Динамика движения. Регулируемые подвески

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ  
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ 
 
РЕГУЛИРУЕМЫЕ ПОДВЕСКИ 
 
 
 
Учебное пособие 
 
2-е издание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва   Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2023 
1 

УДК 629.113 
ББК  34.448 
Д46 
 
Авторы: 
Чернышов К. В., Рябов И. М., Новиков В. В., 
Поздеев А. В., Ковалев А. М.  
 
Рецензенты: 
кафедра эксплуатации и технического сервиса машин в АПК 
ВолГАУ (зав. каф. д-р техн. наук, проф. Д. С. Гапич); 
д-р техн. наук, профессор кафедры многоцелевых гусеничных машин 
и мобильных роботов МГТУ им. Н. Э. Баумана Е. Б. Сарач 
 
 
Д46  
Динамика движения. Регулируемые подвески : учебное пособие /   
[Чернышов К. В. и др.]. - 2-е изд. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2023. - 160 с. : ил. 
ISBN 978-5-9729-1193-6 
 
Изложены теоретические основы и способы теории управления 
подвеской автомобиля в цикле колебаний. Рассмотрены особенности работы подвески в одноопорных одномассовой и двухмассовой моделях автомобиля, на основании которых показаны принципы регулирования 
демпфирования, основанные на ограничении возмущающей силы при кинематическом возмущении. 
Для студентов направлений подготовки 24.00.00 «Авиационная и 
ракетно-космическая техника», 17.00.00 «Оружие и системы вооружения», изучающих дисциплины «Динамика движения», «Подрессоривание 
спецмашин», «Устойчивость спецмашин». Может быть полезно преподавателям, аспирантам и студентам машиностроительных вузов. 
 
УДК 629.113 
ББК 34.448 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1193-6 ” Волгоградский государственный технический университет, 2023 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
2 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 5 
ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ АВТОМОБИЛЯ  
 
ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ  
 
КОЛЕБАНИЙ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 6 
1.1. Моделирование динамики автомобильной подвески  .  .  .  .  .  6 
1.2. Анализ работы подвески одномассовой модели  
 
автомобиля  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  14 
1.3. Анализ работы подвески двухмассовой модели  
 
автомобиля  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 28 
1.4. Обоснование необходимости регулирования  
демпфирования подвески автомобиля  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 43 
ГЛАВА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ  
 
ДЕМПФИРОВАНИЯ В ПОДВЕСКЕ  
 
АВТОМОБИЛЯ В ЦИКЛЕ КОЛЕБАНИЙ  .  .  .  .  .  .  .  .  . 50 
2.1. Обзор принципов мгновенного регулирования 
 
демпфирования в цикле колебаний  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  50 
2.2. Математическое обоснование принципа  
 
мгновенного регулирования демпфирования  .  .  .  .  .  .  .  .  .   
61 
2.3. Рассмотрение принципа мгновенного оптимального  
 
регулирования демпфирования («semi-active»)  
 
в одномассовой колебательной системе  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 70 
2.4. Рассмотрение принципа мгновенного оптимального  
 
регулирования демпфирования («semi-active»)  
 
в двухмассовой колебательной системе  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 78 
2.5. Анализ принципа маятникового регулирования  
 
демпфирования  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   85 
ГЛАВА 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РЕГУЛИРОВАНИЯ  
 
ЖЕСТКОСТИ ПОДВЕСКИ АВТОМОБИЛЯ 
 
В ЦИКЛЕ КОЛЕБАНИЙ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 99 
3.1. Способы и принципиальные схемы двухступенчатого  
 
изменения жесткости подвески  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 99 
3 

3.2. Математическая модель механической подвески  
 
с двумя ступенями постоянной жесткости  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 102 
3.3. Определение алгоритма оптимального регулирования  
 
подвески с двумя ступенями постоянной жесткости  .  .  .  .  . 
107 
3.4. Исследование математической модели подвески с двумя  
ступенями постоянной жесткости при условии оптимального  
 
регулирования в случае свободных колебаний  .  .  .  .  .  .  .  . 111 
3.5. Исследование математической модели подвески с двумя  
ступенями постоянной жесткости при условии оптимального  
 
регулирования в случае вынужденных колебаний  .  .  .  .  .  . 117 
3.6. Математическая модель механической подвески  
с двумя ступенями переменной жесткости  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  121 
3.7. Определение алгоритма оптимального регулирования  
подвески с двумя ступенями переменной жесткости  .  .  .  . 124 
3.8. Исследование математической модели механической  
подвески с двумя ступенями переменной жесткости  
в цикле колебаний при свободных колебаниях  .  .  .  .  .  .  .  . 
131 
3.9. Исследование математической модели механической  
подвески с двумя ступенями переменной жесткости  
в цикле колебаний при кинематическом возмущении  .  .  .  . 136 
3.10. Математическая модель пневматической подвески  
 
с переменной жесткостью ступеней  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 139 
3.11. Исследование математической модели пневматической  
 
подвески с переменной жесткостью ступеней  
 
в цикле колебаний при свободных колебаниях  .  .  .  .  .  .  . 142 
3.12. Исследование математической модели пневматической 
 
подвески с переменной жесткостью ступеней  
 
в цикле колебаний при кинематическом возмущении  .  .  . 148 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
 152 
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 154 
4 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Потенциальные возможности классической пассивной подвески с 
нерегулируемыми характеристиками упругих и демпфирующих элементов 
благодаря трудам отечественных и зарубежных ученых доведены практически до полной реализации. Однако эти возможности ограничены. Она 
не всегда может быть использована не только при перевозке людей, но и 
при транспортировании виброчувствительных грузов и оборудования. 
Одним из перспективных направлений повышения виброзащитных 
свойств подвески автомобилей является регулирование ее параметров. В последнее время специалисты в области подрессоривания транспортных средств 
проявляют интерес к возможности повышения плавности движения автомобиля 
путем изменения ее параметров в цикле колебаний. Поэтому разработка  
теоретических основ регулирования параметров подвески автомобиля является актуальной задачей, имеющей важное значение. 
В учебном пособии представлены основы теории регулирования  
параметров подвесок в цикле колебаний, включающие следующие разработки. 
1. Принципы и законы регулирования демпфирования, основанные 
на ограничении возмущающей силы при кинематическом возмущении. 
2. Теоретический анализ принципов регулирования демпфирования 
«скайхук», «граундхук» и «semi-active» при гармоническом возмущении. 
3. Теоретический анализ принципа маятникового регулирования 
демпфирования. 
4. Теоретический анализ способов изменения жесткости подвески  
с фиксированной и «плавающей» жесткостью ступеней. 
5. Определение алгоритмов оптимального регулирования жесткости 
подвески в цикле колебаний. 
6. Теоретическое исследование подвесок с мгновенным регулиро- 
ванием жесткости в цикле колебаний при свободных и вынужденных  
колебаниях. 

 
5 

 
ГЛАВА 1 
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ АВТОМОБИЛЯ 
ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАНИЙ 
 
1.1. Моделирование динамики автомобильной подвески 
Известно, что автомобиль можно представить как колебательную 
систему, состоящую из нескольких масс, соединенных между собой упругодемпфирующими связями. Совокупность масс, опирающихся на упругие элементы подвески автомобиля, называют подрессоренными массами. 
Совокупность масс, являющихся опорой упругих элементов подвески и 
связанных с ними масс, называют неподрессоренными массами. Неподрессоренные массы, в свою очередь, опираются на упругие шины колес автомобиля, расположенные на так называемой опорной поверхности 
(поверхности дороги, вибрационной площадке стенда и т. п.). Движение 
по неровностям дороги или колебания площадки стенда оказывают на автомобиль воздействие, вызывающее колебания всех подрессоренных и 
неподрессоренных масс автомобиля. Такой способ воздействия на колебательную систему, при котором некоторой ее точке (или точкам) сообщают 
движение по заданной траектории, называют кинематическим воздействием или кинематическим возмущением. Подвеска и шины автомобиля 
предназначены для смягчения толчков и уменьшения колебаний и вибраций автомобиля, вызываемых кинематическим воздействием со стороны 
дороги. Поэтому совокупность подвески и шин называют виброзащитной 
системой автомобиля. К виброзащитной системе автомобиля относятся 
также дополнительные системы подрессоривания сидений, система виброизоляции двигателя и т. д.). 
Для моделирования работы автомобильной подвески, в зависимости 
от поставленной задачи, могут быть использованы различные схемы колебательных систем. 
Простейшей колебательной системой, моделирующей работу автомобильной подвески, является одномассовая колебательная система с кинематическим возмущением (рис. 1.1). На рис. 1.1 обозначено: m - подрессо6 

ренная масса, k - коэффициент демпфирования (коэффициент сопротивления амортизатора), c - жесткость рессоры (упругого элемента), q - перемещение возмущающего основания (кинематическое возмущение), z - перемещение подрессоренной массы. Коэффициент демпфирования и жесткость рессоры характеризуют упругодемпфирующие свойства подвески и 
называются ее параметрами. 
 
1 
z 
m 
 
 
c 
k 
3 
 
2 
q 
 
 
Рис. 1.1. Схема простейшей виброзащитной системы: 
1 – подрессоренная масса; 2 – упругий элемент (рессора);  
3 – демпфер (амортизатор) 
Математическая модель динамики такой системы выглядит следующим образом:  
 
0
)
(
)
(
 




q
z
c
q
z
k
z
m




. 
(1.1) 
Изменим вид уравнения (1.1):  
 
cq
q
k
cz
z
k
z
m

 






. 
(1.2) 
Таким образом, математической моделью динамики колебательной 
системы с кинематическим возмущением является неоднородное дифференциальное уравнение. 
Одномассовая колебательная система позволяет изучить виброзащитные свойства подвески с постоянными, переменными и регулируемыми параметрами. Однако такая система не учитывает наличия в автомобиле неподрессоренных масс и упругости шин, которое оказывает существенное влияние как на колебания подрессоренных масс, так и на устойчивость и управляемость автомобиля, зависящие от колебаний неподрессоренных масс и деформаций шин, определяющих стабильность контакта 
шин с дорогой. 
7 

Наиболее простой моделью автомобиля, учитывающей наличие в 
автомобиле неподрессоренных масс, является двухмассовая колебательная система (рис. 1.2). Здесь, соответственно, m1 и m2 - подрессоренная и 
неподрессоренная массы, с1 и с2  - жесткость рессоры и шины, k1 и k2  - коэффициенты демпфирования амортизатора подвески и шины, z1 и z2  - перемещения подрессоренной и неподрессоренной масс, q - кинематическое 
возмущение. 
 
1 
z1 
m1 
c1 
k1 
4 
3 
 
 
 
 
 
 
 
2 
z2 
m2 
 
c2 
k2 
 
6 
5 
 
q 
 
Рис. 1.2. Схема двухмассовой одноопорной виброзащитной системы:  
1 – подрессоренная масса; 2 – неподрессоренная масса; 3 – упругий элемент  
(рессора); 4 – демпфер (амортизатор); 5 и 6 – шина с упругими  
и демпфирующими свойствами 
 
Математической моделью динамики такой системы является система из двух дифференциальных уравнение второго порядка:  
2
1
1
2
1
1
1
1
z
z
c
z
z
k
q
z
c
q
z
k
z
m
z
z
c
z
z
k
z
m










 (1.3) 
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
 
¿
¾
½
 








 




0
)
(
)
(
)
(
)
(
;
0
)
(
)
(
или  
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
q
c
q
k
z
c
z
k
z
c
z
k
z
c
z
k
z
m
z
c
z
k
z
c
z
k
z
m










 
(1.4) 
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
 
  
¿
¾
½

 






 




.
;
0
8 

z 
1 
m, Jy 
ЦТ 
ij 
2c1 
2k1 
4 
2c2 
2k2 
3 
5 
2 
q1 
q2 
Двухмассовая колебательная система позволяет изучить влияние 
подвески не только на колебания подрессоренной массы, но и на колебания неподрессоренной массы, а также на деформации шин. 
Дальнейшее уточнение модели колебаний автомобиля приводит к 
так называемой плоскостной модели автомобиля. Простейшей плоскостной моделью является двухопорная одномассовая колебательная система 
(рис. 1.3, а). Однако более адекватной моделью является двухопорная 
трехмассовая (рис. 1.3, б) или, в общем случае, многоопорная многомассовая модель. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l2 
l1 
z 
1 
m, Jy 
ЦТ 
ij 
2c1 
2k1 
4 
2c2 
2k2
2 
3 
5 
ȗ2 
ȗ1 
m2 
m1 
6 
7 
9 
10 
11 
2cш1 
2kш1 
2cш
2kш2 
8 
q1 
q2 
l2 
l1 
а 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
б 
Рис. 1.3. Схемы двухопорных моделей автомобиля:  
а – одномассовой; б – двухмассовой 
9 

Уравнения динамики модели двухопорной одномассовой колебательной системы, изображенной на рис. 1.3, а, имеют вид:  
q
l
z
k
q
l
z
k
z
m


M



M


)
(
2
)
(
2
½








2
2
2
1
1
1
q
l
z
c
q
l
z
c
 

M



M


;
0
)
(
2
)
(
2
2
2
2
1
1
1
°
°
 
 
(1.5) 
¾
l
q
l
z
k
l
q
l
z
k
J


M



M


M
)
(
2
)
(
2
y








2
2
2
2
1
1
1
1
°
°
l
q
l
z
c
l
q
l
z
c
 

M



M


.
0
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
1
1
1
1
¿
Уравнения динамики модели двухопорной трехмассовой колебательной системы (рис. 1.3, б) выглядят следующим образом:  
½
l
z
k
l
z
k
z
m

]

M


]

M


)
(
2
)
(
2








2
2
2
1
1
1
l
z
c
l
z
c
 
]

M


]

M


;
0
)
(
)
(
2
2
2
2
1
1
1
l
l
z
k
l
l
z
k
J

]

M


]

M


M
)
(
2
)
(
2
y








2
2
2
2
1
1
1
1
l
l
z
c
l
l
z
c
 
]

M


]

M


;
0
)
(
2
)
(
2
2
2
2
2
1
1
1
1
°
°
°
°
°
°
 
 
(1.6) 
¾
q
c
q
k
m


]


]

]
)
(
2
)
(
2




1
1
ш1
1
1
ш1
1
1
l
z
c
l
z
k
 
]

M


]

M


;
0
)
(
2
)
(
2



1
1
1
1
1
1
q
c
q
k
m


]


]

]
)
(
2
)
(
2




2
2
ш1
2
2
ш1
2
2
°
°
°
°
°
°
l
z
c
l
z
k
 
]

M


]

M


.
0
)
(
2
)
(
2



2
2
2
2
2
2
¿
Так называемые пространственные модели колебаний автомобиля 
изображены на рис. 1.4. Простейшая из этих моделей (рис. 1.3, а) содержит подрессоренную массу и подвеску. Более сложная модель (рис. 1.3, б) 
помимо этого включает в себя неподрессоренные массы и шины с их 
упругими и демпфирующими характеристиками. 
На рис. 1.3 и 1.4 обозначено: 1 - подрессоренная масса; 2 - передний 
упругий элемент (рессора); 3 - задний упругий элемент (рессора); 4 - передний демпфер (амортизатор); 5 - задний демпфер (амортизатор); 6 - передняя неподрессоренная масса; 7 - задняя неподрессоренная масса; 8 и 10 - 
передняя шина с упругими и демпфирующими свойствами; 9 и 11 - задняя 
шина с упругими и демпфирующими свойствами; m - подрессоренная масса; Jx и Jy - моменты инерции подрессоренной массы относительно соответствующих осей; k1 и k2 - коэффициенты демпфирования амортизаторов  
 
10