Вариационное исчисление

 
 
 
 
К. А. Лебедев 
 
 
 
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
  
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва    Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2023 
 
1 

УДК  517.97 
ББК  22.161.8 
  
Л33 
 
Рецензенты: 
доктор педагогических наук, профессор С. В. Юнов;  
доктор технических наук, профессор Г. А. Аршинов 
 
 
 
Лебедев, К. А. 
Л33     
Вариационное  исчисление  :  учебное  пособие  /  К.  А.  Лебедев.  -    
            Москва  ;  Вологда  :   Инфра-Инженерия, 2023. - 220 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-1224-7 
 
Изложены теория и методы решения различных вариационных задач с 
иллюстрациями аналитического и численного способов их решения. Упор 
сделан на численные решения с помощью математического пакета 
mathCAD. Все решения задач доведены до «числа». В приложениях приводятся алгоритмы и программы. В основу положены лекции, которые читались автором на факультете компьютерных технологий и прикладной математики.  
Для студентов, обучающихся по направлениям 01.03.02 «Прикладная 
математика и информатика», 02.03.02 «Фундаментальная информатика  
и информационные технологии», 02.03.03 «Математическое обеспечение 
и администрирование информационных систем», 09.03.03 «Прикладная 
информатика» при изучении дисциплины «Вариационное исчисление  
и оптимальное управление»,  а также аспирантов, обучающихся по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы  
и комплексы программ» (физико-математические науки).  
 
УДК 517.97 
ББК 22.161.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1224-7 
” Лебедев К. А., 2023 
 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023 
2 

 
 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление» посвящена нахождению экстремумов функционалов и оптимизации динамических систем.  
Первая часть дисциплины «Вариационное исчисление», как и математический анализ, относится к классическим дисциплинам, подлежащим усвоению на математических отделениях университетов во 
всем мире. Вариационное исчисление является разделом высшей математики и насчитывает более 300-летнюю историю.  
В отличие от неё, вторая часть «Оптимальное управление», хотя  
и основывается на вариационном исчислении, имеет относительно молодой возраст, около 70 лет. Принцип максимума Понтрягина для оптимизации динамических систем возник как результат работы математиков над проблемой управления летательными аппаратами с целью 
вывода в открытый космос ракетных комплексов, для доставки атомного оружия в любую точку земного шара и управления многоступенчатыми ракетами, предназначенными для освоения околоземного пространства в начале 1960-х гг. Успехи в ракетостроении, совершенствовании информационных бортовых и наземных компьютерных систем 
привели к успешному процессу исследования планет Солнечной системы (Луны, Венеры, Марса, Сатурна, Плутона). Важную роль сыграл 
и принцип максимума, надёжно реализующий программное обеспечение для управления летательными аппаратами.  
Вариационному исчислению посвящено множество учебников, изданных в XX столетии [5, 6, 17, 18, 21] и в последние 20 лет [2, 4, 13]. 
Все они излагают предмет в соответствии с известным принципом высокого теоретического уровня (ВТУ-принцип), изложение ведётся  
от общего к частному, от абстрактного к конкретному, логически последовательно. Единственным исключением из общего правила 
3 

является учебник академика Л. Э. Эльсгольца [18], в котором автор  
в противовес ВТУ-принципу следует принципу высокого мето- 
дического уровня (ВМУ-принципу), учитывая психологические особенности первичного восприятия сознанием студентов новых дисциплин. 
К сожалению, культура преподавания в соответствии с ВМУ-принципом, которым была богата русская классическая школа, за последние 
120 лет практически исчезла. ВТУ-принцип поглотил все богатые методические стороны, которые существовали ранее, методика сводится к 
стереотипному перепечатыванию текстов учебников. Наблюдается 
стремление излагать учебный материал строго формализовано, обобщённо, чисто технически, с позиций функционального анализа в абстрактных пространствах, соблюсти логическую последовательность,  
в отрыве от живого, диалектически противоречивого, творческого процесса освоения дисциплины, который предполагает совсем иные принципы преподавания. Доскональный анализ истории ВТУ-принципа 
представлен в монографии И. П. Костенко [9], где можно найти и принципы эффективного обучения (ВМУ), которые были характерны для 
русской классической средней и высшей школы. Дополняя известную 
монографию отечественного педагога, академика Ю. М. Колягина [10], 
И. П. Костенко рассматривает 1920í1980-е гг. как период развития 
ВТУ-принципа и его внедрения в советскую школу. 
В целом мы будем следовать учебнику [18] в плане принципов изложения, стараясь соблюсти ВМУ-принцип. Объём материала по сравнению с работой Л. Э. Эльсгольца [18] сокращён, но он дополняется  
в ходе проведения лабораторных занятий. Данное пособие, представленное в виде лекционного материала, по возможности приближено  
к форме устного изложения. Особенностью курса является дистанционное проведение лекций с помощью компьютера и интернет-технологий, что позволило использовать математический пакет mathCAD  
на всех лекциях для демонстрации возможностей численных и символьных вычислений и визуализации решения вариационных и оптимизационных задач, доведения всех примеров до «числа». Аналитические решения задач дополняются численными решениями. В отличие 
от сборников задач [1, 7, 11, 15], упор сделан не на аналитическое, а на 
численное решение возникающих краевых задач с помощью пакета 
mathCAD, но в тех задачах, где возможно аналитическое решение,  
разумеется, даётся и оно. Численные и аналитические решения 
4 

сравниваются и оценивается точность численного решения. Математический пакет mathCAD был выбран среди других в силу его примечательной особенности «отсутствия» интерфейса, вернее интерфейса 
максимально приближенного к натуральной деятельности человека  
с ручкой и бумагой, что не вызывает дополнительных трудностей у 
учащихся в его освоении и делает его очень удобным, эффективным 
демонстрационным инструментом.  
 
 
 
5 

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛА 
Под функционалом понимают особые функции J[y], у которых аргументом являются функции ( ),
y x  заданные на отрезке [а, b]. 
Пример 1. Примером широко известного функционала является 
определённый интеграл 
b
[ ]
( )
a
J y
y x dx
 ³
, 
где y(x) - аргумент функционала 
:
[ , ]
J C a b
R
o
. Если ( )
0
y x t
, то значение функционала численно равно площади криволинейной трапеции. Будем полагать, что y(x) есть непрерывная функция на отрезке  
[a, b]. Областью определения функционала является множество 
[ , ]
M
C a b
 
 непрерывных функций на отрезке [a,b]. Тогда для любой 
такой функции можно вычислить интеграл и получить некоторое действительное число. Таким образом, мы имеем отображение 
:
J M
R
o
. 
 
Функционалом более общего вида может служить функционал 
b
[ ]
( ) ( )
a
J y
p х y x dx
 ³
, где 
( )
p x   заданная непрерывная функция. 
Пример 2. Функционалом является длина l дуги плоской кривой, 
соединяющей две точки A(x0, y0) и B(x1, y1) на плоскости 
x
1
2
1
( )
>
@
x
l
y x
dx
c
 

³
, 
0
0
(
)
;
y x
y
 
 
1
1
(
)
y x
y
 
. 
0
Областью 
определения 
функционала 
является 
множество 
(1)[ , ]
M
C
a b
 
 непрерывно дифференцируемых функций на отрезке 
[a,b]. 
Ещё пример функционала, который содержит производную 
b
[ ]
( )
( )
a
J y
q х y x dx
c
 ³
, где ݍሺݔሻ - заданная непрерывная функция. 
Пример 3. В высшей математике рассматривалась задача о 
нахождении площади поверхности вращения плоской кривой вокруг 
оси х 
6 

x
1
2
2
( ) 1
( )
>
@
x
S
y x
y x
dx
S
c
 

³
, 
0
0
(
)
;
y x
y
 
 
1
1
(
)
y x
y
 
. 
0
И в данном примере областью определения функционала является 
множество 
(1)[ , ]
M
C
a b
 
 непрерывно дифференцируемых функций на 
отрезке [a, b].  
Пример 4. Задача Ферма. Согласно принципу Ферма, луч света, выходящий из точки A и попадающий в точку B, избирает путь y(х), вре- 
мя перехода по которому является наименьшим. В однородной  
среде (плотность среды не меняется) скорость света постоянна  
и свет распространяется по прямым. Но если учитывать, что плотность 
воздуха зависит от высоты y над уровнем моря, то и скорость света  
будет зависеть от высоты 
( )
ds
v
v y
dt  
 
. Тогда время, затраченное  
на движение из точки А в точку В, будет оцениваться интегралом 
B
ds
t
T
v y
 
 ³
. Учитывая, что дифференциал пути выражается через про( )
A
изводную 
2
2
2
2
1
1
dy
ds
dy
dx
dx
y dx
dx
§
·
c
 

 

 

¨
¸
©
¹
, получим функционал 
x
1
c

 ³
. Траектория луча света не будет прямой. Траектория 
y
J y
dx
v y
2
1
[ ]
( )
x
0
солнечного луча, падающего вертикально к поверхности Земли из точки 
A и попадающего в точку B, не лежащую на вертикали, будет изогнутым.  
 
Пример 5. Частным случаем задачи Ферма является задача о брахистохроне - кривой, по которой материальная точка попадает из 
точка А в точку В за минимальное время. С этой задачи началось  
в 1969 г. развитие вариационного исчисления. В ней ( )
2
v y
gy
 
 и функционал имеет вид 
x
1
c

 
³
, 
y
J y
dx
g
y
2
1
1
[ ]
2
x
0
где g í ускорение свободного падения в поле тяжести Земли. 
 
7 

Пример 6. Задача Пуанкаре есть частный случай задачи Ферма, 
когда ( )
v y
y
 , и тогда функционал имеет вид 
x
1
2
1
[ ]
c

 ³
. 
y
J y
dx
y
x
0
Задача Пуанкаре имеет очень интересное приложение. Она является моделью геометрии Лобачевского и в истории математики сыграла большую роль, открыв дорогу к построению моделей аксиоматических систем и простого доказательства их непротиворечивости. Сам 
Лобачевский доказал непротиворечивость системы аксиом аналитическим методом (точки заменялись их координатами и объекты, прямые, 
окружности и т. д. рассматривались как функции между координатами), что значительно сложнее.  
 
Пример 7. Типовой пример функционала 
(1)
:
[ , ]
J C
a b
R
o  даёт интеграл 
b
2
2
[ ]
(

 )
a
J y
y
y
dx
 

³
, 
0
( )
;
y a
y
 
 
1
( )
y b
y
 
, 
или 
b
2
2
[ ]
(

 )
a
J y
y
y
dx
 

³
, 
0
( )
;
y a
y
 
 
1
( )
,
y b
y
 
 
На них удобно проследить многие приёмы идеи аналитического  
и численного отыскания экстремумов функционалов. Функционалы 
более общего вида задаются формулами  
b
b
2
2
[ ]
( ( )
( ) 
 )
a
J y
p x y
q x y
dx
 

³
 или 
2
2
[ ]
( ( )
( ) 
 )
.
a
J y
p x y
q x y
dx
 

³
 
и в большинстве случаев имеют только численные решения.  
 
Рассмотрим приём вычисления значений функционалов в среде 
математического пакета mathCAD. Пусть аргумент функционала задан 
2
( )
y x
x
 
, требуется вычислить значения функционалов 
8 

 
 
Рис. 1.1 
 
9 

Определение функционала 
Рассмотренные примеры функционалов приводят к следующему 
общему определению функционала.  
Определение. Пусть дан некоторый класс M функций y(x). Если 
для каждой функции y(x)  M по некоторому алгоритму (закону, правилу) поставлено в соответствие определённое вещественное число  
J  R, то говорят, что на множестве M задан функционал J и пи- 
шут J = J[y]. Под множеством M обычно понимают класс непрерыв- 
ных 
(0)[ , ]
M
C
a b
 
 или непрерывно-дифференцируемых функций 
(1)[ , ]
M
C
a b
 
 на отрезке [a, b]. 
При изучении вариационного исчисления, при выводе необходимых и достаточных условий экстремумов используются и обобщаются 
идеи и подходы математического анализа. Напомним, важные, основополагающие понятия математического анализа. 
Функция одной переменной 
Функция есть первичное понятие математики. Функцией называется зависимость одной зависимой переменной y от другой независимой переменной x и обозначается y = f(x). Областью определения 
функции называется множество x-в, в котором функция имеет смысл и 
обозначается через X. Областью значений функции называется множество y-в, которые принимает функция, когда x пробегает все множество определения X. Функция есть отображение множества X в множество Y и обозначается 
:
f
o
X
Y , где множества X и Y принадлежат 
вещественным числам.  
Дифференциал и производная функции одной переменной 
Функцию в некоторой точке x0 можно разложить в ряд Тейлора: 
2
3
0
0
0
0
0
1
1
( )
(
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
(
;
)
...
2
3
f x
f x
f x
x
df x
x
d f x
x
d f x
x

 '
'
 
'

'

'

. 
Рассмотрим геометрический смысл дифференциала и производной. Проведём в точке M(x0, f(x0)) касательную MK. Её угловой коэффициент tg(D) равен производной ݂ƍሺݔ଴ሻൌ–‰ሺߙሻ. Если аргументу x дать 
приращение 
x
' , то функция получит приращение 
1
f
NM
'  
, в то же 
время ордината касательной получит приращение df
NK
 
. Отрезок 
10