Начертательная геометрия

Введение 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ 
 
Допущено учебно-методическим советом  
Сибирского федерального университета в качестве учебника  
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 
07.03.01 «Архитектура», 07.03.03 «Дизайн архитектурной среды», 
07.03.04 «Градостроительство». Протокол № 01 от 24.01.22 г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2022 

 

Введение 

2 

УДК 514.18(07) 
ББК 22.151.34я73 
        С899 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
К. А. Вольхин, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерной и компьютерной графики Новосибирского государственного 
архитектурно-строительного университета (Сибстрин); 
Д. В. Сорокин, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой 
инженерной графики Сибирского государственного университета науки и технологий им. М. Ф. Решетнёва  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Супрун, Л. И. 
С899                 Начертательная геометрия : учебник / Л. И. Супрун, Е. Г. Супрун. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2022. – 292 с. 
ISBN 978-5-7638-4594-5 
 
Изложен материал по общим и специальным разделам начертательной 
геометрии: конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические и конструктивные задачи, тени в ортогональных проекциях, перспектива 
и тени, аксонометрия и тени, проекции с числовыми отметками. Представлены 
геометрические модели элементов пространства. Рассмотрены их позиционные 
свойства и метрические характеристики. Даны алгоритмы решения позиционных 
и метрических задач, а также различные приёмы построения теней. В конце каждой главы приведены контрольные вопросы и задания. 
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
бакалавров 07.03.01 «Архитектура», 07.03.03 «Дизайн архитектурной среды», 
07.03.04 «Градостроительство». 

 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 514.18(07)  
ББК 22.151.34я73 
 
ISBN 978-5-7638-4594-5                                                                  © Сибирский федеральный  
                                                                                                                университет, 2022 

 

Введение 

3 

 
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Целью изучения каждой дисциплины является овладение будущим 
специалистом багажом знаний и формирование определённых компетенций. 
Начертательная геометрия входит в группу общетехнических дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Она учит грамотно владеть выразительным языком чертежа, умению составлять и свободно читать чертежи. 
Изучение начертательной геометрии позволяет развить у студентов пространственные представления, пространственное воображение и творческое мышление. В технических вузах формированию творческой личности способствует 
изучение всех технических дисциплин и в первую очередь начертательной 
геометрии. Её студенты начинают изучать, едва переступив порог вуза. 
Учебник составлен в соответствии с программами подготовки студентов по направлениям бакалавриата «Архитектура», «Дизайн архитектурной среды», «Градостроительство». Он включает в себя 7 глав: конструирование геометрических моделей, позиционные задачи, метрические 
задачи, тени в ортогональных проекциях, перспектива и тени, аксонометрия и тени, проекции с числовыми отметками. 
Материал разработанного учебника соответствует перспективным 
требованиям обеспечения фундаментальной подготовки бакалавров, работающих в области архитектуры, дизайна и градостроительства. Он позволяет приобрести одну из ключевых профессиональных компетенций – 
«умение решать графическими методами многие важные теоретические 
и практические задачи». Компетенции, приобретённые при изучении теоретического материала, пригодятся студенту в его будущей деятельности, 
какую бы специальность он ни приобрёл.  
Данный учебник – это второе издание. В него внесены исправления, 
уточнения, дополнения. Увеличен объём раздела «Метрические задачи». 
Добавлено количество примеров. Откорректирована последовательность 
изложения материала.  
Обозначения проекций, принятые в нашем учебнике, отличаются 
от аналогичных обозначений в классической литературе. Они соответствуют последовательности выполнения чертежей.  
Любой чертёж начинают с главного вида, который изображают на 
фронтальной плоскости. Поэтому фронтальная плоскость проекций обозначена π1, горизонтальная – π2. Отсюда все фронтальные проекции имеют 
обозначения с индексом «1» (A1, 11, a1, α1), горизонтальные проекции – 
с индексом «2» (A2, 12, a2, 2).  

 

Принятые обозначения и символы 

4 

 
 

 
ПРИНЯТЫЕ  
ОБОЗНАЧЕНИЯ  И  СИМВОЛЫ 
 
Обозначения геометрических образов, символы их взаиморасположения и логических операций, составляющие геометрический язык начертательной геометрии, приняты с учётом обозначений и символов курса 
геометрии средней школы. 
1. Точки – заглавные буквы латинского алфавита или цифры: A, B, 
C, D,…,1, 2, 3, …; 
линии  строчные буквы латинского алфавита: a, b, c, d, e, f,…; 
плоскости и поверхности – строчные и прописные буквы греческого алфавита: α, , , , … ; 
углы – строчные буквы греческого алфавита: α, , , , … . 
2. Плоскость проекций – буква греческого алфавита π с добавлением 
индекса: 
π1 – первая или фронтальная плоскость проекций; 
π2 – вторая или горизонтальная плоскость проекций; 
π3, π4, π5, …  дополнительные плоскости проекций. 
3. Оси проекций – строчные буквы: х12, х13, х23, х34,… . 
4. Оси в аксонометрии и перспективе: х, y, z. 
5. Проекции на плоскостях: 
π1  A1, B1, …, 11, 21, …, a1, b1, …, α1, 1, 1, …; 
π2  A2, B2, …, 12, 22, …, a2, b2, …, α2, 2, 2, …; 
π3  A3, B3, …, 13, 23, …, a3, b3, …, α3, 3, 3, …; 
π4 – A4, B4, …, 14, 24, …, a4, b4, …, α4, 4, 4, …. 
6. Символы: 
  принадлежность: A  a – точка A принадлежит линии a; 
∩  пересечение: a ∩ b – линии a и b пересекаются; 
  результат: a1 ∩ b1  С1 – a1 пересекают b1 в точке С1; 
равенство: AB = CD  длина отрезка AB равна длине отрезка CD; 
  следовательно: K  m, K  n  m ∩ n = K; 
  тождественное равенство или совпадение: A1 ≡ B1  проекции 
точек А и В совпадают; 
  перпендикулярность: p  m; 
║  параллельность: с ║ d; 
  соответствие: А2  А1 – проекция А2 соответствует проекции А1. 
  отрицание (наличие в символе смысла частицы «не»): A  b  
точка A не принадлежит линии b. 

 

1. Конструирование геометрических моделей 

5 

 
 

 
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ  
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ 
 
 
1.1. Предмет и метод  
начертательной геометрии 
 
Активная деятельность человека связана с передачей и переработкой 
информации о явлениях внешнего мира. Причем одну и ту же информацию 
можно передать различными способами. Желая, например, определить 
форму и размеры проектируемого сооружения, можно использовать словесные объяснения, математические символы, рисунок, чертеж, макет.  
Если различные физические предметы или явления позволяют извлекать 
одну и ту же информацию, то говорят, что они моделируют друг друга. 
Каждый такой предмет является моделью других, и наоборот. Например, 
азбуку Морзе можно считать однозначной моделью алфавита. Человек 
и имя, мысль и речь – примеры неоднозначных моделей. 
В начертательной геометрии изучаются способы конструирования 
геометрических моделей, позволяющие передавать и обрабатывать геометрическую информацию. 
Геометрическая информация  это сведения о форме, размерах 
и взаимном расположении геометрических образов. Геометрический           
образ – это точка, прямая, плоскость, поверхность. 
Геометрическая модель должна быть однозначной и удобной в использовании 
Простейшая такая модель может быть получена методом линейного проецирования. 
 
 
1.2. Операция  
линейного проецирования 
 
Выберем в пространстве произвольную плоскость π и точку S, не 
принадлежащую π. Точку S примем за центр проецирования, а плоскость π – 
за плоскость проекций или плоское поле проекций (множество точек плоскости называется точечным или плоским полем). Центр S и плоскость π 
составляют аппарат проецирования. 

 

Начертательная геометрия 

6 

Выбрав аппарат проецирования, можно построить проекцию любой точки А пространства. Для этого через S и А проводим луч и отмечаем 
его пересечение с плоскостью проекций: SA ∩ π = А′ (рис. 1.1). Луч SA называется проецирующим лучом, а точка А′ – проекцией точки А. 
 

 
 

В зависимости от расположения центра S 
различают центральное и параллельное проецирование. 
При центральном проецировании центр находится на 
конечном расстоянии (рис. 1.1). При параллельном 
проецировании лучи проходят параллельно друг другу, 
и центр в этом случае оказывается бесконечно 
удалённым. 
Если проецирующие лучи перпендикулярны 
плоскости π, то проецирование называется ортогональным или прямоугольным (рис. 1.2, а).  
Если проецирующие лучи проходят под острым углом к плоскости π, то проецирование называется 
косоугольным (рис. 1.2, б). 

Рис. 1.1 

Поскольку проецирующими элементами являются прямые линии, 
то рассмотренное проецирование называется линейным. 
 

 
а 
б 
Рис. 1.2 
 
Отметим свойства линейного проецирования, в котором зафиксированы центр проецирования и плоскость проекций. 
Свойство 1. Каждой точке K пространства соответствует единственная ее проекция K′, если эта точка не совпадает с центром проецирования, но каждой точке M′ плоскости проекций соответствует бесчисленное 
множество точек М, М 1, М 2, … пространства, для которых точка M′ является проекцией (рис. 1.3). 
Свойство это следует непосредственно из определений, поэтому не 
нуждается в доказательстве. 
Свойство 2. Линейной проекцией прямой линии является также 
прямая линия, если эта проекция не вырождается в точку (рис. 1.4). 

1. Конструирование геометрических моделей 

7 

Так, проекцией, изображённой на рис. 1.4, прямой линии АВ является прямая A′B′. Это следует из того, что центр S и прямая АВ в пространстве определяют проецирующую плоскость σ. Проекция A′B′ представляет 
собой линию пересечения плоскостей σ и π. Две плоскости всегда пересекаются по прямой линии. 
 

 
 

Рис. 1.3 
Рис. 1.4 
 
Свойство 3 (свойство инцидентности). Если в пространстве точка 
принадлежит прямой линии, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой. 
На рис. 1.4 это свойство показано для точки С и прямой АВ. 
 
 
1.3. Метод двух изображений 
 
Имея аппарат линейного проецирования, состоящий из одного 
центра и одной плоскости проекций, нельзя построить однозначную модель точки пространства. В этом случае на основании свойства 1 не возникает взаимно однозначного соответствия между точкой пространства и её 
проекцией на плоскость π. Поэтому удвоим аппарат проецирования. Возьмем в пространстве две плоскости π1 и π2, расположенные под произвольным углом друг к другу, и два центра S1 и S2. Пусть проецирование на обе 
плоскости будет центральным (рис. 1.5). 
Плоскость π1 будем называть первой плоскостью проекций (или 
первым полем проекций), π2 – второй плоскостью проекций (или вторым 
полем проекций). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью 
проекций. Обозначим ее х12 = π1 ∩ π2. Линию S1S2, проходящую через центры 

Начертательная геометрия 

8 

проецирования, назовем линией центров. Отметим точки пересечения ее 
с π1 и π2: S1S2 ∩ π1 = U1, S1S2 ∩ π2 = U2. U1 и U2 назовем исключенными 
точками. 
S1, S2, π1, π2, U1, U2 составляют аппарат проецирования метода 
двух изображений. Возьмем произвольную точку А пространства и спроецируем ее из S1 и S2 на π1 и π2. Получим пару проекций А1 и А2. Докажем, 
что они определяют однозначную модель точки А. 
Центры S1, S2 и проецируемая точка А определяют некоторую 
плоскость α. Она пересекает плоскости проекций π1 и π2 по прямым               
U1X = α ∩ π1 и U2X = α ∩ π2, где Х = α ∩ х12. Так как проецирующий луч 
S1A проходит через две точки, лежащие в плоскости α, то он весь лежит 
в этой плоскости. Поэтому точка пересечения его с плоскостью π1 обязательно попадет на прямую U1X, т. е. А1  U1X. По тем же самым соображениям проекция А2 должна попасть на U2X, т. е. А2  U2X. Точки А1 и А2 
будут единственными, поскольку прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Таким образом, можно сказать, что произвольной точке А пространства поставлена в соответствие единственная пара проекций А1, А2:  
А  (А1, А2). 
 

 

Рис. 1.5 
 
Справедливо и обратное утверждение. Представим, что имеем центры 
S1, S2, плоскости π1, π2 с исключенными точками U1, U2 и две проекции        
А1  U1X, A2  U2X. Докажем, что в этом случае можно построить единственную точку А пространства, являющуюся прообразом пары точек А1, А2. 

1. Конструирование геометрических моделей 

9 

Соединим А1 с S1 и А2 с S2. Эти прямые лежат в одной плоскости α, 
определенной треугольником U1XU2. Следовательно, они, пересекаясь, 
дают единственную точку А. Таким образом, (А1, А2)  А. Что и требовалось 
доказать. На основании доказанного можно утверждать, что пара (А1, А2), 
полученная рассмотренным методом двух изображений, задает однозначную модель точки А, не принадлежащей линии центров S1S2. Проекции А1 
и А2 одной и той же точки А пространства будем в дальнейшем называть 
соответственными точками, а лучи U1X и U2X, на которых они лежат, – 
соответственными лучами. 
На рис. 1.5 рассмотрен общий вариант метода двух изображений. 
В зависимости от взаимного расположения плоскостей проекций π1, π2 
и центров проецирования S1, S2 возникают различные частные варианты 
этого метода. 
 
 
1.4. Метод ортогональных проекций  
(метод Монжа) 
 
Пусть π1  π2 и проецирование на обе плоскости ортогональное 
(рис. 1.6, а). В таком случае линия центров S1S2, будет бесконечно удалена, 
следовательно, бесконечно удаленными окажутся и исключенные точки 
U1 и U2. Определим их направление. 
 

 
 

а 
б 
в 
Рис. 1.6 
 
Так как S1A  π1 и S2A  π2, то проецирующая плоскость α перпендикулярна одновременно π1 и π2. Следовательно, линия пересечения этих 
плоскостей (ось проекций х12) перпендикулярна α. Поэтому U1X  x12 
и U2X  х12. Значит, исключенные точки U1 и U2 бесконечно удалены в на

Начертательная геометрия 

10 

правлении, перпендикулярном х12. Таким образом, проекции А1 и А2 будут 
расположены на соответственных лучах, перпендикулярных оси проекций х12.  
Полученная модель точки является пространственной. Для перехода к плоской модели мысленно удалим проецируемую точку А вместе 
с проецирующими лучами и повернем плоскость π2 вокруг оси х12 до совмещения с π1. Вследствие перпендикулярности лучей U1X и U2X к х12 исключенные точки U1 и U2 при совмещении совпадут. Модель примет вид, 
представленный на рис. 1.6, б. Здесь плоскости π1 и π2 условно показаны 
ограниченными. Но на плоской модели контуры плоскостей проекций           
не нужны. Их можно убрать. В результате получим чертеж, изображенный 
на рис. 1.6, в.  
Чертеж, полученный при совмещении плоских полей, называется 
эпюром. 
Рассмотренный вариант построения модели впервые был предложен 
французским ученым Гаспаром Монжем и потому называется методом 
Монжа, а эпюр – эпюром Монжа. 
Совпавшие лучи U1X  и U2X, на которых располагаются соответственные точки А1 и А2, в дальнейшем будем называть линией связи. 
 
 
1.5. Модель точки 
 
Модель точки, построенная по методу двух изображений, является 
однозначной. При ортогональном проецировании на взаимно перпендикулярные плоскости соответственные лучи перпендикулярны к оси проекций и при переходе к плоской модели сливаются. Поэтому можно сказать, 
что моделью точки на эпюре Монжа является пара точек, лежащих на 
одной линии связи, перпендикулярной оси проекций (рис. 1.6, в). 
 

 
 

Для того чтобы не загромождать чертеж 
лишними линиями, в дальнейшем линии связи целиком проводить не будем, а только начало 
и конец, как показано на рис. 1.7, сохраняя при 
этом перпендикулярность ее к оси проекций. В1 
будем называть первой проекцией точки В, В2 – 
второй проекцией точки В. 
В классической литературе рассматривается частный вариант ортогональных проекций, когда плоскость 1 расположена строго вертикально, 
а 2, соответственно, горизонтально (что, в общем, 
не обязательно). Поэтому 1 названа фронтальной  

Рис. 1.7 

плоскостью, 2 – горизонтальной. Отсюда и название проекций – фронтальная и горизонтальная. В дальнейшем будем использовать и эти названия.