип Ферма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.8. Гомоцентричность и астигматизм оптического пучка. Фокальные линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.9. Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмой . . . . 180
11.10. Преломление луча на сферической поверхности. Параксиальное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.11. О критерии параксиальности . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.12. Центрированные оптические системы . . . . . . . . . . . . 195
11.13. Тонкая линза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.14. Кардинальные элементы оптической системы . . . . . . . 202
11.15. Оптическая система глаза
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.16. Оптические инструменты, вооружающие глаз . . . . . . . 211

Глава 12.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
12.1. О природе интерференции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.2. Интерференция монохроматического
света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.3. Первый шаг в сторону от монохроматической идеализации227
12.4. Квазимонохроматичность и когерентность . . . . . . . . . 229
12.5. Опыт Юнга. Качественное рассмотрение. Продольный
размер когерентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.6. Опыт Юнга. Количественный анализ . . . . . . . . . . . . 237
12.7. Влияние размеров источника на интерференционные явления. Поперечный размер когерентности . . . . . . . . . 240
12.8. Корреляционная функция стационарного случайного волнового поля и её роль в явлении интерференции
. . . . . 246
12.9. Апертура интерференции и условие применимости протяжённого источника
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.10. Интерференция на тонкой плёнке. Локализация интерференционных полос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.11. Задачи к главе 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Глава 13.
ДИФРАКЦИЯ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
13.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.2. Математическая постановка задачи дифракции и приближённые граничные условия Кирхгофа
. . . . . . . . . 275

Оглавление

13.3. Решение задачи дифракции методом разложения на плоские волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.4. Принцип Гюйгенса-Френеля.
Интеграл Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.5. Зоны Френеля. Зонная пластинка . . . . . . . . . . . . . . 290
13.6. Вывод интеграла Кирхгофа
. . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.7. Интеграл Кирхгофа
для цилиндрических волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.8. Приближения Френеля и Фраунгофера . . . . . . . . . . . 303
13.9. Примеры дифракционных картин Фраунгофера . . . . . . 307
13.10. Пример дифракционной картины
Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.11. Дифракционные решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
13.12. Дифракционная решётка как спектральный прибор
. . . 327
13.13. Интерферометр Фабри-Перо . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.14. Задачи к главе 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Глава 14.
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
339
14.1. Волновое уравнение для скалярного и векторного потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.2. Запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
14.3. Мультипольное разложение для запаздывающих потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.4. Примеры электромагнитных полей
от гармонических источников
. . . . . . . . . . . . . . . . 348
14.5. Дипольное излучение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.6. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения . . . . . 358
14.7. Излучение антенны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
14.8. Интерференционный способ управления диаграммой направленности антенн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
14.9. О физическом механизме возникновения показателя преломления электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . 375
14.10. Рассеяние электромагнитных волн
. . . . . . . . . . . . . 379
14.11. Рассеяние свободными зарядами . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.12. Задачи к главе 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Оглавление
7

Глава 15.
СФЕРИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
15.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
15.2. Электромагнитные мультипольные поля (осесимметричный случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.3. Сферическая стоячая волна.
Сферический резонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.4. Замкнутая задача излучения антенны
. . . . . . . . . . . 400

Глава 16.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
. . . . . . . . . . . . .
408
16.1. Постулаты Эйнштейна. Инвариантность интервала.
Преобразование Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
16.2. Четырёхмерное пространство Минковского. Четырёхмерные тензоры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
16.3. Метрический тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
16.4. Ковариантность уравнений электродинамики . . . . . . . 419
16.5. Поле равномерно движущегося заряда . . . . . . . . . . . 421
16.6. Тензор электромагнитного поля. Ковариантный вид уравнений Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.7. Ковариантная форма уравнения движения материальной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16.8. Преобразование Лоренца для поля
. . . . . . . . . . . . . 427
16.9. Инварианты поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
16.10. Ковариантность выражения для силы Лоренца и законов
сохранения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
16.11. Четырёхмерный волновой вектор. Эффект Доплера . . . 436

Глава 17.
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯДОВ439
17.1. Потенциалы Лиенара-Вихерта . . . . . . . . . . . . . . . . 439
17.2. Поля движущегося заряда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
17.3. Четырёхвектор энергии-импульса излучения релятивистской частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
17.4. Угловое распределение излучения . . . . . . . . . . . . . . 453
17.5. Физический смысл мощности излучения . . . . . . . . . . 456
17.6. Торможение излучением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.7. Сила торможения и баланс
энергии-импульса при излучении
. . . . . . . . . . . . . . 464

Оглавление

17.8. Сила торможения излучением для
заряда, движущегося в заданном
электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
17.9. Излучение заряда, движущегося в однородном электрическом поле при v∥E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
17.10. Синхротронное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
481

Предисловие

Вторая часть книги представляет собой переработанный вариант частей 2 и 3 учебного пособия по курсу электродинамики, выпущенных
Редакционно-издательским центром Новосибирского государственного
университета в 2009г. (часть 2) и 2014г. (часть 3) для студентов физического факультета. Книга посвящена волновым процессам, включая
элементы волновой оптики, и основную её часть составляет последовательное рассмотрение «конструкции» электромагнитных волн, законов
их распространения в пустоте и в материальных средах с простейшими
свойствами, включая приближение геометрической оптики. Рассматриваются интерференция, дифракция, излучение и рассеяние электромагнитных волн.
Основная часть этой книги (главы 7—14) написана как пособие для
первоначального изучения основ теории волновых процессов в электродинамике и опирается на полную систему уравнений Максвелла с
токами смещения. Для описания монохроматических процессов используется комплексное представление физических величин. Требуемые для
изучения данного материала математические знания не выходят за пределы стандартного курса математического анализа и простейших дифференциальных уравнений. Решения для всех встречающихся дифференциальных уравнений в частных производных получаются по ходу
изложения материала.
Считая, что понимание теории необходимо и для экспериментальной работы, автор стремился сделать изложение по возможности доступным, следя за последовательностью и отсутствием логических пробелов в цепочках рассуждений. Этой же цели служит использование
специальных необщепринятых обозначений типа ˆf, ˆE (со «шляпками»)
для выделения комплексных амплитуд соответствующих физических
величин. Все главы этой основной части книги (кроме главы по геометрической оптике) снабжены небольшим количеством задач (с соответствующими подсказками) для самостоятельной работы.

Предисловие

Последние три главы (главы 15—17) содержат более специальный
материал, требующий для освоения большую предварительную подготовку. При первом чтении эти главы можно опустить и обратиться к
ним после полноценного освоения основной части курса (или при возникновении практической необходимости).
Первая из названных глав возникла из желания привычные решения уравнений Максвелла в виде монохроматических плоских волн дополнить осесимметричными векторными мультиполями, задаваемыми в
сферических координатах. Тем самым класс решаемых волновых задач
расширяется за счёт включения областей со сферическими границами.
Это позволило продемонстрировать формулировку замкнутой задачи
излучения для простейшей сферической антенны и тем облегчить изложение вопроса об излучении антенны, подчеркнув приближённость
обычно применяемого подхода. Это же дало возможность рассмотреть
сферический резонатор и изучить его осесимметричную моду.
В последних двух главах конспективное изложение специальной теории относительности Эйнштейна завершается релятивистским обобщением электродинамики. Особое внимание уделено излучению релятивистских частиц. Исключив неявное отождествление мощности излучения и скорости потери энергии частицы за счёт излучения, встречающееся в учебной литературе, здесь удалось существенно упростить описание процесса, элементарно построив баланс энергии-импульса при излучении частицы. Независимыми компонентами этого баланса являются
мощность излучения, скорость потери энергии частицей и скорость передачи энергии буферному полю. При этом в процессе четырёхмерного
обобщения баланса попутно получается наглядный вывод формулы для
силы торможения излучением релятивистского заряда.

Для данного издания определяющую роль сыграла инициатива проф.
В. Г. Сербо. В процессе написания книги автору сильно помогла моральная поддержка со стороны руководства как ИТПМ им. С. А. Христиановича СО РАН в лице акад. В. М. Фомина и проф. А. М. Оришича, так и
кафедры общей физики НГУ (проф. А. Г Погосов). Критические замечания и пожелания по книге, высказанные проф. Г. Л. Коткиным, способствовали устранению замеченных шероховатостей изложения. Всем
им я искренне признателен. Благодарю аспиранта физического факультета НГУ Р. Галева за помощь в создании иллюстраций.