Вариационное исчисление и теория оптимального управления

ȼɘɄɢɫɟɥɺɜɌɎɄɚɥɭɝɢɧɚ
ȼȺɊɂȺɐɂɈɇɇɈȿɂɋɑɂɋɅȿɇɂȿ
ɂɌȿɈɊɂəɈɉɌɂɆȺɅɖɇɈȽɈ
ɍɉɊȺȼɅȿɇɂə
ɍɱɟɛɧɨɟɩɨɫɨɛɢɟ
Ɇɨɫɤɜɚȼɨɥɨɝɞɚ
©ɂɧɮɪɚɂɧɠɟɧɟɪɢɹª


ɍȾɄ 
ȻȻɄ 
Ʉ
Ɋɟɰɟɧɡɟɧɬ
ɤɚɧɞɢɞɚɬɮɢɡɢɤɨɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯɧɚɭɤɞɨɰɟɧɬɤɚɮɟɞɪɵɜɵɫɲɟɣ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢɂɜɚɧɨɜɫɤɨɝɨɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨɷɧɟɪɝɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ
ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚɋɤɨɜɨɪɨɞɚ Ȼɨɪɢɫ Ɏɟɞɨɫɶɟɜɢɱ
Ʉɢɫɟɥɺɜȼɘ
Ʉ 
ȼɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɟ ɢɫɱɢɫɥɟɧɢɟ ɢ ɬɟɨɪɢɹ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɭɩɪɚɜɥɟ
ɧɢɹɭɱɟɛɧɨɟɩɨɫɨɛɢɟȼɘɄɢɫɟɥɺɜɌɎɄɚɥɭɝɢɧɚ±Ɇɨɫɤɜɚ
ȼɨɥɨɝɞɚɂɧɮɪɚɂɧɠɟɧɟɪɢɹ±ɫɢɥ
,6%1
Ⱦɚɧɵɫɜɟɞɟɧɢɹɩɨɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɦɭɢɫɱɢɫɥɟɧɢɸɢɨɩɬɢɦɚɥɶ
ɧɨɦɭ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɸ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɢ
ɢɡɨɩɟɪɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɡɚɞɚɱɢ ɫɨ ɫɜɨɛɨɞɧɵɦɢ ɤɨɧɰɚɦɢ
ɉɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵɩɪɢɦɟɪɵɪɟɲɟɧɢɹɡɚɞɚɱ
Ⱦɥɹɫɬɭɞɟɧɬɨɜɮɢɡɢɤɨɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɯɢɷɤɨɧɨ
ɦɢɱɟɫɤɢɯɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɣɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢɆɨɠɟɬɛɵɬɶɩɨɥɟɡɧɨɩɪɟɩɨ
ɞɚɜɚɬɟɥɹɦɢɢɧɠɟɧɟɪɚɦ
ɍȾɄ
ȻȻɄ
ȼ ɚɜɬɨɪɫɤɨɣ ɪɟɞɚɤɰɢɢ 
,6%1 ”ɄɢɫɟɥɺɜȼɘɄɚɥɭɝɢɧɚɌɎ
”ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ©ɂɧɮɪɚɂɧɠɟɧɟɪɢɹª
”Ɉɮɨɪɦɥɟɧɢɟɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ©ɂɧɮɪɚɂɧɠɟɧɟɪɢɹª

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
5
1.
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
8
1.1.
Об обозначениях производных
8
1.2.
Постановка задачи.
8
1.3.
Вариация функционала J
9
1.4.
Уравнение Эйлера
10
2.
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ЛАГРАНЖИАНОВ РАЗНЫХ
ВИДОВ
17
2.1.
Лагранжиан, не зависящий от ˙
x
17
2.2.
Лагранжиан, не зависящий от x
17
2.3.
Лагранжиан, не зависящий от t
18
2.4.
Функционалы в виде интегралов по длине дуги
19
2.5.
Некоторые геометрические задачи
19
3.
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ. МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
23
3.1.
Постановка задачи.
23
3.2.
Система уравнений Эйлера
23
4.
ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
26
5.
ЭКСТРЕМУМЫ
ФУНКЦИОНАЛОВ
С ЛАГРАНЖИАНАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СТАРШИХ
ПРОИЗВОДНЫХ
36
6.
ЗАДАЧА СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ
40
7.
ЭКСТРЕМУМЫ НЕСТАНДАРТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
44
7.1.
Свойства вариации
44
7.2.
Экстремум отношения функционалов
45
7.3.
Экстремум произведения функционалов
46
8.
ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
48
8.1.
Уравнение минимальных поверхностей
51
9.
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
53
10.
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА (ПОИСК УСЛОВНОГО
ЭКСТРЕМУМА С ГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ)
61
10.1.
Геодезические на заданной поверхности
66
3

11.
ЗАДАЧА БОЛЬЦА
69
12.
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА С НЕГОЛОНОМНЫМИ
СВЯЗЯМИ
73
13.
ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
78
13.1.
Задача с подвижными концами на двух заданных
кривых
83
14.
ЭКСТРЕМАЛИ С ИЗЛОМАМИ
89
15.
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ И РАЗЛИЧЕНИЕ МАКСИМУМОВ
И МИНИМУМОВ
94
15.1.
Необходимые условия минимума и максимума
функционала
95
15.2.
Формула для второй вариации и необходимые
условия Лежандра
96
15.3.
Исследование квадратичного функционала
99
15.4.
Следствия для функционала J(x)
102
15.5.
Список необходимых условий экстремума
103
15.6.
Достаточные условия слабого экстремума
103
15.7.
Достаточные условия сильного экстремума
105
16.
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
108
16.1.
Постановка задачи
108
16.2.
Основная теорема
109
16.3.
Классическая задача об остановке
113
17.
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ122
17.1.
Метод Ньютона
122
17.2.
Метод Ритца
125
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
129
4

ВВЕДЕНИЕ
Вариационное исчисление зародилось вместе с современным математическим анализом в конце XVII в.: в июне 1696 г.
Иоганн I Бернулли в письме Готтфриду Вильгельму Лейбницу
предложил решить задачу о брахистохроне (см. пример 6.1 на
с. 40). Правда, ранее, ещ¼ в 1687 г., Исаак Ньютон поставил и
решил задачу о форме носа корабля, имеющего наименьшее сопротивление движению  это тоже вариационная задача, но тогда она не была осознана как задача особого класса. Ещ¼ раньше,
примерно на две с половиной тысячи лет, возникла задача Дидоны
(см. пример 9.1 на с. 56), но в те времена легенда о финикийской
царевне ЭлиссеДидоне была, конечно, забавной притчей о человеческой хитрости, а не задачей из области математики (каковой,
то есть математики как науки, тогда ещ¼ не существовало).
В 1696 же году математическая почва для произрастания вариационного исчисления созрела: Лейбниц быстро решил задачу о брахистохроне и написал Иоганну Бернулли, чтобы тот дал
другим математикам год на е¼ решение. Тот опубликовал задачу
повторно в январе 1697 г., и в течение года е¼ решения были получены Яковом I Бернулли (братом Иоганна), маркизом Гийомом де
Лопиталем и анонимным автором, в котором сразу же, по стилю
работы, был узнан Исаак Ньютон. Итак, класс задач, в которых
решением служило не число, а некоторая наилучшая кривая, был
найден и осознан как предмет особого раздела математики, который мы теперь называем вариационным исчислением.
Общий подход к решению такого рода задач был найден в
1732 г., когда 25-летний Леонард Эйлер опубликовал работу, в
которой рассмотрел не частные задачи, а всевозможные ”задачи,
где отыскивают кривые, обладающие максимальным или минимальным свойством“. В частности, он наконец-то строго решил
изопериметрическую задачу (задачу Дидоны). Ключевым достижением Эйлера было отыскание уравнения, которое носит его имя
5

(уравнение Эйлера). Это уравнение играет основную роль в вариационном исчислении. Итоги работы Эйлера в области вариационного исчисления были подведены в книге [15], изданной в 1744 г.
С тех пор вариационное исчисление бурно развивалось, рассматривались новые варианты вариационных задач и их приложения
к теоретической механике. Среди исследователей в области механики особую роль занимает великий математик Жозеф Луи
Лагранж, первая работа которого на эту тему была изложена в
письме к Эйлеру в 1755 г., когда Лагранжу было 19 лет. Основные
работы Лагранжа по вариационному исчислению и его применению к механике были опубликованы в 17601761 гг.
В дальнейшем вариационное исчисление развивали А. М. Лежандр (в конце XVIII в.), У. Р. Гамильтон, К. Г. Я. Якоби,
М. В. Остроградский, К. Т. В. Вейерштрасс и многие другие (на
протяжении XIX в.). Приближ¼нные методы решения вариационных задач были разработаны в начале XX в. В. Ритцем и Б. Г. Гал¼ркиным.
В середине XX в. появляется новая отрасль вариационного исчисления  оптимальное управление: класс вариационных задач с изменяемым функциональным параметром (управлением),
наилучший выбор которого составляет цель решения такой задачи. Как только особый характер такого рода задач был осознан,
сразу выяснилось, что задачу Ньютона о наилучшей форме носа
корабля, которую тот решил в 1687 г., тоже можно рассматривать
как задачу оптимального управления! (См., например, [1, 3].) Теория оптимального управления быстро и успешно развивалась в
50-х и 60-х гг. XX в. в работах Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и других математиков.
Наука эта (вариационное исчисление и оптимальное управление), как и вообще любая отрасль математики, отнюдь не является законченной и застывшей. Исследования в ней продолжаются
и в будущем принесут решения новых возникающих проблем.
В этой книге мы да¼м основные сведения о вариационном исчислении и оптимальном управлении для студента, который хочет
(или должен) познакомиться с этой наукой. Упор делается на методы решения задач разного рода. Меньшее внимание уделяется
6

подробному изложению условий, при которых верны приводимые
утверждения. Делается это не всегда: во-первых, эти условия часто повторяются в схожих утверждениях, а во-вторых, есть надежда, что тот пытливый студент, кому эти условия интересны,
сам сумеет сообразить, что нужно предполагать, чтобы те действия и преобразования, которые приходится применять (в доказательствах, например), были законны. Кроме того, акцентирование каждый раз внимания на многочисленных условиях, которые
в примерах, как правило, выполняются, сильно тормозило и затемняло бы изложение.
Вместо этого мы старались дать достаточно много примеров
решения задач тех типов, которые представлены в нашей книге.
Это и классические задачи (задача о брахистохроне, задача Дидоны, задача о минимальной поверхности, задача о геодезических и
др.), и методы применения вариационного исчисления в механике
(лагранжева механика, то есть принцип наименьшего действия),
и разбор решений примеров учебного характера. Мы надеемся,
что эти примеры будут интересны и полезны студенту, осваивающему на практике новую для него математическую дисциплину 
вариационное исчисление и оптимальное управление. За
дополнительными сведениями по этой науке можно обратиться к
более подробным курсам, например [1, 3, 4, 5, 14, 16].
Успехов вам в изучении математики!
Книга написана на основе лекций, читанных одним из авторов
(В. К.) в Ивановском государственном энергетическом университете (ИГЭУ).
Первое издание вышло в 2021 году в ИГЭУ. Во втором издании
исправлены замеченные неточности и добавлена глава 17, знакомящая с приближ¼нными методами решения вариационных задач.
В. Кисел¼в, Т. Калугина.
7

1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Об обозначениях производных.
Если f  функция нескольких переменных,
f = f(t; x1; x2; y; . . . ),
то для обозначения частных производных мы будем, как правило,
применять нижние индексы при букве, обозначающей функцию.
Таким образом,
ft = ∂f
∂t ; fx1 = ∂f
∂y2 , . . .
∂x1
, fx1x2 =
∂2f
∂x1∂x2
, fyy = ∂2f
Если аргумент функции одного переменного обозначен через t
(или t1, t2, T), то производные обозначаются точкой над буквой,
обозначающей функцию1. Например, для функции x(t)
˙
x(t) = dx
dt , Ё
x(t) = d2x
dt2 , ...
x(t) = d3x
dt3 , . . .
Производные функций одного переменного по переменным,
обозначенным другими буквами (не t), мы будем обозначать
штрихами. Например, как обычно, y′(x) = dy
dx(x).
1.2. Постановка задачи. Рассмотрим функционал J интегрального типа, определ¼нный на пространстве функций x ∈C1([a; b]),
непрерывных на отрезке [a; b] ⊂R и имеющих непрерывную производную ˙
x (возможно, кроме точек t = a и t = b):
a
L(t, x(t), ˙
x(t))dt.
J(x) =
 b
Подынтегральная функция L в этом функционале называется
лагранжианом функционала J. Функция L(t; x; v)  это функция тр¼х переменных, t, x и v = ˙
x. Мы будем предполагать,
что она непрерывна по всем тр¼м переменным, а по переменным x и v имеет непрерывные частные производные Lx =
∂L
∂x
и L ˙
x = Lv = ∂L
∂˙
x .
∂v = ∂L
1Обозначение производных по времени точкой принадлежит Ньютону.
8

Для разных функций x функционал будет принимать разные значения J(x). Простейшая задача вариационного исчисления заключается в следующем: требуется найти такую функцию

x ∈C1([a; b]), для которой значение J(
x) было бы наименьшим
(или наибольшим) среди функций x, удовлетворяющих дополнительным граничным условиям: x(a) = A; x(b) = B, где A и B 
заданные (фиксированные) граничные значения. Кратко будем
записывать эту задачу в виде
J(x) ⇒extr (min, max); x(a) = A; x(b) = B.
1.3. Вариация функционала J.
Пусть дана некоторая функция x(t), удовлетворяющая граничным условиям. Изменим е¼ на интервале (a; b) так, чтобы граничные условия сохранились. Для этого заменим x(t) на

x(t) = x(t) + h(t), где приращение (или вариация) функции, равное h(t), удовлетворяет нулевым граничным условиям:
h(a) = 0; h(b) = 0.
Тогда новая функция 
x(t), очевидно, так же будет удовлетворять
исходным граничным условиям:

x(a) = A; 
x(b) = B.
Приращение функционала J(x) при переходе от x к 
x будет иметь
вид
ΔJ(x; h) = J(
x) −J(x) =
a
(L(t; x(t) + h(t); ˙
x(t) + ˙
h(t)) −L(t; x(t); ˙
x(t)))dt.
=
 b
Разность, стоящую под знаком интеграла, по формуле Тейлора
можно представить в виде
L(t; x + h; ˙
x + ˙
h) −L(t; x; ˙
x) = Lx(t; x; ˙
x) · h + L ˙
x(t; x; ˙
x) · ˙
h + ε,
где ε  бесконечно малая величина более высокого порядка,
чем ∥h∥1, при ∥h∥1 →0 (∥· ∥1  норма функции в пространстве
9

C1([a; b])). Значит,
a
ΔJ =
 b

Lx(t; x(t); ˙
x(t)) · h(t) + L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t)) · ˙
h(t)

dt + ε1,
a
L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t)) · ˙
h(t)dt
где ε1 обладает тем же свойством, что и ε. Рассмотрим интеграл
от второго слагаемого подынтегральной функции
 b
a
L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t)) · ˙
h(t)dt =
и проинтегрируем это выражение по частям:
 b
a
 d
dt(L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t))

· h(t)dt.
= L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t)) · h(t)|b
a −
 b
В силу нулевых граничных условий для h(t), то есть того что
h(a) = h(b) = 0, внеинтегральный член обращается в 0:
L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t)) · h(t)|b
a = 0 −0 = 0,
так что
a

Lx(t; x(t); ˙
x(t)) · h(t) −d
dt(L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t))) · h(t)

dt+ε1.
ΔJ =
 b
Главная, линейная по приращению функции h, часть приращения
функционала ΔJ называется вариацией функционала J в точке x
и обозначается δJ(x; h) или просто δJ. Она получается отбрасыванием слагаемого ε1, имеющего б*
ольший порядок малости, чем
∥h∥1, так что
a

Lx(t; x(t); ˙
x(t)) −d
dt(L ˙
x(t; x(t); ˙
x(t))

· h(t)dt.
δJ(x; h) =
 b
1.4. Уравнение Эйлера. При малых ∥h∥1 знак приращения ΔJ
совпадает со знаком вариации δJ, поскольку разность их, равная
ε1, имеет б*
ольший порядок малости. Если функция x = 
x да¼т
минимум функционалу J, то ΔJ ⩾0 при любом (достаточно малом по норме) приращении h и, значит, δJ ⩾0. Если же 
x да¼т
максимум J, то точно так же δJ ⩽0.
10